UABC

MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS

SISTEMAS ELÉCTRICOS Ecuación de equilibrio Ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) m

∑a

i j = 0 ; k = 1,2,..., n

k j

j =1

Ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) m

∑b j =1

v j = 0 ; k = 1,2,..., l

k j

Variables, símbolo y unidad. V Voltaje a través del elemento eléctrico [V] I Corriente que fluye a través del elemento eléctrico [A] R Valor de la resistencia eléctrica [Ω] L Valor de la inductancia eléctrica [H] C Valor del capacitor o capacitancia eléctrica [F] Elementos de los sistemas traslacionales Resistencia eléctrica: V R = RI R

R

i

R

+ i

-

v

R

Inductancia eléctrica:

L

L

+

VL = L

-

v

L

di L dt

1 t v L dt L ∫0 Capacitancia eléctrica: iL =

C

i

C

+

v

C

iC = C

-

M.C Laura Jiménez Beristáin

vC =

dv C dt

1 t iC dt C ∫0

Pag. 1

UABC

MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS

SISTEMAS MECÁNICOS TRASLACIONALES Ecuación de equilibrio ∑ fi = 0 Ma = ΣF Variables, símbolo y unidad. x Desplazamiento [m]

ROTACIONALES Ecuación de equilibrio ∑ Ti = 0 Jα = ΣT Variables, símbolo y unidad. θ Desplazamiento angular [rad.]

.

.

ω = θ Velocidad angular [rad./s]

v = x Velocidad [m/s] .

..

.

f

T Par torsor [N.m] Bθ Valor o constante del amortiguador rotacional [N.m/rad./s] Kθ Valor o constante del resorte [N.m/rad] J Momento de inercia [Kg.m2/rad] Elementos de los sistemas rotacionales Amortiguador rotacional θ o torsional: T dθ TBθ = Bθ Bθ dt . dθ   dθ T = b 2 − 1  = b θ dt   dt

K Coeficiente de rigidez del resorte [N/m] M Masa [Kg.] Elementos de los sistemas traslacionales Amortiguador traslacional B o fricción viscosa: fB = B

x

dx dt

. .  F = b x 2 − x 1    .

.

x1

x2

b

..

α = ω = θ Aceleración ang. [rad./s2]

a = v = x Aceleración [m/s2] F fuerza [N], [Kg.m/s2] B Coeficiente de fricción viscosa [N.s/m]

F

F

b = Coeficiente de fricción viscosa K

f

θ

Resorte traslacional:

Kθ

fK = K x

T

(Ley de Hooke) x

También se representa como

F = K ( x 2 − x1 ) x1

K

F

K

f

x2 F

También se representa como θ

Kθ

Resorte rotacional torsional: TK θ = K θ θ T = k (θ 2 − θ 1 ) = kθ

T

k = Coeficiente del resorte x

Masa: f

M

fM

θ

d2 x =M dt 2

J

(Ley de Newton)

x

F

F=M

M.C Laura Jiménez Beristáin

M

T

Momento de inercia: .. d2θ TJ = J 2 = J θ = Jα dt

x

.. d 2x = M x dt 2

Pag. 2

o

UABC

MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS

SISTEMAS HIDRÁULICO Ecuación de equilibrio

∑P

i

=0

∑q −∑q e

s

=

dv dt

Variables, símbolo y unidad. P Presión a través del elemento hidráulico [Pa], [N/m2] h Altura de la columna del fluido [m] q Gasto que fluye a través del elemento hidráulico [m3/s] RH Valor de la resistencia hidráulica que presentan las paredes de la tubería [Pa.s/m3] I Inductancia hidráulica o inercia fluídica [Pa.s2/m3] CH Valor que tiene la capacitancia hidráulica [m3/Pa] Elementos de los sistemas hidráulicos Resistencia hidráulica: ∆P = P1 − P2 = R H q R H

P

P

1

2

q

No hay representación Inductancia hidráulica o inertancia fluídica: simbólica dq P=I dt Capacitancia hidráulica: 1 dP = q CH dt C H P

q

M.C Laura Jiménez Beristáin

Pag. 3

UABC

MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS

SISTEMAS TERMICOS Ecuación de equilibrio dU = dQ − dW Variables, símbolo y unidad. T Temperatura del elemento [K] Q Flujo de calor a través del elemento térmico [W] RT Valor de la resistencia térmica o la posición que presenta el material al paso del flujo de calor [K/W] CT Valor de la capacitancia térmica [W.s/K] Elementos de los sistemas térmicos Resistencia térmica: ∆T = T1 − T2 = RT Q T 1

R

T

T

2

Q

--

Q

T

Inductancia térmica: -Capacitancia térmica: 1 dT = Q dt CT

CT

M.C Laura Jiménez Beristáin

Pag. 4

UABC

MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS

ECUACIONES DE EQUILIBRIO TIPO DE SISTEMA

ELECTRICO

VARIABLE DE INTERES

SÍMBOLO Y UNIDAD

VOLTAJE

v [V]

PRINCIPIOS Y LEYES FÍSICAS FUNDAMENTALES PARA PLANTEAR LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO

ENUNCIADO DE LA LEY

LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF

Cualquier circuito eléctrico con n número de nodos y m número de ramas, la suma algebraica de corrientes en cualquiera de sus nodos es igual a cero. m

∑a

k j

j =1

CORRIENTE

i [A] LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF

Cualquier circuito eléctrico con m número de ramas y l número de mallas, la suma algebraica de voltajes en cualquiera de sus mallas es igual a cero. m

∑b j =1

M E C Á N I C O

TRASLACIONAL

FUERZA DESPLAZAMIENTO VELOCIDAD ACELERACIÓN

ROTACIONAL

HIDRÁULICO

DESPLAZAMIENTO ANGULAR

T [N⋅m] θ [rad]

VELOCIDAD ANGULAR

ω [rad/s]

ACELERACIÓN ANGULAR

α [rad/s2]

ALTURA DE LA COLUMNA DEL FLUIDO

h [m]

PRESION

P [Pa] q [m3/s]

TORQUE

GASTO

TERMICO

f [N] x [m] v [m/s] a [m/s2]

k j

v j = 0 ; k = 1,2,..., l

TERCERA LEY DE NEWTON APLICADA A SISTEMAS MECÁNICOS ROTACIONALES.

Si un elemento A ejerce una fuerza sobre otro elemento, éste ejercerá una fuerza de igual magnitud pero en sentido contrario al elemento A.

PRINCIPIO DE D’ALEMBERT APLICADO A SISTEMAS MECÁNICOS ROTACIONALES.

i

TERCERA LEY DE NEWTON APLICADA A SISTEMAS MECÁNICOS ROTACIONALES. PRINCIPIO DE D’ALEMBERT APLICADO A SISTEMAS MECÁNICOS ROTACIONALES. LEY DE BALANCE DE PRESIONES.

∑f

T [K]

FLUJO DE CALOR

Q [W]

LEY DE CONSERVACIÓN DE LA MASA.

∑T

i

=0

La suma de las caídas de presión alrededor de una malla es igual a cero.

∑P

=0

La suma algebraica de gastos en un nodo es igual a cero, o las variaciones de volumen con respecto al tiempo es igual a la suma de los gastos de entrada menos la suma de los gastos de salida.

PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA. (conservación de la energía)

=0

Si un elemento A ejerce un par sobre otro elemento, éste ejercerá un par de igual magnitud pero en sentido contrario al elemento A.

i

TEMPERATURA

M.C Laura Jiménez Beristáin

i j = 0 ; k = 1,2,..., n

∑q −∑q e

s

=

dv dt

Relaciona temperatura y flujo de calor, las cuales son las variables de interés en los sistemas térmicos.

dU = dQ − dW

Pag. 5

UABC

MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS

ELEMENTOS RESISTIVOS TIPO DE SISTEMA ELECTRICO

SIMBOLO

UNIDAD

V R = RI R

Ω

R

i

R

+

M E C Á N I C O

ECUACION

TRASLACIONAL

-

v

R

v

R

R 1

i

R

dx fB = B dt

B

f

RELACION CARACTERÍSTICA

N ⋅s m

f

B

B 1

dx dt

x

θ

ROTACIONAL

T

TBθ

Bθ

HIDRÁULICO

R

H

P

P

1

dθ = Bθ dt

∆P = P1 − P2 = RH q

N ⋅m rad seg

Pa ⋅ s m3

T

Bθ 1

Bθ

dθ dt

∆P

R

Η

1

2

q

q

T

1

TERMICO

∆T = T1 − T2 = RT Q

R

T

K W

∆T

R 1

Τ

Q

Q

M.C Laura Jiménez Beristáin

T

2

Pag. 6

UABC

MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS

ELEMENTOS INDUCTIVOS TIPO DE SISTEMA ELECTRICO

SIMBOLO i

L

L

+

M E C Á N I C O

v

L

TRASLACIONAL

-

UNIDAD

di VL = L L dt

H

RELACION CARACTERÍSTICA v

L

L 1

di L dt

1 t i L = ∫ v L dt L 0 fK = K x

K

f

ECUACION

N m

f

K

K 1

x

x

También se representa como K

f

x ROTACIONAL

θ

Kθ

T

TK θ = K θ θ

N ⋅m rad

T

Kθ 1

θ

También se representa como Kθ T θ

HIDRÁULICO

No hay representación simbólica

TERMICO

M.C Laura Jiménez Beristáin

--

dq P=I dt

--

Pa ⋅ s 2 m3

Kθ

P I 1

dq dt

--

--

Pag. 7

UABC

MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS

ELEMENTOS CAPACITIVOS TIPO DE SISTEMA ELECTRICO

SIMBOLO C

i

C

+

M E C Á N I C O

TRASLACIONAL

-

v

C

f

ECUACION

UNIDAD

dv iC = C C dt

F

RELACION CARACTERÍSTICA v

C

1 C

∫i

1 t vC = ∫ iC dt C 0 fM

M

d2 x =M dt 2

Kg

C

f

M

M 1

d2 x dt 2

x ROTACIONAL

θ

T J

d2θ TJ = J 2 dt

Kg ⋅ m 2 rad

T

J

J 1

d2θ dt 2

HIDRÁULICO

CH P

q

dP 1 = q dt C H

TERMICO Q

T CT

M.C Laura Jiménez Beristáin

dT 1 = Q dt CT

m3 Pa

dP dt

C

1

Η

q

W ⋅s K

dT dt

C

1

Τ

Q

Pag. 8