Story Transcript
KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN PADA SEGITIGA
Setelah mempelajari bab ini, diharapkan siswa dapat: 3.6.1
Membedakan sifat-segitiga sebangun dan kongruen dari benda di sekitar.
3.6.2
Mengidentifikasi perbandingan ukuran sisi dan sudut antar segitiga sebangun dan kongruen serta menghitung panjangnya.
3.6.3
Menganalisis hubungan antara luas bangun dengan panjang sisi antar segitiga yang sebangun.
4.6.1
Menyelesaikan permasalahan terkait segitiga-segitiga sebangun dan kongruen.
KESEBANGUNAN PADA SEGITIGA
KEKONGRUENAN PADA SEGITIGA
PENERAPAN KONSEP KESEBANGUNAN DALAM PEMECAHAN MASALAH
PETA KONSEP
Kesebangunan dan Kekongruenan Syarat Kesebangunan Bangun Datar
Syarat Kekongruenan Bangun Datar
Kesebangunan Segitiga
Kekongruenan Segiitiga
Syarat Kesebangunan Segitiga
Syarat Kekongruenan Segitiga
1. Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. 2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Kedua segitiga sebangun dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian samadengan satu.
Ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang. (S-S-S)
Dua sisi yang bersesuaian sama besar dan sudut yang diapitnya sama besar. (S-Sd-S)
Satu sisi yang bersesuaian sama panjang dan dua sudut yang terletak pada sisi itu sama besar. (Sd-S-Sd)
Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi di hadapan salah satu sudut sama panjang. (Sd-Sd-S)
1
KESEBANGUNAN PADA SEGITIGA
1. PENGERTIAN DUA SEGITIGA SEBANGUN 2. SYARAT DUA SEGITIGA SEBANGUN 3. RUMUS-RUMUS PADA KESEBANGUNAN 4. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. PENGERTIAN DUA SEGITIGA SEBANGUN
Perhatikan benda yang berbentuk segitiga pada gambar berikut!
Dua jembatan yang sebangun
Dua atap rumah yg tidak sebangun
Dua mobil yang sebangun
Dua penggaris yang tidak sebangun
Dua kapal yang tidak sebangun
Dua kapal yang sebangun
Penggaris yang sebangun
Dua atap rumah yang sebangun
Jika pasangan benda-benda yang bentuknya sama tapi ukurannya beda dikatakan sebangun. Manakah contoh penerapan sebangun dan tidak sebangun?
2
2. SYARAT DUA SEGITIGA SEBANGUN
P
Dua segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi syarat: 1.
A
Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. =
2.
=
B
Dua pasang sudut yang beresesuaian sama besar.
Q
R
Sebangun dilambangkan dengan simbol “~” sehingga kedua segitiga di atas dapat ditulis
∠ =∠ ∠
C
∆
∆
~∆
=∠
∆
~∆
~∆
atau
atau
∠ = ∠B
KHUSUS PADA SEGITIGA SEBANGUN, Untuk menguji apakah dua segitiga sebangun atau tidak jika memenuhi salah satu kriteria berikut : a. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar. b. Perbandingan ketiga panjang sisi yang bersesuaian sebanding c. Perbandingan dua pasang sisi yang bersesuaian sebanding dan sudut yang diapitnya sama besar.
3. RUMUS-RUMUS PADA KESEBANGUNAN Segitiga dengan garis sejajar pada salah satu sisinya
Trapesium dengan garis sejajar diantara dua garis sejajar
A
a
c
m
D b
d
n
C
B
a
=
b
E
+
=
=
+
=
atau
Pada segitiga terpancung di samping berlaku:
m
Jika ∆ADE ~ ∆ABC dengan DE ∕∕ AC, maka berlaku: 1. Sisi-sisi yg bersesuaian =
×
+ +
×
n
−
2. Sudut yg bersesuaian
∠
=∠
dan ∠
=∠
Segitiga dengan garis yang membentuk segiempat
m
Jika ∠x + ∠y = 180 , maka berlaku:
Pada segitiga di samping berlaku:
a
n
=
b n
m
=
y
=
=
a b
3
3. RUMUS-RUMUS PADA KESEBANGUNAN Segitiga Siku-siku dengan Garis Tinggi pada Sisi Miring Jika segitiga siku-siku ABC siku-siku di A dan AD garis tinggi ke sisi miring, maka: B
D
Pada ∆ADC ~ ∆BDA, berlaku =
⟺
=
×
C
A B
Pada ∆ADC ~ ∆BAC, berlaku
D
= A
×
⟺
=
×
⟺
=
×
C
B
Pada ∆BAC ~ ∆BDA, berlaku
D
=
A
×
×
C
4. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar
Contoh 1a Perhatikan gambar di samping! a. Buktikan bahwa ∆ sebangun dengan ∆ b. Sebutkan pasangan sisi yang sebanding
Pembahasan: a.
Perhatikan ∆ ABC dan ∆ DEC ∠CAB = ∠CDE (sehadap) ∠ABC = ∠DEC (sehadap) ∠ACB = ∠DCE (berimpit) Jadi ∆ ABC dan ∆ DEC sebangun, karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
b.
Sisi-sisi yang sebanding menghadap pada sudut-sudut yang sama besar ∠CAB = ∠CDE ∠ABC = ∠DEC ∠ACB = ∠DCE BC menghadap ∠CAB AC menghadap ∠ABC AB menghadap ∠ACB EC menghadap ∠CDE DC menghadap ∠ DEC DE menghadap ∠DCE BC sebanding dengan EC AC sebanding dengan DC AB sebanding dengan DE
Sehingga pasangan sisi yang sebanding adalah BC dengan EC, AC dengan DC dan AB dengan DE.
4
4. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Perbandingan ketiga panjang sisi yang bersesuaian sebanding
Contoh 1b Perhatikan gambar di samping! a. Apakah kedua segitiga itu sebangun? Jelaskan b. Sebutkan pasangan sudut bersesuaian yang sama besar
Pembahasan: a.
Pada ∆ ABC, AB=10 cm Pada ∆ KLM, KL = 15 cm BC = 8 cm LM = 12 cm AC = 6 cm KM = 9 cm Pasangan sisi yang bersesuaian adalah sisi yang terpendek dengan yang terpendek, sisi yang sedang dengan yang sedang, dan sisi yang terpanjang dengan yang terpanjang
b.
AB 10 2 = = KL 15 3
Pasangan sudut yang bersesuaian menghadap pada pasangan sisi yang bersesuaian AB ∶ KL BC ∶ LM AC ∶ KM
∠C = ∠M
∠A = ∠K
∠B = ∠L
Jadi, pasangan sudut yang sama besar adalah ∠C = ∠M, ∠A = ∠K, dan ∠B = ∠L.
BC 8 2 = = LM 12 3 AC 6 2 = = KM 9 3 Karena perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sama (sebanding), maka ∆ ABC dan ∆ KLM sebangun.
4. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Perbandingan dua pasang sisi yang bersesuaian sebanding dan sudut yang diapitnya sama besar.
Contoh 1c Gambar di samping menunjukkan dua buah segitiga yaitu ∆ ABC dan ∆DEF Diketahui: panjang AB = 8 cm, BC = 12 cm dan ∠B = 800, panjang DE = 6 cm, EF = 9 cm dan ∠E = 800 Buktikan bahwa kedua segitiga itu sebangun!
Pembahasan: Pada ∆ ABC, AB = 8 cm BC = 12 cm ∠B = 80 ∠B = ∠E AB : DE = 8 : 6 = 4 : 3
Pada ∆ DEF, DE = 6 cm EF = 9 cm ∠E = 80
BC : EF = 12 : 9 = 4 : 3
Karena pada ∆ ABC dan ∆ DEF terdapat sebuah sudut yang sama besar yaitu ∠B = ∠E dan dua sisi bersesuaian yang mengapit sudut itu sebanding, AB : DE = BC : EF = 4 : 3, maka terbukti bahwa ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun.
5
4. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Contoh 2a Perhatikan gambar disamping! Jika AC dan DE garis sejajar, a. Tunjukkan apakah ∆ ABC dan ∆ BDE sebangun ? b. Jika sebangun, tulislah sisi-sisi yang sebanding
Pembahasan: a. Perhatikan gambar! Dari gambar kita buat garis pertolongan. ∠ ABC dan ∠ EBD sama karena bertolak belakang ∠ ACB dan ∠ EDB sama karena dalam berseberangan ∠ BAC dan ∠ BED sama karena dalam berseberangan Sehingga ∆ ABC dan ∆BDEsebangun, karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
b. Sisi-sisi yang sebanding menghadap pada sudut-sudut yang sama besar Pasangan sisi yang sebanding pada ∆ ABC dan ∆ BDE adalah AB BC AC = = EB BD ED Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sebanding, sehingga ∆ ABC dan ∆ BDE sebangun.
4. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Contoh 2b Diketahui : ∆ DEF dengan panjang DE = 6 cm, EF = 8 cm, dan FD =11 cm, ∆ KLM dengan panjang KL= 6 cm, LM = 8 cm, dan MK = 12 cm. a. Apakah ∆ DEF dan ∆ KLM sebangun? b. Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar?
Pembahasan: a. Perhatikan gambar! Dari gambar diketahui DE = KL = 6 cm EF = LM = 8 cm FD = 11 cm dan MK = 12 cm, sehingga FD ≠ MK Karena ada salah satu sisi yang bersesuaian tidak sebanding, maka ∆ DEF dan ∆ KLM tidak sebangun. b. Karena sisi-sisi yang bersesuaian tidak sebanding, maka sudut – sudut yang bersesuaian tidak sama besar.
6
4. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Contoh 3 Perhatikan gambar di samping ! Diketahui panjang AD = 4 cm dan DB = 2 cm. Garis DE // BC. a. Buktikan bahwa ∆ ABC dan ∆ ADE sebangun b. Tentukan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian c. Jika BC = 9 cm, maka tentukan panjang DE
Pembahasan: a. Diketahui DE // BC, maka ∠ADE = ∠ABC (sehadap) ∠AED = ∠ACB (sehadap) ∠DAE = ∠BAC (berimpit) Karena ketiga sudut yang bersesuaian pada ∆ ADE dan ∆ ABC sama besar, maka terbukti bahwa kedua segitiga itu sebangun.
c.
= ⟺ DE =
× BC
⟺ DE =
× 9
⟺ DE = 6 Jadi panjang DE adalah 6 cm
b. Pasangan sisi bersesuaian yang sebanding adalah :
=
=
⟹
=
=
=
Jadi perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah 2 : 3
4. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Contoh 4 Perhatikan gambar di samping ! Diketahui : panjang AD = 5 cm, DB = 3 cm, AE = 4 cm dan BC = 6 cm, ∠CED = 1100 dan ∠CBD = 700 Tentukan panjang EC dan DE
INGAT
Jika ∠x + ∠y = 180 , maka berlaku: n m y a
=
=
b
Pembahasan: a. Karena ∠
+∠
maka berlaku
= 110 0 + 700 = 1800, =
=
=
⟺
⟺
b. Karena =
=
=
= ⟺ = ⟺ ⟺ ⟺
= 2 = 6×1 DE = = 3
=
⟺
4+
= 5×2
⟺
EC = 10 – 4 = 6
Jadi panjang DE = 3 cm
Jadi panjang EC = 6 cm
7
4. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Contoh 5 Perhatikan gambar di samping ! Tentukan nilai : a. nilai p b. nilai q c. nilai r
INGAT C D
= = =
× × ×
B
A Pembahasan: b. DA2 = BD × DC ⟺ q2 = 32 x 18 ⟺ q2 = 576 ⟺ q = 576 ⟺ q = 24 Jadi panjang AD = q = 24 cm
Diketahui BA2 = BD × BC 402 = 32 × (32 + p) 1600 = 32 × 32 + 32p 1600 = 1024 + 32p 1600 – 1024 = 32p 576 = 32 p 576 ⟺ p= = 18 32 Jadi panjang CD = p = 18 cm a. ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ ⟺
c. CA2 = CD × CB ⟺ r2 = 18 x 50 ⟺ r2 = 900 ⟺ r = 900 ⟺ r = 30 Jadi panjang AC = r = 30 cm
4. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Contoh 6 Perhatikan gambar di samping! Tentukan nilai : a. nilai n b. nilai m
INGAT m
×
=
+ +
×
a n
b
Pembahasan:
a.
EF =
⟺
n
=
⟺
n
=
⟺
n
=
(
× ( ×
) ( ) (
= 16
Jadi panjang EF = n = 16 cm
×
×
×
)
b.
EF =
×
)
⟺
16
=
⟺
16
=
⟺ ⟺ ⟺ ⟺
16( 8 + m) = 6m + 168 128 + 16m = 6m + 168 16m – 6m = 168 – 128 10m = 40
⟺
m
=
×
×
=4
Jadi panjang DE = m = 4 cm
8
4. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Hubungan antara luas bangun dengan panjang sisi antar segitiga yang sebangun
Contoh 7 Perhatikan gambar di samping ! Diketahui panjang BC = 12m, CE = 3m, dan DE = 4m. Jika ∆ABC dan ∆DEC sebangun, a. Tentukan lebar sungan AB! b. Tentukan perbandingan luas ∆ABC dan ∆DEC! c. Tentukan hubungan perbandingan sisi dan perbandingan luas ∆ABC dan ∆DEC!
Pembahasan: a. Diketahui BC=12 m, CE=3m, DE=4m Dengan sifat perbandingan sisi sebangun DE CE = AB BC 4 3 = AB 12 ⟺ 3 × AB = 4 × 12 4 ⟺ AB = × 12 3 ⟺ AB = 4 × 4 ⟺ AB = 16
b. Luas ∆ABC = × alas × tinggi 1 = × BC × AB 2 1 = × 12 × 16 2 = 96 Luas ∆DEC =
× alas × tinggi 1 = × CE × DE 2 1 = ×3×4 2 =6
Jadi lebar sungai AB adalah 16m
4. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Perbandingan ∆ ABC dan ∆ DEC adalah 6 1 = ⟺ atau 1: 16. 96 16 Sisi yang bersesuaian ∆ ABC dan ∆ DEC DE 4 1 = = AB 16 4 CE 3 1 = = BC 12 4 c. Hubungan perbandingan sisi dan luas pada ∆ABC dan ∆DEC adalah 1: 4 = 1: 16 1: 4 = 1: 4
Hubungan antara luas bangun dengan panjang sisi antar segitiga yang sebangun
Contoh 8 Perhatikan gambar di samping ! Diketahui luas ∆DGE = 64cm , panjang DG = 8cm, EF = 20cm a. Tentukan panjang EG! b. Tentukan perbandingan luas ∆DGF dan ∆DGE! c. Tentukan perbandingan sisi yang bersesuaian pada ∆DGF dan ∆DGE! d. Carilah hubungan perbandingan sisi dan luas pada ∆DGF dan ∆DGE!
Pembahasan: a. Pada ∆DGE, Diketahui luas ∆DGE = 64 cm Luas ∆DGE= × alas × tinggi 1 64 = × EG × DG 2 1 64 = × EG × 8 2 64 = EG × 4 64 EG = 4 EG = 16 Panjang EG adalah 16 cm.
Luas ∆DGE = 64cm (diketahui) Panjang FG = EF − EG = 20cm − 16cm = 4 cm Luas ∆DGF =
× alas × tinggi 1 = × DG × FG 2 1 = ×8×4 2 = 16cm b. Perbandingan luas ∆DGF ∶ Luas ∆DGE 16 1 = = ⟺ 1: 4 64 4
d. Perbandingan sisi yang bersesuaian pada ∆DGF dan ∆DGE adalah FG 4 1 = = DG 8 2 DG 8 1 = = EG 16 2 Perbandingan sisi yang bersesuaian pada ∆DGF dan ∆DGE adalah 1: 2. e. Hubungan perbandingan sisi dan luas pada ∆DGF dan ∆DGE adalah 1: 2 = 1: 4 1: 2 = 1: 2
9
KEKONGRUENAN PADA SEGITIGA
1. PENGERTIAN DUA SEGITIGA KONGRUEN 2. SYARAT DUA SEGITIGA KONGRUEN
A. Ketiga sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (S-S-S) B. Dua Sisi yang Bersesuaian Sama Besar dan Sudut yang Diapitnya Sama Besar (S-Sd-S) C. Satu Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang dan Dua Sudut yang Terletak pada Sisi itu Sama Besar (Sd-S-Sd) D. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Satu Sisi di Hadapan Salah Satu Sudut Sama Panjang (Sd-Sd-S)
3. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. PENGERTIAN DUA SEGITIGA KONGRUEN
Benda-benda berikut sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Karena bentuknya sama persis (bentuk dan ukuran sama) maka disebut benda kongruen.
Lalu kapan suatu benda dikatakan tidak kongruen? T R P
Q
S
P AD K M C
BE
F
R
L Q
Desain pada bangunan memiliki bentuk pola segitiga dan ukuran yang sama. Gambar di atas merupakan contoh pasangan segitiga kongruen.
Contoh bukan kongruen. Karena merupakan contoh pasangan segitiga sebangun.
10
1. PENGERTIAN DUA SEGITIGA KONGRUEN ●
Dua pasang segitiga di samping memiliki bentuk dan ukuran yang sama.
B
E
Setiap sudut yang bersesuaian sama besar. ∠ =∠ ∠
=∠
A
∠ =∠
C D
F
Setiap sisi yang bersesuaian sama panjang (perbandingan sisinya samadengan satu).
● ●
= =
Dua segitiga saling menutupi dengan tepat disebut kongruen. Konguren dilambangkan dengan “≅” sehingga dapat ditulis
=
∆
≅∆
Dua segitiga atau lebih dikatakan kongruen atau tidak jika memenuhi salah satu syarat berikut : a. Ketiga panjang sisi yang bersesuaian sama panjang (S-S-S) b. Dua sisi yang bersesuaian sama besar dan sudut yang diapitnya sama besar (S-Sd-S) c. Satu sisi yang bersesuaian sama panjang dan dua sudut yang terletak pada sisi itu sama besar (Sd-S-Sd) d. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi di hadapan salah satu sudut sama panjang (Sd-Sd-S atau S-Sd-Sd)
1. PENGERTIAN DUA SEGITIGA KONGRUEN Gambar di samping menunjukkan sebuah ∆ABC yang direfleksikan atau dicerminkan terhadap garis PQ. Bayangan dari ∆ABC tersebut adalah ∆A B C . Pada ∆ABC dan ∆A B C , sisi- sisi yang bersesuaian sama panjang, begitu pun sudut-sudut yang bersesuaian juga sama besar. Hal ini berarti ∆ABC kongruen dengan ∆A B C , ditulis ∆ABC ≅ ∆A B C
Gambar di samping ∆ABC di translasikan atau digeser ke kanan sehingga ∆ABC tepat menutupi atau berimpit dengan ∆DEF. Dengan demikian ∆ABC kongruen dengan ∆DEF, ditulis ∆ABC ≅ ∆DEF
Pada gambar tersebut, dua pasang segitiga yang kongruen adalah sebagai berikut 1. ∆ ≅∆ , maka a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang yaitu AB = PQ, BC = PR, dan AC = QR, serta b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar yaitu ∠A = ∠Q, ∠B = ∠P, dan ∠C = ∠R 2. ∆KLM ≅ ∆XYZ, maka a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang yaitu KL = YZ, LM = XY, dan KM = XZ, serta b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar yaitu ∠K = ∠Z, ∠L = ∠Y, dan ∠M = ∠X
11
2. SYARAT DUA SEGITIGA KONGRUEN C. Satu sisi yang bersesuaian sama panjang dan dua sudut yang terletak pada sisi itu sama besar (Sd-S-Sd)
A. Ketiga panjang sisi yang bersesuaian sama panjang (S-S-S) C
B
A
Q (sisi)
=
(sisi)
=
(sisi)
∠
∠
B. Dua sisi yang bersesuaian sama besar dan sudut yang diapitnya sama besar (S-Sd-S)
C
R ∠ B Q
A
P
= ∠
(sudut)
=
(sisi)
=∠
(sudut)
P
D. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi di hadapan salah satu sudut sama panjang (Sd-Sd-S)
=
(sisi)
= ∠
(sudut)
=
(sisi)
3. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Q
B
A
P
=
R
C
R
C
A
R
B Q
P
∠
= ∠
(sudut)
∠
=∠
(sudut)
=
(sisi)
A. Ketiga panjang sisi yang bersesuaian sama panjang (S-S-S)
Contoh 1a
Pembahasan:
Tunjukkan bahwa segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR!
Pada gambar di samping : AB = PQ sisi BC = QR sisi CA = RP (sisi) Jadi, ∆ ABC dan ∆ PQR kongruen (s,s,s)
Contoh 1b
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut! Diketahui ∆PQR ≅ ∆STU, Tentukan panjang SU!
Diketahui ∆PQR ≅ ∆STU, maka Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang yaitu SU = PR = 9 cm, Jadi panjang SU adalah 9 cm
12
B. Dua sisi yang bersesuaian sama besar dan sudut yang diapitnya sama besar (S-Sd-S)
3. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Contoh 2a
Pembahasan:
Tunjukkan bahwa ∆ DEF kongruen dengan ∆ KLM!
Pada gambar di samping DE = KL (sisi) ∠D = ∠K (sudut) DF = KM (sisi) Jadi, ∆ DEF dan ∆ KLM kongruen (s,sd,s)
Contoh 2b
Pembahasan:
Perhatikan gambar di bawah! Diketahui LN = MN a. Buktikan bahwa ∆ ≅ ∆ b. Sebutkan pasangan sudut yang sama besar
a.
Perhatikan ∆ ≅ ∆ , Diketahui LN = MN Pada gambar, ∠ = ∠ = 900 (siku-siku) KN = KN (berimpit) Karena kedua segitiga memiliki 2 sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit sama besar, maka terbukti bahwa kedua segitiga itu kongruen atau ∆ ≅ ∆
3. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Pembahasan:
Tunjukkan bahwa ∆ KLM kongruen dengan ∆ ABC
Pada gambar di samping : ∠ K = ∠ A (sudut) KL = AB (sisi) ∠ L = ∠ B (sudut) Jadi ∆ KLM dan ∆ ABC kongruen (sd,s,sd)
Contoh 3b
Pembahasan: =∠
= 900
Pasangan sudut yang sama besar adalah : ∠ = ∠ = 900 (siku-siku) ∠ = ∠ dan ∠ = ∠ Karena segitiga samakaki, LN = MN
C. Satu sisi yang bersesuaian sama panjang dan dua sudut yang terletak pada sisi itu sama besar (Sd-S-Sd)
Contoh 3a
Perhatikan gambar di bawah! Diketahui∠ =∠ dan∠ Buktikan bahwa ∆ ≅ ∆
b.
∠KMN = ∠LMN dan ∠KNM = ∠LNM MN = MN ( berimpit ) Karena ∆KMN dan ∆LMN memiliki satu sisi yang bersesuaian sama panjang yaitu MN = MN dan dua sudut yang terletak pada sisi itu sama besar, yaitu ∠KMN = ∠LMN dan ∠KNM = ∠LNM, maka terbukti bahwa kedua segitiga itu kongruen atau ∆KMN ≅ ∆LMN.
13
3. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
C. Satu sisi yang bersesuaian sama panjang dan dua sudut yang terletak pada sisi itu sama besar (Sd-S-Sd)
Contoh 3c
Pembahasan:
Pada gambar di bawah, ∠AEB = ∠CED dan AE = CE a. Tunjukkan bahwa ∆ ABE dan ∆CDE kongruen. b. Sebutkan pasangan sisi yang sama.
a.
3. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Pada ∆ ABE dan ∆ CDE : ∠ A = ∠ C (sudut) AE = CE (sisi) ∠AEB = ∠CED (sudut bertolak belakang) Jadi ∆ABE dan ∆CDE kongruen (sd,s,sd)
b. AB=CD BE=DE AE=CE
D. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi di hadapan salah satu sudut sama panjang (Sd-Sd-S)
Contoh 4a
Pembahasan:
Tunjukkan bahwa ∆ ABC kongruen dengan ∆ PQR
Pada gambar di samping : ∠ A = ∠ P (sudut) ∠ B = ∠ Q (sudut) AC = PR (sisi) Jadi, ∆ABC dan ∆PQR kongruen (sd,sd,s)
Contoh 4b
Pembahasan:
Perhatikan gambar di samping! Diketahui AB = BE dan ∠ = ∠ a. Buktikan bahwa ∆ ≅ ∆ b. Sebutkan pasangan sisi yang sama panjang
a.
Perhatikan ∆ dan ∆ , AB = BE ∠ = ∠ ∠ = ∠ (bertolak belakang) Jadi ∆ ≅ ∆ (sd-sd-s)
b.
Pasangan sisi yang sama panjang adalah : AB = BE AC = ED BC = BD
14
3. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
D. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi di hadapan salah satu sudut sama panjang (Sd-Sd-S)
Contoh 4a
Pembahasan:
Tunjukkan bahwa ∆ ABC kongruen dengan ∆ PQR
Pada gambar di samping : ∠ A = ∠ P (sudut) ∠ B = ∠ Q (sudut) AC = PR (sisi) Jadi, ∆ABC dan ∆PQR kongruen (sd,sd,s)
Contoh 4b
Pembahasan:
Perhatikan gambar di samping! Diketahui AB = BE dan ∠ = ∠ a. Buktikan bahwa ∆ ≅ ∆ b. Sebutkan pasangan sisi yang sama panjang
a.
3. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Contoh 4c Perhatikan gambar berikut! Jika∠BAC = ∠DAC. Buktikan ∆ABC dan ∆ADC kongruen.
Contoh 4d Perhatikan gambar di samping! Diketahui ∆ABC ≅ ∆DEF, tentukan nilai p
Perhatikan ∆ dan ∆ , AB = BE ∠ = ∠ ∠ = ∠ (bertolak belakang) Jadi ∆ ≅ ∆ (sd-sd-s)
b.
Pasangan sisi yang sama panjang adalah : AB = BE AC = ED BC = BD
D. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi di hadapan salah satu sudut sama panjang (Sd-Sd-S) Pembahasan: Pada ∆ABC dan ∆ADC berlaku AC = AC berhimpit ∠BAC = ∠DAC (diketahui) ∠ABC = ∠ADC besar sudutnya 90 Jadi, ∆ABC dan ∆ADC kongruen (sisi, sudut, sudut)
Pembahasan: Panjang AB = DE = 6 cm, panjang AC = DF = 8,5 cm ∠BAC = 680 dan ∠DEF = 700 ∆ABC ≅ ∆DEF, maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar ∠EDF = ∠BAC = 68 Dalam ∆DEF berlaku ∠DEF + ∠EDF + ∠DFE = 1800 ⟺ 700 + 680 + ∠DFE = 1800 ⟺ 1380 + ∠DFE = 1800 ⟺ ∠DFE = 1800 – 1380 ⟺ ∠DFE = 420 Jadi nilai p = 420
15
PENERAPAN KONSEP KESEBANGUNAN DALAM PEMECAHAN MASALAH
Contoh 1 Seorang anak yang tingginya 150 cm mempunyai panjang bayangan 2, 5 m diatas tanah mendatar, sedangkan sebuah tiang bendera mempunyai bayangan sepanjang 4,5 m. Hitunglah tinggi tiang bendera sebenarnya.
Pembahasan: Perhatikan ∆ADE dan ∆ABC Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah = = =
=
⟺
Perhatikan gambar di atas! Misalkan DE = tinggi anak = 150 cm AE = panjang bayangan anak = 2,5 m = 250 cm AC = panjang bayangan tiang bendera = 4,5 m = 450 cm BC = tinggi tiang bendera
⟺
=
⟺ 5 × AB = 9 × 150 9 × 150 ⟺ AB = 5 ⟺ AB = 270 Jadi tinggi tiang bendera sebenarnya adalah 270 cm atau 2,7 m
PENERAPAN KONSEP KESEBANGUNAN DALAM PEMECAHAN MASALAH
Contoh 2 Sebuah tiang yang tingginya 3 m memiliki bayangan sepanjang 4m. Apabila sebuah pohon memiliki bayangan sepanjang 24 m, hitunglah tinggi pohon sebenarnya
Pembahasan: Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah : tinggi tiang tinggi pohon = bayangan tiang bayangan pohon
= ⟺ 4 × t = 3 × 24 Perhatikan gambar di atas! Diketahui : tinggi tiang = 3 m tinggi pohon = t panjang bayangan tiang = 4 m, panjang bayangan pohon 24 m
⟺
t=
×
⟺ t = 18 Jadi tinggi pohon adalah 18 m
16
PENERAPAN KONSEP KESEBANGUNAN DALAM PEMECAHAN MASALAH
Contoh 3
Pembahasan:
Budi ingin mengetahui lebar sungai. Di seberang sungai terdapat pohon E. Untuk itu ia menancapkan tongkat pada posisi A,B,C dan D dengan ukuran seperti gambar. Jika Budi ingin mengukur lebar sungai dari tongkat D sampai pohon E. Berapa lebar sungai tersebut?
Perhatikan ∆ dan ∆ Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah =
=
= ⟺ ⟺
= =
⟺ 8× = 6( + 4) ⟺ 8× = (6 × ) + (6 × 4) ⟺ 8 = 6 + 24 ⟺ 2 = 24 ⟺ = 24 ∶ 2 = 12 Jadi lebar sungai sebenarnya adalah 12 m.
PENERAPAN KONSEP KESEBANGUNAN DALAM PEMECAHAN MASALAH
Contoh 4
Pembahasan:
Dua tangga bersandar pada sebuah gedung dengan sudut kemiringan yang sama, seperti pada gambar di samping. Tentukan panjang tangga yang pendek
Perhatikan gambar! Misal : tangga panjang = A tangga pendek = B Maka : Panjang tangga A = 18 m, Tinggi tembok A = 12 m Panjang tangga B = p m Tinggi tembok B = 5 m Perbandingan sisi-sisi yang sebanding adalah : = = ⟺ 12 × = 18 × 5 × ⟺ p= = ⟺ p = 7,5 Jadi panjang tangga B adalah 7,5 m
17
PENERAPAN KONSEP KESEBANGUNAN DALAM PEMECAHAN MASALAH
Contoh 5
Pembahasan:
Gambar di samping menunjukkan sebuah tongkat yang disandarkan pada dinding. Ujung tongkat bagian atas terletak 75 cm di atas tanah, sedangkan ujung bawahnya berjarak 30 cm dari dinding. Di titik C, tongkat itu menyinggung tepi sebuah kotak BDEC. a. Buktikan bahwa ∆ ,∆ ,∆ sebangun b. Jika tinggi BC = 35 cm, hitunglah panjang CE c. Jika panjang CE = 20 cm, hitunglah tinggi BC
a.
Perbandingan sisi-sisi yang sesuai adalah : = = Karena sisi-sisi yang sebanding besarnya sama, maka kedua bangun itu sebangun
b. Perhatikan gambar di samping ! Jika BC = 35 cm, maka EF = 40 cm = = ⟺ ⟺ ⟺
75 × = 40 × 30 CE = 1200 : 75 CE = 16, Jadi panjang CE = 16 cm
c. Perhatikan gambar di samping ! Jika CE = 20 cm, maka AB = 10 cm = = ⟺ ⟺ ⟺
30 × = 75 × 10 BC = 750 : 30 BC = 25, Jadi panjang BC = 25 cm
PENERAPAN KONSEP KESEBANGUNAN DALAM PEMECAHAN MASALAH
Contoh 6
Pembahasan:
Dua mahasiswa teknik sipil Agung dan Ali ingin memperkirakan tinggi suatu bukit terhadap posisinya berdiri yang tidak jauh dari bukit itu. Mereka menggunakan bantuan peralatan laser yang dipasang pada sebuah tongkat penyangga setinggi 3 dari permukaan tanah. Agung mengamati puncak bukit melalui alat tersebut dan diperoleh garis pandang ke puncak bukit adalah 1.540 . Ali berbaring di tanah, memandang ke arah ujung peralatan tersebut dan puncak bukit sehingga tampak sebagai garis lurus. Posisi mata Ali adalah 4 dari tongkat penyangga. Ilustrasi dapat dilihat pada gambar berikut. 1540 m
Perhatikan sketsa gambar berikut. 3m
Perkiraan tinggi bukit tersebut adalah ....
t
4m
Panjang
dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras. = + = 4 +3 = 16 + 9 = 25 ↔ =5
Dengan menggunakan prinsip kesebangunan pada segitiga siku-siku ABC dan AED, yaitu memakai perbandingan panjang hipotenusa dan tinggi segitiganya, diperoleh
3m 4m
1540 m
= 3
5 5 + 1540 3 1 = 309 = 3 × 309 =
= 927
18