SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES I.- Grafique y  x/3 +3 y verifique si los siguientes puntos pertenecen o no a la recta: 1) (0,0) 2) (0,4) 3. (2,2) 4) (6,5) 5) (-3,2) 6) (6,8) 7) (-6,0) 8) (-9,5) Soluciones de Inecuaciones lineales Una inecuación lineal en x e y es una desigualdad que puede ser escrita en una de las siguientes formas: Ax +By > C Ax +By < C Ax + By  C Ax + By  C donde A, B, C son números reales y A y B no son ambos cero. Algunos ejemplos de inecuaciones lineales son: 2x –y > -3 y < 3 x + 4y  6 x  -2 un par ordenado (x, y) es solución de la inecuación en x e y si un enunciado verdadero resulta cuando los valores de x y de y son sustituidos en la inecuación. Ejemplo 1 Determine cual de los pares ordenados es solución de: y x –5 a) (4,2) b) (0.-6) solución sustituimos (4,2) en la inecuación x  4 y  2 2  4 –5 2  -1 lo cual es verdadero por lo tanto (4,2) es solución veamos ahora con el par (0,-6) -6  0 – 5 -6  -5 lo cual es falso, por lo tanto (0,-6) no es solución Graficando Inecuaciones lineales Dado que y  x – 5 significa que y > x – 5 o que y  x – 5, comenzamos graficando la recta y  x – 5. Como el gráfico de y  x – 5 también indica que y puede también ser mayor que x – 5, las coordenadas de los puntos mostrados en la figura 1 satisfacen la inecuación. Por ejemplo las coordenadas del origen satisfacen la inecuación, lo cual podemos verificar reemplazando (x, y) por (0,0) 00–5 0  -5 lo cual es verdadero dado que 0  -5 es verdadero las coordenadas del origen satisfacen la inecuación original. En efecto las coordenadas de cada punto en el mismo lado del origen satisfacen la inecuación. El gráfico de y  x – 5 es el semiplano mostrado en la figura 2 y  x-5 y

2

x

0 -6

-4

-2

0

-2

figura 1

2

4

6

y  x –5 y

2

x

0 -6

-4

-2

0

2

4

6

-2

Figura 2 Ejercicio: Grafique y  - x – 2 Ejemplo: grafique x + 2y < 6 Encontramos la región graficando la ecuación x + 2y  6. Dado que el símbolo < no incluye un signo igual, los puntos en el gráfico de x + 2y  6 no serán parte del gráfico. Esto se dibuja con una línea segmentada. Para determinar cual semiplano sombrear, sustituimos las coordenadas de algún punto que pertenezca a alguno de los dos lados. El origen es un punto conveniente. x + 2y < 6 sustituimos por (0,0) 0 + 2`0 < 6 0 2x Para encontrar la región graficaremos la ecuación y  2x. Dado que el símbolo > no incluye el signo igual, los puntos en el gráfico de y  2x no son parte del gráfico de y > 2x y como antes esto se dibuja con una línea segmentada. Para detereminar que región del plano es la solución sustituimos las coordenadas de algún punto en uno de los lados. Consideremos el punto (7,2) por ejemplo y vemos si satisface la inecuaci´ón 2 > 14 lo cual es falso por lo tanto se sombrea esta región y

2

x

0 -6

-4

-2

0

-2

2

4

6

Ejercicio: grafique y < 3x Una aplicación de las inecuaciones lineales Ejemplo: ganancia de dinero Carlos tiene dos trabajos part- time en uno le pagan $5.000 por hora y en el otro le pagan $6.000 por hora. El debe ganar a lo menos $120.000 en la semana para pagar sus gastos. Escriba una inecuación que muestre los varios modos en que el puede programar su tiempo Solución: Sea x el número de horas que trabaja en el primer trabajo e y el número de horas en que trabaja en el segundo trabajo, tenemos Valor de la horas trabajadas valor hora horas trab. hora primer en el primer segundo segundo trabajo trabajo trabajo trabajo 5 x 6 y debe ser al menos 120000 entonces 5x + 6y  120 (en miles de pesos) El gráfico de la inecuación 5x + 6y  120 Cualquier punto en la región sombreada indica un posible modo de organizar el tiempo y ganar $120,000 a la semana. Por ejemplo, si él trabaja 20 horas en el primer trabajo y 10 horas en el segundo, ganará 5(20) + 6(10)  100 + 60  160 dado que Carlos no puede trabajar un número negativo de horas el gráfico de la figura no considera x e y negativos y 15

10

5

0 0

x 20

40

60

80

100

120

140

160

180

Resolviendo sistemas de inecuaciones lineales Ya hemos visto que el gráfico deuna inecuación lienal en dos variables, es un semiplano. Por lo tanto, esperamos que el gráfico deun sistema de dos inecuaciones lineales seala intersección de dos semiplanos. Por ejemplo, resolvamos el sistema: x+y1 x–y1 Graficaremos cada una de las dos inecuaciones en un mismo gráfico. La solución estará dada por la región que quede en blanco. El gráfico de x + y  1 incluye a la recta x + y  1 y todos los puntos bajo ella. El gráfico de x – y  1 incluye también a la recta x – y  1 y todos los puntos sobre ella. y

2

x

0 -6

-4

-2

0

-2

2

4

6

Para ver que esto es cierto, elegimos un punto en la región solución, elegimos por ejemplo A(4,1), entonces: 4+11 5  1 lo cual es verdadero y 4–11 31 lo cual también es verdadero dado que las coordenadas de A satisfacen ambas inecuaciones, el punto A es una solución. En general para resolver un sistema de inecuaciones, seguiremos las siguientes etapas: 1) Graficar ambas inecuaciones en un mismo gráfico 2) Determinar la región solución para cada uno de ellos 3) Encontrar la intersección que debe quedar en blanco 4) Verificar con algún valor en la región solución Ejemplo: Graficar el sistema de inecuaciones 2x + y < 4 -2x+y < 2 Graficamos cada una de las dos inecuaciones en un mismo gráfico El gráfico de 2x + y < 4, no incluye a la recta 2x + y  4, por lo tanto lo dibujamos con línea segmentada El gráfico de-2x + y < 2 no incluye a la recta –2x + y < 2, por lo tanto, también la dibujamos con línea segmentada. El área en blanco representa el conjunto solución del sistema de inecuaciones dado y

2

x

0 -6

-4

-2

0

2

4

6

-2

Ejercicio: Grafique el sistema de inecuaciones x + 3y < 6 -x + 3y < 6 Ejemplo: Grafique el conjunto solución de: x2 y>3 Graficaremos cada una de las dos inecuaciones en un mismo gráfico El gráfico de x  2 incluye los puntos de la recta x  2 y todos los puntos a la derecha de la recta El gráfico de y > 3 incluye todos los puntos debajo de la recta y  3 pero no los puntos de la recta , por lo tanto va con línea segmentada. y

5

x

0 -6

-4

-2

0

2

4

6

Ejercicio: Grafique el sistema de inecuaciones y1 x>2 Ejemplo: Grafique el sistema de inecuaciones y < 3x – 1 y  3x + 1 Graficaremos ambas inecuaciones en un mismo gra´fico El gráfico de y < 3x –1 incluye todos los puntos sobre la recta segmentada: y  3x –1 El gráfico de y  3x + 1, incluye todos los puntos sobrey debajo de la recta: y  3x + 1 Dado que no queda ninguna región en blanco (no se intersectan) no hay solución. y

2

x

0 -6

-4

-2

0

-2

Ejercicio: Graficarel sistema de inecuaciones y  -x/2 –1 y  -x/2 – 1

2

4

6