Sobre la numerabilidad y el continuo

Carlos S. Chinea

Sobre la numerabilidad y el continuo

Desde Cantor conocemos la diferencia entre lo que es numerable, discreto, y lo que es continuo, denso. Conocemos que existe un número transfinito, aleph sub cero, para describir lo que es discreto y otro número transfinito para describir lo que es continuo. Cantor supuso que no hay otros números transfinitos entre ambos aleph. Hoy sabemos que también podía haber supuesto lo contrario. Dos conjuntos, A y B, se dicen coordinables, o biyectables, o equipolentes, o también, de igual tamaño, si existe una aplicación biyectiva, una biyección, entre ambos. Definición 01 El conjunto A se dice coordinable con el conjunto B si existe una aplicación biyectiva

f :A→ B

A ≈ B ↔ ∃f : A → B ∧ f biyectiva Teorema 01 Si existiera el conjunto U de todos los conjuntos, la coordinabilidad de conjuntos sería una relación de equivalencia en U que partiría a éste en clases de equivalencia, estando constituida cada clase por todos los conjuntos de igual tamaño. Demostración: Veamos que es reflexiva:

(∀A)(∃I A : A → A) / I A identidad → A ≈ A → reflexiva Es simétrica:

A ≈ B ↔ ∃f : A → B ∧ f biyectiva → ∃f

−1

: B → A/ f o f

−1

= IB ∧ f

−1

o f = IA →

→ f −1biyectiva → B ≈ A → simétrica Finalmente, es transitiva:

A ≈ B ↔ ∃f : A → B ∧ f biyectiva   → g o f : A → C ∧ g o f biyectiva → A ≈ C → B ≈ C ↔ ∃g : B → C ∧ g biyectiva → transitiva Definición 02 Un conjunto se dice que es finito si no es coordinable con ninguno de sus subconjuntos propios, esto es, si no existe una biyección del conjunto con ninguna de sus partes propias. Un conjunto es infinito si es biyectable con alguno de sus subconjuntos propios.

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febrero, 2010

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Definición 03 Se dice que dos conjuntos, A y B, tienen el mismo numero cardinal si biyectables. Representaremos por card(A).

son

en adelante el número cardinal correspondiente al conjunto A

card ( A) = card ( B ) ↔ A ≈ B

En el sentido del teorema 01, podría decirse que las clases de equivalencia de la relación de coordinabilidad tienen igual número cardinal. Los números cardinales de los conjuntos finitos se llaman, simplemente, números finitos, y los números cardinales de los conjuntos infinitos se denominan números transfinitos.

Teorema 02: La condición necesaria y suficiente para que el cardinal de un conjunto A sea estrictamente menor que el cardinal de otro conjunto B es que no existan aplicaciones sobreyectivas de A en B.

card(A) 0 → y > 0 ∧ x = x ∧ y = y → x = y si x < 0 → y < 0 ∧ x = − x ∧ y = − y → x = y Luego, se cumple que f ( x ) = f ( y ) ⇒ x = y , por lo que f es inyectiva. b) es sobreyectiva: Veamos que, efectivamente, cualquier elemento de R es imagen de algún elemento del intervalo (-1,1): ∀z ∈ R, ∃x ∈ ( −1,1) / f ( x ) = z

z 1+ z z z z x Si z>0: ∃x = ∈ (−1,1) / f ( x) = = = = =z 1+ z − z 1 1+ z 1− x 1− z 1+ z

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z 1− z z z z x Si z