Simposio de Estadística – 2001

2.

i

ANÁLISIS DE CORRESPONDENCIAS SIMPLES .....................................................................31 2.1.

Dominio de aplicación ................................................................................................................31

2.2.

Fundamentos del método ............................................................................................................32

2.2.1.

Tabla de frecuencias relativas ............................................................................................32

2.2.2.

Tablas de perfiles fila y columna .......................................................................................33

2.3.

Nubes de perfiles fila y columna ................................................................................................35

2.3.1.

La distancia ji-cuadrado entre perfiles ...............................................................................36

2.3.2.

Centro de gravedad de la nube de perfiles fila (en Rp).......................................................37

2.3.3.

Inercia de la nube de puntos...............................................................................................37

2.4.

Solución del análisis de correspondencias simples - ACS..........................................................38

2.5.

Relaciones cuasi-bibaricentricas.................................................................................................39

2.6.

Proyección de elementos suplementarios ...................................................................................41

2.7.

Ayudas a la interpretación ..........................................................................................................41

2.7.1.

Contribución absoluta del punto i en el eje α, caα(i)..........................................................42

2.7.2.

Contribución relativa del eje α a la posición de un punto i, crα(i) .....................................42

2.8. Un ejemplo de aplicación: estudio de la situación regional de la educación media en Colombia (1997-1998). ............................................................................................................................................43 2.8.1.

Presentación .......................................................................................................................43

2.8.2.

Análisis de tablas y gráficos...............................................................................................43

2.8.3.

Conclusiones. .....................................................................................................................46

2.9. Ejercicio: Estudio de la situación regional de la educación media en Colombia (1997-1998). Desagregando educación oficial y educación privada en cada departamento. ........................................49 2.9.1.

Presentación. ......................................................................................................................49

2.9.2.

Guía para el análisis. ..........................................................................................................49

TABLAS Y GRAFICOS Tabla 2-1: Tabla de contingencia: razones x método...................................................................................31 Tabla 2-2: tabla de frecuencias relativas (%) ...............................................................................................32 Tabla 2-3: perfiles fila..................................................................................................................................34 Tabla 2-4: perfiles columna..........................................................................................................................34 Gráfico 2-1: distancia jicuadrado .................................................................................................................36 Gráfico 2-2: primer plano factorial con razones de abandono .....................................................................38 Gráfico 2-3: primer plano factorial con métodos anticonceptivos ...............................................................38 Tabla 2-5: Resultados del ejemplo razones x métodos ................................................................................40 Gráfico 2-4: representación simultánea para el ejemplo razones x métodos ...............................................41 Gráfico 2-5: coseno cuadrado ......................................................................................................................42 Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

ii

Tabla 2-6: Clasificación de los planteles de educación media por departamentos. Según resultados obtenidos por los estudiantes de grado 11 en los exámenes de Estado. Agosto 1997 y Marzo 1998 ......... 44 Tabla 2-7: Histograma de los 4 primeros valores propios.......................................................................... 44 Tabla 2-8: coordenadas, contribuciones y cosenos cuadrados .................................................................... 45 Gráfico 2-6: Primer Plano Factorial. Proyección conjunta de los perfiles filas y los perfiles columnas.... 46 Gráfico 2-7: Agrupamiento aproximado de los Departamentos................................................................. 46 Gráfico 2-8: Perfiles de los Departamentos Reordenados.......................................................................... 48 Tabla 2-9: Departamentos (Educación Oficial – Educación Privada) contra Categoría ............................. 51 Tabla 2-10: Resultados del ejercicio ........................................................................................................... 52 Gráfico 2-9: Proyección de los Puntos-Departamentos sobre el primer plano factorial.............................. 53 Gráfico 2-10: Proyección conjunta de los puntos-departamentos y los puntos-categorías sobre el primer plano factorial.............................................................................................................................................. 53

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

31

2. ANÁLISIS DE CORRESPONDENCIAS SIMPLES 2.1.

Dominio de aplicación

El análisis de correspondencias simples es el método factorial apropiado para la lectura de tablas de contingencia y se extiende a otras tablas de frecuencia. El ejemplo de aplicación es una tabla de contingencia que cruza los departamentos de Colombia con la calificación de sus colegios (instituciones de enseñanza secundaria, Tabla 2-6).. El ejercicio que se propone también corresponde a la clasificación de planteles por parte del icfes, pero en este caso en cada departamento se han separado los planteles de educación oficial de los privados (Tabla 2-9). Una tabla de contingencia cruza dos variables cualitativas. En las filas se representan las modalidades de una variable y en las columnas la de la otra variable. El subíndice i denota las filas y el subíndice j las columnas. Cada celda (i,j) de la tabla contiene el número de individuos (unidades estadísticas) que asumieron simultáneamente las categorías o modalidades i y j. Al sumar sobre una fila se obtiene el total de individuos que asumieron esa modalidad fila y haciéndolo para todas las filas de obtiene una columna que es la marginal de la variable representada en las filas. El mismo proceso se puede hacer para las columnas para obtener la marginal de la variable representada en las columnas. Para ilustrar tomemos un ejemplo reducido: a una muestra de 4402 mujeres que abandonaron el último método anticonceptivo que usaban regularmente, se les preguntó las razones para hacerlo. Para este ejemplo se agruparon los métodos en tres modalidades: métodos fuertes (píldora, diu e inyección), otros (vaginales, abstinencia periódica, retiro y otros menos usados) y condón. Estos se etiquetan en la tabla como FUER, OTRO y COND, respectivamente. Las razones de abandono se agruparon en cuatro modalidades: EMBA, quedó embarazada o busca un método más seguro; DEEM, desea embarazo, tiene relaciones poco frecuentes, por creencias fatalistas y otros; NONE, no necesita o no tiene acceso; SALU, problemas de salud, efectos secundarios o costo. La tabla de contingencia que cruza estas dos variables, métodos anticonceptivos y razones para abandonarlos, es la Tabla 2-1, en la cual aparecen también las marginales y el total. La última columna representa la repartición de las 4402 mujeres entre las cuatro causas por las que abandonaron el último método anticonceptivo que venían usando, por ejemplo, 1157 lo hicieron por razones de salud o efectos secundarios. La última fila representa la distribución de las mujeres entre las tres clases de métodos anticonceptivos: 2908 usaban métodos fuertes, 1242 otros métodos y 252 condón. Cualquier número interior de la tabla representa el número de mujeres que usaban el método indicado por la columna y la razón indicada por la fila. Por ejemplo 1106 mujeres usaban métodos fuertes y los abandonaron por razones de salud. Tabla 2-1: Tabla de contingencia: razones x método

FUER

OTRO

COND

Tot.fila

EMBA

431

632

71

1134

DEEM

1166

425

92

1683

NONE

205

142

81

428

SALU

1106

43

8

1157

Tot.columna

2908

1242

252

4402

Conviene tener una notación generalizada para cualquier tabla de contingencia: sea K la tabla de contingencia, k el número total de individuos, ki. la marginal de la fila i, k.j la marginal de la columna j.

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

32

 k11 L k1 j  M M  K =  L L k ij  M  M k n1 L k nj 

L k1 p  k1 . M  M p L L  k i . → k i . = ∑ k ij  j =1 M  M L k np  k n .

. . k .1 L k . j

L k. p

n

k→k =∑ i =1

p

∑k j =1

ij

n

p

i =1

j =1

= ∑ k i . = ∑ k. j

↓ n

k . j = ∑ k ij i =1

En la Tabla 2-1: k21 =1166, k22 =425, k23 =92 y k2o =1166+425+92 =1683. Sumando la última columna o la ultima fila se obtiene el total de mujeres de la muestra: k =4402.

2.2.

Fundamentos del método

Lo que interesa en el análisis de una tabla de contingencia es el estudio de las asociaciones entre las modalidades de las dos variables. Estas se pueden ver mediante la comparación de los distribuciones condicionales (perfiles) de las modalidades fila por un lado y de las columnas por el otro. No es entonces la tabla de contingencia la que se representa geométricamente sino dos tablas de perfiles en dos espacios diferentes pero que están relacionados. Es decir que el método requiere de transformaciones de las tabla de contingencia inicial. 2.2.1.

Tabla de frecuencias relativas

Si la Tabla 2-1 se hubiera construido con una muestra de otro número de mujeres y suponiendo que las reparticiones fueran exactamente las mismas, los números de la tabla serían todos diferentes a pesar de tener la misma estructura de interrelaciones. Para eliminar este inconveniente basta dividir todas las celdas de la tabla por el total, k =4402, con lo cual se obtiene una tabla de frecuencias relativas, la que se presenta en la Tabla 2-2. Si se multiplican todos los números de la tabla por 100, se tiene la misma información pero expresada en porcentajes. Tabla 2-2: Frecuencias relativas razones x método (%)

FUER

OTRO

COND

EMBA

9.8

14.4

1.6

Tot.fila OCO 25.8

DEEM

26.5

9.7

2.1

38.2

NONE

4.7

3.2

1.8

9.7

SALU

25.1

1.0

0.2

26.3

Tot.col. OFI

66.1

28.2

5.7

100.0

El total de la tabla suma 100%, al interior de la tabla se tiene la distribución de frecuencias conjunta entre las dos variables (métodos y razones). Por ejemplo el 3.2% del total de mujeres usaban otro método y lo

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

33

abandonaron porque no lo necesitaban; el 25.1% de las mujeres de la muestra, usaban métodos fuertes y los abandonaron por razones de salud. La última columna de la Tabla 2-2 es la distribución marginal de la variable razones: 25.8% de las mujeres abandonaron el método que usaban (cualquiera) por que quedaron embarazadas o porque buscaban un método más seguro; 38.2% por que deseaban embarazo; 9.7% porque no lo necesitaban y 26.3% por razones de salud. La última fila de la Tabla 2-2 es la distribución marginal de los métodos: de las mujeres de la muestra el 66.1% usaba métodos fuertes, el 28.2% otros métodos y el 5.5% usaba condón. Una notación generalizada de una tabla de frecuencias, calculada a partir de una tabla de contingencias es la siguiente:

f ij =

k ij k

,

fi . =

 f 11 L  M  F = L L   M  f n1 L 

ki . , k

f1 j M f ij M f nj

f .1 L

f.j =

L L L

k

f1 p  M  L  M  f np 

L

f .j

k. j

f .p

f1 . M p f i . → f i . = ∑ f ij j =1 M fn. p

1→1 = ∑

n

∑

i =1

j =1

n

p

i =1

j =1

f ij = ∑ f i . = ∑ f . j

↓ n

f . j = ∑ f ij i =1

2.2.2.

Tablas de perfiles fila y columna

La lectura interesante de la información contenida en una tabla de contingencia es la comparación entre filas y entre columnas. En la tabla de frecuencias relativas las filas y las columnas están influenciadas por el peso relativo de sus marginales. La comparación se facilita obteniendo las distribuciones condicionales o perfiles de cada una de las filas y de cada una de las columnas. Para obtener la distribución condicional de la fila i, se dividen todas las celdas de esa fila por el valor total de la fila. De manera análoga se obtienen las condicionales de las columnas. Se llega entonces a dos tablas: una de perfiles fila y otra de perfiles columna. A partir de la Tabla 2-1 o de la Tabla 2-2 se obtienen la Tabla 2-3, de perfiles fila: por ejemplo para la fila 2, 26.5/38.2 = 0.6928 9.7/38.2= 0.2525 y 2.1/38.2 = 0.547 y expresados en porcentaje: 69.28, 25.25 y 5.47.

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

34

Tabla 2-3: Perfiles fila, razones de abandono según métodos

FUER

OTRO

COND

Tot.fila

EMBA

38.01

55.73

6.26

100.00

DEEM

69.28

25.25

5.47

100.00

NONE

47.90

33.18

18.93

100.00

SALU

95.59

3.72

0.69

100.00

SALU COND OTRO FUER

NONE DEEM EMBA 0.00

50.00 100.00

Tanto en la tabla como en gráfico se pueden comparar fácilmente los perfiles fila: el abandono del método por embarazo o por buscar uno más seguro se da más en los otros métodos (58%), luego en los métodos fuertes (38%) y finalmente en el condón (6%). Los abandonos por salud ocurren en los métodos fuertes (96%). Los perfiles desea embarazo y no necesita son los más parecidos en su forma. En ambos los métodos se ordenan según frecuencia así: lo métodos fuertes, en otros y en condón. La Tabla 2-4 contiene los perfiles columna expresados en porcentaje, calculados a partir de la Tabla 2-1 o de la Tabla 2-2, dividiendo la celda en cada columna por la marginal, por ejemplo para la columna 3: 1.6/5.7 = 0.2817 = 28.17% 2.1/5.7 = 0.3651 = 36.51% 1.8/5.7 = 0.3214 = 32.14% 0.2/5.7 = 0.0317 = 3.17% Tabla 2-4: Perfiles columna, métodos según razone de abandono

FUER

OTRO

COND

EMBA

14.82

50.89

28.17

DEEM

40.10

34.22

36.51

NONE

7.05

11.43

32.14

SALU

38.03

3.46

3.17

Tot.col.

100.00

100.00

100.00

60.00 50.00 EMBA

40.00

DEEM 30.00

NONE

20.00

SALU

10.00 0.00 FUER

OTRO

COND

A partir de la Tabla 2-4 y su gráfico asociado se pueden comparar los tres perfiles columna: lo que diferencia a los tres métodos son los abandonos por salud y por no necesidad, siendo más abandonado por salud el grupo de métodos fuertes y por no necesidad el condón. Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

35

De los perfiles filas y columnas en conjunto se puede concluir principalmente que hay una correspondencia entre los métodos fuertes y el abandono por salud y efectos secundarios. También se puede observar una correspondencia entre los otros métodos y el abandono por embarazo y por buscar un método más seguro. En términos generalizados los perfiles se pueden representar de la siguiente forma, si se obtienen a partir de la tabla de frecuencias relativas:

L L L 1   f ij perfiles. fila → L L.1 fi .   L L L 1

M  perfiles. columna → M  M .

M  M f .j  M M 1. 1 .. 1 M f ij

En el análisis de correspondencias simples (ACS) se busca una representación más adecuada para analizar simultáneamente los perfiles fila y columna obtenidos a partir de una tabla de contingencia. Cuando se tienen tablas de contingencia de gran tamaño es muy difícil obtener una síntesis apropiada de forma como se hizo en el ejemplo. Para el ACS se parte de la representación de los perfiles fila en un espacio multidimensional, donde las columnas son los ejes y simétricamente de otra nube de perfiles columna, donde las líneas son los ejes. Para ello se requiere del uso de una distancia apropiada: la distancia jicuadrado entre distribuciones.

2.3.

Nubes de perfiles fila y columna

En el ejemplo se tienen cuatro puntos fila que se pueden representar haciendo corresponder a cada una de las tres columnas un eje, es decir que cada punto necesita tres coordenadas para poderlo ubicar en el espacio de tres dimensiones. Para cada una de las filas las coordenadas se pueden leer en la Tabla 2-3. A cada punto se le asocia como peso la marginal de la fila que representa y que se puede leer en la Tabla 2-2. Las coordenada de los puntos fila y sus pesos se transcriben a continuación: EMBA: DEEM: NONE: SALU:

Coordenadas [38.01 55.73 [69.28 25.25 [47.90 33.18 [95.59 3.72

Pesos 6.26] 5.47] 18.93] 0.69]

0.258 0.382 0.097 0.263

La representación de estos cuatro perfiles se hace mediante 4 puntos en el espacio de tres dimensiones y además a cada punto se le asocia una masa o peso que es igual a la marginal de la fila de la tabla de frecuencias (última columna de la Tabla 2-2). Pero la distancia que se utiliza no es la euclidiana convencional sino la distancia ji-cuadrado, la cual se presenta más adelante. Para los perfiles columna la situación en simétrica: hay tres puntos representados en un espacio de cuatro dimensiones, FUER, OTRO, COND. A continuación se hace la descripción de los perfiles en forma generalizada. Nube de perfiles fila En el espacio Rp se representan los n perfiles fila, dotados del peso pi = fi. Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

36

 f ij   , j = 1,2..... p,i = 1,2.....n  fi . 

con. p i = f i .

Nube de perfiles columna En el espacio Rn cada punto representa un perfil columna y esta dotado de un peso igual a la marginal la respectiva columna.

 f ij  , i = 1,2.....n, j = 1,2..... p   f . j  2.3.1.

con. p j = f . j

La distancia ji-cuadrado entre perfiles

La distancia ji-cuadrado entre dos perfiles fila i e i’ viene dada por: p

d (i , i ′) = ∑ 2

j =1

f ij  1  f ij  −  f . j  f i . f i ′. 

2

Para el caso de dos líneas, esta distancia, es la suma de la diferencia de cada una de las respectivas componentes de los dos perfiles, ponderadas por el inverso de las frecuencias marginales de las columnas respectivas. Con este peso las diferencias se amplifican cuando se deben a columnas de baja frecuencia, es decir tiende a destacar los casos raros. El Gráfico 2-1 se presenta para facilitar la comprensión de los elementos de la distancia ji-cuadrado. Gráfico 2-1: distancia jicuadrado

(j)

(i )

(l)

Perfil i:

 f ij     f i•  ( j )

Perfil l:

 f lj     f l• ( j )

Pesos de las columnas f.j . En el ejemplo las frecuencias marginales de las columnas son: 0.661, 0.282 y 0.057. La distancia jicuadrado entre la fila 1 y la fila 2 es: (0.3801-0.6928)2 /0.661 + (0.5573-0.2525)2 /0.282 + (0.0626-0.0547)2 /0.057 = 0.09778129/0.661 + 0.09290304/0.282 + 0.00006241/0.057 = 0.1479 + 0.3294 + 0.0011 = 0.4784

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

37

De manera simétrica, la distancia entre perfiles columna es: n

d ( j, k ) = ∑ 2

i =1

1 f i.

 f ij f  − ik f f •k  •j

   

2

La distancia ji-cuadrado confiere al análisis de correspondencias dos propiedades muy útiles: la equivalencia distribucional y las relaciones de transición. La equivalencia distribucional de la distancia ji-cuadrado Dos perfiles fila idénticos están representados por el mismo punto en Rp. Si se reemplazan los dos puntos por un punto común, cuyo peso sea la suma de los pesos (fi. + fl.), entonces las distancias de los demás puntos, tanto en Rp como en Rn permanecen inalteradas. Igual resultado se obtiene para dos perfiles idénticos en Rn.. En Crivisqui (1993) hay una descripción bastante pedagógica de esta propiedad y en Lebart et al. (1995) se encuentra la demostración. Con la distancia ji-cuadrado los resultados son robustos respecto a la determinación arbitraria del número de categorías filas y categorías columna. Esto permite unir modalidades antes y después de un análisis de correspondencias. Antes, cuando hay modalidades de baja frecuencia que se pueden asimilar a otra modalidad, por ejemplo muy bueno a bueno. Después, para presentar los resultados del ACS con tablas reducidas, uniendo filas y columnas de perfiles parecidos. 2.3.2.

Centro de gravedad de la nube de perfiles fila (en Rp)

r

Sea g el vector de p componentes, centro de gravedad de la nube de perfiles fila, la componente j es: n  f ij  n  f  = ∑ f i •  ij g j = ∑ p i    i =1  f i •  i =1  f i •

[

r

es decir que g ′ = f •1

L

f• j

L

f•p

  = f• j  

]

En el ejemplo el centro de gravedad es: (0.6606, 0.2821, 0.0572), que es la distribución marginal de la variable que esta en columna, es decir la distribución de los métodos anticonceptivos usados por las mujeres de la muestra. Esta es la distribución promedio con la cual se comparan las distribuciones condicionales de las razones de abandono. Esta distribución se coloca en el centro de representación. 2.3.3.

Inercia de la nube de puntos

La inercia de la nube de puntos respecto al centro de gravedad es: n

n

p

i =1

j =1

I = ∑ p i d (i, g ) = ∑ f i o ∑ 2

i =1

1 fo j

 f ij − f i o f o j   f io 

p (f − f f ) n  χ2 io o j  = ∑∑ ij =  f io f o j k i =1 j =1  2

2

donde χ2 es la estadística ji-cuadrado, de la prueba de independencia, calculada para la tabla de contingencia K y k es el número total de individuos en la tabla. Crivisqui (1993) ilustra el hecho de que la nube de puntos perfiles es una hiperesfera en el caso de independencia en la tabla de contingencia. La inercia es un índice de deformación de la nube y se puede descomponer en los diferentes ejes de la representación. Lo que se tiene hasta ahora son dos representaciones que contienen la información de la tabla de contingencia: la nube de perfiles fila y la nube de perfiles columna, con puntos ponderados, centradas y con una inercia asociada. Esta información es apta para llevar a cabo dos análisis de componentes principales con ponderación. La solución tiene propiedades particulares derivadas de la propiedades de las tablas de perfiles y de las propiedades de la distancia ji-cuadrado. Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

2.4.

38

Solución del análisis de correspondencias simples - ACS

Encontrar el subespacio (plano cuando son dos dimensiones) que se aproxime lo mejor posible a la nube de n puntos (perfiles fila i), dotados de los pesos fi., equivale a hacer un análisis de en componentes principales sobre la tabla de los perfiles fila, cada uno ponderado por su frecuencia marginal y utilizando la distancia ji-cuadrado entre perfiles. Los planos factoriales de los individuos permiten comparar los perfiles fila entre sí y con el perfil marginal (promedio). El perfil marginal esta ubicado en el centro de las gráficas y por lo tanto la ubicación de los puntos perfiles indican el parecido (cerca) o la diferencia (lejos) de la distribución de la muestra o población según las modalidades de la variable que está en columna. El Gráfico 2-2 es el primer plano factorial de razones de abandono. Las razones de SALUD y EMBARAZO tienen las distribuciones más opuestas. La razón DESEA EMBARAZO es la más parecida a la distribución promedio de los métodos utilizados. En este caso la representación en el plano contiene toda la información pues, para cada perfil fila (razones de abandono), se necesitan tres coordenadas (método), pero como cada perfil suma uno, se pierde una dimensión: una de las coordenadas se puede encontrar restando de uno las demás. Gráfico 2-2: primer plano factorial con razones de abandono

De manera similar se obtiene la representación para la nube de perfiles columna: puntos perfiles columna, ponderados por sus marginales y con la distancia ji-cuadrado (ponderación por el inverso de las marginales fila). El Gráfico 2-3 presenta los puntos perfiles columna que representan las distribuciones de los métodos anticonceptivos según sus razones de abandono. Las más opuestas son métodos fuertes y otros métodos.

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

2.5.

39

Relaciones cuasi-bibaricentricas

Los ejes factoriales de los análisis de las dos nubes de perfiles estas relacionadas puesto que provienen de la misma tabla de contingencia. En Lebart et al. (1995) y otros textos se pueden ver las denominadas relaciones entre los dos espacios. Las más importantes desde el punto de vista de la interpretación de las gráficas son las denominadas relaciones cuasi-bibaricentricas, propiedad derivada de utilizar la distancia ji-cuadrado. Gráfico 2-3: primer plano factorial con métodos anticonceptivos

La coordenada sobre un eje factorial de una modalidad fila (perfil) se puede calcular así:

ψ iα =

1

λα

 f ij  ϕ jα j =1 io  p

∑  f

Esta fórmula significa que la coordenada de un perfil fila es igual al promedio aritmético de las coordenadas de los perfiles columna pero cada una ponderada por el valor de la coordenada del perfil fila que se está considerando y además dilatado por el inverso del la raíz del valor propio. Para entender mejor esta propiedad se procede a calcular la coordenada de EMBA (-0.60) en función de las coordenadas de métodos:

1 (0.3801x0.33 + 0.5573x(-0.66) + 0.0626x(-0.52)) 0.2095 = 2.1848(0.1254 − 0.3678 − 0.0326) = 2.1848(−0.275) = −0.60

ψ EMBA,1 =

Las ponderaciones se toman de la Tabla 2-3, el valor propio y las coordenadas de la Tabla 2-5. La media ponderada es –0.275, este es un baricentro de las coordenadas de las modalidades columna. Como la Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

40

modalidad ‘otros métodos’ es la de mayor frecuencia (55.73%) en el perfil de embarazo, ‘otros métodos’ va a atraer a la modalidad ‘embarazo’ y gráficamente se va a observar una cercanía, dando cuenta de este hecho. Desde luego hay una dilatación (alejamiento) de la coordenada de 2.1848, la cual generalmente hace destacar esa asociación. La dilatación (por la que se introduce la palabra cuasi) es la que permite la representación simultánea de las proyecciones de los dos espacios.(Gráfico 2-4). De manera simétrica, la coordenada de un perfil columna se calcula como el promedio ponderado por su perfil de las coordenadas de los perfiles propios y dilatada por el inverso de la raíz del valor propio:

ϕ jα =

 f ij  ψ iα λα i =1  o j 

1

n

∑  f

Exceptuando el coeficiente 1 λ , la coordenada de un punto es el baricentro de los puntos de la otra nube, con pesos iguales a los elementos del perfil. Haciendo la dilatación apropiada las dos nubes se pueden representar simultáneamente sobre el mismo plano. Tabla 2-5: Resultados del ejemplo razones x métodos HISTOGRAMA DE LOS 2 PRIMEROS VALORES PROPIOS +--------+------------+----------+----------+------------------------------------------+ | NUMERO | VALOR | PORCENTA.| PORCENTA.| | | | PROPIO | | ACUMU. | | +--------+------------+----------+----------+------------------------------------------+ | 1 | .2095 | 87.55 | 87.55 | **************************************** | | 2 | .0298 | 12.45 | 100.00 | ***** | +--------+------------+----------+----------+------------------------------------------+

COORDENADAS , CONTRIBUCIONES Y COSENOS CUADRADOS DE LAS FRECUENCIAS EN LOS EJES 1 A 2 +------------------------------------------+---------------+-------------+------------+ | FRECUENCIAS | COORDENADAS |CONTRIBUCIONE|COSENOS CUA.| |------------------------------------------+---------------+-------------+------------| | IDEN - ETIQUETA CORTA PESO R DIST | 1 2 | 1 2 | 1 2 | +------------------------------------------+---------------+-------------+------------+ | FRECUENCIAS ACTIVAS | | fuer - Metodos fuertes 66.06 .11 | .33 .01 | 33.8 .2 | 1.00 .00 | | otro - Otros metodos 28.21 .45 | -.66 .12 | 58.8 13.0 | .97 .03 | | cond - Condon 5.72 .72 | -.52 -.67 | 7.4 86.9 | .38 .62 | |------------------------------------------+---------------+-------------+------------|

COORDENADAS, CONTRIBUCIONES Y COSENOS CUADRADOS DE LOS INDIVIDUOS EN LOS EJES 1 A 2 +---------------------------------------+---------------+-------------+------------+ | INDIVIDUOS | COORDENADAS |CONTRIBUCIONE|COSENOS CUA.| |---------------------------------------+---------------+-------------+------------| | IDENTIFICADOR P.REL DIST. | 1 2 | 1 2 | 1 2 | +---------------------------------------+---------------+-------------+------------+ | EMBA 25.76 .39 | -.60 .15 | 44.8 20.1 | .94 .06 | | DEEM 38.23 .00 | .07 -.01 | .9 .1 | .98 .02 | | NONE 9.72 .36 | -.35 -.49 | 5.7 78.1 | .34 .66 | | SALU 26.28 .39 | .62 .04 | 48.5 1.7 | 1.00 .00 | +---------------------------------------+---------------+-------------+------------+

La lectura simultánea apoyada en las relaciones cuasi-bibaricéntricas pone en evidencia las correspondencias más destacadas entre las dos variables. En el Gráfico 2-4 se observa la asociación entre las modalidades EMBARAZO y otro método, NO NECESITA y condón, SALUD y métodos fuertes. El abandono de los métodos fuertes se debe a razones de SALUD y a DESEA EMBARAZO. Esto es exactamente lo mismo que se puede leer fácilmente en las tablas y e histogramas de los perfiles (Tabla 2-3

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

41

y Tabla 2-4). Obviamente el método es útil en grandes tablas de contingencia en donde un observador se puede perder en la gran cantidad de cifras. Porqué SALUD está más alejada que la modalidad fuerte?. En la distribución de las mujeres que abandonaron el método que usaban por razones de SALUD (ver Tabla 2-3) casi el 96% estaba usando métodos fuertes. En cambio para el grupo que usaba métodos fuertes el 38% lo abandonaron por razones de SALUD y el 40% porque deseaban quedar embarazadas, es decir que los métodos fuertes también están atraídos por DEEM (ver Tabla 2-4). Gráfico 2-4: representación simultánea para el ejemplo razones x métodos

2.6.

Proyección de elementos suplementarios

Al igual que en ACP sobre los ejes factoriales se pueden proyectar filas y columnas que no hayan participando en el análisis. Se hace mediante las relaciones cuasi-bibaricéntricas y por lo tanto se interpreta de la misma forma, pero debe hacerse por cada modalidad ilustrativa con respecto a las modalidades activas. No es apropiado interpretar modalidades ilustrativas entre sí pues no han participado en la construcción de los ejes. Esto se ilustrará en los ejemplos de más adelante.

2.7.

Ayudas a la interpretación

En un ACS las modalidades aparecen repartidas a ambos lados de los ejes, lo que conlleva a la lectura de las contraposiciones más importantes entre modalidades. En el ejemplo de métodos x razones, en el eje uno se contraponen los métodos ‘otros’ con ‘fuertes’ y las razones EMBARAZO con SALUD (ver Gráfico 2-4). En una tabla de contingencia de gran tamaño se puede buscar las modalidades más importantes sobre cada eje recurriendo a las denominadas contribuciones absolutas. En el ejemplo se leen en la Tabla 2-5. Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

42

Las proyecciones sobre los ejes y sobre los planos factoriales serán muy ‘buenas’ para algunos puntos pero también pueden ser de ‘mala’ calidad para otros puntos. Se requiere entonces de un índice que ponga en evidencia este hecho, que se denomina coseno cuadrado o contribución relativa. Los cosenos cuadrados para el ejemplo se pueden leer en la Tabla 2-5. A continuación se presentan las expresiones de las contribuciones absolutas y relativas para las modalidades fila. Las expresiones para las modalidades columna tienen la misma forma y la misma interpretación. 2.7.1.

Contribución absoluta del punto i en el eje α, caα(i)

caα (i ) =

f i oψ i2α

λα

Es la proporción con que cada punto contribuye a la inercia del eje. Los puntos que tengan contribución absoluta alta son los que fijan la posición del eje. La suma de las contribuciones es 1, por comodidad se expresan en porcentaje. La contribución absoluta depende tanto del peso de la modalidad como del valor de la proyección, y la combinación de estos dos valores da origen a distintas situaciones: una modalidad no tan alejada del origen puede ser muy contributiva si tiene una frecuencia alta. No necesariamente los puntos más alejados del origen son los más contributivos. 2.7.2.

Contribución relativa del eje α a la posición de un punto i, crα(i)

crα (i ) =

ψ i2α

d 2 (i, G )

Estos valores son el cociente de las longitudes al cuadrado de la proyección sobre el eje, sobre la distancia del punto al centro de gravedad (centro de la representación). Es el valor del coseno al cuadrado del ángulo que forman las rectas que unen el origen con cada uno de los dos puntos (el punto perfil y su proyección sobre el eje). El coseno cuadrado tiene valores entre 0 y 1 y la suma de los cosenos cuadrados de un punto sobre cada uno de los ejes da uno, hechos estos que facilitan su interpretación. Un coseno cuadrado cercano al 100% indica buena calidad de la proyección, es decir, buena representación de la distancia original del punto al origen sobre un eje. Valores cercanos a 0 indican mala calidad de representación y por lo tanto los puntos que los posean no deben leerse sobre ese eje (ver Gráfico 2-5). El coseno cuadrado sobre un plano se obtiene sumando los cosenos cuadrados de los ejes que los conforman. Gráfico 2-5: coseno cuadrado

i

i α

G

α

G

Cos2α(i)≅1

Cos2α(i)≅0 i. mal representado sobre el eje α

i. bien representado sobre el eje α

(Tomado de Lebart (1995))

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

43

2.8. Un ejemplo de aplicación: estudio de la situación regional de la educación media en Colombia (1997-1998). 2.8.1.

Presentación

Para este estudio se parte de información aportada por el ICFES. El instituto clasifica los planteles educativos teniendo en cuenta los resultados obtenidos por los estudiantes que egresan de los mismos. Cada colegio es clasificado en una de 7 categorías, desde Muy Inferior hasta Muy Superior. El criterio de clasificación es el promedio de los puntajes obtenidos por sus egresados en la prueba que el Icfes aplica a todos los egresados de la educación media. La Tabla 2-6 es una tabla de contingencia: cada celda contiene el número de planteles clasificados en una categoría y departamento especificado. Es decir, en Antioquia 14 planteles fueron clasificados en la categoría Muy Superior, mientras que en Bolívar 20 fueron clasificados en Alto. Frente a esta tabla cabe preguntarse si la distribución de los planteles educativos en cuanto a su calidad es aproximadamente igual para todos los departamentos, o si por el contrario, es posible encontrar tipologías de departamentos, es decir, grupos de departamentos con una distribución similar entre ellos que los diferencia, a su vez, de otros grupos de departamentos. Después de una primera exploración se decidió eliminar los departamentos con una muy baja cobertura (se restringió la tabla a aquellos departamentos cuyo número de planteles supera el 1 % del total nacional), al departamento del Chocó por tener una distribución muy atípica, y juntar Bogotá y Cundinamarca en una sola categoría. Las preguntas más importantes son: Cuales son las distribuciones que se apartan del perfil promedio? Qué tipologías de Departamentos podrían ser establecidas?. Para responder a estos interrogantes una de las técnicas mas adecuadas es el Análisis de Correspondencia Simples o Binarias. Se procederá a continuación a explicar como hacer dicho análisis en este caso particular. 2.8.2.

Análisis de tablas y gráficos.

Descomposición de la Inercia total. Después de una primera exploración de la tabla usando el análisis de correspondencias se convino en juntar las categorías extremas Muy Inferior e Inferior en una sola categoría que llamamos Infer, y Muy Superior y Superior en una sola categoría Super. En consecuencia, solo quedaron cinco columnas, y por esa razón, el histograma de valores propios solo muestra cuatro valores propios, de los cuales los dos primeros recogen más del 91 % de la inercia total. Por esta razón, podemos concentrar la atención en el análisis del primer plano factorial.

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

44

Tabla 2-6: Clasificación de los planteles de educación media por departamentos. Según resultados obtenidos por los estudiantes de grado 11 en los exámenes de Estado. Agosto 1997 y Marzo 1998 Departamento

Muy Superior Superior

Alto

Medio

Bajo

Muy Inferior Inferior

Total

Amazonas Antioquia Arauca Atlantico Bolivar Bogota Boyaca Caldas Caqueta Casanare Cauca Cesar Cordoba Cundinamarca Choco Guainia Guaviare Huila La Guajira Magdalena Meta Nariño N. de Santander Putumayo Quindio Risaralda San Andres Santander Sucre Tolima Valle Vaupes Vichada

0 14 0 8 5 62 1 2 0 0 3 2 1 2 0 0 0 3 1 0 0 3 4 0 1 3 0 9 0 2 13 0 0

0 15 0 13 4 58 10 10 0 0 3 2 2 12 0 0 0 3 2 2 2 6 5 0 2 2 0 12 2 3 24 0 0

0 52 3 26 20 222 33 14 1 4 13 6 5 40 0 0 0 13 1 6 14 27 24 2 8 18 0 41 7 11 61 0 0

0 100 12 42 42 363 130 61 10 16 50 15 15 155 7 1 1 69 8 18 44 93 69 10 23 24 3 113 18 82 131 1 3

3 343 12 183 130 277 60 91 32 12 60 76 87 148 16 1 3 56 42 76 57 64 106 17 43 79 4 116 60 140 275 1 1

2 89 3 130 75 2 5 23 12 1 37 61 36 11 34 0 0 12 30 78 11 29 16 2 1 8 4 11 18 28 91 1 0

0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 614 30 403 276 984 239 201 55 32 166 162 146 368 66 2 4 156 85 181 128 222 224 31 78 134 11 302 105 266 595 3 4

Total

139

194

672

1729

2671

861

13

6279

(Fuente: ICFES)

Tabla 2-7: Histograma de los 4 primeros valores propios APRECIACION DE LA PRECISION DE LOS CALCULOS : TRAZA ANTES DE LA DIAGONALIZACION .................... 0.2235 SUMA DE LOS VALORES PROPIOS .......................... 0.2235 +--------+------------+----------+----------+----------------------------------------------------------------------------------+ | NUMERO | VALOR | PORCENTA.| PORCENTA.| | | | PROPIO | | ACUMUL. | | +--------+------------+----------+----------+----------------------------------------------------------------------------------+ | 1 | 0.1817 | 81.28 | 81.28 | ******************************************************************************** | | 2 | 0.0239 | 10.70 | 91.98 | *********** | | 3 | 0.0164 | 7.36 | 99.34 | ******** | | 4 | 0.0015 | 0.66 | 100.00 | * | +--------+------------+----------+----------+----------------------------------------------------------------------------------+

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

45

Análisis del primer plano factorial. Proyección de los puntos perfiles columnas (categorías). En el Gráfico 2-6 se puede observar que a lo largo del primer eje se enfrentan las categorías Infer y Bajo a Alto, Medio y Super , sin embargo, al examinar las contribuciones y cosenos cuadrados en la Tabla 2-8 vemos que Bajo, con un peso relativo grande del 42.7% tiene una pequeña contribución a la inercia en el primer eje. Esto significa que este perfil es muy cercano al perfil promedio; de otra parte, Super, con un peso relativamente pequeño, es poco contributivo al primer eje, pero también es el más mal representado en el primer plano factorial (suma de cosenos =.52) . De lo anterior se sigue que los perfiles que definen el primer eje son Infer de un lado y Alto y Medio por el otro. De una manera similar se puede ver que el segundo eje factorial enfrenta principalmente la categoría Infer a Bajo. Proyección de los puntos perfiles filas (Departamentos). Examinando conjuntamente el Gráfico 2-6 y la Tabla 2-8, que recoge las coordenadas, contribuciones y cosenos cuadrados de los perfiles de los departamentos podemos decir que el primer eje factorial enfrenta a departamentos como Magdalena, Atlántico, Cesar, Guajira en un extremo a Boyacá y Bog+Cund por el otro. El segundo eje factorial enfrenta a los departamentos como Magdalena, Cauca, Nariño y Boyacá a Antioquia, Risaralda y Quindío. Es de advertir que la nube de puntos de los departamentos tiende a formar una especie de arco parabólico que tiene como foco al departamento del Cauca que parece aislado del resto. Tabla 2-8: Coordenadas, contribuciones y cosenos cuadrados COORDENADAS, CONTRIBUCIONES DE LAS FRECUENCIAS SOBRE LOS EJES 1 A 4 FRECUENCIAS ACTIVAS +------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+ | FRECUENCIAS | COORDENADAS | CONTRIBUCIONES | COSENOS CUADRADOS | |------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------| | IDEN – ETIQUETA P.REL DISTO | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 | +------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+ | ALTO - Alto 10.89 0.25 | -0.44 -0.06 0.21 0.08 0.00 | 11.4 1.5 30.2 46.0 0.0 | 0.78 0.01 0.19 0.03 0.00 | | MEDI - Medio 27.50 0.20 | -0.41 -0.11 -0.14 -0.01 0.00 | 25.8 13.2 32.1 1.3 0.0 | 0.85 0.06 0.10 0.00 0.00 | | BAJO - Bajo 42.71 0.05 | 0.16 0.17 -0.01 0.00 0.00 | 5.8 51.0 0.5 0.0 0.0 | 0.46 0.53 0.00 0.00 0.00 | | SUPE - Super 5.47 0.26 | -0.36 -0.07 0.33 -0.12 0.00 | 3.9 1.1 37.1 52.5 0.0 | 0.50 0.02 0.43 0.05 0.00 | | INFE - Infer 13.43 0.78 | 0.85 -0.24 0.02 0.00 0.00 | 53.0 33.2 0.2 0.2 0.0 | 0.92 0.08 0.00 0.00 0.00 | +------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+

COORDENADAS, CONTRIBUCIONES Y COSENOS CUADRADOS DE LOS INDIVIDUOS EJES 1 A 4 +---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+ | INDIVIDUOS | COORDENADAS | CONTRIBUCIONES | COSENOS CUADRADOS | |---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------| | IDENTIFICADOR P.REL DISTO | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 | +---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+ | ANTQ 10.08 0.09 | 0.21 0.21 0.05 0.00 0.00 | 2.5 19.4 1.5 0.1 0.0 | 0.48 0.49 0.03 0.00 0.00 | | ATLA 6.62 0.40 | 0.60 -0.13 0.13 -0.02 0.00 | 13.2 5.0 6.4 2.6 0.0 | 0.91 0.05 0.04 0.00 0.00 | | BOLI 4.53 0.22 | 0.46 -0.06 0.03 0.04 0.00 | 5.4 0.7 0.2 3.9 0.0 | 0.97 0.02 0.00 0.01 0.00 | | BOYA 3.92 0.44 | -0.57 -0.21 -0.26 0.02 0.00 | 7.1 7.1 16.2 0.9 0.0 | 0.75 0.10 0.15 0.00 0.00 | | CALD 3.30 0.02 | -0.02 0.05 -0.09 -0.11 0.00 | 0.0 0.4 1.6 24.8 0.0 | 0.02 0.12 0.35 0.50 0.00 | | CAQE 0.90 0.27 | 0.45 0.16 -0.20 0.01 0.00 | 1.0 1.0 2.1 0.1 0.0 | 0.76 0.09 0.14 0.00 0.00 | | CAUC 2.73 0.09 | 0.17 -0.21 -0.11 0.00 0.00 | 0.5 5.0 2.0 0.0 0.0 | 0.35 0.51 0.14 0.00 0.00 | | CESA 2.66 0.63 | 0.77 -0.17 0.03 0.01 0.00 | 8.7 3.1 0.1 0.3 0.0 | 0.95 0.05 0.00 0.00 0.00 | | CORD 2.40 0.34 | 0.56 0.17 -0.03 0.00 0.00 | 4.1 2.9 0.1 0.0 0.0 | 0.91 0.09 0.00 0.00 0.00 | | HUIL 2.56 0.15 | -0.26 -0.08 -0.27 -0.04 0.00 | 1.0 0.7 11.0 3.4 0.0 | 0.46 0.05 0.48 0.01 0.00 | | GUAJ 1.40 0.62 | 0.77 -0.12 0.01 -0.07 0.00 | 4.6 0.8 0.0 5.3 0.0 | 0.97 0.02 0.00 0.01 0.00 | | MADG 2.97 0.88 | 0.88 -0.31 -0.01 0.05 0.00 | 12.7 12.2 0.0 5.7 0.0 | 0.89 0.11 0.00 0.00 0.00 | | META 2.10 0.06 | -0.12 0.07 -0.18 0.10 0.00 | 0.2 0.4 4.3 14.5 0.0 | 0.24 0.07 0.53 0.16 0.00 | | NARI 3.65 0.13 | -0.20 -0.24 -0.16 0.04 0.00 | 0.8 9.1 5.5 4.1 0.0 | 0.32 0.47 0.20 0.01 0.00 | | NORT 3.68 0.04 | -0.13 0.13 -0.09 0.03 0.00 | 0.3 2.7 1.8 1.7 0.0 | 0.37 0.42 0.19 0.02 0.00 | | QUIN 1.28 0.15 | -0.19 0.32 -0.10 0.02 0.00 | 0.3 5.6 0.8 0.2 0.0 | 0.25 0.68 0.07 0.00 0.00 | | RISA 2.20 0.15 | -0.01 0.36 0.07 0.12 0.00 | 0.0 11.9 0.7 19.8 0.0 | 0.00 0.87 0.04 0.09 0.00 | | SANT 4.96 0.12 | -0.35 0.02 -0.03 -0.02 0.00 | 3.3 0.1 0.3 1.8 0.0 | 0.98 0.00 0.01 0.00 0.00 | | SUCR 1.72 0.14 | 0.30 0.20 -0.06 0.05 0.00 | 0.9 3.0 0.4 2.7 0.0 | 0.66 0.30 0.03 0.02 0.00 | | TOLI 4.37 0.10 | 0.05 0.17 -0.26 -0.04 0.00 | 0.1 5.4 17.4 4.8 0.0 | 0.02 0.30 0.66 0.02 0.00 | | VALL 9.77 0.02 | 0.10 0.05 0.07 -0.02 0.00 | 0.6 0.9 2.7 3.4 0.0 | 0.60 0.12 0.25 0.03 0.00 | | BO+CU 22.20 0.29 | -0.52 -0.05 0.14 0.00 0.00 | 32.9 2.7 24.9 0.0 0.0 | 0.93 0.01 0.06 0.00 0.00 | +---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

46

Gráfico 2-6: Primer Plano Factorial. Proyección conjunta de los perfiles filas y los perfiles columnas

Proyección Conjunta de los puntos perfiles – categorías y los perfiles - departamentos. La proyección conjunta permite observar aproximadamente tres centros de gravedad constituidos por las categorías, en torno a los cuales se agrupan los departamentos. En un extremo está la Categoría Infer que parece ser el centro de gravedad de los departamentos encerrados en el circulo en el Gráfico 2-7. En ese mismo gráfico se han trazado círculos para definir aproximadamente los otros dos agrupamientos. Naturalmente quedan por fuera de esos círculos algunos puntos cuya ubicación en uno u otros agrupamiento no está precisada. Esta situación puede ser resuelta usando los métodos de clasificación.

2.8.3.

Conclusiones.

Siguiendo el arco formado por los departamentos en el primer plano factorial es posible reordenar los perfiles de los departamentos y verificar el parecido de dichos perfiles entre sí. Esta situación se puede apreciar en el Gráfico 2-8. Lo que se observa en el plano factorial (Gráfico 2-6), se puede ahora verificar aquí: los departamentos ubicados en el circulo de la derecha del plano factorial son los mismos ubicados en la parte inferior del gráfico, caracterizados por el gran peso que tiene en ellos la categoría Infer. Los del circulo inferior son los mismos departamentos ubicados en la mitad de la tabla y caracterizados por la categoría Bajo. Y los del circulo izquierdo están ubicados en la parte superior de la tabla, en el peso relativo de las categorías Infer y Bajo en pequeño al tiempo que tienen un mayor peso las categorías Medio, Alto y Super . El departamento del Cauca, que aparece ubicado en el plano en el ‘foco’ del arco parabólico que arman los demás departamentos se ubica hacia el centro de la tabla y es el que muestra un perfil en el cual están más equilibradas las cinco categorías.

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

47

Gráfico 2-7: Agrupamiento aproximado de los Departamentos

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

48

Gráfico 2-8: Perfiles de los Departamentos Reordenados.

Boyaca Bog+Cun Narino Huila Santander Norte Meta Caldas Risaralda Quindio Tolima Valle Cauca Antioquia Sucre Caqueta Cordoba Bolivar Atlantico Guajira Cesar Magdalena 0%

20% Super

Pardo C.E. y Cabarcas G.

40% Alto

60% Medio

80% Bajo

100% Infer

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

49

2.9. Ejercicio: Estudio de la situación regional de la educación media en Colombia (1997-1998). Desagregando educación oficial y educación privada en cada departamento. 2.9.1.

Presentación.

A continuación se muestra una tabla de contingencia (Tabla 2-9), que contiene la información correspondiente al número de planteles educativos clasificados por el Icfes en cada una de las cinco categorías usadas en el ejemplo anterior, pero ahora en cada departamento se han separado los colegios pertenecientes a la educación oficial de la privada. Los primeros están identificados con una letra ‘O’ y los otros con una ‘P’. El objetivo es el mismo del ejemplo: estudiar la configuración de las nubes de puntosdepartamentos y puntos-categorías. Como elementos necesarios para realizar el análisis se incluye en la información: la Tabla 2-10 que contiene la información acerca de los valores propios, las coordenadas, contribuciones y cosenos cuadrados para las frecuencias (Categorías) y para los individuos (Departamentos), y dos gráficos: Gráfico 2-9, la proyección de la nube de puntos-departamentos sobre el primer plano factorial y Gráfico 2-10, la proyección conjunta de las dos nubes de puntos: departamentos y categorías sobre el primer plano factorial. A continuación encuentra una serie de interrogantes para orientar el análisis. 2.9.2.

Guía para el análisis.

1. Que porcentaje de la inercia total es recogida por el primer eje factorial, por el segundo eje factorial y por el primer plano factorial. Que se puede concluir de esta constatación? 2. Análisis de la proyección de la nube de puntos-categorías sobre el primer plano factorial. a. Cuáles son las dos categorías más contributivas al primer eje factorial? Cuáles son sus coordenadas y cuáles sus pesos relativos?. Qué tan bien representadas están esas categorías en el primer plano factorial? Cuál es la categoría que está más mal representada en el primer plano factorial? Puede decirse que está muy mal representada? Como podría denominarse al primer eje factorial? b. Cuales son las dos categorías más contributivas al segundo eje factorial? Cuáles son sus coordenadas y sus pesos relativos?. Qué tan bien representadas están esas categorías en el primer plano factorial? Como podría denominarse al segundo eje factorial? 3. Análisis de la proyección de la nube de puntos-departamentos sobre el primer plano factorial. a. Cuáles son los 6 departamentos mas contributivos al primer eje factorial? Cuáles son sus coordenadas y cuáles sus pesos relativos?. Qué tan bien representadas están estos departamentos en el primer plano factorial? Cuales son los dos departamentos más mal representados en el primer plano factorial? Puede concluirse de lo anterior que algunos departamentos están muy mal representados? De qué manera estos resultados son útiles para ayudar a la caracterización del primer eje factorial? b. Cuáles son los 6 departamentos mas contributivos al segundo eje factorial? Cuáles son sus coordenadas y cuáles sus pesos relativos?. Qué tan bien representadas están estos departamentos en el primer plano factorial? De qué manera estos resultados son útiles para ayudar a la caracterización del segundo eje factorial? 4. Análisis de la proyección conjunta de las dos nubes de puntos. a. Puede evidenciarse algún patrón de comportamiento con respecto a los perfiles de educación oficial y privada? Teniendo en cuenta las proyecciones de las categorías, como se puede caracterizar dicho patrón? Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

50

b. Liste los departamentos más cercanos a cada una de las categorías. Se puede evidenciar algún patrón especial en estos grupos respecto a la educación oficial y privada? c. Cuales son las cuatro parejas de perfiles de educación (oficial-privada) de un mismo departamento más distanciadas entre sí? En que sentido se da tal diferencia? d. Cuales son las cuatro parejas de perfiles de educación (oficial-privada) de un mismo departamento menos distanciadas entre sí? En que sentido se da tal diferencia? e. Se puede sugerir un reordenamiento de los departamentos teniendo en cuenta su disposición en el primer plano factorial? Cuál? 5. Escriba en un párrafo las conclusiones más relevantes del análisis.

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

51

Tabla 2-9: Departamentos (Educación Oficial – Educación Privada) contra Categoría

Departamento AN_O AN_P AT_O AT_P BG_O BG_P BL_O BL_P BY_O BY_P CA_O CA_P CE_O CE_P CL_O CL_P CO_O CO_P CQ_O CQ_P CU_O CU_P GJ_O GJ_P HU_O HU_P MA_O MA_P ME_O ME_P NA_O NA_P NO_O NO_P QU_O QU_P RI_O RI_P ST_O ST_P SU_O SU_P TO_O TO_P VL_O VL_P

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Super 0 0 0 0 0 0 2 20 4 3 1 0 0 0 1 0 0 3 1 2 1 0 3 4 2 3 0 3 0 3 113 7 11 5 8 3 11 5 18 29 6 6 3 37 6 37.00

Alto 1 1 0 3 0 4 5 21 3 0 5 12 1 12 2 8 3 7 7 3 5 9 16 17 4 22 7 22 11 25 147 75 18 10 8 5 7 10 19 40 6 8 5 49 4 49.00

Medio 7 1 2 6 1 22 11 33 9 7 9 40 9 40 13 18 15 63 47 16 5 39 56 76 19 84 55 104 28 107 256 107 51 17 23 8 14 6 29 60 14 13 13 91 11 91.00

Bajo 54 31 72 58 3 77 22 120 18 11 63 277 29 135 41 68 41 121 88 29 19 48 69 55 19 78 38 99 28 51 167 110 49 9 9 2 3 11 38 66 18 37 13 140 12 140.00

Infer 53 22 32 40 2 47 26 110 21 9 21 77 10 36 11 7 1 23 23 10 7 27 14 27 5 10 11 8 1 5 2 0 3 2 0 0 0 1 1 13 1 2 4 55 10 55.00

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

52 Tabla 2-10: Resultados del ejercicio

ANALYSE DES CORRESPONDANCES BINAIRES VALEURS PROPRES APERCU DE LA PRECISION DES CALCULS : TRACE AVANT DIAGONALISATION .. 0.2777 SOMME DES VALEURS PROPRES .... 0.2777 HISTOGRAMME DES 4 PREMIERES VALEURS PROPRES +--------+------------+----------+----------+----------------------------------------------------------------------------------+ | NUMERO | VALEUR | POURCENT.| POURCENT.| | | | PROPRE | | CUMULE | | +--------+------------+----------+----------+----------------------------------------------------------------------------------+ | 1 | 0.1753 | 63.11 | 63.11 | ******************************************************************************** | | 2 | 0.0540 | 19.43 | 82.54 | ************************* | | 3 | 0.0362 | 13.02 | 95.56 | ***************** | | 4 | 0.0123 | 4.44 | 100.00 | ****** | +--------+------------+----------+----------+----------------------------------------------------------------------------------+ COORDONNEES, CONTRIBUTIONS DES FREQUENCES SUR LES AXES 1 A 4 FREQUENCES ACTIVES +------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+ | FREQUENCES | COORDONNEES | CONTRIBUTIONS | COSINUS CARRES | |------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------| | IDEN - LIBELLE COURT P.REL DISTO | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 | +------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+ | Supe - Super 7.44 0.49 | -0.24 0.53 -0.32 0.22 0.00 | 2.5 38.3 21.6 30.2 0.0 | 0.12 0.57 0.21 0.10 0.00 | | Alto - Alto 10.80 0.40 | -0.50 0.29 -0.01 -0.26 0.00 | 15.5 16.7 0.1 57.0 0.0 | 0.63 0.21 0.00 0.16 0.00 | | Medi - Medio 26.55 0.25 | -0.44 -0.13 0.18 0.07 0.00 | 29.9 8.9 23.5 11.1 0.0 | 0.78 0.07 0.13 0.02 0.00 | | Bajo - Bajo 41.20 0.10 | 0.22 -0.17 -0.15 -0.02 0.00 | 11.2 21.1 24.9 1.6 0.0 | 0.49 0.28 0.22 0.01 0.00 | | Infe - Infer 14.00 0.65 | 0.72 0.24 0.28 0.01 0.00 | 41.0 15.1 29.9 0.1 0.0 | 0.79 0.09 0.12 0.00 0.00 | +------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+ COORDONNEES, CONTRIBUTIONS ET COSINUS CARRES DES INDIVIDUS AXES 1 A 4 +---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+ | INDIVIDUS | COORDONNEES | CONTRIBUTIONS | COSINUS CARRES | |---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------| | IDENTIFICATEUR P.REL DISTO | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 | +---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+ | AN_O 6.95 0.30 | 0.46 -0.12 -0.28 0.03 0.00 | 8.3 1.8 14.8 0.5 0.0 | 0.69 0.05 0.26 0.00 0.00 | | AN_P 3.30 0.19 | -0.34 0.23 -0.13 -0.03 0.00 | 2.2 3.1 1.7 0.3 0.0 | 0.63 0.27 0.10 0.01 0.00 | | AT_O 1.57 0.36 | 0.53 -0.20 -0.12 -0.15 0.00 | 2.5 1.2 0.6 2.9 0.0 | 0.78 0.11 0.04 0.06 0.00 | | AT_P 4.82 0.46 | 0.59 0.27 0.21 -0.01 0.00 | 9.5 6.3 5.7 0.1 0.0 | 0.75 0.15 0.09 0.00 0.00 | | BG_O 5.51 0.18 | -0.19 0.05 0.20 -0.31 0.00 | 1.2 0.3 6.0 43.1 0.0 | 0.21 0.02 0.23 0.55 0.00 | | BG_P 10.86 0.46 | -0.62 0.25 -0.13 0.03 0.00 | 23.6 12.9 5.0 0.9 0.0 | 0.82 0.14 0.04 0.00 0.00 | | BL_O 2.57 0.30 | 0.53 0.08 0.05 0.10 0.00 | 4.1 0.3 0.2 2.3 0.0 | 0.93 0.02 0.01 0.04 0.00 | | BL_P 2.00 0.09 | 0.24 0.16 0.02 -0.12 0.00 | 0.6 0.9 0.0 2.2 0.0 | 0.59 0.26 0.00 0.14 0.00 | | BY_O 3.03 0.52 | -0.58 -0.29 0.32 0.04 0.00 | 5.7 4.7 8.7 0.4 0.0 | 0.64 0.16 0.20 0.00 0.00 | | BY_P 0.88 0.31 | -0.37 0.29 0.21 0.20 0.00 | 0.7 1.4 1.1 2.9 0.0 | 0.44 0.28 0.15 0.13 0.00 | | CA_O 2.11 0.05 | 0.10 0.04 0.16 0.12 0.00 | 0.1 0.0 1.5 2.7 0.0 | 0.19 0.02 0.49 0.29 0.00 | | CA_P 0.68 0.16 | 0.08 0.33 0.12 0.19 0.00 | 0.0 1.3 0.3 2.0 0.0 | 0.04 0.65 0.09 0.22 0.00 | | CE_O 1.83 0.56 | 0.72 0.17 0.04 0.05 0.00 | 5.5 1.0 0.1 0.3 0.0 | 0.94 0.05 0.00 0.00 0.00 | | CE_P 0.87 0.50 | 0.54 0.30 0.33 0.09 0.00 | 1.5 1.5 2.6 0.5 0.0 | 0.59 0.18 0.22 0.01 0.00 | | CL_O 2.63 0.14 | 0.16 -0.33 0.04 0.00 0.00 | 0.4 5.4 0.1 0.0 0.0 | 0.18 0.80 0.01 0.00 0.00 | | CL_P 0.65 0.85 | -0.45 0.72 0.00 0.37 0.00 | 0.7 6.2 0.0 7.0 0.0 | 0.24 0.61 0.00 0.16 0.00 | | CO_O 2.06 0.37 | 0.52 0.15 -0.19 -0.18 0.00 | 3.2 0.9 2.1 5.6 0.0 | 0.74 0.06 0.10 0.09 0.00 | | CO_P 0.60 0.05 | -0.21 0.01 0.07 0.02 0.00 | 0.1 0.0 0.1 0.0 0.0 | 0.90 0.00 0.09 0.01 0.00 | | CQ_O 0.84 0.17 | 0.36 -0.10 -0.12 0.12 0.00 | 0.6 0.2 0.3 1.0 0.0 | 0.77 0.06 0.08 0.08 0.00 | | CQ_P 0.12 0.19 | 0.36 0.21 0.07 -0.07 0.00 | 0.1 0.1 0.0 0.1 0.0 | 0.70 0.24 0.03 0.03 0.00 | | CU_O 3.74 0.25 | -0.31 -0.38 0.11 0.02 0.00 | 2.1 9.8 1.3 0.1 0.0 | 0.39 0.56 0.05 0.00 0.00 | | CU_P 2.09 0.17 | -0.39 -0.11 -0.04 0.03 0.00 | 1.8 0.4 0.1 0.2 0.0 | 0.91 0.07 0.01 0.01 0.00 | | GJ_O 0.94 0.72 | 0.82 0.19 0.02 0.04 0.00 | 3.7 0.6 0.0 0.1 0.0 | 0.95 0.05 0.00 0.00 0.00 | | GJ_P 0.53 0.15 | 0.23 0.26 0.17 0.02 0.00 | 0.2 0.7 0.4 0.0 0.0 | 0.34 0.45 0.20 0.00 0.00 | | HU_O 1.90 0.20 | -0.28 -0.16 0.19 0.26 0.00 | 0.8 0.9 1.9 10.0 0.0 | 0.38 0.12 0.18 0.32 0.00 | | HU_P 0.71 0.16 | -0.32 0.03 -0.22 0.09 0.00 | 0.4 0.0 1.0 0.4 0.0 | 0.64 0.00 0.31 0.05 0.00 | | MA_O 1.97 0.85 | 0.84 0.28 0.21 0.11 0.00 | 8.0 2.8 2.4 1.8 0.0 | 0.84 0.09 0.05 0.01 0.00 | | MA_P 1.05 0.55 | 0.56 0.24 0.42 -0.05 0.00 | 1.9 1.1 5.0 0.2 0.0 | 0.58 0.10 0.32 0.00 0.00 | | ME_O 1.16 0.18 | -0.40 -0.12 -0.05 -0.02 0.00 | 1.1 0.3 0.1 0.0 0.0 | 0.90 0.08 0.02 0.00 0.00 | | ME_P 0.95 0.07 | 0.17 -0.19 0.06 0.04 0.00 | 0.2 0.6 0.1 0.1 0.0 | 0.43 0.50 0.05 0.02 0.00 | | NA_O 2.84 0.16 | -0.16 -0.14 0.34 0.05 0.00 | 0.4 1.0 8.9 0.6 0.0 | 0.16 0.12 0.71 0.02 0.00 | | NA_P 0.68 0.39 | -0.58 0.22 0.06 -0.08 0.00 | 1.3 0.6 0.1 0.4 0.0 | 0.85 0.13 0.01 0.02 0.00 | | NO_O 2.50 0.09 | -0.13 -0.26 0.08 -0.05 0.00 | 0.2 3.1 0.5 0.4 0.0 | 0.18 0.72 0.08 0.02 0.00 | | NO_P 1.05 0.16 | -0.06 -0.13 -0.37 -0.08 0.00 | 0.0 0.3 4.0 0.5 0.0 | 0.02 0.10 0.84 0.04 0.00 | | QU_O 1.03 0.27 | 0.01 -0.34 -0.38 0.07 0.00 | 0.0 2.3 4.1 0.4 0.0 | 0.00 0.44 0.54 0.02 0.00 | | QU_P 0.33 0.52 | -0.48 0.48 0.23 -0.02 0.00 | 0.4 1.4 0.5 0.0 0.0 | 0.46 0.44 0.10 0.00 0.00 | | RI_O 1.73 0.20 | 0.13 -0.21 -0.37 -0.03 0.00 | 0.2 1.5 6.5 0.1 0.0 | 0.08 0.23 0.68 0.01 0.00 | | RI_P 0.52 0.56 | -0.42 0.41 -0.32 -0.34 0.00 | 0.5 1.6 1.5 4.8 0.0 | 0.31 0.30 0.19 0.20 0.00 | | ST_O 3.12 0.20 | -0.30 -0.30 0.13 -0.03 0.00 | 1.6 5.3 1.6 0.2 0.0 | 0.45 0.46 0.09 0.00 0.00 | | ST_P 1.66 0.30 | -0.40 0.21 -0.31 0.04 0.00 | 1.5 1.3 4.5 0.2 0.0 | 0.54 0.14 0.32 0.00 0.00 | | SU_O 1.08 0.22 | 0.34 -0.30 -0.08 -0.02 0.00 | 0.7 1.8 0.2 0.1 0.0 | 0.54 0.42 0.03 0.00 0.00 | | SU_P 0.59 0.14 | 0.27 -0.02 -0.05 -0.26 0.00 | 0.2 0.0 0.0 3.2 0.0 | 0.51 0.00 0.02 0.47 0.00 | | TO_O 3.44 0.16 | 0.12 -0.39 -0.03 0.04 0.00 | 0.3 9.5 0.1 0.4 0.0 | 0.08 0.90 0.01 0.01 0.00 | | TO_P 0.78 0.09 | -0.16 -0.20 0.14 0.07 0.00 | 0.1 0.6 0.4 0.4 0.0 | 0.27 0.45 0.21 0.06 0.00 | | VL_O 3.82 0.12 | 0.27 -0.11 -0.19 0.04 0.00 | 1.6 0.9 3.9 0.5 0.0 | 0.59 0.10 0.30 0.01 0.00 | | VL_P 5.90 0.02 | -0.03 0.13 -0.02 -0.01 0.00 | 0.0 1.9 0.1 0.0 0.0 | 0.04 0.93 0.03 0.01 0.00 | +---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social

Simposio de Estadística – 2001

53

Gráfico 2-9: Proyección de los Puntos-Departamentos sobre el primer plano factorial

Gráfico 2-10: Proyección conjunta de los puntos-departamentos y los puntos-categorías sobre el primer plano factorial

Pardo C.E. y Cabarcas G.

Métodos estadísticos multivariados en investigación social