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Matemáticas CCSS II

UNIDAD 1

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2º BACHILLER

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Matemáticas CCSS II

OBJETIVOS DIDÁCTICOS

1. Manejar los métodos de resolución de sistemas de dos/tres ecuaciones con dos/tres incógnitas (reducción, sustitución e igualación. 2. Profundizar en el método de Gauss para resolver y clasificar sistemas de ecuaciones lineales, tanto compatibles determinados como indeterminados. 3. Clasificar y resolver los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones. 4. Plantear y resolver, mediante sistemas de ecuaciones lineales, problemas basados en la realidad

CONCEPTOS

1. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones. Clasificación según sus soluciones. 2. Sistemas equivalentes. 3. Método de Gauss. Clasificación de sistemas por el método de Gauss. 4. Interpretación geométrica.

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1. INTRODUCCIÓN Definición 1 Se llama ecuación lineal a una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Ejemplos: 3x = 1

2x + y = 15

x–y+z=3

La ecuación expresa la condición que debe cumplir el número o números buscados, es decir, en el primer ejemplo, se busca un número cuyo triple sea 1 1 ). En el segundo ejemplo se buscan dos números que cumplan (sólo hay uno: 3 que el doble del primero mas el segundo, sea 15 (hay infinitas posibilidades x=0 y=15, x=5 y=5, x=3 y=9… ) representando gráficamente cada par (x,y), se forma una recta en el plano. Igualmente, en el tercer caso habría infinitos tríos de números que cumplen la ecuación: x=0 y=1 z=4, x=0 y=0 z=3, x=1 y=1 z=3 … Si representáramos gráficamente todas las soluciones, se formaría un plano en el espacio. Definición 2

En general, se llama ecuación lineal a toda igualdad del tipo: a1x1 + a2x2 + … + anxn = b

donde a1, a2, …, an son los coeficientes (datos conocidos), x1, x2, …, xn son las incógnitas (datos por conocer) y b es el término independiente. Definición 3

Se llama solución de una ecuación lineal a un conjunto de números (s1,s2, …,sn) que sustituidos en el lugar de las incógnitas hacen que se verifique la igualdad. Cada solución se llama solución particular y el conjunto de todas ellas se denomina solución general. Ejemplo:

Dada la ecuación 2x – y + z = 3 , (1,0,1) es una solución particular 3+y−z ⎧ ⎪x = 2 ⎪⎪ y,z ∈ R La solución general es: ⎨y = y ⎪z = z ⎪ ⎪⎩

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Definición 4

Dos ecuaciones se dicen equivalentes si tienen la(s) misma(s) solución(es). Ejemplo:

Son equivalentes:

a)

3x – 6y + 3z = 9

b)

x −1 y = 2 3

y

y

x – 2y + z = 3

3x – 2y – 3 = 0

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición 5

Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de m ecuaciones de la forma: donde: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ⎫ ⎧1 ≤ i ≤ m ⎪ a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ⎪ aij ⎨ ⎬ ⎩1 ≤ j ≤ n ..........................................⎪ xi 1 ≤ i ≤ n am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm ⎪⎭ bj 1 ≤ j ≤ m

son los coeficientes, son las incógnitas son los términos independientes

Ejemplos: ⎧x + y = 5 ⎪ ⎪− x + 2y = 4 ⎨ ⎪3x − 2y = 1 ⎪⎩4x + y = −2

⎧2x − 3y + z = 0 ⎪ ⎨− x + 2y = 1 ⎪3x − 2y + 4z = 7 ⎩

⎧x − 2y + z − t = 0 ⎨ ⎩2x − 3y + z − 4t = 2

Definición 4

Se llama solución del sistema a un conjunto de n números reales (s1, s2, …, sn) que sustituidos en las incógnitas hacen que se verifiquen todas las ecuaciones simultáneamente. El conjunto de todas las soluciones se llama solución general y cada una de ellas solución particular. Ejemplos:

1)

⎧x + y + z = 3 ⎪ (1,2,0) es la solución del sistema ⎨− x + 2y + 3z = 3 ⎪2x − y + 2z = 0 ⎩

2)

⎧x = 2 − 3z ⎪ ⎨y = 1 − 2z ⎪z = z ⎩

z∈ R

⎧x − y + z = 1 es la solución general del sistema ⎨ ⎩− x + 2y + z = 0

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Definición 5

Un sistema se dice homogéneo si todos los términos independientes son nulos (bi = 0, ∀ i). Ejemplo: ⎧x − 3y = 0 ⎪ ⎨− x + 2y − z = 0 ⎪3x + 2y + z = 0 ⎩

Observa que los sistemas homogéneos siempre tienen, al menos, la solución trivial (0,0…,0) Si el sistema se compone de ecuaciones con dos incógnitas, representa un conjunto de rectas. Resolverlo consiste en averiguar si existe un punto común a todas ellas y calcularlo. Si las ecuaciones tienen tres incógnitas, se trata de un conjunto de planos en el espacio y, al resolverlo, estaríamos calculando el punto o puntos comunes a todos los planos (si es que existe(n) ) Ejemplos:

⎧2x − y = 1 1) ⎨ ⎩x + y = 2

3x = 3 ⇒ x=1, y=1

⇒ sumando

⎧2x − y = 1 2) ⎨ ⎩4x − 2y = 0

⇒

solución única (1,1)

Luego ambas rectas se cortan en el punto (1,1).

⎧4x − 2y = 2 ⎨ ⎩4x − 2y = 0

(restando)

0=2

Imposible

Es evidente que las dos ecuaciones son contradictorias: si 2x – y es igual a 1, su doble 4x - 2y, no puede ser 0 sino 2. Por tanto, las rectas no tienen puntos comunes, son paralelas. ⎧2x − y = 1 3) ⎨ ⎩4x − 2y = 2

⇒

⎧4x − 2y = 2 ⎨ ⎩4x − 2y = 2

(restando)

0=0

cierto siempre

En este caso, ambas ecuaciones son la misma y, por tanto, se trata de dos rectas coincidentes con infinitos puntos comunes. Puesto que se cumple y = 2x-1, las infinitas soluciones serían de la forma: (x, 2x-1)

siendo x cualquier nº real.

Se deduce entonces que los sistemas pueden tener o no soluciones y se establece la siguiente clasificación:

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Definición 6

Se dice que un sistema es compatible si tiene solución. En caso contrario se dice que es incompatible. En el primer caso, si la solución es única se trata de un sistema compatible determinado. Por el contrario, si tiene infinitas soluciones, se le llama compatible indeterminado. Ejemplos:

En el caso de los tres ejemplos citados anteriormente, se puede observar que el sistema del ejemplo 1) es COMPATIBLE DETERMINADO (solución única), el sistema del ejemplo 2) es INCOMPATIBLE (ecuaciones contradictorias) y el tercer sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO (infinitas soluciones en función de un parámetro x)

3. SISTEMAS EQUIVALENTES Definición 7

Dos sistemas se dicen equivalentes si, teniendo las mismas incógnitas, tienen las mismas soluciones (No necesariamente el mismo nº de ecuaciones). Ejemplo:

Los sistemas

⎧x + y = 2 ⎨ ⎩2x − y = 1

y

⎧− x + 3y = 2 ⎪ son equivalentes pues ambos ⎨4x + y = 5 ⎪3x − 2y = 1 ⎩

tienen la misma solución (1,1) De hecho, al utilizar los métodos de reducción, Gauss etc. para resolver sistemas, se emplea como estrategia cambiar el sistema inicial por otro equivalente más sencillo de resolver, a través de una serie de transformaciones que, aunque varían el sistema, no cambian su solución. Estas transformaciones son las siguientes: Transformaciones Equivalentes

1) 2) 3) 4)

Cambiar el orden de las ecuaciones del sistema Despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla en las demás Multiplicar (dividir) una ecuación por un nº real distinto de 0. Añadir o suprimir una ecuación que sea combinación lineal de otras ecuaciones del sistema. 5) Sustituir una ecuación por el resultado de sumarle otras multiplicadas por números

Al resolver sistemas se emplean estas transformaciones de manera conveniente para conseguir, dado un sistema inicial, otros más sencillos con las mismas soluciones.

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4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS En cursos anteriores se han estudiado los métodos de sustitución, igualación, reducción y Gauss. Repasaremos únicamente este últimoMÉTODO DE GAUSS

Consiste en transformar el sistema inicial en otro equivalente triangular o escalonado, es decir, en el que cada ecuación tenga una incógnita menos que la anterior. De esta forma, la última ecuación tendría una sola incógnita que, una vez resuelta, se llevaría a la ecuación anterior para despejar sucesivamente el resto de incógnitas.

Ejemplo:

⎧x + y + z = 1 ⎪ ⇒ ⎨2x − y − 3z = 0 ⎪ − x + 2y − 2z = −5 ⎩

Resuelve el siguiente sistema:

⎧x + y + z = 1 ⎪ ⎨2x − y − 3z = 0 ⎪− x + 2y − 2z = −5 ⎩ ⎧x ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ ⎩

(−2)

⎧x ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ + ⎩ + y+ z =1 ⎧x ⎪ − 3y − 5z = −2 ⇒ ⎨y ⎪z − 6z = −6 ⎩

+

y+

z=1

− 3y − 5z = −2 3y − z = −4

⇒

=1 = −1 =1

sistema de Gauss (equivalente al inicial)

El método de Gauss permite clasificar los incompatibles, pues pueden darse tres situaciones:

sistemas

en

compatibles

o

1) Si la última ecuación es de la forma ax n = b, el sistema es compatible determinado. Como ejemplo es válido el caso anterior. 2) Si la última ecuación es de la forma 0 = 0, el sistema es compatible indeterminado. Ejemplo: ⎧x + y + z = 2 ⎪ ⎨2x + 3y − 2z = −1 ⎪3x + 4y − z = 1 ⎩ ⎧x = 2 − y − z ⎪ ⎨y = −5 + 4z ⎪z = z ⎩

(-2) (-3)

⇒

Soluciones: (7-5z, -5+4z, z)

⎧x + y + z = 2 ⎪ ⎨ y − 4z = −5 ⎪ y − 4z = −5 ⎩

⇒

⎧x + y + z = 2 ⎪ ⎨ y − 4z = −5 ⎪ 0=0 ⎩

⇒

⎧x = 2 − (−5 + 4z) − z = 7 − 5z ⎪ ⎨y = −5 + 4z ⎪z = z ⎩

donde cada valor de z da lugar a una de las infinitas soluciones.

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En realidad, esto ocurre porque alguna de las ecuaciones del sistema es combinación lineal de otras (la tercera es la suma de las dos primeras) y, por tanto, no aporta nada nuevo y podría suprimirse, quedando un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que no puede tener solución única. 3) Si la última ecuación es de la forma 0 = k siendo k ≠ 0, el sistema es incompatible y no tiene solución. Ejemplo:

⎧x + y + z = 2 ⎪ ⎨2x + 3y − 2z = −1 ⎪3x + 4y − z = 6 ⎩

⎧x + y + z = 2 ⎪ ⇒ ⎨y − 4z = −5 ⎪y − 4z = 0 ⎩

⇒

⎧x + y + z = 2 ⎪ ⎨y − 4z = −5 ⎪0 = 5 ⎩

absurdo

El sistema no tiene solución porque hay una contradicción en sus ecuaciones. Suponiendo que se cumplieran las dos primeras, su suma: 3x+4y-z , debería dar 1 y no 6 como indica la tercera.

Actividad 1. Resuelve por el método de Gauss los siguientes sistemas: ⎧x + y + z = 0 ⎪ a) ⎨2x − y − 3z = 2 ⎪− 3x + 2y + z = 1 ⎩

⎧2x − y + 3z = 2 ⎪ b) ⎨3x + 2y − 4z = 8 ⎪4x + y − z = 8 ⎩

8

⎧x + y + z = 3 ⎪ c) ⎨x + y − z = 3 ⎪z = 0 ⎩

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS CC SS II

PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 1. (JULIO 2007) El propietario de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino, por un importe total de 3000 euros (sin impuestos), siendo el valor de los refrescos igual al valor conjunto de la cerveza y el vino. Tras añadir los impuestos, la factura asciende a 3260 euros. Hallar el valor inicial de cada una de las bebidas, sabiendo que los impuestos sobre los refrescos, la cerveza y el vino eran del 6%, el 10% y el 14%, respectivamente. 2. (JULIO 2006) Tenemos el triple de peras que de naranjas. Si decidimos dar 5 naranjas y 8 peras a cada uno de los chicos de un grupo, nos sobrarán solamente 21 peras. ¿Cuántas naranjas y peras tenemos? ¿Cuántos chicos hay en cada grupo? 3. (JULIO 2005) Los 176 niños de una población rural están distribuidos en tres colegios A, B y C. Los matriculados en C suponen la cuarta parte de los matriculados en A, y la diferencia entre el número de alumnos de A y el de alumnos de B es inferior en una unidad al doble de matriculados en C. Averiguar cuántos niños recibe cada uno de los colegios. 4. (JULIO 2004) Una empresa ha invertido 73000 euros en la compra de ordenadores portátiles de tres clases A, B y C, cuyos costes por unidad son 2400 €, 1200 € y 1000 € respectivamente. Sabiendo que, en total, ha adquirido 55 ordenadores y que la cantidad invertida en los de tipo A ha sido la misma que la invertida en los de tipo B, averiguar cuántos aparatos ha comprado de cada clase. 5. (JUNIO 2003) En la fabricación de cierta marca de chocolate se emplea leche, cacao y almendras, siendo la proporción de leche, doble que la de cacao y almendras juntas. Los precios por cada kilogramo de los ingredientes son: leche, 0’8 euros; cacao, 4 euros; almendras, 13 euros. En un día se fabrican 9000 kilos de ese chocolate, con un coste total de 25800 euros. ¿Cuántos kg se utilizan de cada ingrediente? 6. (JULIO 2002) Juan y Pedro invierten 12000 euros cada uno. Juan coloca una cantidad A al 4% de interés (anual), una cantidad B al 5%, y el resto C al 6%, mientras que Pedro invierte la cantidad A al 5%, la B al 6%, y la C al 4%. Hallar las cantidades A, B y C, sabiendo que Juan obtiene unos intereses anuales de 630 €, y Pedro obtiene 570 €. 7. (JULIO 2001) Por la compra de 8 kg de café natural y 5 kg de café torrefacto se han pagado 11000 pta. Hallar el precio del kilo de cada tipo de café, sabiendo que si se mezclan a partes iguales, el kilo sale a 800 pta.

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8. (JULIO 2000) Se dispone de un depósito de 24 litros de capacidad y de tres medidas A, B y C. Se sabe que el volumen de A es doble del de B, que entre las tres medidas llenan el depósito, y que las dos primeras lo llenan hasta la mitad. ¿Qué capacidad tiene cada medida? 9. (SEPTIEMBRE 1998) Hallar las edades de los tres hijos de cierta persona, sabiendo que: la edad actual del mayor es el doble de la que tendrá el menor el año que viene; la edad del mediano es exactamente la mitad de la suma de las edades de los otros dos; la diferencia de edad entre el mayor y el menor coincide con la edad que tenía el mediano hace dos años. 10. (JUNIO 1999) En un teatro hay localidades de tres clases, A, B y C, cuyos precios son 500, 1000 y 2000 pta. Respectivamente. Cierto día, la recaudación total fue de 1100000 pta. Si se sabe además que de clase A se vendieron tantas localidades como de las clases B y C juntas, y que de la B se vendió el doble que de la C, averiguar cuántas localidades de cada clase se vendieron ese día. 11. (SEPTIEMBRE 1998) Un individuo invirtió un total de 6 millones de pesetas en tres empresas A, B y C, obteniendo un beneficio de 450.000 pta. En A invirtió el doble que en B y C juntas, y la rentabilidad de A fue del 5%, la de B el 10%, y la de C el 20%. ¿Qué cantidad de dinero invirtió exactamente en cada una de estas empresas? 12. Invirtiendo 1 millón de pesetas en acciones de tipo A y 2 millones en acciones de tipo B obtendríamos unos intereses totales anuales de 280.000 pta., y si invertimos 2 millones en A y 1 millón en B obtenemos 260.000 pta. ¿Cuáles serían los intereses si se invirtieran 3 millones en A y 5 millones en B? 13. Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 638.400 pta. El original costaba 1.200 pta., pero también ha vendido copias, presuntamente defectuosas, con descuentos del 30% y del 40%. Sabiendo que el número de copias vendidas fue la mitad del de originales, calcular a cuántas copias se le aplicó el descuento del 30%. 14. En cierta heladería, por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos te cobran 34 € un día. Otro día, por 4 copas de la casa, y 4 horchatas te cobran 44 €, y un tercer día, te piden 26 € por una horchata y 4 batidos. ¿Tienes motivos para pensar que alguno de los tres días te han presentado una cuenta incorrecta? 15. ¿Cuál debe ser el valor de a para que el par (2,4) sea solución del siguiente ⎧ax + y = −30 sistema? ⎨ ⎩x − 5y = a − 1 16. Clasifica y resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas:

⎧x + 2y − 3z = 3 ⎪ a) ⎨3x + y + 5z = 4 ⎪− 4x − y + z + 5 = 0 ⎩

⎧x − 3y − z = 0 ⎪ b) ⎨2x − 5z = 3 ⎪x + 3y − 4z = 3 ⎩

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⎧x + 3y + z = −1 ⎪ c) ⎨3x + 2y − z = 0 ⎪x − 4y − 3z = 1 ⎩

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⎧2x − 3y + z = 0 ⎪ d) ⎨3x − y = 0 ⎪4x + y − z = 0 ⎩

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⎧− 2x + y − 4z = 7 ⎪ e) ⎨x + 4y + z = −1 ⎪x + 13y − z = 0 ⎩

⎧− x + 4y = 2 ⎪ d) ⎨2x − y + z = 1 ⎪3x − 5y + z = −1 ⎩

CUESTIONES 17. Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, incluyendo un contraejemplo en caso negativo:

a. Un sistema de ecuaciones que tiene más incógnitas que ecuaciones es siempre compatible determinado b. Si un sistema tiene más ecuaciones que incógnitas, será compatible determinado c. Un sistema homogéneo tendrá como solución (0,0,0…0) d. Un sistema que tiene el mismo número de incógnitas que de ecuaciones es compatible determinado e. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas puede tener exactamente dos soluciones f. Un sistema que tenga menos ecuaciones que incógnitas es siempre incompatible

⎧x + y + z = 3 18. Añade una ecuación al sistema ⎨ ⎩2x − y + 3z = −1 sistema sea: a) compatible determinado b) compatible indeterminado c) incompatible

de manera que el nuevo

19. Si a un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas le añadimos una ecuación que es combinación lineal de las ecuaciones que teníamos, obtenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. ¿Qué relación existe entre los dos sistemas?

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UNIDAD DIDÁCTICA 2

MATRICES

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OBJETIVOS DIDÁCTICOS

1. Reconocer informaciones que se puedan representar mediante

matrices.

2. Operar con matrices. 3. Reconocer características especiales atendiendo a sus propiedades.

de

las

operaciones

con

matrices,

4. Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales . 5. Resolver problemas que se puedan representar mediante matrices. 6. Realizar potencias n-ésimas de matrices.

CONCEPTOS 1. Definición de matriz. Tipos de matrices. 2. Operaciones con matrices: suma, producto por un escalar, producto de matrices y potencias ( método de inducción). Propiedades. 3. Matriz inversa: definición y cálculo directo. 4. Ecuaciones y sistemas matriciales.

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MATRICES 1. DEFINICIÓN Se llama matriz a todo conjunto de nos reales ordenados en una tabla de m filas y n columnas expresada entre paréntesis. Se representa por una letra mayúscula A, B… o como (aij), (bij)… Ejemplos: 1 ⎞ ⎛0 0 ⎟ ⎜ B = ⎜3 − 1 2 ⎟ ⎜ 4 1 − 2⎟ ⎠ ⎝

⎛ 2 0 − 1⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝3 1 4 ⎠

En general, cualquier matriz es de la forma:

A=

⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜ ... ⎜ ⎜a ⎝ m1

a12 a22 ... am2

a13 a23 ... am3

... a1n ⎞ ⎟ ... a2n ⎟ ... ... ⎟ ⎟ ... amn ⎟⎠

•

Cada aij indica el elemento correspondiente a la fila i y la columna j. (El primer subíndice indica fila y el segundo columna)

•

Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que es de orden o dimensión mxn. Consta de m·n elementos.

Ejemplos: ⎛ 1 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 1 0 ⎟ es una matriz de orden 3x2 ⎜ 5 1⎟ ⎝ ⎠

B = (1 − 3)

•

y contiene 6 elementos.

es de orden 1x2

Dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y coinciden término a término. A = (aij) A = B ⇔ aij = bij B = (bij)

2. TIPOS DE MATRICES 2.1 Matriz Fila: Ejemplo:

Consta de una sola fila, es decir, es de orden 1xn. A = (1 0 − 1)

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2.2 Matriz Columna: Consta de una sola columna, es decir es de orden mx1.

Ejemplo:

⎛ 3 ⎞ ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎝ − 1⎠

2.3 Matriz Cuadrada: Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo nº de filas que de columnas, esto es, es de orden nxn aunque se expresa únicamente n. En caso contrario se llama rectangular.

Ejemplo:

4 ⎞ ⎛1 ⎟ C = ⎜1 ⎜ − 2⎟ ⎠ ⎝ 3

matriz de orden 2

En las matrices cuadradas se llama diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, …, ann . La otra diagonal se llama diagonal secundaria y está formada por los aij tales que i+j = n+1. ⎛ a11 ⎜ A = ⎜ a21 ⎜a ⎝ 31 Diagonal Secundaria

a12 a22 a32

a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ a33 ⎟⎠ Diagonal Principal

2.4 Matriz Traspuesta de A: Dada una matriz A, se define su matriz traspuesta y se escribe At, como aquella que se obtiene cambiando en A filas por columnas.

Ejemplo:

⎛ 1 2⎞ ⎜ ⎟ A t = ⎜ 3 0⎟ ⎜ − 1 5⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 3 − 1⎞ ⎟⎟ A= ⎜⎜ ⎝2 0 5 ⎠

Se observa que si A es de orden mxn, At será de orden nxm. 2.5 Matriz simétrica: Toda matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es decir: A = At o bien aij = aji ∀ij

Ejemplo:

1 − 5⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ 2 − 3⎟ A= ⎜ 1 ⎜− 5 − 3 1 ⎟ ⎝ ⎠

Comprueba que coincide con su traspuesta y observa que se produce una simetría respecto a la diagonal principal.

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2.6 Matriz Hemisimétrica o Antisimétrica: Toda matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su traspuesta: A = -At

Ejemplo:

A=

⎛ 0 − 1 5⎞ ⎜ ⎟ 0 3⎟ ⎜ 1 ⎜ − 5 − 3 0⎟ ⎝ ⎠

2.7 Matriz Nula: Todos sus elementos son iguales a 0. Existe una para cada orden. Se representa O mxn

⎛0 0 0⎞ ⎟⎟ O 2x3 = ⎜⎜ ⎝0 0 0⎠

Ejemplo:

⎛0 0⎞ ⎟⎟ O 2 = ⎜⎜ ⎝0 0⎠

2.8 Matriz Diagonal: Toda matriz cuadrada en la que los elementos que no ∀i ≠ j pertenecen a la diagonal principal son 0, es decir aij = 0

Ejemplo:

⎛2 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 3⎟ ⎝ ⎠

2.9 Matriz Unidad/ Identidad: Toda matriz diagonal donde los elementos de la diagonal son iguales a 1. Se representa I o In

Ejemplo:

I2

⎛1 0⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝0 1⎠

I3

⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠

2.10 Matriz Triangular Superior: Toda matriz cuadrada en la que los elementos situados por debajo de la diagonal principal son iguales a 0.

Ejemplo:

⎛1 3 0⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜0 − 1 1⎟ ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠

2.11 Matriz Triangular Inferior: Toda matriz cuadrada en la que los elementos situados por encima de la diagonal principal son iguales a 0.

Ejemplo:

A=

⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 1 3 0⎟ ⎜ 5 4 7⎟ ⎝ ⎠

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Actividad 1. Escribe, si es posible:

a) La matriz unidad de orden 5 b) Una matriz diagonal de orden 3 c) La matriz nula de orden 3x2 d) Una matriz simétrica de orden 2x4

3. OPERACIONES CON MATRICES 3.1 SUMA Y RESTA Definición: Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) del mismo orden mxn, se define su suma como otra matriz del mismo orden, cuyos elementos se obtienen sumando los respectivos elementos de A y B que se encuentran en el mismo lugar, es decir (aij) + (bij) = ( aij + bij)

Ejemplo:

⎛ 4 3 − 7⎞ ⎛ 2 1 3⎞ ⎛6 4 − 4⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1 6 0 ⎠ ⎝ − 1 0 5⎠ ⎝0 6 5 ⎠

Propiedades 1. 2. 3. 4.

Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) Conmutativa: A+B=B+A Elemento Neutro: La matriz nula O del mismo orden (A+O = O+A = A) Elemento Opuesto de A: Toda matriz A = (aij) tiene una matriz opuesta -A = (-aij) ya que: (aij) + (-aij) = O

Por cumplir estas cuatro propiedades, se dice que el conjunto de matrices de orden mxn, es un Grupo Abeliano respecto a la suma. Definición de RESTA:

Suma con la matriz opuesta A – B = A + (-B)

3.2 PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Definición: Dada una matriz A=(aij) de orden mxn y un nº real p, se define el producto p · A como otra matriz de orden mxn cuyos elementos se obtienen multiplicando cada elemento de A por p, es decir, p · A = p (aij) = (p · aij)

Ejemplo:

⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 3 − 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 · ⎜2 0 ⎟ = ⎜ 6 0 ⎟ ⎜5 3 ⎟ ⎜15 9 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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Propiedades 1. Distributiva respecto a la suma de matrices

p (A + B) = p · A + p · B 2. Distributiva con respecto a la suma de escalares 3. Asociativa mixta

(k + p) · A = k · A + p · B (k · p) · A = k (p · A)

4.

1·A=A

(1 es el elemento neutro del producto de nos reales)

siendo p,k números reales cualesquiera y A,B matrices de orden mxn. Por cumplirse estas 4 propiedades respecto al producto de una matriz por un escalar, y por ser un grupo abeliano respecto a la suma, se dice que el conjunto de matrices de orden mxn es un Espacio Vectorial.

3.3 PRODUCTO DE MATRICES

Veamos primero algunos ejemplos: ⎛ 2 − 1⎞ ⎟⎟ · a) ⎜⎜ ⎝3 4 ⎠

⎛1 0 ⎞ ⎛ 2·1 + (−1)·5 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝5 7 ⎠ ⎝ 3·1 + 4·5

2·0 + (−1)·7 ⎞ ⎛ − 3 − 7⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 3·0 + 4·7 ⎠ ⎝ 23 28 ⎠

⎛− 3 5 ⎞ ⎟ ⎛ 2 − 1 3⎞ ⎜ ⎛ 2·(−3) + (−1)·6 + 3·8 ⎜ ⎟ 6 2 b) ⎜ · − ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 4 0 1⎠ ⎜ 8 ⎝ 4·(−3) + 0·6 + 1·8 7 ⎟⎠ ⎝

⎛ 2 − 1 3⎞ ⎟⎟ · c) ⎜⎜ ⎝ 4 0 1⎠

⎛1 0 ⎞ ⎛ 2·1 + (−1)·5 + 3·? ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎜⎜ 5 7 ⎠ ⎝ ⎝

2·5 + (−1)·(−2) + 3·7 ⎞ ⎛ 12 33 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 4·5 + 0·(−2) + 1·7 ⎠ ⎝ − 4 27 ⎠

⎞ ⎟⎟ ⎠

No es posible

Se observa que cada fila de la matriz resultante se obtiene multiplicando escalarmente dicha fila de la primera matriz, por cada columna de la segunda. También se observa que para que dicho producto escalar sea posible, es necesario que el número de columnas de la primera matriz sea igual que el número de filas de la segunda. Además, la matriz producto tendrá tantas filas como la primera matriz y tantas columnas como la segunda. Por tanto: Definición: Dos matrices A de orden mxn y B de orden sxt son multiplicables, si el nº de columnas de A coincide con el nº de filas de B, es decir, n = s.

19

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Definición: Dadas dos matrices A = (aij) de orden mxn y B = (bij) de orden nxp, se define el producto de A y B como otra matriz C = (cij) de orden mxp, donde cada elemento cij se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de A por la columna j de B. Es decir: ⎛ a11 ⎜ ⎜ ... ⎜a ⎜ i1 ⎜ ... ⎜ ⎝ am1

a12 ... ai2 ... am2

... a1n ⎞ ⎟ ⎛ b 11 ... ... ⎟ ⎜ ⎜ b 21 ... ain ⎟ · ⎜ ⎟ ... ... ... ⎟ ⎜⎜ b n1 ⎟ ... amn ⎠ ⎝

... b 1 j ... b 1p ⎞ ⎟ ⎛ c 11 ⎜ ... b 2 j ... b 2p ⎟ = ⎜ ... ⎟ ... ... ... ... ⎜ ⎟ ⎝ c m1 ... b nj ... b np ⎟⎠

... c 1p ⎞ ⎟ c ij ... ⎟ ⎟ ... c mp ⎠

donde c ij = a i1 · b 1 j + ai2 · b 1 j + ... + ain · b nj

Actividades 2. Realiza las siguientes operaciones: ⎛1 a) 3· ⎜⎜ ⎝2 ⎛3 ⎜ b) 4 ⎜ 0 ⎜5 ⎝

− 1⎞ ⎛ 2 − 3 ⎞ ⎟ -⎜ ⎟ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 5 ⎟⎠ ⎡⎛ − 1 2 ⎞ − 1⎞ ⎛ 1 0 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎟ ⎢⎜ 0 ⎟ - 6 ⎢⎜ 3 1 ⎟ − 7⎜ 2 1 ⎟⎥ ⎜ 4 − 2 ⎟⎥ ⎢⎜ 4 1 ⎟ 1 ⎟⎠ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣⎝

⎡⎛ 3 1 ⎞ 1 ⎛ 2 0 ⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎟⎟ − ⎜⎜ c) ⎢⎜⎜ ⎣⎢⎝ 0 − 1⎠ 3 ⎝ − 1 1 ⎠⎥⎦

2

⎛1 1 ⎞ 2 ⎟ ⎛1 2 ⎞ ⎛ 3 − 1 2 ⎞⎜ ⎟⎟⎜ 0 3 ⎟ ⎟⎟ +3 ⎜⎜ d) - ⎜⎜ ⎝ 0 1 0 ⎠⎜ 2 − 1⎟ ⎝5 0 ⎠ ⎝ ⎠

3. Dadas las matrices

a) A+B

⎛1 − 1 0 ⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜2 1 1 ⎟ y ⎜ 3 0 − 1⎟ ⎠ ⎝

b) A+2B g) A·B·A

4. Calcula A·B y B·A siendo

c) A·B

⎛ 0 1 − 2⎞ ⎟ ⎜ B = ⎜ 3 1 − 1 ⎟ calcula: ⎜− 1 1 0 ⎟ ⎠ ⎝

d) A 2

e) A 2 - B 2

h) (A+B)·(A-B)

⎛ − 1 3⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ 0 1⎟ ⎜ 2 2⎟ ⎠ ⎝

y

⎛2 − 1 1⎞ ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎝0 1 3⎠

Propiedades 1. Asociativa

(A · B) · C = A · (B · C)

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f) B·A

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2. Distributiva respecto a la suma

A · (B + C) = A · B + A · C (A + B) · C = A · C + B · C Se deduce que sólo se puede sacar factor común una matriz en una suma, si dicha matriz multiplica en todos los sumandos por el mismo lado (derecha o izquierda) ya que: 3. NO se cumple la conmutativa

De hecho, es posible que no exista A·B o B·A según la dimensión de cada matriz. Por ello, es importante mantener el orden en el que aparezcan las matrices que se van a multiplicar. Si A es de orden mxn ⇒

A·B es de orden mxp B·A no existe

B es de orden nxp Se hace necesario entonces hablar de multiplicación por la izquierda o por la derecha. Como consecuencia de esto, no se cumplen las igualdades notables: (A ± B)2 ≠ A2 ± 2 AB + B2 (A + B) · (A –B) ≠ A2 – B2 porque (A+B) 2 = (A+B)·(A+B) = A 2 + A·B + B·A + B 2 , como A·B es distinto de B·A, no se puede sustituir por 2A·B. 4. Si A · B = A · C ⇒ B = C

Busca un ejemplo que lo confirme

5. Si A · B = O ⇒ A = O ó B = O

Ejemplo:

⎛1 1 ⎞ ⎛ - 1 - 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ · ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1 1 ⎠ ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠

Actividad 5. Hallar x e y para que:

⎛2 1 3 ⎞ ⎛3 x 1 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + 2 ⎜⎜ ⎝5 x 4 ⎠ ⎝1 2 0 ⎠

21

⎛ 7 3 7⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝11 y 8 ⎠

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3.4

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POTENCIA DE UNA MATRIZ

Definición:

Se define la potencia n-ésima de A, matriz cuadrada, como: A2 ·...· A An = A 1·4 43 n veces

Es evidente que si A es rectangular no se podrá multiplicar por sí misma. Para calcular A n dada la matriz A, nos serviremos del método de inducción.

⎛1 7⎞ ⎟⎟ , Dada la matriz A = ⎜⎜ ⎝0 1⎠

Ejemplo:

hallar A n .

El método de inducción requiere tres pasos: 1) Calculamos las primeras 3 ó 4 potencias: A 2 , A 3 , A 4 … ⎛1 7⎞ ⎛1 7⎞ ⎛ 1 14 ⎞ ⎟⎟ · ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ A 2 = ⎜⎜ ⎝0 1⎠ ⎝0 1⎠ ⎝0 1 ⎠ ⎛ 1 14 ⎞ ⎛ 1 7 ⎞ ⎛ 1 21⎞ ⎟⎟ · ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ A 3 = A 2 · A = ⎜⎜ ⎝0 1 ⎠ ⎝0 1⎠ ⎝0 1 ⎠

A4 = A

3

⎛ 1 21 ⎞ ⎛ 1 7 ⎞ ⎛ 1 28 ⎞ ⎟⎟ · ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ · A = ⎜⎜ ⎝0 1 ⎠ ⎝0 1⎠ ⎝0 1 ⎠

⎛ 1 7n ⎞ ⎟⎟ 2) Suponemos, aplicando la misma regla, que A n = ⎜⎜ ⎝0 1 ⎠

3) Demostramos que la siguiente potencia A n+1 sigue también la misma regla en cuyo caso, como n representa cualquier potencia, demostraríamos que si una potencia sigue ese patrón, la siguiente también, por lo que sería un patrón válido para todo valor de n.

Es decir, se debería cumplir:

⎛ 1 7(n + 1) ⎞ ⎟⎟ A n+1 = ⎜⎜ 1 ⎝0 ⎠

vamos a comprobarlo:

⎛ 1 7n ⎞ ⎛ 1 7 ⎞ ⎛ 1 7 + 7n ⎞ ⎛ 1 7(n + 1) ⎞ ⎟⎟ · ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ A n+1 = A n · A = ⎜⎜ 1 ⎠ 1 ⎝0 1 ⎠ ⎝0 1⎠ ⎝0 ⎝0 ⎠

Actividad 6. Calcula la potencia n-ésima de las matrices: ⎛1 7⎞ ⎟⎟ a) A = ⎜⎜ ⎝0 1⎠

⎛ a 1⎞ ⎟⎟ b) D = ⎜⎜ ⎝ 0 a⎠

22

c.q.d.

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4. MATRIZ INVERSA Definición: Se define matriz inversa de A cuadrada y de orden n, y se escribe A-1 , como la matriz de orden n que cumple: A · A-1 = A-1 · A = I

No todas las matrices cuadradas tiene inversa. Descubriremos la causa en la siguiente unidad sobre determinantes. Ejemplo: Calculo Directo:

⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟ , hallar A-1 Dada la matriz A = ⎜⎜ ⎝2 1 ⎠

⎛x y⎞ ⎟⎟ . Llamamos A −1 = ⎜⎜ ⎝z t ⎠ ⎛1 0⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ x y ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ · ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝0 1⎠ ⎝2 1 ⎠ ⎝ z t ⎠

⇒

⎧x − z = 1 ⎪ ⎪2x + z = 0 ⎨ ⎪y − t = 0 ⎪⎩2y + t = 1

⇒

Se debe cumplir: y−t ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ x−z ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝0 1⎠ ⎝ 2x + z 2y + t ⎠

3x = 1 ⇒ x =

1 2 , z=3 3

3y = 1 ⇒ y =

1 1 , t= 3 3

⇒

1 ⎞ ⎛ 1 3⎟ Luego la matriz inversa es: A −1 = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ − 2 1 ⎜ 3 3⎠ ⎝

En la siguiente unidad estudiaremos otra manera más ventajosa de calcular la matriz inversa, pues si la matriz es de orden 3 o superior, habría que manejar un número elevado de incógnitas (9, 16 …)

⎛ 1 − 3⎞ ⎟⎟ Calcula la matriz inversa de B = ⎜⎜ ⎝− 2 6 ⎠

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5.

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ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES

Son aquellos en los que las incógnitas son matrices. Ejemplos:

1) Hallar la matriz X tal que A·X = B dadas A y B 2) Hallar las matrices A y B tales que: ⎧ ⎛3 1 1⎞ ⎟⎟ ⎪A + B = ⎜⎜ ⎪ ⎝0 1 2⎠ ⎨ ⎪2A − 2B = ⎛⎜ − 1 0 0 ⎞⎟ ⎜ 1 3 5⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩

Se procede de la misma forma que con ecuaciones lineales teniendo en cuenta la no conmutatividad. Ejemplo:

1) A·X = B si utilizamos la matriz inversa y la multiplicamos en ambos miembros: A −1 ·A·X = A −1 ·B ⇒ I·X = A −1 ·B ⇒ X = A −1 ·B

(Es importante multiplicar A −1 en ambos miembros por la izquierda o en ambos por la derecha para que la ecuación no varíe dada la no conmutatividad) 2) X·A = B ⇒ X·A· A −1 = B· A −1

⇒ X·I = B· A −1 ⇒ X = B· A −1

Comprueba que siempre se verifica: A·I=I·A=A (es decir, la matriz unidad actúa de elemento neutro del producto)

Actividades ⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ y 7. Si A= ⎜⎜ ⎝3 1 ⎠

⎛ − 1 1⎞ ⎟⎟ , resuelve las ecuaciones: a) A 2 +2X = B B= ⎜⎜ ⎝ 2 1⎠ b) A·X=B

8. Halla las matrices X e Y tales que:

0⎞ ⎛ 2 ⎟⎟ 5X + 3Y = ⎜⎜ ⎝ − 4 15 ⎠

⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟ 3X+2Y = ⎜⎜ ⎝− 2 9 ⎠

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MATRICES:

EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS CC SS II

1. Realiza todas las multiplicaciones posibles entre dos de las matrices:

i. A = (1 3 − 2)

⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ − 1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛3 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜0 1 − 2⎟ ⎜5 4 − 1⎟ ⎝ ⎠

2. Encuentra el valor de x e y para que se verifique cada igualdad: ⎛3 − 1 1 ⎞ ⎛ 2 x 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) a) ⎜ 2 0 − 3 ⎟ · ⎜ − 1 1 − 1⎟ = ⎜1 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ y 2 2 ⎟⎠ ⎝ ⎛ 3 2⎞ ⎛ x y ⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎟⎟·⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ c) b) ⎜⎜ ⎝ − 1 1⎠ ⎝ z t ⎠ ⎝ − 1 1⎠

⎛8 − 2 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 − 8 − 4⎟ ⎜1 0 0 ⎟⎠ ⎝

⎛ 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 3⎞ ⎟⎟ y B = ⎜ − 1 3 ⎟ comprobar que (B·A) t = A t · B t 3. Dadas las matrices A = ⎜⎜ ⎝0 1⎠ ⎜ 0 5⎟ ⎝ ⎠

4. Hallar, en cada caso, la matriz X que verifique: ⎛ 2 − 1⎞ 1 ⎛− 1 2 ⎞ ⎟⎟ + 3X = ⎜ ⎟ b) a) ⎜⎜ 2 ⎜⎝ 2 − 1⎟⎠ ⎝ − 1 − 1⎠ ⎛ 1 ⎞ 3⎟ ⎛1 ⎞ ⎜− 0⎟ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ c) X · ⎜ 2 ⎜ 1 2⎟ ⎜ 6 2 ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠

⎛1 1⎞ ⎛1 − 1 4 2 ⎞ ⎟⎟ · A = ⎜⎜ ⎟⎟ d) c) ⎜⎜ ⎝2 3⎠ ⎝ 4 − 4 9 4⎠

5. Calcula el valor de m y n para que se cumpla la igualdad: A 2 - m·A – n·I =O ⎛2 5 ⎞ ⎟⎟ , I la matriz identidad de orden 2 y m,n ∈ R. siendo A = ⎜⎜ ⎝ 7 − 1⎠ (Observa que O no puede ser el número 0 pues la igualdad no podría cumplirse. Lógicamente es la matriz nula de orden 2)

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6. Calcula la potencia n-ésima de las matrices: ⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ i. a) B = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜2 0 1⎟ ⎝ ⎠

7. Dada la matriz

⎛1 2 ⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝1 0 ⎠

⎛0 1⎞ ⎟⎟ b) C = ⎜⎜ ⎝1 0⎠

¿es posible hallar una matriz B tal que

⎛5⎞ ⎛5⎞ A · B = ⎜⎜ ⎟⎟ ? , ¿y una matriz C tal que C · A = ⎜⎜ ⎟⎟ ? 3 ⎝ ⎠ ⎝3⎠

Razónalo.

⎛3 1 ⎞ ⎟⎟ , halla la matriz B tal que B = 3A t ·A – 2I 8. Dada la matriz A = ⎜⎜ 5 2 ⎝ ⎠ ⎛2 0⎞ ⎟⎟ . y resuelve la ecuación A·X = ⎜⎜ ⎝0 1⎠

9. Resolver el sistema matricial:

⎛1 − 1 5X – Y = ⎜⎜ ⎝2 0 ⎛0 1 4X – 5Y = - ⎜⎜ ⎝2 1

2⎞ ⎟ 3 ⎟⎠ − 3⎞ ⎟ − 4 ⎟⎠

PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD

10. (JULIO 2007) Hallar A 2 , A 3 , A 4 y A 5 , siendo A la matriz: ⎛ 1 1⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 0 1⎠ ¿Se percibe algún patrón que permita adivinar cuál es A 50 ,y en general, A n ?

⎛ 2 3⎞ ⎟⎟ , Si I es la matriz identidad de orden 2, y A = ⎜⎜ ⎝ − 2 1⎠ hallar el valor que deben tener x e y para que se cumpla la igualdad: A 2 - xA –yI =0

11. (SEPTIEMBRE 1999)

12. (SEPTIEMBRE 1993)

Sabiendo que:

⎛2 3 1 ⎞ ⎟⎟ 2A+3B = ⎜⎜ ⎝7 2 − 3⎠

⎛3 − 1 − 4 ⎞ ⎟ 3A – B = ⎜⎜ 1 ⎟⎠ ⎝5 3

Calcular, si es posible, A·B y A·B t .

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CUESTIONES

13. Indica por qué no pueden efectuarse las siguientes operaciones: ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ b) a) ⎜ − 1⎟ ⋅ (2 1 7) + (8 5 2) ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ 2

⎛1 − 1 3 ⎞ ⎛− 1 4 0 ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ c) b) ⎜⎜ ⎝ 0 6 − 5⎠ ⎝2 0 4 ⎠ −1

⎛3 5⎞ ⎛1 2⎞ ⎟⎟ · ⎜⎜ ⎟⎟ d) c) ⎜⎜ ⎝0 0⎠ ⎝1 1⎠ 14. Si la matriz A tiene orden nxm y la matriz B, mxn, indica si pueden realizarse las siguientes operaciones y, en caso afirmativo, di el orden de la matriz resultante: a) A·B b) B·A c) 3·A d) A·B+I n e) A+B f) A 2

15. Razona si es verdadero o falso: b) Toda matriz diagonal es simétrica c) La matriz nula de orden 2x4 es simétrica d) La matriz unidad es triangular superior e) Toda matriz triangular superior e inferior es diagonal f) Toda matriz nula es diagonal 16. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, razona cuáles de las siguientes propiedades son ciertas: a) A·B = B·A b) (A+B)+C = A+(B+C) c) (A·B) t = A t ·B t d) A 3 = A 2 · A = A·A 2 e) (A+B) t = A t +B t f) (A+B) 2 = A 2 +2AB+B 2 g) B·A+C·B = B·(A+C)

17. Justifica por qué no es cierta la igualdad (A+B)·(A-B) = A 2 - B 2

⎛1 5 − 2 0 ⎞ ⎟⎟ , ¿existe una matriz B tal que A·B sea la 18. Dada la matriz A = ⎜⎜ ⎝2 1 1 3 ⎠ matriz A? Razona tu respuesta.

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UNIDAD 3

DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

2º BACHILLER

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OBJETIVOS DIDÁCTICOS

1. Conocer el concepto de determinante de una matriz cuadrada. 2. Conocer y aplicar las propiedades de los determinantes. 3. Calcular el valor de un determinante de cualquier orden empleando la regla de Sarrus y el desarrollo por los elementos de una línea. 4. Utilizar los determinantes para asegurar la existencia de la inversa de una matriz y para calcular dicha inversa. 5. Hallar el rango de una matriz por medio de sus menores. 6. Resolver ecuaciones matriciales a través de la matriz inversa. 7. Enunciar, comprender y aplicar la regla de Cramer para la resolución sistemas de ecuaciones.

de

8. Clasificar sistemas a través del teorema de Rouché.

CONCEPTOS: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Determinantes de orden 2 y 3: concepto y cálculo. Propiedades de los determinantes. Menores complementarios y matriz adjunta. Cálculo del valor de un determinante de cualquier orden por el desarrollo de una línea. Determinación de la matriz inversa. Rango de una matriz. Expresión matricial de un sistema. Regla de Cramer. Teorema de Rouché.

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1. INTRODUCCIÓN Para llegar a la definición de determinante de una matriz son necesarios algunos conocimientos previos. Definición 1 Se llaman permutaciones de n elementos (nos naturales) a las distintas maneras en que pueden ordenarse. De entre ellas, se llama permutación principal a la que respeta el orden natural creciente de sus elementos. Ejemplo: 3,1,2,4

1,4,3,2

2,1,4,3 …

son permutaciones de 4 elementos.

1,2,3,4 es la permutación principal. Con 2 elementos hay 2 permutaciones: 1,2 y 2,1. Con 3 elementos hay 6 permutaciones: 1,2,3 1,3,2 Con 4 elementos hay _______

2,1,3

2,3,1

3,1,2

3,2,1

permutaciones. Escríbelas.

Determina, en general, el número de permutaciones para n elementos.

Definición 2 Se dice que 2 elementos de una permutación cualquiera de n elementos presentan una inversión, si están en orden contrario al de la permutación principal, y se dice que presentan permanencia si están en el mismo orden.

2 1 4 5 3

Ejemplo:

Permanencia

inversión

Para contar todas las inversiones de una elemento con todos los que le siguen. Ejemplo:

2 Inv.

4

1 Inv.

permutación, se compara cada

3 Inv.

Esta permutación tiene 3 inversiones en total.

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Definición 3 Se dice que una permutación es de clase par si tiene un nº par de inversiones y de clase impar si tiene un nº impar de inversiones. Indica la clase de las siguientes permutaciones: 2 5 3 1 4

2 4 3 1 5

n! ) son de clase par y la 2

De las n! permutaciones de 1, 2, …, n, la mitad ( otra mitad son de clase impar. Ejemplo: Veámoslo con las permutaciones de tres elementos: 1 1 2 2 3 3

2 3 1 3 1 2

3 2 3 1 2 1

— — — — — —

0 inversiones 1 inversiones 1 inversiones 2 inversiones 2 inversiones 3 inversiones

— — — — — —

PAR IMPAR IMPAR PAR PAR IMPAR

Definición 4 Se llama signatura de una permutación al nº (− 1) nº de inversiones de la permutación.

ν

donde ν representa al

Por tanto, las permutaciones pares tendrán signatura 1 y las impares -1. PROPOSICIÓN Si en una permutación intercambiamos entre sí 2 elementos cualesquiera, ésta cambia de clase. Ejemplo: Intercambiamos el 4 con el 5:

2, 5, 3, 1, 4

5 inversiones: Clase IMPAR

2, 4, 3, 1, 5

4 inversiones: Clase PAR

Demostración 1) Si intercambiamos dos nos consecutivos, lo único que se altera es el orden establecido entre ellos porque su situación respecto a los restantes no varía. Por tanto, aumenta o disminuye 1 unidad el nº de inversiones y cambia la clase. 2) Si no son consecutivos, hay h espacios intermedios entre ambos nos. Para pasar el 1º hasta el lugar del 2º hay que realizar h cambios con su inmediato a la derecha, y para pasar del 2º al lugar del 1º, h-1 cambios con el consecutivo a su izquierda. Son en total 2h-1 cambios consecutivos y en cada uno de ellos cambia la clase. Por ser un nº impar de cambios, el resultado final (par o impar) es contrario al inicial.

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Utilizaremos el ejemplo anterior para comprender la idea. Partimos de la permutación 2. 5, 3, 1, 4 de clase impar e intercambiamos el 5 con el 4 a través de sucesivos cambios consecutivos. Para llevar el 5 al lugar del 4 hay que hacer 3 cambios con su inmediato a la derecha y para retroceder el 4 hasta el lugar del 5 se necesitan 2 cambios consecutivos con el inmediato a la izquierda. ⎫ 2 3 5 1 4⎫ ⎪ ⎪ 2 3 1 5 4⎬ 3 cambios consecutivos ⎪ ⎪ 2 3 1 4 5⎪⎭ ⎬ 5 cambios ⎪ 2 3 4 1 5⎫ ⎪ 2 cambios consecutiv os ⎬ ⎪⎭ 2 4 3 1 5⎭

Como en cada intercambio cambia la clase e inicialmente era impar, quedará finalmente par (IMPAR-par-impar-par-impar-PAR)

2. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ El determinante de una matriz es, en definitiva, un número real. El cálculo de dicho número en cada matriz, se realiza de la siguiente forma: 1) se hacen todos los productos posibles de elementos de distinta fila y columna 2) se suman (restan) todos los productos adjudicándoles un signo + o – según un criterio que se explica a continuación. Según este determinante.

procedimiento,

sólo

las

matrices

cuadradas

tendrán

DETERMINANTES DE ORDEN 2 Para expresar el determinante de una matriz ésta se escribe entre barras.

a11 a12 = a11 · a22 − a12 · a22 a21 a22

a 11 · a 22

y

a 12 · a 21

son los dos únicos productos de elementos de fila y

columna distinta. El primer subíndice es 1,2 en ambos, lo que garantiza que hay uno de cada fila y no se repite ninguna. Igualmente, los segundos subíndices son 1,2 y 2,1 (permutaciones de 1,2) que indican que hay uno de cada columna sin repetición y que se han contemplado todas las posibilidades. Los sumandos cuya permutación sea par llevarán signo + y aquellos de permutación impar, signo -. Ejemplo: 2 -1 = 2 · 3 − (- 1) · 5 = 11 5 3

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DETERMINANTES DE ORDEN 3

a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 · a22 · a33 - a11 · a23 · a32 - a12 · a21 · a33 + a12 · a23 · a31 a31 a32 a33

- a13 · a22 · a31 + a13 · a21 · a32 Se comprueba que los 6 sumandos son todos los posibles ya que 1,2,3 son los primeros subíndices (uno de cada fila) y los segundos subíndices son todas las permutaciones de 1,2,3. El signo de cada sumando se corresponde con la clase de la permutación de la siguiente forma: 123 132 213 231 321 312

PAR IMPAR IMPAR PAR IMPAR PAR

1 −1

Ejemplo:

orden.

0 2

1 3

(+) (-) (-) (+) (-) (+)

Se agrupan los 3 sumandos positivos y los 3 negativos mediante el siguiente esquema conocido como REGLA DE SARRUS.

3 − 1 = 0 + 0 + 2 – 6 – 0 – (-3) = -1 0

Ahora podemos generalizar la definición a matrices cuadradas de cualquier

Definición Dada una matriz A cuadrada de orden n, se llama determinante de A y se escribe |A|, al nº real que se obtiene al sumar todos los posibles productos de elementos de fila y columna distintas, es decir, suma de productos de la forma a1j1 · a2 j2 · … · an jn donde j1, j2, …, jn representa las n! permutaciones de 1, 2, …, n siendo el signo de cada sumando positivo o negativo, dependiendo de si la permutación es par o impar. Es decir, |A| =

∑

(-1) ν · a1 j1 · a2 j2 · … · an jn

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- Hay n! sumandos con n factores cada uno. n! n! sumandos son positivos y son negativos. 2 2 -Cada sumando puede tener los factores ordenados por columnas permutando las filas. |A| =

∑

(-1) ν · aj11 · aj2 2 · … · ajnn

Actividades 1. Calcula los siguientes determinantes: 5 −1 a) 1 3

b a b) a+b 1

1 −1 2 c) 0 5 0 −2 −3 1

5 3 0 d) − 1 3 − 2 0 1 −1

x 1 y e) 0 − 3 x 1 −2 0

2. Resuelve las ecuaciones: 5+x x = 15 a) − 3 2x

−1

b) 2x 4

1 0 x 1 = -47 −3 x

1 a c) a a2 0 1

a2 0 =8 a

Definición Una matriz cuadrada A se dice regular si su determinante es distinto de 0. En caso contrario se llama singular. Parece evidente que calcular determinantes de orden 4 o superior, sería excesivamente laborioso si seguimos la definición, pues habría que calcular 24 productos de 4 elementos cada uno, 120 de 5 etc. Se hace necesario entonces encontrar un método equivalente para determinantes de orden superior a 3 y, para ello, haremos previamente un estudio de sus propiedades.

3. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1) El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta. |A| = |At| Ejemplo: 1 0 0 |A|= - 1 3 − 4 =1·3·5 + (-1)·2·0 + 0·(-4)·(-1) – 0·3·(-1) – 0·(-1)·5 – 1·(-4)·2= 23 -1 2 5 1 −1 -1 |A |= 0 3 2 =1·3·5 + 0·(-4)·(-1)+ (-1)·2·0 – (-1)·3·0 – (-1)·0·5 – 2·(-4)·1=23 0 -4 5 t

De hecho, coinciden uno a uno todos los sumandos.

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2) Si se intercambian entre sí dos líneas (filas o columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo. Ejemplo: -1 2 5 - 1 3 - 4 = (-1)·3·0 + 5·(-1)·0 + 2·(-4)·1 – 5·3·1 – 2·(-1)·0 – 0·(-4)·(-1) = -23 1 0 0 Se han intercambiado la fila 1 y la fila 3. Justificación Al intercambiar dos líneas, se intercambian dos elementos en cada permutación, por lo que ésta cambia de clase. Por ello, cada sumando cambia de signo y con ello el resultado final. 3) Si en una matriz cuadrada hay 2 líneas iguales, su determinante es 0. Al intercambiar entre sí las dos líneas iguales el determinante no varía pero, por otro lado, debe cambiar de signo, según la propiedad nº 2, es decir |A| = - |A| ⇒ |A| = 0 4) Si se multiplican todos los elementos de una misma línea (fila o columna) por un nº k, todo el determinante queda multiplicado por dicho número. Se debe a que en todos los sumandos del determinante aparecerá un solo elemento de esa línea, luego todos los sumandos estarán multiplicados por k que puede sacarse como factor común. Ejemplo: 1 0 0 - 1 3 − 4 = 1·3·5 + (-1)·2·0 + 0·(-4)·(-1) – 0·3·(-1) – 0·(-1)·5 – 1·(-4)·2= 23 -1 2 5 1 0 0 - 2 6 − 8 = 1·6·5 + (-2)·2·0 * 0·(-8)·(-1) – 0·6·(-1) – 0·(-2)·5 – 1·(-8)·2= 46 -1 2 5

Igualmente, esto indica que si una línea completa es múltiplo de un número, éste puede sacarse como factor común. Ejemplo: 1 2 3 1 2 3 -3 0 9 = 2 · 3 · -1 0 3 2 4 6 1 2 3

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5) Si todos los elementos de una línea de una matriz son ceros, su determinante será cero. Lógicamente, en todos los sumandos del determinante aparecerá un elemento de esa línea, por lo que todos los sumandos serán nulos y, por tanto, el determinante será 0. 6) Si en una matriz determinante es 0.

cuadrada

hay

dos

líneas

proporcionales,

su

Puede salir como factor común la constante de proporcionalidad, quedando 2 líneas iguales. Ejemplo: 1 2 3 1 2 3 -1 0 4 = 2 · -1 0 4 = 2 · 0 = 0 2 4 6 1 2 3

7) Si todos los elementos de una línea de una matriz se descomponen en una suma de dos sumandos, su determinante se descompone en la suma de dos determinantes de la siguiente forma:

a+b c d+e f

=

a c d f

+

b c e f

8) El determinante de una matriz no varía si cambiamos una línea por la suma de ella más una combinación lineal de otras.

Ejemplo: 1 0 0 - 1 3 - 4 = 23 -1 2 5

1 0 0 - 1 3 - 4 = -9 + 32 = 23 -4 8 -3 f 3 - f 1 + 2·f 2

Esto es debido a que en base a las propiedades anteriores: 1 0 0 1 0 0 = -1 3 - 4 = -1 3 -4 -4 8 -3 - 1 - 1 + 2(-1) 2 - 0 + 2·3 5 - 0 + 2·(-4) 1 0 0 1 0 0 1 0 0 = -1 3 - 4 + -1 3 - 4 + -1 3 -4 -1 2 5 -1 0 0 2(-1) 2·3 2(-4)

37

= 23 + 0 + 0 = 23

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9) Si en una matriz una de las líneas es combinación lineal de otras, su determinante es 0. (Engloba las propiedades 3, 5, 6) Ejemplo: 1 -1 5 2 3 1 -3 -7 3

10)

f 3 = f 1 - 2·f 2

1 -1 5 1 -1 5 = 2 3 1 + =0+0=0 2 3 1 1 -1 5 (-2)2 (-2)3 (-2)1

(|A+B| ≠ |A|+|B|)

|A · B| = |A| · |B|

El determinante del producto de matrices es el producto de los determinantes.

Actividades

3. Si se cumple que

a) 3A

a b c A = d e f = 4, halla: g h i

b) − A

a 2d g c) b 2e h c 2f i

d e f d) g h i a b c

−a −b −c e) 3d 3e 3f 1 1 1 g h i 2 2 2

4. Comprueba, sin desarrollarlo, que el siguiente determinante es múltiplo de 30: 9 10

−6 −3 15

20 − 8

−5 2 a b+a b

5. Calcula, sin desarrollar, el determinante:

b c+b c a c+a c

4. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE ELEMENTOS DE UNA LÍNEA

POR

LOS

Definición

Dada una matriz cuadrada de orden n, A = (aij), se llama menor complementario del elemento aij y se escribe α ij , al determinante de la matriz que resulta al suprimir en A la fila i y la columna j.

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Ejemplo: 1 2⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ A = ⎜ − 1 4 0⎟ ⎜ 5 − 2 2⎟ ⎝ ⎠

α 12 = α 23 =

-1 0 5

2

3

1

5 -2

= -2 = -11

Cada elemento tendría su menor complementario. Definición 2

Se llama adjunto del elemento aij y se escribe Aij, al producto: Aij = (-1)i+j · α ij

Ejemplo:

A12 = (-1)3 · α 12 = - (-2) = 2

En la matriz del ejemplo anterior:

A23 = (-1)5 · α 23 = - (-11) = 11 A22 = (-1)4 · α 22 =

3 2 5 2

= -4

Se observa que a cada elemento de la matriz le corresponde su adjunto y que éste, es igual al menor complementario si la suma de subíndices es par y es opuesto si dicha suma es impar. PROPOSICIÓN Si A es una matriz cuadrada de orden n, su determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de UNA línea (fila o columna) por sus adjuntos correspondientes. Ejemplo:

1 0 0 -1 3 - 4 -1 2

5

Si desarrollamos por la fila 2: = (-1) · A21 + 3 · A22 + (-4) · A23 = ⎡ 0 0 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ 1 0 = (-1) · ⎢− + (-4) · ⎢− ⎥ +3· ⎥ = 0 + 15 + 8 = 23 -1 5 ⎢⎣ 2 5 ⎥⎦ ⎢⎣ - 1 2 ⎥⎦

Si desarrollamos por la columna 3:

1 0 0 -1 3 - 4 -1 2

5

⎡ 1 3 ⎤ 1 0 = 0 · A13 + (-4) · A23 + 5 · A33 = 0 + (-4) · ⎢− = ⎥ +5· -1 3 ⎣⎢ - 1 2 ⎦⎥ = 8 + 15 = 23

Si desarrollamos por la fila 1:

1 0 0 -1 3 - 4 -1 2

= 1 · A11 + 0 · A12 + 0 · A13 =

5

39

3 -4 2

5

= 15 + 8 = 23

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Se observa que se puede calcular un determinante de orden 3 a través de 3 determinantes de orden 2 (para calcular un determinante de orden n es necesario calcular n determinantes de orden n-1) y que, además, el resultado es el mismo independientemente de la línea que se elija para desarrollar. Por su evidente ventaja, elegiremos siempre la línea que tenga mayor número de ceros. Es más, podemos pensar en conseguir más ceros usando las propiedades de los determinantes, sobre todo la nº 8. Ejemplo: Desarrollo por f1

Pivote

[1]

0 1 −1

1

1 2

1

c3 – c1

1 0

Pivote

0

[1] 0 2 1 1 0 2 = 1 · A11 +0 + 0 + 0 = 1 · 2 2 - 2 = −1 2 2 −2 1 2 1 0 1 2 1

1 1 1 1 = −1 2 1 −1 0

0 0

c4 + c1

0

2 -6 = 2 2 - 6 = 1 · A 11 = = 10 2 -1 1 2 -1 c3 – 2c1

Se fija una fila o columna (que ya tenga el mayor número de ceros) y dentro de ella se elige un elemento que llamaremos pivote (por comodidad se elegirá, si existe, un 1). Si se decide hacer ceros en la fila del pivote, se fija su columna y viceversa (se fija la fila si se decide hacer ceros en la columna del pivote) El resto de las columnas (filas en el segundo caso) se cambiarán sin variar el determinante, a través de la propiedad 8. Actividades 6. Resuelve los determinantes: 1 −1

a)

2 5

0 2

0

3

0

−1 1 1 1

b)

0 −2 −3 0

e)

0

1 0 0

−2 −2 1

3

1

−1

0 0

1 −1

−3

1

2 −2 1 3 2

2 0

1

3

0

c)

1

−1 0

0

f)

2 5 1

3

−4 1

4 2

d)

0

0

0 3 1

0

4 −3

1 −1 2

0 1

0

2

0

2 −1 3 0 1 2

−1 5

0 −1 1 2 1 0

−2 3

40

0 −2

−1 0

−1 1

1 5

0

1

−1 −1 1 0 0 1 3

1 −1

−2 1 3 1 1

2

0

3

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5. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Definición

Se llama matriz inversa de una matriz dada A cuadrada, a otra matriz del mismo orden A-1 tal que: A · A-1 = A-1 · A = I Para calcular la matriz inversa introduciremos algunos conceptos. Proposición

La suma de los elementos de una línea por los adjuntos de una línea paralela a ella es 0.

1 -1

Ejemplo:

Dado el determinante

2 4

0 5

3 1 -2

Multiplicamos los elementos de la fila 1 por los adjuntos de la fila 3: ⎡ 1 3 ⎤ + (-1) · ⎢− ⎥ 0 1 ⎣⎢ 2 1 ⎥⎦ = -1 – 5 + 6 = 0 1 -1 · A31 + a12 · A32 + a13 · A33 = 2 0 1 -1

a11 · A31 + a12 · A32 + a13 · A33 = 1 ·

ya que en realidad, a11

−1 3

+3·

1 -1 = 2 0

3 1 =0 3

En realidad es el desarrollo de un determinante con dos líneas iguales

Definición

Se llama matriz adjunta de la matriz A y se escribe Adj(A) a la matriz que resulta de sustituir en A cada elemento por su adjunto Aij. ⎛ A11 A12 A13 ⎞ ⎜ ⎟ Adj(A) = ⎜ A21 A22 A23 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ A31 A23 A33 ⎠

Ejemplo: ⎛1 - 1 3 ⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜2 0 1 ⎟ ⎜ 4 5 - 2⎟ ⎠ ⎝

⎛ - 5 8 10 ⎞ ⎟ ⎜ Adj(A) = = ⎜ 13 - 14 - 9 ⎟ ⎜- 1 5 2 ⎟⎠ ⎝

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PROPOSICIÓN

Toda matriz conmuta con la traspuesta de su adjunta y además el resultado de ese producto es |A| · I, es decir: A · (Adj.(A)

)t

= (Adj.(A)

)t

· A = |A| · I

Demostración

A · (Adj.(A)

)t

⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ A11 A21 A31 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = ⎜ a21 a22 a23 ⎟ · ⎜ A12 A22 A32 ⎟ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ a31 a32 a33 ⎠ ⎝ A13 A23 A33 ⎠

⎛ a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ⎜ = ⎜ a21 A11 + a22 A12 + a23 A13 ⎜ ⎝ a31 A11 + a32 A12 + a33 A13

a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 a31 A21 + a32 A22 + a33 A23

a11 A31 + a12 A32 + a13 A33 ⎞⎟ a21 A31 + a22 A32 + a23 A33 ⎟ = ⎟ a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 ⎠

0 ⎞ ⎛| A | 0 ⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 | A | 0 ⎟ = |A| · ⎜ 0 1 0 ⎟ = |A| · I ⎜ 0 ⎜0 0 1⎟ 0 | A |⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠

ya que en la diagonal se encuentran los productos de los elementos de una línea por sus propios adjuntos (lo que da lugar al determinante de la matriz), y el resto son productos de los elementos de una línea por los adjuntos de una paralela ( que equivalen a 0 por la proposición anterior) Definición

Se llama Matriz Inversa de una matriz dada, A cuadrada, a otra matriz del mismo orden A-1 tal que: A · A-1 = A-1 · A = I PROPOSICIÓN

Si A es una matriz cuadrada cuyo determinante es distinto de 0 (regular), existe su inversa A-1 y coincide con: A-1 =

[ Adj.(A)]

t

|A|

Demostración

Se deduce de la proposición anterior que |A|, por ser un nº real, puede pasar dividiendo al otro miembro de la igualdad. (Por supuesto sólo si es distinto de 0) A·

[ Adj.(A)]

t

=

[ Adj.(A)]

t

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· A = |A| · I

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A·

[Adj(A)]t |A|

=

[Adj(A)]t |A|

·A=I

Se observa entonces que la matriz que verifica las condiciones de la inversa [Adj(A)]t . (conmuta con A y el producto es la identidad), es: |A|

Las matrices singulares (cuyo determinante es 0) no tienen inversa.

Ejemplo: ⎛1 4 4⎞ ⎜ ⎟ Hallar la matriz inversa de A = ⎜ 0 2 4 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠

|A| = 2 ≠ 0 0 0⎞ ⎛ + 2 - 0 + 0⎞ ⎛ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1) Adj(A) = ⎜ - 4 + 1 - 0 ⎟ = ⎜ - 4 1 0 ⎟ ⎜ + 8 - 4 + 2⎟ ⎜ 8 - 4 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2)

⎛2 - 4 8 ⎞ t ⎜ ⎟ Adj.(A) = ⎜0 1 - 4⎟ [ ] ⎜0 0 2 ⎟⎠ ⎝

-1

3) A =

[ Adj.(A)] |A|

t

1 = 2

⎛2 - 4 8 ⎞ ⎛1 - 2 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 - 4 ⎟ = ⎜ 0 12 - 2 ⎟ ⎜0 0 ⎜0 0 2 ⎟⎠ 1 ⎟⎠ ⎝ ⎝

4) Comprobar que A · A-1 = I

Actividades 7. Halla, si es posible, la matriz inversa en cada caso: ⎛ − 1 2⎞ ⎟⎟ a) ⎜⎜ ⎝ 3 1⎠

⎛− 3 1 ⎞ ⎟⎟ b) ⎜⎜ ⎝ 6 − 2⎠

⎛1 − 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ c) ⎜ 0 3 0 ⎟ ⎜ 2 4 − 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 a − 1⎞ ⎜ ⎟ 8. Dada la matriz A = ⎜ a 1 1 ⎟ ⎜0 0 2 ⎟ ⎝ ⎠ a) ¿Para qué valores de a tendrá inversa (será inversible) la matriz? b) Halla dicha matriz inversa para a=2.

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PROPOSICIÓN

La matriz inversa de A, si existe, es única. Demostración

Por reducción al absurdo, supongamos que A posee 2 matrices inversas B y C, es decir: A · B = B · A = I⎫ entonces: ⎬ A · C = C · A = I⎭ C = C · I = C (A · B) = (C · A) · B = I · B = B

asociativa

Se deduce entonces, que no puede haber dos inversas distintas, pues suponiendo que las hubiera, serían la misma.

6. RANGO DE UNA MATRIZ Definición

Se llama menor de orden p de una matriz A, a cualquier determinante de orden p que se obtiene al suprimir en A alguna fila y/o columna. Ejemplo: ⎛1 − 1 5 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 − 1 3 0⎟ ⎜0 2 − 2 1⎟ ⎝ ⎠

menores de orden 1: menores de orden 2:

|4|, |-1|, |0|… 1 5 −1 0 , , 0 -2 2 1 1 -1 2

menores de orden 3: 4 - 1 0 , 0 2 1

1

5

hay 12 en total 4 −1 … 0 2 2

4 3 0… 0 −2 1

hay 4 en total

Esta matriz no puede tener menores de orden 4 o superior por contener sólo 3 filas. Es evidente que si A es de orden mxn y p es el orden de cualquiera de sus menores, entonces p ≤ n y p ≤ m, o lo que es lo mismo: p ≤ min {m, n} Si la matriz es cuadrada se entiende que el menor de mayor orden posible es ella misma.

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Definición

Se llama rango de una matriz al orden del mayor de los menores distinto de cero de dicha matriz. Se escribe rg(A).

Ejemplo:

en la matriz anterior por ser |A| ≠ 0

diremos que rg(A) = 3

1 -1 2 4 - 1 0 = -1 + 16 + 4 = 19 ≠ 0 0

2

1

pues 3 es el orden del menor más grande posible distinto de 0.

Para calcular el rango de una matriz se comienza por los menores de mayor orden posible p. Si alguno de ellos es ≠ 0, entonces rg(A) = p. Si todos son nulos, se estudian los menores de orden p-1 y se repite el proceso. Ejemplo: ⎛1 − 1 3 5 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜2 − 2 0 1 ⎟ ⎜3 − 3 3 6 ⎟ ⎝ ⎠

Para hallar el rango estudiaremos primero los menores de orden 3 (los de mayor orden posible). Si alguno de ellos es distinto de 0, el rango de la matriz es 3. Si todos ellos son iguales a 0 (rg(A) ≠ 3 ), analizaremos los de orden 2 idénticamente. 1 −1 3 2 − 2 0 = 0, 3 −3 3

1 3 5 2 0 1 = 0, 3 3 6

1 −1 5 2 − 2 1 = 0, 3 −3 6

−1 3 5 − 2 0 1 = 0, −3 3 6

Observamos que todos son 0 lo que significa, como sabemos, que alguna línea es combinación lineal de otras (en este caso f 3 = f1 + f2 ). Pasamos a los menores de orden 2: 1 −1 = 0, 2 −2

1 3 = -6 ≠ 0 2 0

Por tanto,

rg(A) = 2

Según las propiedades de los determinantes si uno de ellos es distinto de cero es porque todas sus líneas son independientes entre si, puesto que si una fuese combinación lineal de otra, su determinante sería 0. Es por ello que el rango indica el número (máximo) de filas o columnas independientes de una matriz.

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7.

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EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA Sabemos que una igualdad matricial se transforma en un sistema de ecuaciones:

⎛1 − 2 ⎞ ⎛ x y ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ · ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎝3 1 ⎠ ⎝ z t ⎠ ⎝- 1 2 ⎠

⎧x − 2z = 1 ⎪ ⎪y − 2t = 0 ⎨ ⎪3x + z = −1 ⎪⎩3y + t = 2

De la misma manera podemos pensar en el proceso inverso, es decir, en obtener una igualdad matricial a partir de un sistema de ecuaciones dado. Para ello definiremos las siguientes matrices:

Dado el sistema genérico: ⎫ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ⎪ ... + + + = ⎪ a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ⎬ ..............................................⎪ ⎪⎭ am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm

Llamamos A a la matriz de los coeficientes: ⎛ a11 a12 ⎜ ⎜a a22 A = ⎜ 21 ... ... ⎜ ⎜ ⎝ am1 am2

... a1n ⎞ ⎟ ... a2n ⎟ ... ... ⎟ ⎟ ... amn ⎟⎠

de orden mxn

Llamamos X a la matriz columna de las incógnitas:

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ X = ⎜ 2 ⎟ de orden nx1 ... ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠

Llamamos B a la matriz columna de los términos independientes: ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ B = ⎜ 2 ⎟ de orden mx1 ... ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ bm ⎠

Entonces se cumple que el sistema es equivalente a la ecuación matricial

A·X=B

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Comprueba que dicha igualdad da lugar al sistema de ecuaciones inicial y observa que la forma que adoptan las matrices es necesaria para que su orden respectivo permita la multiplicación.

Es evidente que la matriz X de las incógnitas quedaría directamente despejada si multiplicamos la igualdad por la matriz inversa de A (evidentemente por la izquierda) En eso se basa el método de Cramer para resolver sistemas. Actividad 9. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

⎧x + y + z = 3 ⎪ ⎨2x − y + 3z = 0 ⎪− x + 2y + z = 1 ⎩

a) Expresarlo en forma matricial b) Resolver matricialmente

REGLA DE CRAMER Definición

Se llama sistema de Cramer a todo sistema con el mismo nº de ecuaciones que de incógnitas, donde el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de 0. (|A| ≠ 0 ) 1) sabemos que la expresión matricial del sistema es A · X = B. 2) Como A es regular, existe A-1. 3) A-1 · A · X = A-1 · B ⇒ I · X = A-1 · B ⇒ X = A-1 · B Si multiplicamos A-1· B con matrices genéricas, obtendremos una regla de aplicación que evitará que tengamos que calcular en cada sistema la matriz A-1. Lo haremos suponiendo n=3 para simplificar las operaciones.

X=A

⇒

-1

·B

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎜ x2 ⎟ = |A| ⎜ ⎟ ⎝ x3 ⎠

⇒

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎜ x2 ⎟ = |A| ⎜ ⎟ ⎝ x3 ⎠

⎛ A11 A21 A 31 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A12 A22 A32 ⎟ · ⎜ b2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ A13 A23 A33 ⎠ ⎝ b3 ⎠

⎛ b 1 A 11 + b 2 A 21 + b 3 A 31 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b 1 A 12 + b 2 A 22 + b 3 A 32 ⎟ ⎜b A + b A + b A ⎟ 2 23 3 33 ⎠ ⎝ 1 13

47

⇒

⇒

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b1 a12 a13 b2 a22 a23

x1 =

b3 a32 a33 b1 A11 + b2 A21 + b3 A31 = A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 El numerador es el producto de los elementos b 1 , b 2 , b 3 por los adjuntos de la columna 1, es decir, es el desarrollo por la c 1 de un determinante en el que los elementos de la primera columna son b 1 , b 2 , b 3 .

a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 b1 A12 + b2 A22 + b3 A32 = A A

x2 =

(desarrollo por la columna 2)

a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 b1 A13 + b2 A23 + b3 A33 = A A

x3 =

(desarrollo por la columna 3)

Ejemplo. x − y + z = 1⎫ ⎪ 2x + y − z = 2⎬ x − y − z = - 3⎪⎭

Resolver

Sea la matriz

⎛1 − 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 1 − 1⎟ ⎜ 1 − 1 − 1⎟ ⎝ ⎠

Por la regla de Cramer:

x=

1

-1

1

1

1

1

2

1

-1

2

2

-1

-3 -1 -1 1 -1

1

2

-1

1

=

−1 − 2 − 3 + 3 − 2 − 1 −6 = =1 −1−2 +1−1−2 −1 −6

y=

1 -3 -1

1 -1 -1 1 -1

z=

1

2 1 2 1 -1 -3 -6

=

−12 =2 −6

solución (1,2,2)

48

-6

=

−12 =2 −6

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Actividad 10. Resuelve por el método de Cramer, cuando sea posible, los sistemas: ⎧x + 2y − z = 0 ⎪ a) ⎨2x − 3y + 3z = −2 ⎪− x + y − 2z = 0 ⎩

⎧x − 3y + z = 1 ⎪ b) ⎨2x + y + z = 0 ⎪3x − 2y + 2z = 2 ⎩

⎧2x − y + z = −1 ⎪ c) ⎨x + y − 2z = 5 ⎪− x − y − 3z = 0 ⎩

⎧x + y − 2z = 0 ⎪ d) ⎨3x − y + z = 0 ⎪− x + 2y + z = 0 ⎩

Observa los sistemas: a)

⎧x + y = 1 ⎨ ⎩2x + 2y = 2

⎧x + y = 1 b) ⎨ ⎩2x + 2y = 5

⎧x + y = 1 c) ⎨ ⎩3x − y = 0

En el caso a) las dos ecuaciones son iguales, luego se trata de un sistema COMPATIBLE INDETERMINADO (infinitas soluciones). Observa que, por esa razón, ⎛1 1⎞ ⎟⎟ . Como los términos la matriz de los coeficientes tiene rango 1 A= ⎜⎜ ⎝2 2⎠ independientes mantienen la misma proporción, si los incorporamos a la matriz, ésta seguirá teniendo rango 1. ⎛1 1 1⎞ ⎟⎟ C= ⎜⎜ ⎝2 2 2⎠ En el caso b) el sistema es INCOMPATIBLE, pues las ecuaciones son contradictorias. Observa que la matriz de los coeficientes sigue teniendo rango 1 pero la matriz ampliada (con los términos independientes) tiene rango 2 pues la última columna es independiente de las anteriores: ⎛1 1 ⎞ ⎟⎟ A= ⎜⎜ ⎝2 2 ⎠

⎛1 1 1⎞ ⎟⎟ C= ⎜⎜ ⎝2 2 5⎠

Por último, el sistema c) es COMPATIBLE DETERMINADO pues las dos ecuaciones son independientes entre sí, y por ello, tanto la matriz de los coeficientes como la ampliada tienen rango 2. ⎛1 1 ⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 3 − 1⎠

⎛1 1 1 ⎞ ⎟⎟ C= ⎜⎜ ⎝3 − 1 0 ⎠

Parece evidente que existe una relación directa entre la compatibilidad del sistema y los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada, pues dicho rango revela la dependencia o independencia entre las ecuaciones. De ello trata el teorema de Rouché-Frobenius. Así como la regla de Cramer permite resolver sistemas, el teorema de Rouché permite clasificarlos es función de los rangos de la matriz de los coeficientes A y de la ampliada C.

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7. TEOREMA DE ROUCHÉ- FROBENIUS Dado el sistema: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ..............................................⎪ ⎪⎭ am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm

donde

⎛ a11 a12 ⎜ ⎜a a22 A = ⎜ 21 ... ... ⎜ ⎜ ⎝ am1 am2

⎛ a11 a12 ⎜ ⎜a a22 y C = ⎜ 21 ... ... ⎜ ⎜ ⎝ am1 am2 cumple que:

... a1n ⎞ ⎟ ... a2n ⎟ ... ... ⎟ ⎟ ... amn ⎟⎠ ... a1n ... a2n ...

...

... amn

es la matriz de los coeficientes

b1 ⎞ ⎟ b2 ⎟ ... ⎟ ⎟ ⎟ bm ⎠

es la matriz ampliada, entonces se

La condición necesaria y suficiente para que el sistema tenga solución es que el rango de la matriz A de los coeficientes y el de la matriz C ampliada, sean iguales, es decir El sistema tiene solución ⇔ rg(A) = rg(C)

Demostración ⇒

Si el sistema tiene solución (s1, s2, …, sn) entonces. ⎛ a11 a12 ⎜ ⎜a a22 C = ⎜ 21 ... ... ⎜ ⎜ ⎝ am1 am2

... a1n ... a2n ...

...

... amn

a11 s1 + a12 s2 + ... + a1n sn ⎞ ⎟ a21 s1 + a22 s2 + ... + a2n sn ⎟ ⎟ ... ⎟ ⎟ am1 s1 + am2 s2 + ... + amn sn ⎠

por tanto la última columna es combinación lineal de los anteriores y por tanto no aumenta el rango, es decir: rg(A) = rg(C) ⇐ Si el rg(A) = rg(C), la última columna de C es combinación lineal de las anteriores y por tanto existen n números reales s1, s2, …, sn tales que B = s1C1 + s2C2 + … + snCn por lo que (s1, s2, …, sn) es una solución del sistema.

c.q.d.

Pueden darse 3 casos:

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1) Si rg(A) ≠ rg(C) el sistema es incompatible. (la última columna es independiente y no mantiene las combinaciones lineales de los primeros miembros) 2) Si rg(A)=rg(C) = nº de incógnitas n, el sistema es compatible determinado. (Hay tantas ecuaciones independientes como incógnitas) 3) Si rg(A)=rg(C) < nº de incógnitas n, el sistema es compatible indeterminado. (Hay menos ecuaciones que incógnitas, pues existen combinaciones lineales entre ellas)

** Observa que en realidad el rg(C) sólo puede ser igual al de A o una unidad mayor, pues C sólo incorpora una columna más que puede ser dependiente o independiente de las anteriores** Si el sistema es homogéneo (todos los términos independientes iguales a 0), el rg(A)=rg(C) obligatoriamente, puesto que la última columna de ceros no puede aumentar el rango (es dependiente de las anteriores). Luego todo sistema homogéneo es compatible. La solución trivial (0, 0, …, 0) será única si es compatible determinado y estará acompañada de otras infinitas soluciones si es indeterminado. 6. DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON UN PARÁMETRO

Veamos un ejemplo de aplicación del teorema de Rouché al estudio de la compatibilidad de un sistema: Ejemplo:

Discutir y resolver (cuando sea sistema: ⎧x + ay ⎪ ⎨2x + y ⎪3x + y ⎩ Obtenemos previamente ⎛1 ⎜ A = ⎜2 ⎜3 ⎝

las a 1 1

posible) según los valores del parámetro a, el +z =1 −z =1 + az = 2

matrices A y C. 1 ⎞ ⎟ C= − 1⎟ a ⎟⎠

⎛1 a 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜2 1 − 1 1 ⎟ ⎜3 1 a 2⎟ ⎝ ⎠

Analizamos el rango de A para compararlo con el de C |A| = a+2-3a-3-2a 2 +1 = -2a 2 -2a = -2a(a+1)=0 ⇒ a=0 ó a=-1 Se distinguen entonces 3 posibles casos: 1er Caso:

a ≠ 0,-1

En este caso rg(A) = 3 ( pues |A| ≠ 0) y rg(C) =3 necesariamente, pues no puede ser menor que el de A y tampoco puede ser 4 por ser C de orden 3x4.

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Según el teorema de Rouché, para cada valor de a ≠ 0,-1, se trataría de un sistema compatible determinado ya que rg(A) = rg(C) = nº de incógnitas. Para resolverlo utilizaremos la regla de Cramer: 1 a

1

1 1 −1 2 1

x=

a

1 a 1 2 1 −1 3 1

a

1 1

1

=

−a(a + 1) a + 1 − 2a − 2 − a2 + 1 − a2 − a 1 = = = − 2a(a + 1) − 2a(a + 1) − 2a(a + 1) 2

2 1 −1

y=

3 2

a

2a(−a + 2)

=

−a a + 4 − 3 − 3 − 2a + 2 1 = = − 2a(a + 1) − 2a(a + 1) 2(a + 1)

=

−a 2 + 2 + 3a − 3 − 4a − 1 1 = = − 2a(a + 1) − 2a(a + 1) 2(a + 1)

1 a 1 2 1 1

z=

3 1 2 2a(−a + 2)

Hemos obtenido así la solución única para cada posible sistema según cuál sea el valor de a.

2º Caso:

a=0

⎛1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 1 − 1⎟ ⎜3 1 0 ⎟ ⎝ ⎠

⎛1 0 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜2 1 − 1 1 ⎟ ⎜3 1 0 2⎟ ⎝ ⎠

En este caso rg(A) ≠ 3 puesto que |A|=0. Como

1 0 2 1

≠ 0 entonces rg(A) = 2.

Igualmente, rg(C) = 2 pues todos los menores de orden 3 son 0, al ser la última fila la suma de las dos primeras. Se trata entonces de un sistema compatible indeterminado ya que: rg(A) = rg(C) < nº incógnitas. Para resolverlo podemos prescindir de la tercera ecuación por ser una combinación lineal de las anteriores. ⎧x + z = 1 ⎨ ⎩2x + y − z = 1

Por tratarse de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, dejaremos una cualquiera de ellas como parámetro o variable (z por ejemplo en este caso) x=1–z y = 1 – 2x + z = 1 – 2(1 – z) + z = -1 + 3z z=z luego su solución es:

(1 - z, -1 + 3z, z) donde z ∈ R

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3

er

Caso:

a = -1

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⎛1 − 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 1 − 1⎟ ⎜ 3 1 − 1⎟ ⎝ ⎠

Sabemos que rg(A) ≠ 3 puesto que |A|=0. Como

Sin embargo rg(C) = 3

⎛1 − 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜2 1 − 1 1⎟ ⎜3 1 − 1 2⎟ ⎝ ⎠ 1 −1 2

1

≠ 0 entonces rg(A) = 2.

1 −1 1 ya que 2 1 1 = 1 ≠ 0 3 1 2

Por el teorema de Rouché el sistema es incompatible puesto que rg(A) ≠ rg(C) y por tanto, no tiene solución.

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DETERMINANTES:

EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES

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1

1. ¿Para qué valores de a se anula este determinante?

1

1

1 2 −3 a −1 −1 1 −1

1

2 8 1

−2

2. Halla, si es posible, la matriz inversa en cada caso: ⎛ − 2 3 1⎞ ⎜ ⎟ a) ⎜ 1 1 2 ⎟ ⎜ 0 5 5⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ 3 ⎟ b) ⎜ 0 2 ⎜1 − 1 1 ⎟ ⎝ ⎠

3. Halla los valores de t para los que la matriz A no es inversible siendo: 1 1 ⎞ ⎛ t ⎜ ⎟ 0 ⎟ A =⎜− 1 t ⎜ 0 − 6 − 1⎟ ⎝ ⎠

⎛1 3⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ t 0 ⎟ donde t es un nº real: ⎜0 2⎟ ⎝ ⎠ a) Halla los valores de t para los que A·B tiene inversa b) Halla los valores de t para los que B·A tiene inversa

t ⎞ ⎛1 2 ⎟⎟ y 4. Dadas las matrices A = ⎜⎜ ⎝1 − 1 − 1 ⎠

⎛ 1 1 0⎞ ⎜ ⎟ 5. Dada la matriz A = ⎜ − 1 1 2 ⎟ , determina la matriz B que verifica: ⎜ 1 0 1⎟ ⎝ ⎠ t −1 B – I = A ·A ⎛1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 6. Resolver la ecuación |A – xI| = 0, siendo A = ⎜ 2 2 4 ⎟ y x ∈ R. ⎜1 1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0⎞ ⎟⎟ , 7. Dadas las matrices A= ⎜⎜ ⎝ − 2 3⎠

⎛ 8 − 1⎞ ⎛ 1 2⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟ , C= ⎜⎜ ⎟⎟ y D= ⎜⎜ ⎟⎟ B= ⎜⎜ ⎝2 0 ⎠ ⎝ − 3 5⎠ ⎝2 0 ⎠

resuelve, despejando, las siguientes ecuaciones matriciales: a) AX + 2B – C = D b) (B+C)X – A = D c) 4AX – B – 2D = C d) ABX – CX = 2C

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8. Dadas las matrices:

⎛ − 2 0 1⎞ ⎟⎟ , A= ⎜⎜ ⎝ 1 − 1 5⎠

⎛ 3 1⎞ ⎜ ⎟ B= ⎜ 0 1 ⎟ , ⎜ − 1 2⎟ ⎝ ⎠

⎛1 2 ⎞ ⎛− 9 3 ⎞ ⎟⎟ y D= ⎜⎜ ⎟⎟ C= ⎜⎜ ⎝3 4⎠ ⎝ − 8 17 ⎠

hallar la matriz X que verifica AB + CX = D. 1 1 1

9. Sabiendo que

a b c =5,

halla:

x y z

1

1

1 1 1

1

a) a + 2 b + 2 c + 2 y x z 3 3 3

b) b c a y z x

1−x

1−y

1−z

c) a + 2x b + 2y c + 2z 2x 2y 2z

⎛1 2 ⎞ ⎟⎟ , calcula la matriz B = (A t ·A −1 ) 2 . A = ⎜⎜ ⎝1 4 ⎠ también el determinante de la matriz (A t ·A −1 ) 276 .

10. Si A es la matriz

1 t ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 0 − 1⎟ 11. Dada la matriz A = ⎜ t ⎜− t − 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ a) Halla los valores de t para los cuales A no tiene inversa b) En el caso t=2, halla, si existe, la matriz X que cumple:

Halla

XA = (1 0 -1)

PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD

12. (JUNIO 2006)

El sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas

5x+3y=1,

5u+3v=2,

3x+2y=-1,

3u+2v=3,

se puede expresar en la forma AX = B, donde A, X y B son matrices cuadradas 2x2. Encontrar dicha expresión y resolver el sistema matricialmente.

13. (JUNIO 2005) Hallar la matriz X que cumple A −1 ·X·A = B, siendo ⎛1 3 3 ⎞ ⎛0 1 0⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ A = ⎜1 4 3 ⎟ y B = ⎜0 0 1⎟ ⎜1 3 4 ⎟ ⎜1 0 0⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠

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14. (JUNIO 2004) Hallar la matriz X que cumple AXA = 2BA, ⎛2 1⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝3 2⎠

⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎝2 3 ⎠

y

15. (JUNIO 2003) Hallar la matriz X que cumple

⎛3 2⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝ 4 3⎠ 16. (JULIO 2003)

siendo

AXB = C, siendo ⎛1 1 ⎞ ⎟⎟ C = ⎜⎜ ⎝1 1 ⎠

⎛2 3⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎝1 2⎠

Resolver la ecuación matricial AX – B – 2C = O, siendo

⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 2 0⎟ , ⎜1 0 3⎟ ⎝ ⎠

⎛1 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜0 0 0 ⎟ ⎜ 9 3 − 3⎟ ⎝ ⎠

⎛1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜2 3 0⎟ ⎜3 4 5⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 2 m⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 3 5 ⎟ ⎜2 4 4 ⎟ ⎝ ⎠ a) encontrar los valores de m para los que existe matriz inversa. b) si m = 1 es uno de esos valores, hallar A −1

17. (JUNIO 01/02)

Dada la matriz

⎛ 3 − 1⎞ ⎛ 1 − 2⎞ ⎟⎟ , ⎟⎟ A = ⎜⎜ B = ⎜⎜ ⎝0 2 ⎠ ⎝− 1 1 ⎠ hallar la inversa de A-B, y la matriz X tal que X(A-B) = A+B.

18. (JUNIO 00/01)

Dadas las matrices

19. (JUNIO 99/00)

Encontrar una matriz X tal que AX + B = C, siendo

⎛ 1 1⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝ 2 1⎠

⎛1 1 0 ⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎝1 2 1 ⎠

⎛0 1 1⎞ ⎟⎟ C = ⎜⎜ ⎝1 1 3⎠

¿Se puede hallar alguna matriz Y tal que YA + B = C ? 20. (JUNIO 98/99)

Resolver la ecuación matricial

⎛ − 1 2⎞ ⎟⎟ , A = ⎜⎜ ⎝ − 2 0⎠

21. (SEPTIEMBRE 97/98)

⎛ − 3 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎝ 1 2⎠

AX = BX + C, ⎛ 0 ⎞ ⎟⎟ C = ⎜⎜ ⎝ − 1⎠

Resolver la ecuación matricial

⎛1 1 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜3 4 6⎟ , ⎜ 4 2 9⎟ ⎝ ⎠

⎛2 0 0⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜1 1 2 ⎟ , ⎜2 0 1 ⎟ ⎝ ⎠

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siendo

XA = B + C,

⎛1 1 0⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 1 2⎟ ⎝ ⎠

siendo

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22. (JUNIO 97/98)

Hallar el valor que debe tener x para que la matriz A – xI 1 sea la inversa de (A − I) , siendo I la matriz unidad de orden 3 y x ⎛1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜1 1 1 ⎟ ⎜1 1 1 ⎟ ⎝ ⎠

CUESTIONES 23. Indica las propiedades de los determinantes que justifican las siguientes igualdades: 3 9 6 1 3 2 a) 2 4 2 = 6· 1 2 1 1 3 1 1 3 1 3 6 0

3 3 0

3 3 0

b) 2 3 1 = 2 1 1 + 2 2 1 0 5 1 0 2 1 0 3 1

c)

3

2

1 −1

−2 1

3 0

5 0

1 3

−1 3

0

2

3 2 1 −1 1 − 4 6 10 2 = 6 1 0 0 3 6 −3 9 0

24. ¿A qué es igual el determinante de una matriz diagonal?, ¿y triangular? 25. Razona si es cierta la siguiente afirmación: 3 7 0 7 0 7 0 = 3· -2· 2 −1 4 −1 4 −1 4

26. Sean A,B y C matrices cuadradas del mismo orden tales que |A| ≠ 0 y A·B=A·C ¿Podemos asegurar que B=C? Justifica tu respuesta. 27. ¿Es cierta la siguiente igualdad? Razónalo sin realizar los cálculos. 1 0 0 `2 1 = 3 2 1 5 −2 3 5 −2

28. ¿Qué condición debe cumplir una matriz cuadrada para tener inversa? ⎛ a a2 − 2 ⎞ ⎟ no tenga inversa? 29. ¿Existe algún valor de a para el cual la matriz ⎜⎜ a ⎟⎠ ⎝1

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58

UNIDAD DIDÁCTICA 4

PROGRAMACIÓN LINEAL

2º BACHILLER

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OBJETIVOS DIDÁCTICOS

1. Representar informaciones mediante inecuaciones. 2. Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones de una y dos incógnitas. 3. Identificar, plantear y resolver problemas de programación lineal.

CONCEPTOS 1. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. 2. Cálculo de los máximos y mínimos de una región factible del plano 3. Resolución de problemas de programación lineal.

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PROGRAMACIÓN LINEAL 1. INTRODUCCIÓN Definición Se llama inecuación a una desigualdad entre dos expresiones algebraicas en la que intervienen incógnitas. Pueden aparecer los signos , ≥, ≤. Se llama solución al conjunto de valores que verifican la desigualdad. Ejemplo: a) 2x - 1 < x

⇒ x ⎪ Son de la forma ax+b ⎨ ⎬ 0 . ⎪≤ ⎪ ⎪⎩≥ ⎪⎭

Su solución puede ser: o bien todos los números

reales (R), o bien ningún nº real (Ø) o, generalmente, una semirrecta de R que incluirá o no su extremo según si se admite o no la igualdad. Ejemplo: x x − 3x ≥ 6 − x ⇒ − 3x + x ≥ 6 ⇒ a) 2 2 ⇒ x ≤ −4 Las soluciones son: x ∈ (− ∞,−4]

x + 2x − 6x ≥6 ⇒ 2

− 3x ≥ 12 ⇒

-4 b) x+5 ≤ 3+x ⇒ 5 ≤ 3

solución: Ø

c) x+3 < 5+x ⇒ 3< 5

solución: R

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1.2

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SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Se resuelve cada inecuación por separado. La solución del sistema será la intersección (zona común) de todas las soluciones particulares. (Puede ocurrir también que la solución sea Ø ) Ejemplo: ⎧3x + 8 ≤ x + 14 ⎧x ≤ 3 ⎧2x ≤ 6 ⎪ ⇒ x ∈ (− 2,3] ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ ⎨ 3x ⎩x > −2 ⎩4x > 3x − 2 ⎪2x > 2 − 1 ⎩

-2

1.3

3

INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Ejemplo:

2x – y ≤ 4

La solución es un semiplano que tiene por “frontera” la recta 2x – y = 4. (Esta “frontera” estará excluida de la solución si la desigualdad es estricta) Para hallar dicha solución, se dibuja la recta 2x–y =4, que divide al plano en dos semiplanos. En los puntos de esta recta, se cumple que 2x-y es igual a 4. En los demás puntos, 2x-y será distinto de 4, es decir, mayor o menor. Cada semiplano corresponde a uno de los dos signos. La solución será, por tanto, uno de los dos semiplanos. Sabremos cuál de ellos es el adecuado, eligiendo un punto cualquiera del plano (por ejemplo (0,0)) y sustituyéndolo en la inecuación. Si la verifica, su semiplano será la solución, si no, lo será el otro. 2·0–4 ≤ 4

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1.4

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SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Se calcula la solución de cada inecuación por separado y se halla la intersección de todas ellas. Dicha zona ó recinto común se llama REGIÓN FACTIBLE.

Ejemplo: ⎧2x − y ≤ 0 ⎨ ⎩x − y ≥ 0

Región Factible

2.

PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal es un proceso matemático que permite optimizar funciones (conseguir beneficios máximos, costes mínimos…) en un contexto sujeto a una serie de condicionantes (restricciones) Un problema de programación lineal pretende hallar el valor máximo o mínimo de una función llamada FUNCIÓN OBJETIVO, sujeta a un conjunto de restricciones en forma de inecuaciones. Veamos un ejemplo: Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima. La tarta Imperial requiere, para su elaboración, medio kg. de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 12 euros. La tarta de Lima necesita 1 kg. de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 15 euros.

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Debido a una mala previsión, se encuentran con la imposibilidad de realizar pedidos de huevos y azúcar, y les quedan en el almacén 10 kg. de azúcar y 120 huevos para la preparación de las citadas tartas. ¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas? ¿A cuánto asciende dicho ingreso? a) Realizamos un pequeño esquema con los datos:

⎧⎪1 kg. azúcar tarta Imperial ⎨ 2 ⎪⎩8 huevos ⎧1 kg. azúcar tarta Lima ⎨ ⎩8 huevos

→ 12 €

→ 15 €

b) Se definen las incógnitas (generalmente aparecen en la pregunta del problema)

x: unidades tartas Imperiales y: unidades tartas de Lima c) Se indica la FUNCIÓN OBJETIVO (función a optimizar, es decir, hacer máxima o mínima) En este caso se trata del beneficio z = 12x + 15y d) Se señalan las RESTRICCIONES: ⎧1 x + y ≤ 10 ⎧x + 2y ≤ 20 ⎪ 2 ⎪ ⎪8x + 8y ≤ 120 ⎪x + y ≤ 15 ⇒ ⎨ ⎨ ⎪x ≥ 0 ⎪x ≥ 0 ⎪ ⎪⎩y ≥ 0 ⎩y ≥ 0

e) Se calcula la región factible

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Cuadrante 1

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f) Se demuestra que la solución óptima (beneficio máximo en este caso), se encuentra en uno de los vértices de la región factible. Para hallarla, se calculan los vértices de dicha región A, B, C y D y se sustituye cada uno de ellos en la función objetivo. Aquel que dé lugar al beneficio más alto, será la solución del problema. ⎧A(0,0) ⎪ ⎪B(15,0) ⎪ VÉRTICES ⎨ ⎧x + 2y = 20 ⎪C(10,5) que es la solución del sistema ⎨x + y = 15 ⎩ ⎪ ⎩⎪D(0,10)

Sustituimos cada vértice en la función objetivo z = 12x+15y A(0,0) B(15,0) C(10,5) D(0,10)

z=0€ z = 180 € z = 195 € z = 150 €

Se deduce que para conseguir el máximo ingreso es necesario hacer 10 tartas Imperiales y 5 tartas de Lima, y que dicho ingreso ascendería a 195 €.

Actividades 1. Halla los máximos y los mínimos de la función f(x,y) = 2x+3y ⎧x ≥ 0 ⎪ ⎨y ≥ 0 ⎪2y ≥ −3x − 6 ⎩

sabiendo que:

2. Una empresa prepara y embala cajas de naranjas y limones para su distribución en el mercado. El precio de embalaje es de 20 pesetas por caja de naranjas y 15 por caja de limones. Sabemos que el número de cajas embaladas de limones no supera en más de 200 unidades al número de cajas embaladas de naranjas; y que el nº de cajas de limones embaladas no es inferior a 200 unidades y , en total, no supera las 600. a) ¿Qué nº de cajas de cada tipo hemos de embalar para que el coste sea mínimo? b) Si sabemos que la ganancia es de 100 pesetas por caja de naranjas y 80 por caja de limones, ¿cuál debe ser ahora el nº de cajas embaladas para que el beneficio sea máximo?

65

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PROGRAMACIÓN LINEAL:

EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES

MATEMÁTICAS CC SS II

1. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se vende a 3000 pta; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón que se vende a 5000 pta. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? 2. Unos almacenes quieren sacar a la oferta 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos, empaquetándolos de dos formas distintas: en el primer bloque pondrán 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 biligrafo. Los precios de cada paquete serán de 350 y 400 euros respectivamente. ¿Cuántos paquetes les convendrá hacer de cada tipo para que el beneficio sea máximo? 3. Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B, pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos, pero menos de 200. En cada vuelo, A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 1800 € y 1200 € en cada viaje del B. ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? ¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? 4. Escribe las restricciones que dan lugar a las siguientes regiones factibles:

a)

b)

0

3

-3

-2

5.

Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transportes tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 48 €, y el de uno pequeño, 36 €. Calcular cuántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

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PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD

6. (JULIO 2007) Con 6 kg. de un fármaco se desea elaborar pastillas grandes (40 g. cada una) y pequeñas (20 g. cada una), de manera que el número de pastillas grandes no sea inferior a 30 pero tampoco superior al doble del número de las pequeñas. Si el beneficio que se obtiene en la venta es de 0’25 euros por cada pastilla grande, y 0’15 euros por cada pequeña, ¿cuántas pastillas hay que vender de cada clase si se busca el máximo beneficio posible? 7. (JUNIO 2007) Representar gráficamente la región del plano determinada por las desigualdades: x – 2y ≤4, 2x + y + 2 ≥ 0, 3y ≤4 - x

y hallar los valores máximo y mínimo de la función F(x,y) = x + y, cuando (x,y) recorre dicha región. 8. (JULIO 2006)

Representar el recinto definido por las inecuaciones:

0 ≤ y ≤ 4x ,

y + 2x − 12 ≤ 0 ,

y≤ x + 3,

y hallar los valores máximo y mínimo de la función recinto.

F(x,y)=y–2x en dicho

9. (JUNIO 2006) Para cubrir un determinado trayecto, una compañía aérea tiene dos aviones: A y B. Entre ambos deben hacer al menos 60 vuelos, pero no más de 200, y el avión A no puede sobrepasar los 120 vuelos, ni el B puede volar más veces que el A. Si, en cada vuelo, A consume 900 litros de combustible y B consume 700 litros ¿cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo total de combustible sea mínimo? 10.

(JULIO 2005) Hallar los valores máximo y mínimo de la función f(x,y) = 4x+3y sujeta a las restricciones: x+y ≤ 10 ,

11.

x ≥ 0,

y ≥ 0,

2y ≥ 3x

(JUNIO 2005) A una persona que dispone de 30.000 € se le ofrecen dos fondos de inversión, A y B con rentabilidades respectivas del 12% y el 8%. El A tiene unas limitaciones legales de 12000 € de inversión máxima, mientras que el B no tiene limitación alguna, pero se aconseja no invertir en él más del doble de lo que se invierta en A. a) ¿Qué cantidad debe invertir en cada fondo para que el beneficio sea máximo? b) ¿A cuánto ascendería ese beneficio máximo?

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12. (JULIO 2004) Describir mediante un sistema de desigualdades la región poligonal cuyos vértices son (0,0), (0,4), (4,0) y (3,3) y hallar los valores máximo y mínimo de la función F(x,y) = 7x+2y, cuando (x,y) recorre dicha región. 13. (JUNIO 2004) Un camión de 9 Tm debe transportar mercancías de dos tipos: A y B. La cantidad de A no puede ser inferior a 4 Tm ni superior al doble de la cantidad B. Si el transportista gana 0.03 euros por cada kg de A y 0.02 euros por cada kg de B, ¿cómo debe cargar el camión para obtener la máxima ganancia? ¿A cuánto ascendería esa ganancia? 14.

(JULIO 2003) Se dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas de paseo y de montaña, que luego se pondrán a la venta al precio de 200 y 150 euros, respectivamente. Cada bici de paseo requiere 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y cada bici de montaña 2 kg de cada metal. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo hay que fabricar para obtener el máximo beneficio?

15. (JULIO 2002) Hallar el valor mínimo de la función z = x – y cuando las variables están sujetas a las siguientes restricciones: 2x + y ≤ 2,

2x − y + 2 ≥ 0,

x ≤ 1,

x + 2y + 1 ≥ 0

16. (JUNIO 2002) Una empresa constructora dispone de 10.800.000 euros, para fabricar en una urbanización casas de dos tipos: las de tipo A, cada una de las cuales tendría un coste (para la empresa) de 180.000 €, y dejaría, al venderla, un beneficio de 24.000 €, y las de tipo B, cuyos costes y beneficios individuales serían de 120.000 € y 18.000 €, respectivamente. Si las normas municipales no permiten construir más de 80 casas, hallar cuántas de cada tipo debe construir la empresa para obtener el máximo beneficio. 17. (JULIO 2001) Hallar el valor mínimo de la función z = 12x+4y cuando las variables están sujetas a las restricciones siguientes: x + y ≥ 2,

y ≤ 4,

x ≤ 2,

x≤y

18. (JUNIO 2001) Una compañía fabrica lámparas de dos tipos: A y B. Cada lámpara de tipo A requiere 3 horas de montaje y 1 hora de pintura, y su venta proporciona una ganancia de 5000 pta, mientras que la de tipo B requiere 1 hora de montaje y 2 de pintura, y da una ganancia de 4000 pta. Hallar la cantidad de lámparas de cada tipo que debe producir semanalmente la compañía si desea maximizar sus ganancias, sabiendo que tanto en el taller de montaje como en el de pintura se trabaja 100 horas a la semana. 19. (JULIO 2000) Hallar los valores máximo y mínimo de la función F(x,y)=5x+2y cuando (x,y) recorre el recinto determinado por las inecuaciones: 2x + y ≤ 6,

4x + y ≤ 10,

3 + x − y ≥ 0,

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x ≥ 0,

y≥0

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20. (JUNIO 2000) Un agricultor vende manzanas y peras en dos tipos de lotes: el A, compuesto por 10 manzanas y 2 peras, al precio de 80 pta, y el B, compuesto por 2 manzanas y 20 peras, a 120 pta. Cierto día dispone de 130 manzanas y 320 peras. Sabiendo que vende todos los lotes que prepara, ¿cuántos le interesa preparar de cada tipo para obtener el máximo de ingresos? ¿A cuánto ascenderían tales ingresos?

21. (SEPTIEMBRE 99) Un sastre tiene 80 m 2 de tejido A y 120 m 2 de tejido B. Un traje de caballero requiere 1 m 2 de A y 3 m 2 de B, y un vestido de señora 2 m 2 de cada tejido. Si la venta de un traje deja al sastre el mismo beneficio que la de un vestido, hallar cuántos trajes y vestidos debe fabricar para obtener la máxima ganancia.

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UNIDAD 5

LÍMITES Y CONTINUIDAD

2º BACHILLER

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OBJETIVOS DIDÁCTICOS:

1. Conocer el concepto de límite en un punto mediante una definición intuitiva e interpretarlo gráficamente. 2. Determinar la existencia de límites de funciones expresadas en forma analítica o mediante gráficas. 3.

Definir y calcular límites laterales.

4.

Resolver los tipos más usuales de indeterminación: ∞ − ∞ , 0 ⋅ ∞,

k 0

(k ≠ 0) ,

0 ∞ , , 0 ∞

1∞

4. Determinar de forma intuitiva la continuidad de una función a partir de su gráfica. 5. Determinar la continuidad de una función dada por su expresión gráfica o analítica, así como el tipo de discontinuidad si la hubiera.

CONCEPTOS:

1. Límite de una función en un punto: concepto y definición. 2. Límites laterales. 3. Propiedades de los límites. 4. Cálculo de límites. 5. Indeterminaciones

0 ∞ k ∞ ( k ≠ 0), , , ∞ -∞ , 0⋅ ∞ , 1 0 0 ∞

6. Continuidad de funciones: concepto, definición y tipos de discontinuidad.

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LÍMITES Y CONTINUIDAD

1. INTRODUCCIÓN Fíjate en las siguientes gráficas:

3 3

º

2 2

En la primera gráfica se observa que la imagen de 2 es 3, es decir, f(2)=3. En la segunda, sin embargo, no existe f(2) ( en su lugar hay un punto vacío) pero ello no impide que observemos que la función está situada en “los alrededores” de 3. Esto es debido a que, aunque x=2 no tiene imagen, sí la tienen los puntos próximos a él: 2’01, 2’0003, 1’99997… etc. Son las imágenes de estos puntos de “alrededor” de 2 las que nos permiten conocer cómo es la función, no ya en el punto 2 cuya imagen no existe, sino en un ENTORNO suyo. En la siguiente gráfica el punto x=-3 no tiene imagen pero se puede observar que la función se acerca a + ∞ por la derecha de -3 y a - ∞ por su izquierda.

También se puede ver que a medida que los valores de x tienden a + ∞ , sus imágenes van aproximándose a 0 sin que la función llegue a valer 0 dentro de R. La idea de “tender” o “aproximarse infinitamente” a un valor pero sin llegar nunca a él es lo que da lugar al concepto de LÍMITE. Intuitivamente, el límite de una función f(x) en un punto x = a es el valor L al que tienden las imágenes y = f(x) de los valores de x que se aproximan o tienden a “a”. L a

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Se utiliza el símbolo → para expresar la idea de “tender a”. Por tanto, podemos escribir la idea anterior de la siguiente forma: si x → a, f(x) → L. Pero se ha adoptado como notación habitual lim f(x) = L . x →a

Se lee:

límite cuando x tiende a “a”, de f(x) es igual a L.

*Recuerda que si L es el límite cuando x tiende a ser “a”, eso no significa que f(x) sea igual a L, sino que lo es su límite, es decir, el valor al que tienden a acercarse las imágenes de los valores de x próximos a “a”. ** Veamos una serie de ejemplos que nos acerquen a la idea de límite: Ejemplo:

Escribe valores de x que “tiendan” a 3. A medida que se acercan, ¿dónde tienden sus imágenes? ***Llamamos “tender” a acercarse infinitamente a x=3. Esta aproximación sería un proceso infinito, sin final, porque, como sabes, los números reales no son consecutivos, y siempre podrías encontrar un nº real más cercano a 3 que el anterior. ***

2

3

Ejemplo: ¿Cuánto vale la imagen de 5? Si consideramos valores que tienden a 5, ¿dónde tienden sus imágenes? Completa:

f(5) =

º

3

lim f(x) = x →5

5

Ejemplo: ¿Cuánto vale la imagen de 3? Si consideramos valores que tienden a 3, ¿dónde tienden sus imágenes?

2

•

1

○

f(3) = lim f(x) = x →3

3

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Ejemplo: ¿Cuánto vale la imagen de 3? Si consideramos valores que tienden a 3, ¿dónde tienden sus imágenes? ¿Qué opinas del límite en este caso? ¿Podría haber dos? f(3) = 2

º

lim f(x) = x →3

1 3

Intuitivamente, no tendría sentido que hubiera dos límites en un punto, puesto que mientras se tiende a uno de ellos sería necesario alejarse del otro, lo que entraría en contradicción con la idea de límite. En el caso de que esto ocurra, diremos que NO EXISTE el límite.

Actividad 1. Dada la función:

f(x)

3 º

-6 º

-4 º

2

-2

3

5

-1

Calcula los siguientes límites e imágenes: a) lim f(x)

b) lim f(x)

c) lim f(x)

d) lim f(x)

e) lim f(x)

f) lim f(x)

g) lim f(x)

h) lim f(x)

i) lim f(x)

j) lim f(x)

k) lim f(x)

l) lim f(x)

m) f(-6)

n) f(0)

o) f(3)

p) f(-4)

q) f(5)

r) f(-2)

x → −5 x→5

x → −4

x → −2

x → −6 + x → −∞

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x→0

x → −6 −

x→3

x → −6

x → +∞ x → −1

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Como ves, el límite no depende del punto “a” puesto que sólo se observan las imágenes de los puntos de un pequeño entorno a su alrededor (estaríamos hablando de un entorno reducido de a (a-r, a+r)- {a} , ¿lo recuerdas?) Sin embargo, parece lógico que los puntos próximos a “a” tengan sus imágenes próximas a la suya f(a). Por eso los límites se calculan, en principio, sustituyendo x por a, es decir, hallando f(a). Ejemplo: lim(x 3 + x − 1) = 2 3 + 2 − 1 = 9 x →2

Este resultado indicaría que la función f(x) = x 3 +x − 1 se encuentra en los alrededores de 9 en la vertical de x=2. (Este ejemplo nos da una idea de cómo calcular el límite de una función en un punto x=a, cuando no disponemos de la gráfica de dicha función para verlo, sino de su fórmula o expresión analítica).

Actividad 2. Calcula los siguientes límites: b) lim x −2

a) lim 5 x→3

x → +∞

c) lim − 1 x → −∞

d) lim

x →0 +

1

e) lim x 4

x3

x → −∞

Sin embargo, no siempre el límite en un punto tiene que ver con la imagen de dicho punto. De hecho, en un punto puede haber imagen y no límite, límite y no imagen; puede haber ambas cosas siendo iguales o distintas entre sí y puede que no exista ninguna de las dos. Observa un ejemplo de cada caso:

A) Imagen sí, límite no:

B) Imagen no, límite sí:

º °

2

2

C) Imagen no, límite no:

D) Imagen y límite sí. Iguales entre sí:

º º 2

2

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E) Imagen y límite sí. Distintos entre sí.

• º

2 Estarás de acuerdo en que la relación entre el límite y la imagen es ambigua y que el límite resulta más útil precisamente cuando no disponemos de la imagen de un punto, para conocer “dónde” se encuentra la función en los alrededores de dicho punto. (Intuitivamente, vendría a ser como un microscopio que amplía la función en los alrededores de cualquier punto “a”, e informa de la posición de la función en ese pequeño entorno). Vamos a formalizar ahora matemáticamente todas estas ideas. El lenguaje matemático se caracteriza por la búsqueda de la precisión y el rigor a la hora de definir cada concepto. No es lo mismo comprender intuitivamente una idea que escribir con exactitud en qué consiste. Por eso, a veces, resulta complejo leer matemáticas.

2.

DEFINICIÓN: f(x) L

a Se dice que f(x) tiene límite L cuando x tiende a “a” y se escribe lim f(x) = L , si para cualquier entorno de L (es decir un intervalo (L − ε, L + ε ) ) existe x →a

un entorno reducido de a (a − δ, a + δ ) -{a} tal que todos los x ∈ (a − δ, a + δ ) -{a} tienen sus imágenes f(x) ∈ (L − ε, L + ε ) . Todavía podemos escribirlo de manera más reducida: ∀E(L, ε), ∃E * (a, δ) / si x ∈ E * (a, δ) ⇒ f(x) ∈ E(L, ε) Y aún más: ∀ε > 0, ∃δ > 0 / si x ∈ E * (a, δ) ⇒ f(x) ∈ E(L, ε) ( ∀ : para todo

∃ : existe)

Con esta definición se pretende especificar cuál es la condición que cumple L y sólo L: que en cualquiera de sus entornos se pueden encontrar imágenes de puntos x muy próximos a “a”. Dicho de otra forma, para cualquier “alrededor” de L encontraremos un pequeño entorno de “a” cuyos puntos tienen sus imágenes en el entorno de L. 77

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De esa forma, aseguramos que los puntos próximos a “a” tienen sus imágenes próximas a L. Comprueba si L’ verifica la misma condición:

f(x) L’ L

a Como hemos visto anteriormente, la definición se debe desdoblar para incluir los casos en que el comportamiento de la función es distinto a la izquierda que a la derecha del punto.

3. LÍMITES LATERALES Se dice que el límite por la derecha de f(x) en el punto “a” es L 1 , y se escribe lim f(x) = L 1 si los x próximos a “a” por su derecha, tienen sus imágenes x → a+

tendentes a L 1 . Y se dice que el límite por la izquierda de f(x) en el punto “a” es

L 2 , y se escribe lim f(x) = L 2 , si los x próximos a “a” por su izquierda, tienen sus − x →a

imágenes tendentes a L 2 . lim f(x) = 1

x →2 −

2

lim f(x) = 2

x →2 +

1

○

1

2

3

La condición necesaria y suficiente para que exista límite en un punto es que existan sus límites laterales y sean iguales. lim f(x) = lim f(x) = lim f(x)

x → a+

x → a−

x →a

Siempre que los límites laterales sean distintos diremos que no existe límite puesto que no tiene sentido “acercarse” a dos lugares distintos a la vez.

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Ejemplo: 3x + 1

Dada la función

f(x) =

2

x +2x 15

x 0 Si x=a es un máximo sucede lo contrario. CÁLCULO DE EXTREMOS Para determinar los extremos de una función, buscaremos primero los puntos de derivada 0. A continuación calcularemos la derivada segunda en cada uno de esos puntos: serán mínimos, aquellos donde f’’ sea positiva y serán máximos, donde sea negativa. En los puntos donde f’’ sea 0 no podremos hacer ninguna afirmación sin tener en cuenta otros datos que más adelante analizaremos. Ejemplo:

Calcular los extremos de la función

f(x) =

x2 x −1

1) Hallamos f’ e igualamos a 0 ⎧x = 0 2x (x - 1) - x 2 x 2 − 2x = = 0 ⇒ x(x-2)=0 ⇒ ⎨ f’(x) = 2 2 (x − 1) (x − 1) ⎩x = 2 Los puntos x = 0, 2 son los posibles extremos (también podrían ser puntos de inflexión) Para determinarlo calculamos f’’ 2) Hallamos f’’ y sustituimos los puntos obtenidos f’’(x) = =

(2x − 2)(x − 1)2 − (x 2 − 2x) 2 (x − 1) (x − 1)

4

=

[

2(x − 1) x 2 − 2x + 1 − x 2 + 2x (x − 1)

4

2 (x − 1)3

f’’(0) =

2 0 1

luego el punto x=2 es un mínimo de f(x)

Por tanto, (0,0) es un máximo y (2,4) es un mínimo de f(x) ** Si hubiéramos hecho el cuadro del crecimiento de la función, se advertiría fácilmente que 0 y 2 son máximo y mínimo respectivos, pues marcarían el cambio de creciente a decreciente y viceversa.**

Hay que tener en cuenta que lo dicho anteriormente sólo es aplicable a extremos donde la función sea derivable. Existen otros extremos, puntos angulosos o de discontinuidad, que no podrían ser calculados de la manera antes indicada.

o

a

a

En ambos casos el punto a es un máximo de la función pero no se cumple f’(a)=0 porque no existe f’(a).

Actividades 2. Calcula los extremos de las siguientes funciones:

a) f(x)= x 3 −x2

b) f(x)=

x +1 x −1

c) f(x)= x· e x

3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

En muchos campos de la vida real (Biología, Física, Economía…) se requiere optimizar funciones, es decir, hallar sus valores máximos o mínimos (máximo beneficio, mínimo coste, área mínima etc.) con la limitación de uno o más condicionantes. Veamos un ejemplo: Ejemplo: De todos lo rectángulos de área 36 m 2 , hallar el de perímetro mínimo. (Si queremos tener un contexto real, supongamos que debemos vallar dicho terreno y que el coste de la valla es elevado)

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Para su resolución seguiremos los siguientes pasos: 1) Se definen las incógnitas (con unidades) y la función a optimizar

y

Sean x e y las dimensiones del rectángulo en m.

x La función a optimizar es el perímetro (mínimo)

P = 2x+2y

(Observa que la función tiene dos variables y eso dificulta hallar su derivada para calcular los extremos) 2) Se traducen a ecuaciones las condiciones o restricciones del problema: Sabemos que el área es 36, es decir

x · y = 36

3) Se despeja una de las incógnitas para poder escribir la función anterior en una sola variable: Como x = 36/y

entonces

f(x) = 2 · 36/y + 2y = 72/y + 2y

4) Se calcula el valor máximo o mínimo de la función f f(x) =

72 + 2y 2 y

⇒ f’(x) =

4y 2 − (72 + 2y 2 ) y2

2y 2 - 72 = 0 ⇒ y 2 = 36 ⇒

=

(f’(x) =0)

2y 2 − 72 y2

=0 ⇒

y = ±6

5) Se rechazan los resultados que carezcan de sentido en el contexto

Eliminamos la solución y = -6, pues un lado de un rectángulo no puede tener longitud negativa. La única solución posible es y = 6 m.

En caso de que hubiera otras soluciones posibles habría que comprobar cual de ellas es el valor mínimo comprobando que f’’ es positiva. Si hubiera más de un mínimo posible, se calcularía el valor de la función en cada uno de ellos y se elegiría como solución el valor más pequeño (mínimo absoluto) 6) Se redacta la solución con unidades 36 Si y= 6, x= =6 6

luego el rectángulo de perímetro mínimo es el cuadrado de lado 6 m.

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Actividades 3. Halla dos números cuya suma sea 20, de manera que la suma de sus inversos sea mínima. 4. De entre todos los números de dos cifras tales que la cifra de las decenas mas la de las unidades sea ocho, halla el número tal que la suma de los cuadrados de sus cifras sea máxima. 5. Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 m 2 de superficie. El metro de tramo horizontal cuesta 2’5 € y el de tramo vertical 3 €. Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo y determina dicho coste. 6. Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de 20 cm. De radio.

4. CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Definición: Se dice que la función f(x) es cóncava en un punto x=a si en un entorno de a, las rectas tangentes en cada punto quedan por debajo de la curva y se dice que f(x) es convexa en un punto x=a, si en un entorno de a las rectas tangentes en cada punto quedan por encima de la curva.

a

a

CÓNCAVA en x=a

CONVEXA en x=a

En caso de que f sea cóncava en el punto x=a se observa, como hemos indicado anteriormente, que las pendientes de las tangentes son cada vez mayores, luego f’ es creciente y, por tanto f’’ es positiva. Ocurre lo contrario si f es convexa en el punto x=a. f cóncava en x=a ⇒ f’ creciente en x=a ⇒ f’’(a) ≥ 0 f convexa en x=a ⇒ f’ decreciente en x=a ⇒ f’’(a) ≤ 0 De lo razonado anteriormente se deduce:

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Teorema Dada una función f(x) y un punto x=a donde es derivable dos veces, entonces: 1) si f’’(a)>0, 2) si f’’(a)0 o f’’(a)0 ⇒ f(x) es estrictamente creciente en a f´(a) 0

7) Curvatura y puntos de inflexión: ⎧CONCAVIDAD : x ∈ Dom(f) / f' ' (x) > 0 ⎪ ⎨CONVEXIDAD : x ∈ Dom(f) / f' ' (x) < 0 ⎪ ⎩PUNTOS DE INFLEXIÓN : a ∈ Dom(f) / f' ' (a) = 0 y f' ' ' (a) ≠ 0

8) Asíntotas: ⎧ ⎪HORIZONTALES : ⎪⎪ ⎨VERTICALES : ⎪ ⎪OBLICUAS : ⎪⎩

y = b siendo lim f(x) = b x → ±∞

x = a siendo lim f(x) = ±∞ x →a y = mx + n

siendo

m = lim x →∞

f(x) x

[f(x) − mx] n = lim x→∞

9) Representación gráfica:

Se dibujan previamente las asíntotas y se marcan los puntos destacados: de corte, extremos y de inflexión. Por último, se entrecruzan los cuadros del crecimiento y la curvatura y se establece el comportamiento de la función en cada zona. Veamos un ejemplo de una representación gráfica completa:

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Ejemplo: Representar la función: f(x) =

x2 x −1

1) Dominio: Función racional, denominador igual a cero ⇒ x − 1 = 0 ⇒ x = 1 Dom(f ) = R − {1} 2) Puntos de corte: ⎧Si x = 0 ⇒ f(0) = 0 ⇒ (0,0) ⎪ ⎨ x2 ⇒ 0 = x 2 ⇒ x = 0 ⇒ (0,0) ⎪Si y = 0 ⇒ 0 = x −1 ⎩

3) Simetrías: (−x)2 x2 ≠ f(x) ⇒ no par = − x −1 − x −1 x2 x2 − f(−x) = − = ≠ f(x) ⇒ no impar − x −1 x +1

f(−x) =

No presenta simetrías

4) Periodicidad: No presenta por ser una función racional 5) Monotonía:

Estudiamos el signo de f’

f ' (x) =

2x ⋅ (x - 1) − x 2 (x − 1)2

=

2x 2 − 2x − x 2 (x − 1)2

=

x 2 − 2x

(x − 1)2

=0

⎧x = 0 ⇒ x 2 − 2x = 0 ⇒ x(x − 2) = 0 ⇒ ⎨ ⎩x = 2

x f’(x)

-1

+

0

1/2

1

-

3/2

-

2

3

+

f(x) luego la función f(x) es estrictamente creciente en (− ∞, 0) ∪ (2, ∞ ) y estrictamente decreciente en (0,1) ∪ (1,2) 6) Extremos:

Los puntos x = 0, 2 son los posibles extremos (también podrían ser puntos de inflexión). Para determinarlo calculamos f’’ Hallamos f’’ y sustituimos los puntos obtenidos:

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f’’(x) = =

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(2x − 2)(x − 1)2 − (x 2 − 2x) 2 (x − 1) (x − 1)

4

=

[

2(x − 1) x 2 − 2x + 1 − x 2 + 2x (x − 1)

]

4

=

2 (x − 1)3 2 < 0 luego el punto x=0 es un máximo de f(x) −1 2 > 0 luego el punto x=2 es un mínimo de f(x) f’’(2) = 1

f’’(0) =

Hallamos las imágenes de los puntos: 0 ⎧ ⎪⎪Si x = 0 ⇒ f(0) = − 1 = 0 ⇒ (0,0) es máximo relativo ⎨ 2 ⎪Si x = 2 ⇒ f(2) = 2 = 4 ⇒ (2,4) es mínimo relativo ⎪⎩ 1

Por tanto, (0,0) es un máximo y (2,4) es un mínimo de f(x)

7) Curvatura y puntos de inflexión:

f’’(x) =

2 (x − 1)3

Estudiamos el signo de f’’

=0 ⇒ 2=0

imposible, luego sólo se incluye en el cuadro x=1.

x

0

f’’(x) f(x)

-

1

2

+

luego f(x) es cóncava en (1, ∞ ) y es convexa en (- ∞ , 1) No tiene puntos de inflexión pues 1 no pertenece al dominio. 8) Asíntotas a) Horizontales:

lim x →∞

x2 = +∞ x −1

lim

x → −∞

x2 = -∞ x −1

f(x) no tiene asíntotas horizontales, pues el resultado debería ser un nº real. b) Verticales: 1 ⎧ Lim+ f(x) = + = +∞ ⎪ 1 ⎪x → 1 0 Lim f(x) = x=1 es una asíntota vertical. = ⎨ x →1 0 ⎪ 1 Lim f(x) = - = −∞ ⎪⎩x → 1− 0

c) Oblicua:

recta de la forma y=mx+n siendo:

139

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f(x) x2 = lim 2 =1 x →∞ x →∞ x x −x ⎡ x2 ⎤ ⎡ x2 − x2 + x ⎤ ⎡ x ⎤ n = lim [f(x) - mx] = lim ⎢ − x ⎥ = lim ⎢ =1 ⎥ = lim x →∞ x →∞ x − 1 x →∞ x→∞ ⎢ x - 1 ⎥ x − 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ m = lim

y = x+1

es una asíntota oblicua.

9) Para dibujar la función se trazan las asíntotas, se marcan los puntos destacados y se entremezclan los cuadros del crecimiento y la curvatura.

0

1

2

Actividades 10. Representa gráficamente las siguientes funciones:

b) f(x)= x 3 −4x2 + 4x

c) f(x)=

x x +1 2

140

d) f(x)=

x2 x −4 2

g) f(x)= x·e x

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES MATEMÁTICAS CC SS II

1. Estudia la monotonía y los extremos de las siguientes funciones:

a) f(x)= x3 -3x+1

b) f(x)=

x2 x −1

c) f(x)=

1 2

x +1

2. Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de las funciones del ejercicio anterior. 3. Determina las asíntotas de las siguientes funciones:

a) f(x)= x 3 +2x − 1

b) f(x)=

x2 x −1

c) f(x)=

1 x

d) f(x)=

2x2 − 1 x2 + 4

4. Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) f(x)=

x2 x −1

b) f(x)=

d) f(x)= x·Lnx

4x + 2 2x − 1

e) f(x)=

1 1 + x2

c) f(x)=

x3 x2 − 1

(curva de Agnesi)

2x2 + 1 x −k Halla el valor de k y representa gráficamente la función para ese valor.

5. La recta

y= 2x+6

es una asíntota oblicua de una función f(x) =

6. Halla el valor de a y b para que la función f(x)= ax3 − 3x2 + b de inflexión en (-1,-3). 7. Halla el valor de a para que la función y= x 2 −3x + a

mínimo.

tenga un punto

tenga valor

3 2

en su

8 , calcula el valor de a y b para que la gráfica x de f pase por el punto (-2,-6) y tenga, en ese punto, tangente horizontal.

8. Dada la función f(x)= ax+b+

9. Calcula el valor de a, b, c y d en la función f(x)= ax3 + bx2 + cx + d sabiendo ⎛ 1 1⎞ que tiene un mínimo en el punto (0,-1) y un punto de inflexión en ⎜ − , ⎟ . ⎝ 2 2⎠ 10. Determina la parábola y = ax 2 +bx+c, sabiendo que pasa por el punto (5,-2) y es tangente a la recta y = 2x-3 en el punto (2,1).

141

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11. Calcula el valor de a, b y c en la función f(x)= x3 + ax2 + bx + c sabiendo que corta al eje de abscisas en x=-1 y que tiene un punto de inflexión en (2,1).

12. Determinar la función f(x) = ax 3 +bx sabiendo que pasa por (1,1) y que, en ese punto, tiene tangente paralela a la recta 3x+y=0.

13. En la función f(x) = ax3 + bx + c , halla a, b y c para que la función tenga un máximo relativo en x=1 y un punto de inflexión en (0,0).

14. Halla a y b para que la función f(x) = a·Lnx +bx 2 +x tenga extremos en los puntos x=1 y x=2. Determina si son máximos o mínimos. 15. Halla dos números cuya suma sea 20, de manera que la suma de sus inversos sea mínima. 16. De entre todos los números de dos cifras tales que la cifra de las decenas mas la de las unidades sea ocho, halla el número tal que la suma de los cuadrados de sus cifras sea máxima.

17. Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 m 2 de superficie. El metro de tramo horizontal cuesta 2’5 € y el de tramo vertical 3 €. Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo y determina dicho coste. 18. Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de 20 cm. De radio. 19. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm., ¿cuál es el de área máxima?

20. Una hoja de papel debe contener 18 cm 2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm. cada uno, y los laterales, 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. 21. Para construir una caja sin tapa cortamos de un cartón cuadrado de 10 cm. de lado, un cuadrado en cada esquina. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen de la caja sea máximo.

142

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PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD 22.

(JULIO 2007) Encontrar el dominio de la función y = log(1+x+x 2 ) y los puntos en los que la tangente a la curva es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. (Nota: log significa “logaritmo neperiano”)

23.

(JUNIO 2007) Hallar los máximos y mínimos relativos, los puntos de inflexión y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: y = x ex

24.

(JULIO 2006)

Hallar el dominio de definición, los extremos relativos y los x2 + 1 . intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y = x

25.

(JUNIO 2006) Hallar el dominio de definición, los máximos y mínimos y los puntos de inflexión de la función y = x +

26.

27.

1−x .

(JULIO 2005) Una hoja de papel debe contener 648 cm 2 de texto impreso, siendo los márgenes superior e inferior de 2 cm. cada uno, y los laterales de 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que su superficie sea la mínima posible. (JUNIO 2005)

La derivada de cierta función f es f’(x) = x 2 -1.

a) Representar gráficamente f’ y deducir de esta gráfica los intervalos de crecimiento y concavidad de f. b) Hallar f sabiendo que f(0)=1. 26. (JULIO 2004) Sabiendo que la gráfica de la derivada de la función f es la parábola con vértice en (0,-1) que pasa por los puntos (-1,0) y (1,0), estudiar razonadamente el crecimiento, la concavidad, los máximos y mínimos y los puntos de inflexión de f. 27. (JULIO 2003) De una función f se conoce que la gráfica de su derivada es la parábola con vértice en (1,-1) que pasa por los puntos (0,0) y (2,0). Sin realizar cálculos, hallar razonadamente: a) los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f b) los intervalos de concavidad y convexidad de f c) las abscisas de los extremos relativos (indicando si se trata de máximos o mínimos) d) los puntos de inflexión de f. 28. (JUNIO 2003) Se desea enmarcar una ventana rectangular de 2 m 2 de superficie. Si cada metro de marco vertical cuesta 50 euros, y cada metro de marco horizontal cuesta 64 euros, ¿qué dimensiones habría que dar a la ventana para que el coste total fuera mínimo?

143

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Matemáticas CCSS II

29. (JULIO 2002) Hallar los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la curva y = x 2 (x - 3). Con estos datos, esbozar el trazado de la gráfica en el intervalo [-1,4]. 30. (JUNIO 2002) Se desea dividir un alambre de 5 m. de largo en dos partes, de manera que la suma del cuadrado de una de ellas con el cuádruplo del cuadrado de la otra sea la mínima posible. ¿Dónde hay que dar el corte?

31. (JULIO 2001) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x 2 +4 en el punto de abscisa x=3, y encontrar los puntos en los que la curva y=x 3 -6x+1 tiene tangentes paralelas a la anterior.

32. (JUNIO 2001) Una parcela de forma rectangular y 2400 m 2 de superficie, va a ser rodeada por una valla y además dividida en dos partes iguales por medio de otra valla paralela a uno de los lados. Averiguar las dimensiones que debería tener la parcela para que fuera mínima la cantidad de valla a emplear. 33. (JULIO 2000) Hallar la función polinómica de segundo grado cuya gráfica pasa por (0,0) y tiene un máximo en (1,1). 34. (SEPTIEMBRE 1999) De todas las parcelas de forma rectangular que se podrían rodear con una valla de 1 km. de longitud, ¿cuál es la que tiene mayor superficie?

35. (JUNIO 1999) De todas las parcelas de forma rectangular de 1600 m 2 de superficie, ¿cuál sería la más barata de cercar con una valla? 36. (SEPTIEMBRE 1998) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función: f(x) = x·e − x .

37. (SEPTIEMBRE 1997) Estudiar y representar la función f(x)=

1 1−x

38. (JUNIO 1997) La gráfica de la función y=x 3 +ax2 + bx + c pasa por el punto (-1,0) y tiene un máximo en (0,4). Hallar a, b, c y los extremos y puntos de inflexión de f.

144

UNIDAD DIDÁCTICA 8

INTEGRAL

INDEFINIDA

2º BACHILLER

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Matemáticas CCSS II

OBJETIVOS DIDÁCTICOS

1. Conocer el concepto de primitiva y de integral indefinida de una función 2. Utilizar las propiedades de la integral para calcular integrales indefinidas, descomponiéndolas en otras más sencillas. 3. Manejar la tabla de las integrales inmediatas. 4. Resolver integrales indefinidas por los métodos de sustitución y partes. 5. Resolver integrales racionales con raíces reales simples o múltiples en el denominador.

CONCEPTOS

1. Primitiva de una función 2. Integral indefinida: definición y propiedades 3. Integrales inmediatas 4. Métodos de descomposición, cambio de variable y partes 5. Integrales racionales con raíces simples o múltiples en el denominador.

146

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Matemáticas CCSS II

INTEGRAL INDEFINIDA En unidades anteriores, dada una función f(x), hemos tratado de encontrar su función derivada f '(x). En esta unidad trataremos de recorrer el camino inverso, es decir, intentaremos buscar la función F(x) cuya derivada es f(x). derivar F(x)

Integrar

x2

f(x)

derivar

f ’(x)

2x

2

Se entiende que derivar e integrar son procesos recíprocos. De la misma forma que, dada la función 2x, podemos hallar su derivada: 2, también podemos conocer la función cuya derivada es 2x : x 2 . Definición:

Se dice que la función F(x) es una primitiva de f(x) si F’(x) = f(x).

Ejemplo:

1 x f(x) = cosx

f(x) =

f(x) = x 3

F(x) = Lnx F(x) = senx x4 F(x) = 4

Así como la derivada de cada función es única, no ocurre lo mismo con la primitiva pues como la derivada de cualquier constante es 0, podemos encontrar infinitas primitivas para cada función. Ejemplo: Si f(x) = 2x,

puede ser F(x)= x 2 ,

F(x)=x 2 +2,

F(x)= x 2 -27

En general cualquier función de la forma F(x) = x 2 +C primitiva de 2x.

…

donde C ∈ R, será una

Por tanto, si F(x) es una primitiva de f(x), también lo será cualquier función de la forma F(x) + C donde C representa cualquier nº real. Es lógico entonces, llamar integral de una función (“íntegro”, “entero”), al conjunto de todas sus primitivas.

1. DEFINICIÓN: Llamamos integral indefinida de la función f(x) y lo representamos

∫ f(x)dx , al conjunto de todas sus primitivas, es decir: ∫ f(x)dx = { F(x) + C / F' (x) = f(x), C ∈ R}

** Nota: dx se lee diferencial de x e indica respecto a qué variable se realiza la integración. Actúa como un multiplicador **

147

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(*) La diferencial de una función en un punto es igual al producto de su derivada por el incremento de la variable independiente x, es decir, df = f´(x)· Δ x. En el caso particular de la función f(x) = x se cumpliría: dx = 1· Δ x ⇒ dx = Δ x Por lo que sustituyendo: df = f´(x) dx Ejemplos:

∫

xdx =

x2 + C, 2

∫ xdt = xt + C , ∫ dx = x + C , ∫ dt = t + C , ∫ 2dz = 2z + C

Ejemplos:

∫ 5dx = 5x + C c) senxdx = - cosx + C ∫

∫ e dx = e + C x d) 2x dx = 2 +C ∫ 3

b)

a)

x

x

2

3

2. PROPIEDADES |

∫

1. ⎛⎜ f(x)dx ⎞⎟ = f(x) ⎝ ⎠ 2.

(integrar y derivar son procesos recíprocos)

∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx

±

∫ g(x)dx

(la integral de la suma/resta es la suma/resta de las integrales)

3.

∫ k · f(x)dx = k· ∫ f(x)dx

(la integral de una constante por una función es la constante por la integral de la función)

Se observa que dichas propiedades también se cumplen en la derivación dado que integrar es recíproco. Se deduce entonces que, igualmente, la integral del producto/cociente no podrá ser el producto/cociente de las integrales.

Ejemplos: 1

∫ (2x − senx + x )dx = x +cosx+Ln|x|+C x +C b) 5x dx = 5 x dx = 5 ∫ ∫ 3 a)

2

2

2

3

148

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3. INTEGRALES INMEDIATAS Se deducen directamente de las reglas de derivación. FUNCIONES SIMPLES

FUNCIONES COMPUESTAS

∫ 0dx = C

∫ dx = x + C ∫ kdx

∫

= kx + C

x n dx =

1

∫ x dx ∫

x n+1 +C n+1

siendo n ≠ −1

= Ln|x| + C

ax dx =

ax +C Lna

∫

f a · f´ dx =

f´

∫ f dx ∫

f a+1 +C a+1

siendo a ≠ 1

= Ln | f | + C

a f · f´ dx =

af +C Lna

∫ senxdx = - cosx + C

∫ senf · f´ dx

= - cosf + C

∫ cos xdx = senx + C

∫ cos f · f´ dx

= senf + C

1

∫ cos

2

x

dx = tgx + C

1

∫ sen x dx = - cotgx + C 2

∫

1 1 − x2

1

∫1+x

2

⎧arcsenx + C dx = ⎨ ⎩- arccosx + C

dx = arctgx + C

f´

∫ cos

2

f

dx = tgf + C

f´

∫ sen f dx 2

∫

f´ 1 − f2

f´

∫1+f 149

2

= - cotgf + C

dx = arcsenf + C

dx = arctgf + C

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Ejercicios:

∫

1. x 3 dx = 2.

∫

3

x dx =

∫

3. 3 x 4 · x dx =

4.

∫

x5 dx = 4

∫

5. (x 2 + 4 x )dx =

∫

6. ( x 3 + x 2 )2 dx =

∫

7. cos 3x dx = 3

8.

∫x

9.

∫1+x

10.

5

dx = 2

∫6

3

∫

11. (

2

1

dx =

dx = x

3 − e x + senx)dx = x

⎛1 ⎞ 12. ⎜ + 3 x ⎟dx = ⎝x ⎠

∫

150

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4. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 4.1 INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

Consiste en transformar, a través de un cambio en la variable, una función compuesta en otra función simple, para poder aplicar las reglas de las integrales inmediatas. Ejemplos: a)

∫ x · senx dx 2

=

dt

∫ x · sent · 2x

=

1 2

1

1

∫ sent · dt = - 2 cos t = - 2 cos x

2

+C

2

x =t 2xdx = dt dt dx = 2x

b)

∫

2 Lnx dx = x

∫

2t x dt = x

∫

2 t dt =

2t 2 Lnx = +C Ln2 Ln2

Lnx = t 1 dx = dt x dx = xdt

c)

∫

1 3x + 1

dx =

2 1 2t dt = 2 3 3 t

∫ 2

3x+1 = t 3dx = 2t dt 2t dx = dt 3

Ejercicios:

1.

∫ 3x sen(x

2.

∫ xLnx dx =

3.

∫ cos

x dx =

4.

∫3

senx dx =

5.

∫

2

+ 1)dx =

1

cos x

1

2

2

2

∫ t · t dt = 3 ∫ dt = 3 t = 3

4 − x 2 dx =

151

3x + 1 +C

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4.2 MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

Este método es útil cuando de trata de integrar un producto no realizable de funciones, es decir, productos de funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales…

∫ x · Lnx dx ,

∫ x · senx dx , 2

∫ e · cosx dx x

…

(Si las funciones se pueden multiplicar entre sí antes de hacer la integral, es conveniente hacerlo) Dado que la derivada de un producto de funciones no es el producto de las derivadas, tampoco la integral del producto será el producto de las integrales. Para calcular la integral de un producto nos basaremos en la fórmula de la derivada del producto. Dadas dos funciones u(x) y v(x) sabemos que se cumple: (u · v)’ = u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x) si integramos ambos miembros obtenemos:

∫ (u · v)' (x)dx = ∫ u' (x) · v(x) dx + ∫ u(x) · v' (x) dx de donde:

(u · v)(x) =

∫ u' (x) · v(x) dx + ∫ u(x) · v' (x) dx

Sabiendo que cada función u(x) tiene una función derivada u’(x) y una diferencial du = u’(x)·dx tenemos: (u · v)(x) =

∫ u(x) · dv

∫ v(x) · du + ∫ u(x) · dv

= (u · v)(x) -

∫ u · dv

∫ v(x) · du

= u· v -

despejando obtenemos:

o simplificando la escritura:

∫ v · du

152

y

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Ejemplo:

∫

1) x · senx dx = x · (-cosx)u=x dv = senxdx

∫ − cos x dx = - x·cosx+ ∫ cos x dx = - x·cosx+senx+C

du = dx v = ∫ senxdx = -cosx

Puede que sea necesario reiterar el método de integración más de una vez.

∫

∫

2) x 2 · cosx dx = x 2 senx - 2 x · senx dx = x 2 senx - 2 (− x cosx + senx ) = u=x

2

dv = cosxdx

du = 2xdx v=

∫

ejemplo anterior

cos xdx = senx

= x 2 senx + 2xcosx – 2senx + C

∫

∫

∫

3) e x · senx dx = - e x cosx + e x cos x dx = - e x cosx + e x senx - e x · senx dx ⇒ x

x

x

u=e du = e dx dv = senxdx v= -cosx

⇒

∫ e · senx dx + ∫ e · senx dx = - e x

x

u=e du = e dx dv = cosxdx v= senx

x

x

cosx + e x senx ⇒

∫

⇒ 2 e x · senx dx = - e x cosx + e x senx ⇒

∫

e x · senx dx =

− e x cos x + e x senx +C 2

Este método se emplea también en el caso de que una de las funciones sea la unidad: Calcula las siguientes integrales:

∫ Lnx dx = ∫ arcsenx dx =

∫ arctgx dx =

Si la integral a realizar

∫ v du

es más complicada que la inicial, se puede

probar a intercambiar la elección de u y v. Si tampoco se consigue así simplificar el integrando, habría que concluir que este método no es el adecuado para resolver dicha integral.

153

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Ejercicios:

1.

∫ (x + 1)· e dx =

2.

∫ x cos xdx =

3.

∫ x 2 dx =

4.

∫ x Lnx dx =

x

2

x

4.3 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

En este apartado resolveremos únicamente integrales del tipo donde P(x) y casos:

Q(x)

son polinomios.

P(x)

∫ Q(x) dx ,

Dividiremos el estudio en los siguientes

A) El numerador P(x) es de grado menor que el denominador Q(x) A1) El denominador Q(x) tiene raíces reales y distintas A2) El denominador Q(x) tiene raíces reales y repetidas (múltiples) A3) El denominador Q(x) tiene raíces complejas B) El numerador P(x) es de grado mayor o igual que el denominador Q(x)

Analizaremos ahora cada uno de ellos a través de diversos ejemplos.

A) Grado P(x) < Grado Q(x) Previamente analizaremos el caso más simple: numerador de grado 0 y denominador de grado 1. m

1

1

a

∫ ax + b dx = m ∫ ax + b dx = m· a ∫ ax + b dx =

m Ln | ax + b | +C a

Observa que el numerador es “casi” la derivada del denominador. Podemos “ajustar” las constantes.

Ejemplos: 3

a)

∫ x + 2 dx = 3 Ln|x+2| +C

b)

∫ 2x + 1 dx = 5 ∫ 2x + 1 dx = 2 ∫ 2x + 1 dx =

5

1

5

2

154

5 Ln|2x+1|+C 2

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*** Recuerda que siempre que el numerador sea la derivada del denominador salvo constantes (que se pueden ajustar), el resultado de la integral será logaritmo neperiano del denominador, es decir,

∫

f ' (x) dx = Lnf(x) +C f(x)

***

Ejemplos: 2x − 1

∫ x − x − 2dx = Ln|x -x+2| + C senx ∫ tgx dx = ∫ cosx dx = - Ln|cosx|+C 6x + 3 3(2x + 1) ∫ x + x − 2 dx = ∫ x + x − 2 dx = 3 Ln|x

a)

2

2

b) c)

2

2

2

+x–2| +C

Utilizaremos estas conclusiones para abordar integrales más complicadas. Parece conveniente factorizar el denominador para descomponer el cociente en suma de cocientes más simples. A1) El denominador Q(x) tiene raíces reales y distintas. Ejemplo:

∫x

2 2

−1

dx = 2 2

x −1

⎛ A

B ⎞

−1

1

∫ ⎜⎝ x + 1 + x − 1 ⎟⎠dx = ∫ x + 1 dx + ∫ x - 1 dx = -Ln|x+1|+Ln|x-1|+C =

A(x − 1) + B(x + 1) 2

x −1

⎧si x = 1 2 = 0 + 2B ⇒ B = 1 ⇒ 2 = A(x-1)+B(x+1) ⇒ ⎨ ⎩si x = -1 2 = -2A + 0 ⇒ A = -1

Como has podido ver, se trata de descomponer una fracción algebraica en la suma de dos más sencillas cuya integral es inmediata. Se han tenido que ajustar los numeradores para que la suma coincida con la función inicial.

Ejercicios:

a)

b)

∫

2x 2 − 7x − 6 dx = x 3 − x 2 − 2x

∫

x2 + 1 dx = x3 − x

155

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A2)

Matemáticas CCSS II

El denominador Q(x) tiene raíces reales múltiples (repetidas).

Ejemplo: x +1

∫ (x − 1)

3

dx =

∫

⎛ A ⎞ B C ⎜ ⎟ ⎜ x − 1 + (x − 1)2 + (x − 1)3 ⎟dx = ⎝ ⎠

Observa que no podemos poner el mismo denominador x-1 en los tres sumandos como en el caso anterior, pues serían agrupables en uno solo. Además, es necesario que el denominador (x-1)

3

sea común en los dos miembros.

x +1 (x − 1) Si x=1 Si x=0 Si x=2

3

=

A(x − 1)2 + B(x − 1) + C (x − 1)3

2=C 1 = A(-1) 2 +B(-1)+C ⇒ 1 = A – B + C ⇒ A – B = -1 ⇒ A+B=1 3=A+B+C ⇒ 3=A+B+2 2A = 0 ⇒ A = 0 B = 1-A = 1

=

1

∫ (x − 1)

dx + 2

2

∫ (x − 1)

3

dx =

1

∫t

2

dt +

2

∫t

3

dt =

∫

∫

t −2 dt + 2 t −3 dt =

t −2 t −1 = +2 −1 −2

x-1 = t dx = dt =

1 −1 − +C x − 1 (x − 1)2

Ejercicio: Realiza las siguientes integrales que mezclan raíces simples y múltiples:

∫x

∫x

6x + 3 3

+ 3x 2 − 4

dx 3

− 4x 2 + 4x

dx =

=

156

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A3)

Matemáticas CCSS II

El denominador Q(x) tiene raíces complejas (factores de 2º grado Irreducibles)

Haremos el estudio empezando por los casos más simples y aumentando progresivamente la complejidad. Comenzaremos por factores en el denominador que no tengan término en x e iremos completando el numerador sucesivamente a través de ejemplos. Partiremos de la fórmula de la derivada de la función arco tangente: f' (x)

(arctgf(x))’ =

f´(x)

∫1+ f

dx = arctgf(x) + C 2 (x) 1 + f (x) Intentaremos ajustar a este formato la función a integrar, para llegar a una integral del tipo arco tangente.

1)

∫x

3 2

+4

dx =

∫x

3 2

4

⇒

2

4

dx =

+1

3 4

∫

1 ⎛x⎞ 1+⎜ ⎟ ⎝2⎠

Dividimos entre 4 la fracción para adaptarla a la forma 1+f

2)

∫x

5x 2

+4

dx = 5 ·

1 2

∫x

3 ·2 4

∫

1 3 ⎛x⎞ 2 dx = arctg ⎜ ⎟ +C 2 2 ⎝2⎠ 1+ x 2

( )

Ajustamos la constante del 2

2x 2

2

dx =

+4

numerador para adaptarlo a f´

dx =

5 Ln |x 2 +4| + C 2

Recuerda que es importante descartar primero que el numerador sea la derivada del denominador (salvo constantes), pues en ese caso, la integral es inmediata.

Es lógico pensar que si el numerador es un polinomio de grado 1 de la forma ax+b, separando el cociente en dos sumandos tendremos dos integrales: una del tipo arco tangente y otra del tipo logaritmo neperiano. Veamos un ejemplo:

3)

3x + 2

∫x

2

+3

dx =

∫

1 2 ⎞ ⎛ 3x + 2 ⎜ 2 ⎟dx = 3 2 ⎝ x + 3 x + 3⎠

∫x

2x 2

+3

dx +

∫x

2

3

2

3

+1

dx =

1 2 3 3 2 dx = Ln|x +3| + · 3 dx = 2 2 3 2 ⎛x ⎞ ⎞ ⎛x 1+⎜ 1+⎜ ⎟ ⎟ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎛ x ⎞ 2 3 3 ⎟+ C arctg⎜⎜ = Ln|x 2 +3| + ⎟ 3 2 ⎝ 3⎠

2 3 Ln|x 2 +3| + = 3 2

∫

1

∫

Aumentando la complejidad, supongamos ahora que el denominador es un polinomio completo de grado 2: La estrategia consiste en transformar el polinomio completo en otro incompleto sin término en x, para poder aplicar alguna de las técnicas anteriores.

157

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4)

∫x

Matemáticas CCSS II

2x + 5 2

− 4x + 13

2x + 5

∫ (x − 2)

dx =

2

+9

dx

El denominador tiene raíces complejas:

∫t

2t 2

+9

dt +

= Ln|t 2 +9|+

∫t

9 2

+9

1

∫ 1 + (t ) 3

2

2

t +9

2t + 9

∫t

dt =

2

+9

dt =

x-2=t

4 ± 16 − 52 x= 2

=

2(t + 2) + 5

∫

=

dx = dt

dt =

Ln|t 2 +9|+

∫t

dt = Ln|t 2 +9|+ 3

1 2

9

+1 1

dt =

3

∫ 1 + (t ) 3

2

dt =

⎛t⎞ ⎛x + 2⎞ = Ln|(x-2) 2 +9| + 3 arctg ⎜ ⎟ = Ln|x 2 -4x+13| + 3 arctg ⎜ ⎟+ C 3 ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠ Por último, si el denominador tiene raíces reales y complejas simultáneamente, A se descompone el cociente en sumandos de la forma para los factores x−a Ax + B simples y para los factores cuadráticos. 2 ax + bx + c

5)

∫x

3

1 dx = + x2 + x

1 x(x2 + x + 1)

=

∫ x(x

1 2

+ x + 1)

A(x2 + x + 1) + (Bx + C)x x(x2 + x + 1) x=0 x=1 x=2

dx =

⇒

⎛A

∫ ⎜⎝ x + x

Bx + C ⎞ ⎟dx = + x + 1⎠

2

1= A(x 2 + x + 1) + (Bx + C)x

⇒ 1=A ⇒ 1 = 3A+B+C ⇒ B+C = -2 ⇒ 1 = 7A+4B+2C ⇒ 4B+2C= -6 2B = -2

=

∫

1 dx + x

∫x

−x − 1 2

+ x +1

dx = Ln|x|+

−x − 1

∫ (x + 1 ) 2

2

+3

⇒ B = -1

dx = Ln|x|+ 4

∫

C = -1

− t + 1 −1 2 dt = t2 + 3 4

x+ 1 =t 2 dx =dt

= Ln|x|+

= Ln|x| -

∫

−t dt + 2 t +3 4

∫

−1 2 dt = Ln|x|- 1 2 2 t +3 4

1 4 3 1 Ln | t 2 + | 23 4 2

∫

1 ⎛ ⎞ 1 + ⎜ 2t ⎟ 3⎠ ⎝

2

158

∫

dt =

2t 2 t +3

dt 4

1 2

∫ 4t

4

3

2

3

+1

dt =

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Matemáticas CCSS II

3 3 1 2 = Ln|x| - Ln | t 2 + | - · 3 2 4 2

= Ln|x| -

2

3

∫ 1 + (2t 3 )

2

dt =

⎛ 2x + 1 ⎞ 3 1 ⎟ +C arctg⎜⎜ Ln | x 2 + x + 1 | ⎟ 3 2 3 ⎝ ⎠

Ejercicios:

1)

∫x

2)

∫x

3)

∫x

dx = −1

4

x+4 2

dx = + 2x + 3

−x − 1 2

+4

dx

B) Grado P(x) ≥ Grado Q(x)

En este caso es posible realizar la división entre ambos polinomios

P(x) , Q(x)

obteniéndose en cada caso el correspondiente cociente y resto. P(x) R(x)

Q(x) C(x)

Sabemos que se cumple:

P(x) = Q(x)·C(x) + R(x)

Dividimos la igualdad entre Q(x): P(x) Q(x)·C(x) R(x) = + Q(x) Q(x) Q(x)

Si integramos ahora ambos miembros obtenemos: P(x)

R(x)

∫ Q(x) dx = ∫ C(x)dx + ∫ Q(x) dx lo que permitirá realizar la integral inicial como suma de dos integrales: una de ellas inmediata por ser C(x) un polinomio y la otra de tipo A por ser necesariamente el grado del resto R(x) menor que el del divisor Q(x).

159

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Matemáticas CCSS II

Ejemplo:

∫

x3 dx = x −1 x

3

∫

(x 2 + x + 1) dx +

∫

1 x3 x2 dx = + + x+Ln|x-1|+C 3 2 x −1

|x-1

− x3 + x2

x2 + x + 1

x2 − x2 + x x -x+1 1

Ejercicios:

1)

2)

∫

x 3 + x 2 + 2x + 1 dx) = x2 + 1

x 2 + 3x − 4

∫x

2

− 2x + 8

dx =

En general, cuando se trata de integrales de funciones racionales, y si el grado del numerador es menor que el del denominador, se descompone en factores el denominador teniendo en cuenta los siguientes casos: 1) por cada raíz simple a, aparecerá un sumando de la forma

A x−a

2) por cada raíz múltiple b, aparecerán tantos sumandos como veces se repita la raíz, es decir si k es el orden de multiplicidad de la raíz la descomposición A3 A1 A2 Ak + + + ... + será: 3 x − b (x − b )2 (x − b) (x − b)k 3) por cada factor irreducible (raíces complejas) de segundo grado ax 2 +bx+c Ax + B aparecerá un sumando de la forma: 2 ax + bx + c Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se realiza la división de los polinomios para transformar la integral inicial en suma de dos integrales, una de ellas polinómica (inmediata) y la otra de alguno de los casos anteriores.

160

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Matemáticas CCSS II

INTEGRAL INDEFINIDA: EJERCICIOS, PROBLEMAS Y CUESTIONES

MATEMÁTICAS CC SS II

1. Calcula la primitiva de la función f(x) = 3+2x

que cumpla F(-1) = 3.

2. Halla la función f(x) sabiendo que f ’’(x)= 2, que su derivada primera toma el valor 2 en el punto x=3 y que cumple f(-1)=3. 3. Calcula las siguientes integrales: 1

a)

∫ 3x dx

b)

∫x

d)

∫ (2 + 3 )dx

e)

∫ (2 · 3 )dx

f)

∫ − 3 senxdx

g)

∫ (x + x

h)

∫ (1 + 2x) dx

i)

∫ x · x dx

j)

∫

(x + 1)· x 3 dx

k)

∫ (2x − 1)· x

l)

∫

3

∫

2 + x −3 + x

n)

∫

sen2 xdx

ñ)

∫

(3 + 2x)2 dx 5x

o)

∫

1 dx x+5

p)

∫

1 − x3

q)

∫ cos 4xdx

r)

∫

e − x dx

s)

∫

3(x 2 + 1)

m)

5

x

−1

+ 5x 2 )dx 1

x −2

dx

4

c)

dx

x

2

3

x2

4

dx

dx

x3

∫

3

xdx

2

x x2

3

dx

dx

4. Calcula, por el método del cambio de variable, las siguientes integrales:

a)

∫ senx · e

(arctgx)3

d)

∫

g)

∫ tgx dx

j)

cosx

1+x

2

dx

∫ x (Lnx)

2

dx

dx

∫

b) 5x2· senx3dx 6x 2 − 10

e)

∫x

h)

k)

∫

c) x 2 ·cos(x 3 + 5)dx 2x

f)

∫e

∫ x Lnx

i)

∫

∫ sen x · cosx dx

l)

∫2

3

dx − 5x + 1

dx

4

161

3 x2

dx

5 x · (1 + x) senx

dx

cos xdx

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m)

o)

Matemáticas CCSS II

5x

∫1+x ∫7

2 x −5

dx

4

dx

n)

∫ 6x (3x

p)

∫

2

− 7) 4 dx

ñ)

∫x

q)

∫ (2x − 3)

4 − x 2 dx

x 2 + 1 dx

−4

dx

5. Calcula, por el método de integración por partes, las siguientes integrales: x

a)

∫ x · 3 dx

b)

∫ x · cosx dx

c)

∫ 2 · sen3x dx

d)

∫ x · Lnx dx

e)

∫ Lnx dx

f)

∫e

g)

∫ arcsenx dx

h)

∫ arctgx dx

i)

∫ (x + 1) cos x dx

j)

∫ (x + 2) Ln(1 + x) dx

x

2

x

· senx dx

6. Calcula las siguientes integrales de funciones racionales:

a)

∫x ∫x

g)

∫x ∫x

3

−1

−x

2

+ 3x − 4 dx

2

e)

dx

6x + 3 3

b)

dx

−3x − 1

d)

j)

2 2

+ 5x + 8

dx

∫

∫x

2x − 1 3

2

− 2x − x + 2

x 4 − x3 − x − 1 dx x3 − x2

h)

k)

∫

x 2 − 2x + 6

∫

3x 2 − 5x + 1 dx x−4

(x − 1)3

∫x

c)

dx

f)

∫x

dx

−3 2

− 3x

dx

x 2 − 2x − 2 3

− 6x 2 + 12x − 8

i)

∫x

l)

∫

dx 2

+ 6x + 13

2x − 3 dx x+2

7. Calcula las siguientes integrales:

3x − 2

a)

∫x

d)

∫

g)

2

−1

dx

3x dx 3

∫1+ x

2

dx

b)

∫ (4x

c)

∫ (senx + e )dx

e)

∫ sen2x dx

f)

∫ x dx

h)

∫

i)

2

− 5x + 7)dx

(e 2x + 3 x )dx

162

x

2

∫

x 2 + 2x + 4 dx x +1

dx

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j) m)

Matemáticas CCSS II

∫ x ·e 4

∫

x5

k)

dx

x 2 − 2x (x - 1)dx

n)

∫ x · senx 2

2x

∫

x · cos3x dx

r)

∫

Lnx dx x

s)

∫

1 3 2 ( x 4 − x 2 + )dx 2 4 5

v)

∫

y)

∫ (x

x)

∫

e

x

dx

x

2

A)

∫x

D)

∫ 3x − 1 dx

G)

∫ (2 − x) 1 − x

4

− 3x 3 + 4x 2

dx

dx

l)

dx

∫ x · e dx p) 3x cosx dx ∫

o)

u)

2

ñ)

∫ x · senx dx 2

∫ (x + 1) · e dx 2x + 7x − 1 q) ∫ x + x − x − 1dx 2

x

2

3

2

3

2

x + 1 dx

t)

∫ (x + x

3senx + 2 x dx 4

w)

∫x

∫x

x 2

− 1)

dx

3

2x 2 − 4x + 5

B)

∫

E)

∫x

H)

∫ e · cose

x 2 − 2x + 2

2x + 1 2

+x−3

x

x

dx

dx

z)

∫

C)

∫x

F)

∫

4

)dx

x 2 − 1 dx

1 − x 2 dx

5 2

+ 2x + 3

dx

sen(Lnx) dx x

dx

PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD

8. (JUNIO 2005)

Calcular la integral

∫ x (x

2

− 1) dx

9. (JUNIO 2004) Encontrar la función cuya derivada segunda es la constante 2, y cuya gráfica presenta un mínimo en el punto (1,2). 10. (JULIO 2000) ¿Cuántas funciones hay que tienen por derivada la función 3 f(x)=5x −2x + 3 ? Encontrar aquella cuya gráfica pasa por el punto (1,2).

11. (SEPTIEMBRE 1999) Hallar la primitiva de la función y = 2x - 2 que pasa por el punto (2,1), y representarla gráficamente.

163

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Matemáticas CCSS II

CUESTIONES 12. Halla la ecuación de una curva que pasa por el punto A(1,-4), sabiendo que la pendiente de la recta tangente a dicha curva en cualquier punto viene dada por la función f(x) = 3x 2 +3. 13. Calcula la función F(x) que cumple F’’(x) = 6x+1, F(0) = 1 y F(1)=0. 14. Determina la función f(x) sabiendo que f ’’(x) = x·Lnx,

f ‘(1)=0 y f(e)=

15. Calcula la expresión de una función f(x) tal que f ‘(x) = x e − x

2

y f(0)=

e . 4

1 . 2

16. Se sabe que la gráfica de una función f pasa por el punto (1,1) y que f ‘(1)=2. Se conoce también que la derivada segunda es la función g(x) = 2. Calcula razonadamente la función f.

164

UNIDAD

DIDÁCTICA

10

PROBABILIDAD

2º BACHILLER

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Matemáticas CC SS II

OBJETIVOS DIDÁCTICOS

1. Determinar el espacio muestral y el espacio de sucesos asociados a un experimento aleatorio. 2. Distinguir los distintos tipos de sucesos y operar con ellos. 3. Asignar probabilidades a sucesos mediante la regla de Laplace. 4. Resolver problemas de probabilidad utilizando diagramas de árbol. 5. Solucionar problemas relacionados con la probabilidad condicionada. 6. Utilizar la probabilidad total y el teorema de Bayes en aquellos problemas que lo requieran.

CONCEPTOS 1. Espacio muestral. Espacio de sucesos. 2. Operaciones con sucesos. 3. Idea intuitiva de probabilidad. Regla de Laplace. 4. Definición axiomática de probabilidad. 5. Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. 6. Probabilidad total. 7. Teorema de Bayes. 8. Probabilidad mediante diagramas de árbol.

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Matemáticas CC SS II

PROBABILIDAD 1. INTRODUCCIÓN: Se considera que la probabilidad surge como disciplina matemática en el siglo XVII, a través del juego. En la sociedad francesa, en los alrededores de 1650, el juego era un entretenimiento habitual, cuya complejidad, cada vez mayor, impulsó la necesidad de encontrar un método con el que predecir la probabilidad de ganar. El caballero de Méré, jugador apasionado, reflexionaba sobre el hecho de que algunas jugadas o apuestas parecían ser exitosas con más frecuencia que otras. Estableció correspondencia con Pascal, matemático y filósofo de la época, quien se interesó por los problemas que le proponía y, a su vez, comenzó a estudiarlos, carteándose con algunos matemáticos amigos entre quienes destacaba Fermat. Esta correspondencia puede considerarse el origen de la probabilidad. Figuran como personajes destacados en esta rama de las matemáticas: Bernoulli que estudia la distribución binomial, De Moivre que parece ser el primero en estudiar la distribución normal, Laplace que da la primera definición de probabilidad, Gauss, Pearson, Galton, Kolmogoroff… 2. Definición: Se llama experimento aleatorio a todo aquel cuyo resultado no puede predecirse, es decir, depende del azar. Ejemplo:

a) lanzar un dado b) ganar un torneo c) extraer cartas de una baraja

Definición: Se llama espacio muestral, y se escribe E, al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplo: a) El espacio muestral asociado al experimento “lanzar un dado” es: E = {1,2,3,4,5,6} b) “Lanzar dos monedas”

E = { CC, CX, XC, XX}

Cada uno de estos posibles resultados recibe el nombre de punto muestral o suceso elemental. Dichos puntos se agrupan, a su vez, en subconjuntos de E llamados sucesos. Por tanto, “llamamos suceso a cualquier subconjunto de E”. Se designan con letras mayúsculas A, B … Ejemplo: Sea el experimento “lanzar un dado”. El suceso salir nº par es: A ={2,4,6}, el suceso salir mayor que 4 es: B ={5,6}, y salir mayor que 7: C ={∅}

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Matemáticas CC SS II

Actividad 1. Escribe el espacio muestral asociado al experimento “lanzar tres monedas y anotar el resultado” 3. ESPACIO DE SUCESOS Se entiende por espacio de sucesos S de un experimento Definición: aleatorio, el conjunto formado por todos los sucesos posibles, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de E. Ejemplo: a) Sea el experimento “ lanzar una moneda”: Espacio muestral E = {C, X} Espacio de sucesos S = {∅, {C}, {X}, {C,X}} b) “lanzar un dado de quinielas” Espacio muestral E ={1,X,2} Espacio de sucesos S ={∅, {1}, {X}, {2}, {1,X}, {1,2}, {X,2}, {1,X,2}} El espacio de sucesos S contiene siempre al conjunto vacío ∅ y al conjunto total E, pues ambos son siempre subconjuntos de cualquier conjunto. En total, S contiene 2 n elementos, siendo n el número de elementos de E. (En el primer ejemplo, E contiene 2 elementos y S: 2 2 =4, y en el segundo, E contiene 3 elementos y S: 2 3 =8) 4. TIPOS DE SUCESOS SUCESO SUCESO SUCESO SUCESO SUCESO

ELEMENTAL: es el formado por un único punto muestral. COMPUESTO: es el formado por dos o más puntos muestrales. SEGURO: es el formado por todos los puntos muestrales. Coincide con E. IMPOSIBLE: es aquel que nunca se verifica. Se escribe ∅. CONTRARIO o COMPLEMENTARIO de un suceso A, es el que se verifica cuando no se verifica A. Se escribe A .

Ejemplo: Sea el experimento “lanzar un dado” Suceso Suceso Suceso Suceso

elemental: compuesto: seguro: imposible:

A= {salir múltiplo de 5} = {5} B= {salir impar} = {1,3,5} C= {salir 7} = {∅}

Suceso contrario de A = {salir