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58

Funciones de transferencia de sistemas LTI Como ya conocemos la salida de un sistema LTI en el tiempo (en reposo) para una secuencia de entrada x(n) se podía obtener como la convolución de esa secuencia de entrada x(n) con la respuesta al impulso del sistema.

La propiedad de la convolución

nos permite expresar esta relación en el dominio de z como:

Y(z) = H(z) X(z)

ec. 2. 89

donde Y(z) es la transformada z de la secuencia de entrada y(n), X(z) es la transformada z de la secuencia de entrada x(n), y H(z) es la transformada z de la respuesta al impulso h(n).

Si conocemos x(n) y obtenemos la salida del sistema podemos determinar la respuesta al impulso del sistema obteniendo en primer lugar H(z) con:

H ( z) =

∞

∑ n(n) z

−n

ec. 2.90

n = −∞

luego si le aplicamos la transformada inversa de z a este sistema podemos obtener su caracterización correspondiente al dominio del tiempo.

Mientras que H(z) que

representa la caracterización del sistema en el dominio de z se le conoce con el nombre de función de transferencia del sistema.

Si se ha expresado la ecuación de diferencias del sistema LTI como:

N

M

k =1

k =0

y( n ) = − ∑ a k y( n − k ) + ∑ bk x ( n − k )

Capítulo II

ec. 2.91

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59

tendremos como estructura de la función de transferencia del sistema la siguiente:

M

H ( z) =

∑b z k =0 N

−k

k

1 + ∑ ak z

ec. 2.92 −k

k =1

2.3.4 La transformada z inversa Con frecuencia tenemos las señales o bien los sistemas discretos descritos en función de la transformada z y no es necesario volver al dominio del tiempo.

Por tal

razón se nos hace necesario como lograr esta transformación.

La operación que devuelve una función de z al tiempo se conoce con el nombre de transformada inversa de z y esta definida por:

x( n) =

1 X ( z ) z n −1 dz 2πj ∫C

ec. 2.93

donde la integral es una integral de contorno sobre el camino cerrado C que encierra al origen y se encuentra en la región de convergencia de X(z). Para obtener la transformada z inversa se supone, generalmente, que la secuencia de tiempo x(nT) o x(n) es cero para k < 0.

Entre los métodos más utilizados para obtener la transformada z inversa tenemos:

Método de la división directa: En este método la transformada z inversa se obtiene mediante la expansión de X(z) en una serie infinita de potencia de z-1.

Este método es apropiado para una

expresión en forma cerrada para la transformada z inversa o se desea encontrar sólo algunos de los primeros términos de x(k).

Capítulo II

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60

Este método se basa en el hecho de que: ∞

X ( z ) = ∑ x (kT ) z − k

ec. 2.94

k =0

aunque este método sólo otorga valores discretos y no una expresión generalizada de la secuencia, el mismo puede ser útil en distintas aplicaciones que sólo requieren una aproximación de la señal final.

Método de la integral de inversión: Otro método empleado para la obtención de la transformada inversa de z es utilizar el teorema del residuo de Cauchy:

La aplicación de este teorema nos dio por

resultado la ec. 2.93, que desarrollada para la transformada z inversa obtenemos:

x( n) =

1 X ( z ) z n −1 dz = ∑ ( z − z i ) X ( z ) z n −1 | z = zi ∫ C 2πj i

siempre que los polos zi sean simples.

ec. 2.95

Si X(z)zn-1 no tiene polos dentro del contorno C

para uno o más valores de n, entonces x(n) = 0 para esos valores.

Método de expansión en fracciones parciales: Este método es idéntico al utilizado para calcular transformada inversa de Laplace.

Para este método intentamos expresar la función X(z) como una combinación

bilineal de la forma: X(z) = α1X1(z) +α α2X2(z) + ... +α αkXk(z)

ec. 2.96

donde X1(z), X2(z), ... ¸ Xk(z) son expresiones con transformadas inversas x1(n), x2(n), ... , xk(n) disponibles en una tabla de pares de transformadas z. Si dicha descomposición es

Capítulo II

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61

posible podemos entonces encontrar x(n) a partir de la transformadas inversas de z de X(z) aplicando la propiedad de linealidad, de manera que: x(n) = α1x1(n) +α α2x2(n) + ... +α αkxk(n)

ec. 2.97

Adicionalmente, a estos tres métodos para el cálculo de la transformada z inversa, existen diversos programas para computadoras que pueden realizar el cálculo de estas funciones.

Por ejemplo, el software MATLAB de la compañía MATHWORKS posee

diversas herramientas para la obtención de la transformada z y su inversa.

2.3.5 La transformada z de funciones elementales En esta sección daremos un resumen de transformadas z de señales elementales, algunas tratadas en la sección 2.2.1.1. Si necesita conocer otra transformada z adicional puede ver la tabla 2.

Función escalon unitario

X( z ) =

z z−1

ec. 2.98

X ( z) =

Tz ( z − 1) 2

ec. 2.99

Función rampa unitaria

donde T es el periodo de muestreo.

Capítulo II

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62

Función polinomial an Sea a n , para n ≥ 0 x( n ) =  0 , para n < 0

ec. 2.100

donde a es una constante. De esta forma tenemos que: X( z ) =

z z−a

ec. 2.101

Función exponencial Sea e − at , x( t ) =  0 ,

para t ≥ 0

ec. 2.102

para t < 0

donde a es una constante y T es el periodo de muestreo; por tanto: x(nT ) = e − ant

ec. 2.103

de forma que: X( z ) =

z z − e -aT

ec. 2.104

Función senoidal Sea  sen ωt , para t ≥ 0 x( t ) =  0 , para t < 0

ec. 2.105

de esta manera tenemos que X( z ) =

z sen ωT z − 2 z cos ωT + 1 2

siendo T el periodo de muestreo.

Capítulo II

ec. 2.106

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63

2.3.6 Solución de ecuaciones en diferencia utilizando la transformada z

La utilidad de la transformada z y su inversa es que permite obtener la expresión de la función y(k) (salida del sistema). Los pasos para la solución de estos sistemas son: •

Obtener la transformada z de la ecuación de diferencias que relaciona la entrada (x(n)) y la salida (y(n))del sistema. Para ésto utilice las propiedades de linealidad y retardo en el tiempo; la tabla 3 ya tiene el desarrollo de las ecuaciones en diferencia aplicando estas propiedades.

•

Encontrar la función Y(z) en función de ella misma y X(z).

•

Aplique luego la transformada z inversa. De esta forma obtendrá la salida del sistema y(n) en función de la salida y entrada al sistema.

Función discreta

Transformada z

x(n + 4)

z4X(z) – z4x(0) – z3x(1) – z2x(2) - zx(3)

x(n + 3)

z3X(z) – z3x(0) – z2x(1) – zx(2)

x(n + 2)

z2X(z) – z2x(0) – zx(1)

x(n + 1)

zX(z) – zx(0)

x(n)

X(z)

x(n - 1)

z-1[ zx(-1) + X(z)]

x(n - 2)

z-2[ z2x(-2) + zx(-1) + X(z)]

x(n - 3)

z-3[ z3x(-3) + z2x(-2) + zx(-1) + X(z)]

x(n - 4)

z-4[ z4x(-4) + z3x(-3) + z2x(-2) + zx(-1) + X(z)]

Tabla 3. Transformada z de x(n + m) y x(n - m).

Capítulo II

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64

Generalmente Y(z) es de la forma:

N

L Ak Qk + ∑ −1 −1 k =1 1 − pk z k =1 1 − q k z

Y( z ) = ∑

ec. 2.107

de manera que:

N

L

k =1

k =1

y( n ) = ∑ Ak ( p k )n u( n ) + ∑ Q k ( q k ) n u( n )

ec. 2.108

donde podemos observar dos partes; la primera parte es conocida como respuesta natural del sistema; y la segunda como respuesta forzada del sistema.

Cabe destacar que los

factores de escala Ak y Qk son funciones de ambos conjuntos de polos pk y qk.

De manera similar se puede dividir la respuesta del sistema en dos. Una cuando las condiciones iniciales del sistema son nulas y la otra es tomando en consideración las condiciones iniciales. De esta manera la respuesta seria:

y(n) = yzs(n) + yzi(n)

ec. 2.109

Donde yzs(n) representa la respuesta con condiciones nulas, conocida como respuesta a régimen permanente;

e yzi(n) que representa la respuesta tomando las

condiciones iniciales como no nulas. Si la señal de entrada tiene todos sus polos dentro del círculo con radio unitario los efectos de las condiciones iniciales sólo afectan a la respuesta dadas por Ak de la ec. 2.108; por tal motivo no afectan a la respuesta forzada del sistema.

Adicional a este análisis es de destacar que cuando un polo tiene la misma posición que un cero, el polo se cancela con el cero y desaparece el término que contiene ese polo en la transformada inversa de z. Esta propiedad es muy utilizada en el diseño y análisis de sistemas discretos; sin embargo, ya que la ubicación inexacta del cero que

Capítulo II

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65

cancela al polo trae problemas de estabilidad o de grandes errores; por tanto se recomienda evitarlo sin embargo si es necesario implementarlo debe hacerse de la manera más precisa y adecuada posible.

22..44

A AN NA AL LIISSIISS FFR RE EC CU UE EN NC CIIA AL LE EN NT TIIE EM MPPO OD DIISSC CR RE ET TO O

En secciones anteriores hemos visto las relaciones matemáticas utilizadas para analizar y diseñar sistemas que respondan a un tipo de salida en función de la señal de entrada. Sin embargo, todas estas funciones responden a características del tiempo de las señales de salida y entrada, sin darnos información sobre las propiedades en frecuencia de estas señales.

Por tal motivo esta sección se dedicará a enunciar los conceptos más trascendentales de la respuesta en frecuencia de los sistemas y señales que operan en el dominio del tiempo discreto. Esta información es de gran relevancia en nuestra labor ya que para el diseño de los filtros es necesario conocer la respuesta en frecuencia del sistema.

2.4.1 Características generales del analisis frecuencial en tiempo continuo Debido a que los sistemas análogos fueron los primeros en desarrollarse en el campo electrónico muchas de las herramientas (expresiones matemáticas) de diseño y análisis discreto parten de su equivalente en el mundo análogo. Por esta razón daremos un breve repaso a las relaciones fundamentales que rigen el mundo análogo en cuanto análisis en frecuencia se refiere.

Series de Fourier de señales periódicas en tiempo continuo La representación matemática básica de señales periódicas no senoidales es la serie de Fourier que es una suma ponderada de senoidales relacionadas armónicamente.

Capítulo II

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66

Una combinación lineal de exponenciales complejas relacionadas armónicamente es de la forma:

x (t ) =

∞

∑c e

k = −∞

j 2πkF0t

ec. 2.110

k

la cual es una señal periódica de periodo fundamental Tp = 1/F0.

Así que podemos

asumir como los bloques básicos utilizados para construir diferentes tipos de señales periódicas escogiendo las frecuencias adecuadas y los coeficientes ck.

El periodo

fundamental de x(t) es F0 y los coeficientes ck especifican la forma de la onda. Por tanto podemos construir toda señal periódica de tiempo continuo a partir de la ec. 2.110 denominada serie de Fourier. Para lo cual las constantes ck deben cumplir con:

ck =

1 Tp

∫

Tp

x(t )e − j 2πkF0t dt

ec. 2.111

Para poder ser representadas las señales periódicas en series de Fourier deben cumplir con las siguientes tres condiciones: •

La señal x(t) tienen un número finito de discontinuidades en cualquier periodo.

•

La señal x(t) contiene un número finito de máximos y mínimos en cualquier periodo.

•

La señal x(t) es absolutamente sumable integrable en cualquier periodo, por tanto:

∫

Tp

| x ( t ) | dt < ∞

ec. 2.112

estas condiciones son conocidas como condiciones de Dirichlet y garantizan que la serie utilizada para calcular los coeficientes sea igual a x(t), excepto en aquellos de t en los que x(t) es discontinua. Estas condiciones son suficientes pero no necesarias.

Capítulo II

Trabajo de Graduación Francisco J. García Castillo

67

Es posible también el expresar esta serie como se muestra a continuación: ∞

x(t ) = c0 + 2∑ | ck | cos(2πkF0t + θ k )

ec. 2.113

k =1

para la cuál los coeficientes ck y c-k son complejos conjugados, y pueden escribirse como: c k =| c k | e jθ k c − k =| c k | e − jθ k θ k = ∠c k

Otra forma de expresar la serie es por medio de la sumatoria de senos y cosenos relacionados armónicamente, como se muestra a continuación: ∞

x(t ) = a0 + ∑ (a k cos 2πkF0 t −b k sen 2πkF0 t )

ec. 2.114

k =1

donde: a 0 = c0 a k = 2 | c k | cos θ k bk = 2 | c k | senθ k

Densidad espectral de potencia de señales periódicas Una señal periódica tiene energía infinita y potencia finita media dada por:

Px =

1 Tp

∫

Tp

| x ( t ) | 2 dt

ec. 2.115

la cual expresada en términos de la serie de Fourier esta dada por:

Px =

1 Tp

∫

Tp

| x (t ) |2 dt =

∞

∑| c

k = −∞

Capítulo II

k

|2

ec. 2.116

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68

denominada relación de Parseval para señales de potencia.

De esta ecuación podemos

concluir pues que la potencia media total de la señal periódica es la suma de las potencias medias de sus armónicos. Es práctica común graficar |ck|2 en función de las frecuencias kF0 = 0, ±1, ±2, ..., este diagrama nos muestra cómo se reparte la potencia de l a señal periódica entre sus distintas componentes en frecuencia. Un ejemplo de este diagrama lo podemos ver en la figura siguiente.

Fig. 17 Ejemplo de un diagrama de densidad espectral de potencia

Este diagrama mostrado se conoce como densidad espectral de potencia de la señal periódica x(t). Como podemos observar la potencia sólo existe para determinados valores discretos de frecuencia relacionados k del periodo fundamental de la onda (Tp). Por tanto el espaciado entre ondas es un múltiplo de F0 mientras que la forma de este espectro queda determinado por las características de la señal en el tiempo.

Basándonos en la notaciones alternas de la serie de Fourier, tenemos que la potencia media de una señal también esta dada por las siguientes relaciones: ∞

Px = c02 + 2∑ | ck |2 = a02 + k =1

1 ∞ 2 2 (a k + bk ) ∑ 2 k =1

Capítulo II

ec. 2.117

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69

donde ak, bk,y ck son los coeficientes de la serie de Fourier definidos con anterioridad. Cabe destacar que el espectro de potencia es una función simétrica (par) respecto al origen y que el espectro de fase es una función impar, debido a que los ck son complejos conjugados; por tal motivo generalmente sólo se representa el lado positivo de la frecuencia.

Transformada de Fourier de señales aperiódicas en tiempo continuo Si tenemos una señal periódica xp(t), como la de la fig. 2.14b , es posible crear una señal aperiódica x(t), como la de la fig. 2.14a , si en el límite el periodo de la señal periódica tiende a infinito, es decir x(t ) = lim x p (t ) T

ec. 2.118

→∞

p

de esta forma podemos obtener el espectro en frecuencia de la señal x(t) a partir de xp(t) si hacemos que Tp → ∞.

Definamos ahora la transformada de Fourier X(F) de una señal en tiempo continuo aperiódica como: ∞

X (F ) =

∫ x(t )e

− j 2πFt

dt

ec. 2.119

dF

ec. 2.120

−∞

y su transformada inversa respectiva como:

x (t ) =

∞

∫ X ( F )e

j 2πFt

−∞

Es importante anotar que la diferencia entre la Serie de Fourier y la transformada de Fourier es que el espectro del último es continuo, debido a que periodo de la onda

Capítulo II

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70

periódica usada para su construcción tiende a infinito. Por tal motivo la síntesis de una señal aperiódica a partir de su espectro lleva a cabo una integración en vez de una sumatoria.

Podemos agregar que la transformada de Fourier es posible expresarla también en términos de la variable en frecuencia Ω = 2π ; y debido a que dF= dΩ Ω /2 2 π la expresión queda dada por:

1 x( t ) = 2π X(Ω ) =

∞

∫ X ( Ω )e

jΩt

dΩ

−∞

∞

∫ x( t )e

− jΩt

dt

ec. 2.121 ec. 2.122

−∞

Las condiciones de Dirichlet que garantizan la existencia de la transformada de Fourier son las siguientes: •

La señal x(t) tiene un número finito de discontinuidades.

•

La señal x(t) tiene un número finito de máximos y mínimos.

•

La señal x(t) es absolutamente integrable, es decir: ∞

∫ | x( t ) | dt < ∞

ec. 2.123

−∞

Densidad espectral de energía de señales aperiódicas Sea x(t) una señal de energía finita con transformada de Fourier X(F), su energía esta dada por: ∞

E x = ∫ | x ( t ) | 2 dt −∞

que a su vez en términos de X(F) será:

Capítulo II

ec. 2.124

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71 ∞

E x = ∫ | X ( F ) | 2 dF

ec. 2.125

−∞

Esta relación de energía es conocida como la relación de Parseval para señales aperiódicas de energía finita y expresa el principio de conservación de la energía en los dominios del tiempo y la frecuencia. Se define Sxx(F) = |X(F)|2 como la densidad espectral de energía de la señal en función de la frecuencia y debido a que |X(F)| generalmente tiene aplicaciones prácticas para cantidades reales, la magnitud de Sxx(F) es de simetría par.

Fig. 18 Ejemplo de un diagrama de densidad espectral de energía para señales aperiódicas

2.4.2 Características generales del análisis frecuencial de señales en tiempo discreto Es el momento propicio para involucrarnos en el estudio general de las herramientas en frecuencia utilizadas para el análisis de señales discreta; por tal motivo esbozaremos los aspectos fundamentales de cada teorema relacionado con este tema.

Capítulo II

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72

En forma contraria a las señales de tiempo continuo, antes discutidas, las señales en tiempo discreto tienen un rango limitado en el intervalo (-π,π) ó (0, 2π).

Por tal

motivo si la señal tiene componentes en frecuencias espaciadas 2π/N radianes ó f =1/N ciclos, su representación en serie de Fourier contendrá un máximo de N componentes de frecuencia.

2.4.2.1 Teoremas fundamentales del análisis frecuencial de señales en tiempo discreto En esta sección expondremos de manera breve aquellas relacionadas estudiadas en la sección anterior, pero en esta ocasión aplicadas a señales discretas.

Series de Fourier de señales periódicas en tiempo discreto Sea una señal x(n) una secuencia periódica de periodo N, su representación en serie de Fourier queda dada por:

x( n) =

N −1

∑c e k =0

j 2πkn / N

k

ec. 2.126

donde ck esta dada por:

ck =

1 N

N −1

∑ x( n )e

− j 2πkn / N

ec. 2.127

n =0

La ec. 2.126 es conocida como serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS). Los coeficientes ck representan la amplitud y la fase asociada a la componente de frecuencia; estos coeficientes representan una serie periódica que se extiende fuera del rango k = 0, 1, ... , N – 1. De esta forma es de esperarse que el espectro de una señal x(n), que es periódica de periodo N, es una secuencia periódica N.

Capítulo II

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73

Densidad espectral de potencia de señales periódicas La potencia media de una señal periódica en tiempo discreto con periodo N se define como:

Px =

1 N

N −1

∑ | x( n ) |

2

ec. 2.128

n =0

Esta potencia en función de los coeficientes ck de la serie de Fourier están dados por: N −1

Px = ∑ | c k | 2

ec. 2.129

k =0

Como podemos ver la potencia media de la señal es la suma de las potencias medias de las componentes individuales en frecuencia. Esta relación se considera como la relación de Parseval para señales periódicas de tiempo discreto.

La secuencia |ck|2

para k= 0, 1, ... ,N-1 es la distribución de potencia en función de la frecuencia y se denomina densidad espectral de potencia de una señal periódica.

Fig. 19 Ejemplos de diagramas espectrales de potencia para señales periódicas Capítulo II

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74

Transformada de Fourier de señales aperiódicas en tiempo discreto La transformada de Fourier de una señal de energía infinita en tiempo discreto x(n) se define como:

X (ω ) =

∞

∑ x( n )e

− j ωn

ec. 2.130

n = −∞

Aquí X(ω) representa el contenido en frecuencia de x(n), por tanto X(ω) representa la descomposición de x(n) en sus componentes en frecuencia. Es posible expresar la función periódica X(ω) en función de ω como una serie de Fourier, la cual suponiendo que converja uniformemente nos brinda la expresión de la transformada inversa de Fourier, dada por:

x( n) =

1 2π

∫

2π

X (ω )e jωndω

ec. 2.131

la cual tiene la forma de una serie de Fourier.

La convergencia uniforme que supusimos para expresar la transformada inversa de Fourier esta completamente garantizada si x(n) es absolutamente sumable.

Densidad espectral de energía de señales aperiódicas en tiempo discreto. Conocemos que la energía de una señal x(n) esta definida como:

Ex =

∞

∑ | x (n ) |

2

n = −∞

y expresada en función de X(ω) esta dada por:

Capítulo II

ec. 2.132

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75

Ex =

1 2π

π

∫ ° | X (ω ) |

2

dω

ec. 2.133

−π

Si expresamos X(ω) en función de su magnitud y ángulo como: X(ω ω ) = | X(ω ω )| ejθθ(ωω)

ec. 2.134

θ(ω ω) = ∠ X(ω ω)

ec. 2.135

tendremos que la densidad espectral de energía de x(n), esta dada por: Sxx(ω ω) = | X(ω ω )|2

ec. 2.136

Donde debido a que la magnitud de X(ω) es par, Sxx(ω) también es par. Debido a lo cuál es sólo necesario la representación de esta en el intervalo 0 ≤ ω ≤ π.

Fig 20 Ejemplo de densidad de espectro de señales aperiódicas en tiempo discreto

Capítulo II

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76

2.4.2.2 Propiedades de la transformada de fourier En esta sección por medio de tablas haremos un resumen de las propiedades más empleadas en el análisis y diseño de sistemas empleando características en frecuencia. No se adentra mucho en ellas debido a que sólo las requerimos como herramientas de nuestros futura confección de sistemas.

Dentro de las propiedades más interesantes para las transformadas de Fourier se encuentran las propiedades de simetría, ya que suelen reducir de gran manera los cálculos. En la siguiente tabla presentamos el resumen de estas propiedades de simetría.

Secuencia

DTFT

x(n)

X(ω)

x*(n)

X*(-ω)

x*(-n)

X*(ω)

xR(n)

Xe(ω)= ½ [X(ω) + X*(-ω)]

jxI(n)

Xo(ω)= ½ [X(ω) - X*(-ω)]

xe(n)= ½ [x(n) - x*(-n)]

XR(ω)

xo(n)= ½ [x(n) - x*(-n)]

jXI(ω) Señales reales X(ω) = X*(-ω) XR(ω) = XR (-ω)

Cualquier señal real

XI(ω) = -XI (-ω)

x(n)

|X(ω)| = |X(-ω)| ∠X(ω) = -∠X(-ω)

xe(n)= ½ [x(n) + x(-n)]

XR(ω)

(real y par)

(real y par)

xo(n)= ½ [x(n) - x(-n)]

jXI(ω)

(real e impar)

(imaginaria e impar)

Tabla 4. Propiedades de simetría de la transformada de fourier en tiempo discreto. Capítulo II

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77

Esta transformada también posee cualidades como linealidad, escalado de la señal, retardo en el tiempo, etc..

En la siguiente tabla presentamos un resumen de estas

propiedades.

Propiedad

Dominio en el tiempo

Dominio en la frecuencia

x(n)

X(ω)

x1(n)

X1(ω)

x2(n)

X2(ω)

a1 x1(n) + a2 x2(n)

a1 X1(ω) + a2 X2(ω)

Desplazamiento temporal

x(n – k)

e-jωk X(ω)

Reflexión temporal

x ( -n )

X( -ω)

Convolución

x1(n) * x2(n)

X1(ω)X2(ω)

Correlación

rx1x2 (l)

Sx1x2(ω) = X1(ω)X2(-ω)

Notación

Linealidad

= X1(ω)X2*(ω) [si x2(n) es real] Teorema de

rxx (l)

Sxx(ω)

e jω 0 n x( n )

X(ω -ω0 )

x(n) cos ω0n

½ [X(ω+ω0) + X*(ω-ω0)]

Wiener – Khintchine Desplazamiento frecuencial Modulación Multiplicación

Diferenciación

x1(n)x2(n)

en

el

1 2π

nx(n)

π

∫X

1

( λ ) X 2 ( ω − λ )dλ

−π

j

dominio de la frecuencia x*(n)

Conjugación Teorema de Parseval

∞

dX ( ω ) dω X*(ω)

1 x1 ( n )x ( n ) = ∑ 2π n = −∞ * 2

π

∫ X ( ω )X 1

* 2

( ω )dω

−π

Tabla 5. Propiedades de la Transformada de Fourier de señales en tiempo discreto

Capítulo II