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Sistemas de ecuaciones lineales

© Grupo Editorial Bruño, SL. Matemáticas de 3º ESO. Autores José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez

E

n este tema se estudian los sistemas de ecuaciones lineales. Se empieza definiendo que es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, se estudia la resolución gráfica y, a partir de la representación gráfica, se clasifica: es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones, es decir, las dos rectas son las mismas; es incompatible si no tiene solución, es decir, las dos rectas son paralelas y no se cortan; es compatible determinado si tiene solución, las rectas se cortan en un punto. A continuación se exponen los métodos algebraicos de resolución: sustitución, igualación y reducción. Todos los sistemas se pueden resolver por los tres métodos, pero se observan ciertas características para resolver cada sistema por el método más apropiado. El tema finaliza con una sección dedicada a la resolución de problemas numéricos, geométricos, comerciales, de mezclas, de edades, etc. Un ejemplo de estas aplicaciones es calcular el número de unidades que pueden fabricarse en una industria en la que se producen bicicletas de dos tipos, sabiendo que cada una de ellas lleva una cantidad de acero y de aluminio y teniendo en cuenta las existencias almacenadas de dichos metales.

ORGANIZA TUS IDEAS SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS se resuelve por los métodos:

es una expresión

ax+by=c ⎧ ⎨ a'x + b'y = c' ⎩

• gráfico • igualación • sustitución • reducción

y puede ser

compatible determinado

compatible incompaindeterminado tible

tiene

tiene

no tiene

una solución

infinitas soluciones

solución

se utiliza para

resolver problemas

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1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

PIENSA Y CALCULA a) ¿En qué punto se cortan la gráfica roja y la azul del dibujo de la izquierda? b) ¿Tienen algún punto en común las rectas de la derecha? ¿Cómo son estas rectas?

s

Y

Y r X X

s r

1.1. Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es una expresión algebraica de la forma: ax + by = c ⎧ ⎨ a’x + b’y = c’ ⎩ donde a, b, c, a’, b’ y c’ son números conocidos: x e y son las incógnitas. Una solución de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de valores (x, y) que verifican las dos ecuaciones. Si un sistema tiene solución, se llama compatible; y, si no la tiene, incompatible. Ejemplo Comprueba que x = 2, y = 3 es solución del sistema: ⎧ 4 · 2 + 3 = 8 + 3 = 11

4x + y = 11 ⎧ ⎨ 7x – 6y = –4 ⎩

Comprobación: ⎨

⎩ 7 · 2 – 6 · 3 = 14 – 18 = –4

Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

1.2. Resolución gráfica de un sistema lineal a) Se representa la recta correspondiente a la 1ª ecuación. b) Se representa la recta correspondiente a la 2ª ecuación. c) La solución es el punto de corte de ambas rectas. Ejemplo Resuelve gráficamente el sistema: 2x + y = 9

2x + y = 9 ⎧ ⎨ x – 3y = 1 ⎩ x – 3y = 1

Y A (2, 5)

y = 9 – 2x

x = 1 + 3y

2x + y = 9

x y 2 5 ⇒ A(2, 5) 5 –1 ⇒ B(5, – 1)

C (1, 0)

P (4, 1) X

D (– 2, –1) x – 3y = 1

B (5, –1)

x y 1 0 ⇒ C(1, 0) –2 –1 ⇒ D(– 2, – 1)

Solución: x = 4, y = 1

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1.3. Número de soluciones de un sistema lineal Un sistema lineal se puede clasificar, según el número de soluciones, en: a) Compatible determinado: el sistema tiene una solución y las dos rectas se cortan en un punto. b) Incompatible: el sistema no tiene solución y las dos rectas son paralelas. c) Compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones y las dos rectas son la misma. La clasificación se puede resumir en la siguiente tabla: Clasificación de los sistemas

Compatible determinado

Incompatible

Compatible indeterminado

Criterio

a ≠ b a’ b’

a = b ≠ c a’ b’ c’

a = b = c a’ b’ c’

Interpretación gráfica

Rectas secantes

Rectas paralelas

Rectas coincidentes

Ejemplo Sistema

x + 2y = 8 ⎧ ⎨ 3x – y = 3 ⎩

2x + 3y = 6 ⎧ ⎨ 4x + 6y = – 3 ⎩

x – 2y = 1 ⎧ ⎨ – 3x + 6y = – 3 ⎩

Criterio

1 ≠ 2 3 –1

2 = 3 ≠ 6 4 6 –3

1 = –2 = 1 –3 6 –3

Y

Y P (2, 3)

Interpretación gráfica

X

Rectas secantes Clasificación

Y

Sistema compatible determinado

X

X

Rectas paralelas Sistema incompatible

Rectas coincidentes Sistema compatible indeterminado

APLICA LA TEORÍA 1 Comprueba que x = 2, y = – 3 es solución del si-

guiente sistema:

3x – y = 9 ⎧ ⎨ 5x + 2y = 4 ⎩

2 Resuelve gráficamente el siguiente sistema:

2x + y = 4 ⎧ ⎨ x – 3y = –5 ⎩ 3 Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del

siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente: –2x + y = –1 ⎧ ⎨ 4x – 2y = 2 ⎩

7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

4 Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del

siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente: x – 3y = – 7 ⎧ ⎨ 3x + 2y = 1 ⎩ 5 Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del

siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene. Haz la interpretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente: 2x + y = 5 ⎧ ⎨ 6x + 3y = 3 ⎩ 6 Escribe un sistema que tenga como solución x = 2,

y=3

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2. Métodos de sustitución e igualación

PIENSA Y CALCULA Resuelve mentalmente el siguiente sistema sustituyendo el valor de y de la primera ecuación en la segunda: y = 2x ⎧ ⎨ x + y = 150 ⎩

2.1. Método de sustitución Se resuelven fácilmente por sustitución los sistemas en los que una de las incógnitas ya esté despejada o sea muy fácil de despejar en una de las ecuaciones. Ejemplo

a) En la ecuación más sencilla se despeja la incógnita más fácil de despejar. b) Se sustituye su valor en la otra ecuación. c) Se resuelve la ecuación resultante. d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación donde estaba despejada la 1ª incógnita. Ejemplo

y = 3x ⎧ ⎨ 2x + y = 20 ⎩

Resuelve por sustitución el sistema:

2x + 3x = 20 5x = 20 x=4 y = 3 · 4 = 12 Solución: x = 4, y = 12

a) Se despeja la incógnita y de la 2ª ecuación. b) Se sustituye su valor en la 1ª ecuación.

d) Se sustituye el valor obtenido en la ecuación donde estaba despejada la incógnita inicial. 2x + y = 7

P (3, 1)

y = 7 – 2x 3x – 5(7 – 2x) = 4 3x – 35 + 10x = 4 13x = 39 x=3

c) Se resuelve la ecuación resultante.

Y

3x – 5y = 4

3x – 5y = 4 ⎧ ⎨ 2x + y = 7 ⎩

x = 3 en y = 7 – 2x y=7–2·3=7–6=1

La solución es x = 3, y = 1 X

Sistemas con denominadores Cuando un sistema tiene denominadores, primero hay que transformarlo en otro equivalente que no los tenga. Para ello, se halla el m.c.m. de los denominadores de cada una de las ecuaciones y se multiplica toda la ecuación por dicho m.c.m. Ejemplo

x y — = — ⎧⎪ 2 4 Resuelve el sistema: ⎨ 5x 7y 1 —–—=—⎪ 2 6 2⎩ m.c.m. (2, 4) = 4. Se multiplica la 1ª ecuación por 4 m.c.m. (2, 6) = 6. Se multiplica la 2ª ecuación por 6 2x = y ⎧ ⎨ 15x – 7y = 3 ⎩ 132

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De la 1ª ecuación se obtiene y = 2x. Sustituyendo en la 2ª ecuación: 15x – 7 · 2x = 3 15x – 14x = 3 x=3 Sustituyendo x = 3 en y = 2x ⇒ y = 6 La solución es x = 3, y = 6 Se resuelven fácilmente por igualación los sistemas en los que una de las dos incógnitas ya esté despejada o sea muy fácil de despejar en las dos ecuaciones. Ejemplo

2.2. Método de igualación

⎧ y = 2x ⎨ y = 10 – 3x ⎩

2x = 10 – 3x 5x = 10 x=2 y=2·2=4 Solución: x = 2, y = 4

a) Se despeja la misma incógnita, la que resulte más fácil, en las dos ecuaciones. b) Se igualan los valores obtenidos. c) Se resuelve la ecuación resultante. d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla donde estaba despejada la otra incógnita. Ejemplo Resuelve por igualación el sistema:

Y P (2, 5) y = 15 – 5x X

5x + y = 15 ⎧ ⎨ – 3x + y = – 1 ⎩

– 8x = – 16 8x = 16 x=2

c) Se resuelve la ecuación resultante. d) Se sustituye el valor obtenido en la ecuación más sencilla donde estaba despejada la otra incógnita.

y = –1 + 3x

y = 15 – 5x y = – 1 + 3x 15 – 5x = – 1 + 3x

a) Se despeja la incógnita y de las dos ecuaciones. b) Se igualan los valores obtenidos.

x = 2 en y = 15 – 5x y = 15 – 5 · 2 = 15 – 10 = 5

La solución es x = 2, y = 5

APLICA LA TEORÍA 7 Resuelve por sustitución el siguiente sistema:

2x + y = 3 ⎧ ⎨ 3x – 4y = 10 ⎩

10 Resuelve por igualación el siguiente sistema:

x – 2y = 1 ⎧ ⎨ x + 6y = – 1 ⎩ 11 Resuelve el siguiente sistema por sustitución:

8 Resuelve el siguiente sistema por igualación:

3x – y = 7 ⎧ ⎨ 2x + y = 13 ⎩ 9 Resuelve por sustitución el siguiente sistema:

2x + 3y = 12 ⎧ ⎨ x – 5y = – 7 ⎩

7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

⎧ x — + 3y = 11 ⎪ ⎪ 2 ⎨ y 2x – — = 7 ⎪⎪ 3 ⎩ 12 Resuelve el siguiente sistema por igualación:

0,5x + y = 1⎧ ⎨ 0,25x – y = – 0,25 ⎩

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3. Reducción y qué método utilizar

PIENSA Y CALCULA Suma mentalmente las dos ecuaciones del sistema y halla el valor de x Sustituye mentalmente este valor en la primera ecuación y halla el valor de y 5x + 2y = 12 ⎧ ⎨ 3x – 2y = 4 ⎩

Se resuelven fácilmente por reducción los sistemas en los que una incógnita tenga los coeficientes: a) Iguales: restando ambas ecuaciones. b) Opuestos: sumando ambas ecuaciones. c) Uno múltiplo de otro: multiplicando la ecuación que tenga el menor coeficiente por un número para que ambos coeficientes sean opuestos. Ejemplo 2x + 3y = 12 ⎧ ⎨ 5x – 3y = 9 ⎩ 7x = 21 x=3 2 · 3 + 3y = 12 3y = 6 y=2 Solución: x = 3, y = 2

3.1. Método de reducción a) Mediante multiplicaciones apropiadas, se obtiene un sistema equivalente con los coeficientes de una misma incógnita opuestos. b) Se suman las dos ecuaciones. c) Se resuelve la ecuación resultante. d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla y se halla el valor de la otra incógnita. Ejemplo Resuelve por reducción el sistema:

3x + 2y = 12 ⎧ ⎨ – 5x + 6y = 8 ⎩

a) Se multiplica la 1ª ecuación por 3 y la 2ª se cambia de signo.

9x + 6y = 36 ⎧ ⎨ 5x – 6y = – 8 ⎩

b) Se suman las dos ecuaciones.

9x + 6y = 36 ⎧ ⎨ 5x – 6y = – 8 ⎩ 14x

c) Se resuelve la ecuación resultante.

d) Se sustituye el valor obtenido en la ecuación inicial más sencilla.

= 28 x=2

x = 2 en 3x + 2y = 12 3 · 2 + 2y = 12 6 + 2y = 12 2y = 6 y=3

La solución es x = 2, y = 3 Y

P (2, 3) X

5x – 6y = – 8 3x + 2y = 12

La mejor estrategia que se puede utilizar en el apartado a) cuando los coeficientes no sean iguales, opuestos o uno múltiplo del otro consiste en: a) Si no son primos entre sí, se halla el m.c.m. de ambos y se multiplica cada ecuación por un número, de forma que este m.c.m. sea el coeficiente. Ejemplo :4=3 ⎧ 12 4x + 5y = 13 ⎧ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 12x + 15y = 39 ⎧ ⎨ m.c.m. (4, 6) = 12 ⇒ ⎨ 12 : 6 = 2 ⇒ – 2 ⎨ 6x – 7y = 5 ⎩ ⎩ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ – 12x + 14y = – 10 ⎩

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b) Si son primos entre sí, se multiplica cada ecuación por el coeficiente de la incógnita de la otra ecuación. Ejemplo 7x – 3y = 11 ⎧ ⎨ – 9x + 5y = – 13 ⎩

×5 ⎯⎯⎯→ ×3 ⎯⎯⎯→

35x – 15y = 55 ⎧ ⎨ – 27x + 15y = – 39 ⎩

3.2. ¿Qué método utilizar? Todos los sistemas se pueden resolver por los tres métodos, pero hay sistemas en los que un método es mucho más sencillo de aplicar que otro. Para elegir un método se puede tener en cuenta: a) Se resuelven por sustitución los sistemas en los que una de las incógnitas ya esté despejada o sea muy fácil de despejar en una de las ecuaciones. b) Se resuelven por igualación los sistemas en los que una de las incógnitas ya esté despejada o sea muy fácil de despejar en las dos ecuaciones. c) Se resuelven por reducción los sistemas en los que se tenga una incógnita con coeficientes iguales u opuestos, o no parezca fácil aplicar sustitución o igualación. Ejemplo ¿Por qué método se debería resolver cada uno de los sistemas siguientes? a) y = 3x – 9 ⎧ b) 2x + 3y = 1 ⎧ c) x = 2y – 7 ⎧ ⎨ ⎨ ⎨ y = – 4x + 5 ⎩ 4x – 5y = 13 ⎩ 3x + 4y = 9 ⎩ El sistema del apartado a) se debe hacer por igualación. La incógnita y está despejada en las dos ecuaciones. El sistema del apartado b) se debe hacer por reducción. No parece fácil despejar ninguna de las incógnitas. El sistema del apartado c) se debe hacer por sustitución. La incógnita x ya está despejada en la 1ª ecuación y de la otra ecuación no parece fácil de despejar.

APLICA LA TEORÍA 13 Resuelve el siguiente sistema por reducción:

3x + 2y = 7 ⎧ ⎨ 5x – 2y = 1 ⎩

17 Resuelve el siguiente sistema por el método más

sencillo: y = 4x – 1 ⎧ ⎨ 2x + 3y = 25 ⎩

14 Resuelve el siguiente sistema por reducción:

3x – 2y = 8 ⎧ ⎨ 3x + 7y = – 1 ⎩

18 Resuelve por el método más sencillo el siguiente

sistema: 2x + 3y = 7 ⎧ ⎨ 4x – 3y = – 4 ⎩

15 Resuelve el siguiente sistema por reducción:

2x + 3y = 5 ⎧ ⎨ 6x + 5y = 3 ⎩ 16 Resuelve el siguiente sistema por reducción:

3x – 2y = 13 ⎧ ⎨ 4x + 5y = 2 ⎩

7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

19 Resuelve el siguiente sistema por el método más

sencillo: x = 2y – 1 ⎧ ⎨ x = 3y – 6 ⎩

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4. Problemas de sistemas

PIENSA Y CALCULA En el dibujo de la izquierda está planteado un sistema correspondiente a dos ecuaciones con dos incógnitas. a) Suma las dos ecuaciones y halla el valor de un CD. b) Observando la primera ecuación y sabiendo el valor de un CD, calcula el valor de una cinta de vídeo.

4.1. Procedimiento de resolución de problemas Para resolver un problema se debe leer el enunciado varias veces hasta que se entienda muy bien cuáles son las incógnitas, los datos, las relaciones y las preguntas. En los problemas geométricos se debe hacer siempre el dibujo, y en los numéricos, un esquema. Este procedimiento se puede dividir en los siguientes pasos: a) Entérate: se escriben las incógnitas, los datos y las preguntas. b) Manos a la obra: se plantean las relaciones, se transforman en un sistema y se resuelve este sistema. c) Solución y comprobación: se escriben las respuestas a las preguntas que plantea el problema, y se comprueba que cumplen las relaciones dadas.

4.2. Problemas numéricos Ana tiene el triple de dinero que Julio y entre los dos tienen 800 €. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? a) Entérate: incógnitas, datos y preguntas Incógnitas: Dinero de Ana: x Dinero de Julio: y Ecuaciones

b) Manos a la obra

Ana tiene el triple que Julio

Suman 800 €

x = 3y

x + y = 800

Sistema

x = 3y x + y = 800

136

Dinero que tiene Ana: x; Dinero que tiene Julio: y Ana tiene el triple que Julio. Entre los dos tienen 800 € ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Ana tiene el triple que Julio ⇒ x = 3y (Dinero de Ana) + (Dinero de Julio) = 800 € ⇒ x + y = 800 x = 3y Sistema: Se resuelve el sistema por sustitución. x + y = 800 3y + y = 800 ⇒ 4y = 800 ⇒ y = 200 Sustituyendo y = 200 en x = 3y ⇒ x = 3 · 200 = 600 x = 600, y = 200

}

c) Solución y comprobación

}

Ana tiene 600 € y Julio tiene 200 € Ana tiene el triple que Julio ⇒ 600 = 3 · 200 Entre los dos tienen: 600 + 200 = 800 €

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4.3. Problemas geométricos En un rectángulo, la suma de las longitudes de la base y de la altura es 35 m y la longitud de la base menos la longitud de la altura es 7 m. ¿Cuánto mide cada lado? a) Entérate: incógnitas, datos y preguntas Medida de la base: x Medida de la altura: y La suma de la base y de la altura es 35 m La base menos la altura es 7 m ¿Cuánto mide la base y la altura?

y

x

b) Manos a la obra Base + Altura = 35 ⇒ x + y = 35 Base – Altura = 7 ⇒ x – y = 7 x + y = 35 Sistema: Se resuelve por reducción. x–y=7

Incógnitas: Medida de la base: x Medida de la altura: y

}

Ecuaciones

Suman 35 m

Base menos altura 7 m

x + y = 35

x–y=7

Sistema

x + y = 35 x–y= 7

Sumando las dos ecuaciones se obtiene: 2x = 42 x = 21 Sustituyendo x = 21 en x + y = 35 21 + y = 35 y = 14 x = 21, y = 14

c) Solución y comprobación

}

La base mide 21 m La altura mide 14 m Suma de la base y de la altura: 21 + 14 = 35 m Base menos altura: 21 – 14 = 7 m

APLICA LA TEORÍA 20 Halla dos números sabiendo que uno es el doble

del otro y que entre los dos suman 51 21 En un garaje hay 18 vehículos entre coches y

motos. Sin contar las ruedas de repuesto hay 58 ruedas. ¿Cuántas motos y coches hay? 22 El perímetro de un triángulo isósceles mide 65 m,

y cada uno de los lados iguales mide el doble del lado desigual. ¿Cuánto mide cada lado? 23 El doble de un número más el triple de otro

número es igual a 80, y el quíntuplo del primero menos la mitad del segundo es igual a 56. ¿De qué números se trata?

7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

24 Los alumnos de un centro van a ir al teatro. El pre-

cio de una entrada sin descuento es de 4,5 € y con descuento especial para colegios es de 1,5 €. Se sacan 250 entradas, unas con descuento y otras sin descuento, y en total se pagan 675 €. ¿Cuántas entradas se han comprado con descuento? ¿Y sin descuento? 25 Tres cintas de vídeo y 2 CD cuestan 12 €; 4 cintas

de vídeo y 4 CD cuestan 18 €. Calcula cuánto cuestan cada cinta de vídeo y cada CD.

26 Halla la ecuación de la recta ax + by = 2 sabiendo

que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 7)

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Ejercicios y problemas 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 27 Comprueba que x = – 1, y = 5 es solución del

siguiente sistema: – 3x + 2y = 13 ⎧ ⎨ 4x + y = 1 ⎩

3. Reducción y qué método utilizar Resuelve por el método más sencillo los siguientes sistemas: 49

3x + 2y = 17 ⎧ ⎨ – 3x + 5y = 11 ⎩

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas: 3x – y = 5 ⎧ ⎨ 2x + 3y = – 4 ⎩

29

x+ y= 1⎧ ⎨ x – 2y = – 8 ⎩

50

28

2x + y = 3 ⎧ ⎨ 3x – 4y = 10 ⎩

30

x – 2y = – 4 ⎧ ⎨ 2x + y = 7 ⎩

31

2x + y = – 6 ⎧ ⎨ 3x – y = 1 ⎩

51

4x – 5y = 22 ⎧ ⎨ 3x – 5y = 19 ⎩

32

x – 4y = 12 ⎧ ⎨ x + 3y = – 2 ⎩

33

3x + y = 10 ⎧ ⎨ 2x + 3y = 9 ⎩

52

x = 2y + 3 ⎧ ⎨ 3x + 4y = 5 ⎩

53

3x – 4y = 3 ⎧ ⎨ 5x + 6y = 5 ⎩

54

y = 3x + 1 ⎧ ⎨ y = 4x – 2 ⎩

55

2x – 3y = 9 ⎧ ⎨ 5x + 4y = 11 ⎩

56

y = 2x + 8 ⎧ ⎨ y = –x – 1 ⎩

Aplica el criterio que relaciona los coeficientes de los siguientes sistemas para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente: 2x + y = 1 ⎧ 34 ⎨ 2x + y = – 1 ⎩

x + 2y = 3 ⎧ 35 ⎨ 2x + 4y = 6 ⎩

3x – y = – 5 ⎧ 36 ⎨ x + 2y = – 4 ⎩

x + 3y = 7 ⎧ 37 ⎨ 3x + 9y = – 5 ⎩

38

– 2x + y = – 1 ⎧ ⎨ 4x – 2y = 2 ⎩

39

2x – y = 9 ⎧ ⎨ 3x – 5y = 10 ⎩

40 Escribe un sistema que tenga como solución:

4. Problemas de sistemas

x = – 1, y = 2 57 Halla dos números sabiendo que uno es el cuá-

2. Métodos de sustitución e igualación Resuelve por el método más sencillo, sustitución o igualación, los siguientes sistemas: 41

x + 2y = 0 ⎧ ⎨ 3x + 7y = 1 ⎩

3x – y = 5 ⎧ 43 ⎨ 2x + y = 1 ⎩ 45

2x – 3y = 1 ⎧ ⎨ 3x + y = 7 ⎩

⎧ y x —+—=5⎪ ⎪ 3 2 47 ⎨ y x — – — = 1 ⎪⎪ 2 4 ⎩

138

42

7x + 2y = 4 ⎧ ⎨ 5x + y = 1 ⎩

x – 3y = – 8 ⎧ 44 ⎨ x + 2y = 17 ⎩ 46

48

y = – 2x + 3 ⎧ ⎨ y = 5x – 4 ⎩ x + 0,75y = 3 ⎧ ⎨ x – 0,5y = 5 ⎩

druplo del otro y que entre los dos suman 55 58 Dos hogazas de pan y 8 barras pesan 6 kg y 12

barras y una hogaza pesan 4 kg. ¿Cuánto pesa cada barra de pan y cada hogaza? 59 El triple de un número menos el doble de otro

número es igual a 45 y el doble del primero menos la cuarta parte del segundo es igual a 43. ¿De qué números se trata? 60 El perímetro de un romboide mide 42 m y un

lado mide 7 metros más que el otro. ¿Cuánto mide cada lado? 61 Un ángulo de un rombo mide el doble que el

otro. ¿Cuánto mide cada ángulo?

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Ejercicios y problemas Para ampliar 62 Resuelve gráficamente los sistemas:

a) x + y = 0 ⎧⎨ x–y =0⎩

b) 2x – y = 0 ⎧⎨ x – 2y = 0 ⎩

Resuelve por el método más sencillo los siguientes sistemas: 3x + 2y = 2 ⎧ 63 ⎨ 5x – 4y = 40 ⎩ x + y = 16 ⎧ 64 ⎨ x+1=y–1⎩

3x – 5y = 4 ⎧ ⎨ 2x + y = 7 ⎩

67

x=y–7 ⎧ ⎨ x + 2y = 5 ⎩

solución del sistema: x + 2y = 4 ⎧ ⎨ kx – y = 9 ⎩ 75 Calcula dos números sabiendo que suman 92 y

bolsas de frutos secos a 1,25 € . Por cada refresco se compran tres bolsas de frutos secos y en total se pagan 230 €. ¿Cuántos refrescos y bolsas se han comprado?

77 Halla dos números cuya suma sea 12 y el pri-

mero más el doble del segundo sea igual a 19 78 Un ángulo de un rombo mide el triple que el

otro. ¿Cuánto mide cada ángulo? 79 Halla la edad de un padre y la de su hijo sabien-

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

y x —+—=3 3 70 2 5x + 2y = 4x + 10

do que la edad del padre es el triple de la del hijo y la diferencia de las edades es de 28 años. 80 Halla los lados de un rectángulo sabiendo que

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

x + 2y ———— = 3 5 71 2x + 5y – 8 = 4(y + 1)

72

74 Calcula el valor de k para que x = 2, y = 1 sea

76 Para una fiesta se compran refrescos a 0,85 € y

5x + 3y = 11 ⎧ 68 ⎨ 3x + 5y = 13 ⎩ y x —=— 4 69 3 2x + 3y = 9

x = 3, y = –1

que su diferencia es 22

2x + 3y = 12 ⎧ 65 ⎨ 3x – 2y = 5 ⎩ 66

73 Escribe un sistema que tenga la solución:

el perímetro mide 130 m y que la base es 3/2 de la altura. ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

81 Un pantalón y una camisa cuestan 60 € y he

pagado por ellos 52,8 €. Si en el pantalón me han hecho el 10 % de descuento y en la camisa, el 15 %, ¿cuánto costaba cada prenda?

0,25x + 0,5y = 2 ⎧ ⎨ 0,75x – 0,5y = 5 ⎩

Problemas 82 Se mezcla café de calidad extra de 12 €/kg con

café normal de 7 €/kg para obtener una mezcla de 40 kg a 9 €/kg. ¿Cuántos kilos hemos mezclado de cada clase?

83 Halla la ecuación de la recta y = ax + b sabien-

84 José ha comprado en el mercado 3 kg de man-

zanas y 2 kg de higos y ha pagado 14 €. Sabiendo que el kilo de higos cuesta el doble que el de manzanas, halla el precio del kilo de manzanas y del kilo de higos.

do que pasa por los puntos A(1, 5) y B(–1, 1)

7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

139

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Ejercicios y problemas 27,5 m y cada uno de los lados iguales mide 2,5 m más que el desigual. ¿Cuánto mide cada lado?

ellos 132 €. Si en los zapatos han hecho el 25% de descuento y en los deportivos el 20%, ¿cuánto costaba cada par?

86 Por una camisa y un pantalón se han pagado

97 Dos revistas deportivas y una de automóviles

85 El perímetro de un triángulo isósceles mide

120 €, y por dos camisas y tres pantalones se han pagado 312 €. ¿Cuánto cuestan cada camisa y cada pantalón? 87 El ángulo desigual de un triángulo isósceles

mide la mitad de cada uno de los iguales. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos?

Para profundizar

88 Pedro y María van a comprar cuadernos y bolí-

98 Halla dos números tales que su suma sea 25 y

grafos. Pedro paga 30 € por 5 cuadernos y 6 bolígrafos, y María paga 34 € por 7 cuadernos y 2 bolígrafos. ¿Cuánto cuestan cada cuaderno y cada bolígrafo?

la sexta parte del primero más cinco veces el segundo sea igual a 38

89 Una fábrica hace bicicletas del tipo A, que llevan

1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y otras del tipo B, que llevan 2 kg de acero y 2 kg de aluminio. Si la empresa tiene 240 kg de acero y 360 kg de aluminio, ¿cuántas bicicletas puede construir de cada modelo? 90 Se mezcla aceite puro de oliva de 3,5 € el litro

con aceite de orujo de 2,5 € el litro, para obtener 400 litros de mezcla a 2,75 € el litro. ¿Cuántos litros hemos mezclado de cada aceite?

91 Halla dos números sabiendo que al dividir el

mayor entre el menor se obtiene de cociente 2 y de resto 3, y que la suma de los dos números es 39 92 Entre conejos y gallinas hay 48 animales en un

corral. Sabiendo que en total hay 86 patas, ¿cuántos conejos y gallinas hay? Interpreta el resultado. 93 El perímetro de un rectángulo mide 21 m y uno

99 Entre Juan y Antonio hacen un trabajo por el

que cobran 654 €. Si Juan ha hecho los 2/3 del trabajo que ha hecho Antonio, ¿cuánto tiene que cobrar cada uno? 100 En un puesto se venden melones y sandías por

unidades. Por la compra de 3 melones y 2 sandías se pagan 8 €, y por la compra de 6 melones y 4 sandías se pagan 15 €. Calcula el precio de cada melón y de cada sandía e interpreta el resultado que obtengas. 101 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo

perímetro es 306 m y cuya altura mide los 3/4 de la base. 102 Se mezcla cebada de 0,15 €/kg con trigo de

0,2 €/kg para obtener 500 kg de pienso para animales a 0,17 €/kg. ¿Cuántos kilos de cebada y de trigo hemos mezclado?

103 El perímetro de un rectángulo mide 24 m y la

suma de dos lados contiguos mide 12 m. Calcula la longitud de los lados del rectángulo e interpreta el resultado que obtengas.

de los lados mide el doble del otro. ¿Cuánto mide cada lado?

104 Halla dos números directamente proporciona-

94 El triple de un número más otro número es

105 La suma de las edades de un padre y su hijo es

igual a 29 y el doble del primero menos la mitad del segundo es igual a 10. ¿De qué números se trata? 95 Reparte 55 € proporcionalmente a 2 y 3 96 En una tienda, 2 pares de zapatos y 3 pares de

deportivos cuestan 170 €, y se han pagado por

140

cuestan 6 €. Cuatro revistas deportivas y dos de automóviles cuestan 12 €. Calcula cuánto cuestan cada revista deportiva y cada revista de automóviles. Interpreta el resultado que se obtiene.

les a 5 y 7 cuya suma sea 36 de 75 años y la diferencia es de 45 años. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo? 106 Un número está compuesto de dos cifras que

suman 6 unidades. Si cambiamos las dos cifras de orden, el número aumenta en 18 unidades. ¿De qué número se trata?

BLOQUE II: ÁLGEBRA

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Aplica tus competencias Problemas de velocidades 107

Dos ciudades, A y B, distan entre sí 600 km. De la ciudad A sale hacia la ciudad B un coche a 80 km/h. Al mismo tiempo sale de la ciudad B hacia la ciudad A una moto a 120 km/h. Calcula el tiempo que tardarán en encontrarse y la distancia que ha recorrido cada vehículo. 600 km A

120 km/h B

80 km/h

x

600 – x

El tiempo t es el mismo para los dos y hay que aplicar la fórmula e = v · t 108

Dos ciudades, A y B, distan entre sí 800 km. De la ciudad A sale hacia la ciudad B un tren de mercancías a 80 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma estación A otro tren de pasajeros a 120 km/h. Calcula el tiempo que tardará el segundo tren en alcanzar al primero y la distancia que han recorrido los dos trenes. 80 km/h

Tiempo del tren de mercancías: t + 3 C

A

B

x 120 km/h

Tiempo del tren de pasajeros: t

Comprueba lo que sabes 1

Clasifica un sistema a partir del número de soluciones y pon un ejemplo de un sistema incompatible.

2

Resuelve gráficamente el sistema:

3

Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:

3x + y = 0 ⎧ ⎨ 2x – 3y = 11 ⎩

4

Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:

2x + y = 2 ⎧ ⎨ 3x – y = – 7 ⎩

5

Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:

2x + 3y = 7 ⎧ ⎨ 5x – 6y = 4 ⎩

6

Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema:

x = 2y – 1 ⎧ ⎨ x = 3y – 6 ⎩

7

Ana tiene el triple de dinero que Julio y entre los dos tienen 800 €. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

8

Un prado tiene forma rectangular. La altura del rectángulo mide 5 m menos que la base y el perímetro mide 82 m. Halla el área del prado.

7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2x + y = 5 ⎧ ⎨ x – 3y = – 1 ⎩

141

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7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Paso a paso Ajusta la configuración: en la barra de menú elige Opciones/Ajustes de Modo…/Simplificación/Restablecer 109

Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y clasifícalo a la vista del resultado:

112

x + 2y = 8 ⎧ ⎨ 3x – y = 3 ⎩

2x + y = 9 ⎧ ⎨ x – 3y = 1 ⎩

Solución: a) Elige en la barra de menús Resolver/Sistema… En el número de ecuaciones escribe 2 y pulsa el botón Sí b) Introduce las ecuaciones, una en cada cuadro de texto, y pulsa el botón Resolver [x = 2 ∧ y = 3] El sistema es compatible determinado. 110

Solución: a) En la ventana Álgebra elige

Ventana 2D

b) Selecciona en la barra de menús: Ventana/Mosaico Vertical c) Escoge en la barra de menús: Opciones/Pantalla…/Rejilla • Mostrar/Líneas color azul claro.

Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y clasifícalo a la vista del resultado:

• En Intervalos escribe en Horizontal: 12 y en Vertical: 12

2x + 3y = 6 ⎧ ⎨ 4x + 6y = – 3 ⎩

d) En la Entrada de Expresiones escribe la primera ecuación:

Solución: Introduce las ecuaciones y pulsa Resolver [] Como no hay solución, el sistema es incompatible. 111

Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y, si es compatible determinado, halla la solución.

2x + y = 9 e) Pulsa

Introducir Expresión

f ) Activa la Gráficas-2D y haz clic en Representar Expresión g) Representa de igual forma la 2ª ecuación.

Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y clasifícalo a la vista del resultado: 3x – y = – 1 ⎧ ⎨ – 9x + 3y = 3 ⎩ Solución: a) Introduce las ecuaciones y pulsa Resolver [3x – y = –1] Como la solución es una ecuación, el sistema es compatible indeterminado. b) Elige Resolver o despejar y en el cuadro Variables marca solo la variable y. Haz clic en el botón Resolver [y = 3x + 1] Dando valores a x se obtienen los correspondientes valores de y, que son las infinitas soluciones que tiene el sistema. Por ejemplo: x = 0, y = 1; x = 1, y = 4, etcétera.

142

El sistema es compatible determinado. La solución es x = 4, y = 1 113

Internet. Abre la web: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.

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Windows Derive Así funciona Resolución algebraica de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas En la ventana Álgebra, barra de menús, se elige Resolver/Sistema…, en el número de ecuaciones se escribe 2 y se pulsa el botón Sí Se introducen las ecuaciones, una en cada cuadro de texto, y se pulsa el botón Resolver Se pueden presentar tres casos: a) Si el sistema es compatible determinado, escribe la solución. b) Si el sistema es incompatible, escribe [ ] c) Si el sistema es compatible indeterminado, elimina una ecuación. Después, se tiene que elegir Resolver o despejar. En el cuadro Variables se marca solo la variable que se quiere despejar y se hace clic en el botón Resolver Resolución gráfica de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas a) Se hace clic en

Ventana 2D. Se abre dicha ventana.

b) Se selecciona en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical c) Se escoge en la barra de menús Opciones/Pantalla…/Rejilla • Mostrar/Líneas color azul claro. • En Intervalos se escribe en Horizontal: 12 y en Vertical: 12 d) En la Entrada de Expresiones se escribe la 1ª ecuación y se pulsa

Introducir Expresión

e) Se activa la Ventana 2D y se hace clic en

Representar Expresión f ) En la Entrada de Expresiones se escribe la 2ª ecuación y se pulsa Introducir Expresión

g) Se activa la ventana Gráficas-2D y se hace clic en Borrar gráficas Estando activa la ventana Gráficas-2D, se elige

Representar Expresión Borrar la última gráfica

Practica 114

Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas y clasifícalos a la vista del resultado: a)

115

b)

4x – 6y = 3 ⎧ ⎨ – 2x + 3y = 5 ⎩

Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas y clasifícalos a la vista del resultado: a)

116

3x + 2y = 2 ⎧ ⎨ 5x – 4y = 40 ⎩

9x – 6y = 12 ⎧ ⎨ – 3x + 2y = – 4 ⎩

b)

3x – 5y = 4 ⎧ ⎨ 2x + y = 7 ⎩

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas, clasifícalos y, si son compatibles determinados, halla la solución:

7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

a)

x– y=1⎧ ⎨ – 2x + 2y = 5 ⎩

b)

2x + 3y = 12 ⎧ ⎨ 3x – 2y = 5 ⎩

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE: 117

Ana tiene el triple de dinero que Julio y entre los dos tienen 800 €. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

118

En un rectángulo, la suma de las longitudes de la base y la altura es 35 m y la longitud de la base menos la longitud de la altura es 7 m. ¿Cuánto mide cada lado?

143

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7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Paso a paso 109

Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y clasifícalo a la vista del resultado:

112

x + 2y = 8 ⎧ ⎨ 3x – y = 3 ⎩

2x + y = 9 ⎧ ⎨ x – 3y = 1 ⎩

Solución: a) En , elige y escribe las dos ecuaciones. b) Pulsa

Resuelve gráficamente el siguiente sistema, clasifícalo y, si es compatible determinado, halla la solución.

Solución: a) En be:

Calcular

, elige

y escri-

representar(2x + y = 9, {color = rojo}) b) Pulsa [Intro] para continuar en el mismo bloque y escribe: c) representar(x – 3y = 1, {color = azul}) d) Pulsa

110

Calcular

Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y clasifícalo a la vista del resultado: 2x + 3y = 6 ⎧ ⎨ 4x + 6y = – 3 ⎩ Solución:

111

Resuelve algebraicamente el siguiente sistema y clasifícalo a la vista del resultado: 3x – y = – 1 ⎧ ⎨ – 9x + 3y = 3 ⎩ Solución: 113

Internet. Abre la web: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.

Le añadimos {y} para que despeje la 2ª variable en función de la 1ª

144

BLOQUE II: ÁLGEBRA

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Linux/Windows Así funciona Resolución algebraica de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas En , se elige ; en el número de ecuaciones se escribe 2 y se pulsa el botón Aceptar Se escriben las dos ecuaciones y se pulsa el botón

Calcular

Se pueden presentar 3 casos: a) Si el sistema es compatible determinado, escribe la solución. b) Si el sistema es incompatible, escribe [ ] c) Si el sistema es compatible indeterminado, despeja la 1ª variable en función de la 2ª. Si se quiere la 2ª variable en función de la 1ª, hay que añadir la 2ª entre llaves después del sistema: resolver({sistema},{y}) Resolución gráfica de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas a) En

y se escribe la 1ª ecuación:

, se elige

representar(2x + y = 9, {color = rojo}) b) Se pulsa [Intro] para continuar en el mismo bloque y se escribe la 2ª ecuación: representar(x – 3y = 1, {color = azul}) c) Se pulsa

Calcular

Practica 114

Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas y clasifícalos a la vista del resultado: a)

115

b)

4x – 6y = 3 ⎧ ⎨ – 2x + 3y = 5 ⎩

Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas y clasifícalos a la vista del resultado: a)

116

3x + 2y = 2 ⎧ ⎨ 5x – 4y = 40 ⎩

9x – 6y = 12 ⎧ ⎨ – 3x + 2y = – 4 ⎩

b)

3x – 5y = 4 ⎧ ⎨ 2x + y = 7 ⎩

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas, clasifícalos y, si son compatibles determinados, halla la solución:

7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

a)

x– y=1⎧ ⎨ – 2x + 2y = 5 ⎩

b)

2x + 3y = 12 ⎧ ⎨ 3x – 2y = 5 ⎩

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 117

Ana tiene el triple de dinero que Julio y entre los dos tienen 800 €. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

118

En un rectángulo, la suma de las longitudes de la base y la altura es 35 m y la longitud de la base menos la longitud de la altura es 7 m. ¿Cuánto mide cada lado?

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