3.8 Límites en el infinito En ocasiones interesa considerar el comportamiento de una función cuando la variable independiente tiende, no a un valor concreto, sino a valores muy grandes, tanto positivos como negativos. En estos casos se habla:  si X toma valores muy grandes positivos o , si X toma valores muy grandes positivos, f(x) se va aproximando a “l”. o , si X toma valores muy grandes positivos, f(x) toma valores muy grandes positivos. o , si X toma valores muy grandes negativos, f(x) toma valores muy grandes negativos. o  si X toma valores muy grandes negativos o , si X toma valores muy grandes negativos, f(x) se va aproximando a “l”. o , si X toma valores muy grandes negativos, f(x) toma valores muy grandes positivos. o , si X toma valores muy grandes negativos, f(x) toma valores muy grandes negativos. o





Operaciones con expresiones infinitas: = = Con k>0:

Con k grado de Q - Si el grado P < grado de Q - Si el grado P = grado Q

siendo P(x) y Q(x) polinomios, hay que comparar los grados de P Y Q.

donde

y

son los coeficientes de mayor grado de P y Q

Ejemplos: -

-

-

 Si hay raíces en el denominador, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador. Ejemplo:

→

 Se dividen numerador y denominador entre la mayor potencia de X que aparezca. o Límites de funciones racionales de la forma :  Se factoriza el numerador y el denominador y se simplifica. Ejemplo:

→

 Si hay raíces en el numerador o en el denominador, se multiplica y divide por la expresión conjugada del numerador o del denominador Ejemplo:

o Límites de funciones de la forma

→

:

 Se opera la expresión antes de calcular el límite. Si hay raíces, se multiplica y divide por la expresión conjugada. Ejemplo:

→



Ejercicio 7: Calcula los siguientes límites: a)

e)

i)

m)

b)

f)

j)

n)

c)

g)

k)

d)

h)

o)

l)

3.10 Asíntotas. Una asíntota es una recta hacia la que se aproxima una rama infinita de una función. Las ramas infinitas aparecen cuando o bien la “x” o bien la “y” o bien ambas tienden a a) Asíntota Horizontal: Son de la forma , siendo ó Se halla:  y=k  y=l Podemos tener:  Dos asíntotas horizontales distintas: y = k e y = l  Una asíntota horizontal: y = k  Ambas existen y coinciden: y = k e y = k  Una existe y otra no: y = k e y =  Ninguna asíntota horizontal: Ninguna de las dos existen y = En funciones racionales, para que existan las asíntotas horizontales: el grado del denominador el grado del numerador. Ejemplo:

oa

.

f (x)  → →

Hay un asíntota horizontal en b) Asíntota Vertical: La recta es asíntota vertical si: ó Ejemplo:

ó

f (x) 

Hay un asíntota vertical en c) Asíntota Oblicua: Si la función tiene asíntota horizontal, no tendrá asíntota oblicua. La recta es una asíntota oblicua de si: o si Donde:  

ó

Ejemplo: f (x) 





→

 →   a) b) c) d)

Asíntota Oblicua:

Ejercicio 8: Calcula las asíntotas de las siguientes funciones si las tienen: e) k) f) g) h) l) i) j)

m)

3.11 Continuidad de una función en un punto y en un intervalo. Una función es continua en un punto “a” si cumple: 1.- Existe el 2.- Existe f(a) 3.Una función es continua en un intervalo [a, b] si lo es en todos los puntos del mismo. 3.12 Continuidad de funciones elementales.  

En todas las funciones hallaremos el dominio de la función, y en los puntos que no pertenezcan al dominio, la función no será continua. En las funciones a trozos hay que estudiar: o El dominio de la función, y en los puntos que no pertenezcan al dominio, la función no será continua. o La continuidad en los puntos de cambio de rama.

3.13 Tipos de discontinuidades. a) Evitables:

b) No Evitables: + De salto finito: + De salto infinito: 

Ejercicio 9: a)

b)

c)

d)

e)

f)

3.14 Esbozos de funciones.