SOBRE LOS FACTORES QUE INTERVIENEN EN UNA CLASE DE MATEMÁTICAS Breve ensayo sobre la situación actual de la enseñanza de las matemáticas

M. Sáenz Juárez Universidad la Salle Chihuahua Prolongación Lómas de Majalca No. 11201 Colonia Labor de Terrazas C.P. 31020

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Resumen: Este trabajo presenta una reflexión sobre la enseñanza actual en las escuelas actuales, considerando a los actores que participan en ella y el aporte de los avances tecnológicos en el cambio de los espacios físicos, el ambiente escolar universitario y la misma forma del desarrollo emocional, intelectual y académico principalmente de los alumnos. Esta reflexión se centra en las matemáticas y cómo ahora hay que hacer hincapié en que esta ciencia debe verse desde tres perspectivas diferentes: las matemáticas puras o tal cómo las consideramos nosotros; las matemáticas aplicadas, tal como las quieren ahora los alumnos y las matemáticas recreativas, la mejor manera de aprenderlas naturalmente. Pero en una clase actual de matemáticas no sólo es importante el proceso de enseñanzaaprendizaje dentro del aula sino que también es factor importante el esquema administrativo de la escuela o universidad.

Palabras clave: didáctica de las matemáticas, tecnologías de la información y comunicación, matemáticas puras, aplicadas y recreativas. INTRODUCCIÓN En los tiempos modernos, las tecnologías de la información están desplazando al conocimiento en las escuelas. El conocer, saber y aprender son ahora retos para el maestro global que no sólo posee una jerarquía en una disciplina sino que debe hacerla valer. Porque en matemáticas, ¿ qué puede hacer como maestro explicando un concepto abstracto cuando hay un partido de futbol al otro lado del mundo y se está proyectando en tiempo real por internet ? ¿o de los celulares a los cuales constantemente llegan mensajes instantáneos de alguna persona emisora aunque los teléfonos estén en silencio haciéndose cómplices de esta comunicación?

Me imagino que en los tiempos muy remotos cuando todavía no había cuaderno ni lápiz, cuando llegaron a las escuelas, los alumnos los miraban como una maravilla y en las clases se la pasaban dibujando en ellos. Ni modo que el maestro les prohibiera que no sacaran el cuaderno o que no dibujaran – sólo pueden utilizar el cuaderno para escribir de esta materia – sería como decirles que sólo pueden usar el celular para hacer cálculos aritméticos. Nosotros mismos – o algunos de nosotros – no tuvimos celulares en nuestra educación, ni ‘laptos’, ni ‘tablets’, es más ni calculadora, ni computadoras personales. Entonces, ¿qué pasaba? Qué había más conocimiento aunque no tanta información. Sin embargo, temas que constantemente se están actualizando o que requieren de una pronta respuesta en la escuela hacen de las tecnologías de la información la herramienta indispensable para estar al día. Pero hay temas – como los matemáticas – que su aprendizaje requiere más bien de elaboración de ejercicios. Entonces, ¿cómo justificamos tanta dispersión y reprobación en el aprendizaje de las matemáticas? Primero hay que definir si realmente hay alto nivel de reprobación en matemáticas y segundo determinar los factores que influyen en esta reprobación o en su caso, la aprobación. DESARROLLO En la actualidad hay mucha literatura sobre la enseñanza de las matemáticas. También mucho estudios y propuestas. Sin embargo, viviendo la experiencia en

las aulas de distintas escuelas de diferentes niveles educativos aquí en Chihuahua constatamos que el alumno entre más pasa el tiempo menos bien anda en matemáticas. Hay diferentes razones. El Hermano Salvador Valle Gámez (Dic. 6 de 2013. Reunión con planta académica de Universidad La

explica que actualmente la frase de René Descartes ‘pienso, luego existo’ que hace alusión a un aprendizaje basado en la memoria y conocimientos ha dejado su lugar a la máxima de ‘siento, luego existo’ que más bien tiene que ver con las emociones y sentimientos. Más aún, comenta el Doctor Salvador Valle que las generaciones de los individuos ya que van cambiando con el paso de los años y de los siglos destacándose estados de caos y bienestar social que atraviesan cíclicamente las comunidades, inclusive estados de confusión ( década de los ochentas del siglo pasado). Estas etapas dan lugar a formas de ser de las personas, provocando modas y estableciendo paradigmas. De los hippies de los sesentas se llegó a la generación ‘X’ a partir de 1985 en que los jóvenes adoptaron una postura de andar bien vestidos y pulcros por lo que se volvieron compradores y consumidores. Esta generación ‘X’ roza ahora los 40 y 50 años de edad, y los que trabajan de profesores pues ahora tienen de alumnos a la generación ‘Y’ y ‘N’ (‘networks’, redes) que son de generaciones totalmente distintas. La generación ‘Y’ siguió a la ‘X’ y a diferencia de ella que resintió el cambio tecnológico, esta generación (nacida a finales de los ochentas) llegó con el celular en la mano. La generación ‘N’ del tercer milenio vive inmersa en las Salle, Chihuahua)

redes sociales, el internet y la comunicación instantánea por medio del celular. Estos jóvenes son los que asisten a las aulas de preparatoria y profesional. Una de las asignaturas que más ha resentido este cambio de paradigma de pasar de los conocimientos a los sentimientos han sido precisamente las matemáticas. Ya no solamente se trata de enseñar un conocimiento abstracto sino que ahora debemos causar en el alumno – o ser parte de él – emociones que establezcan una empatía entre él y su profesor. Este año escuchaba en el radio ( Feb. 7 de 2014 ) que el nivel promedio en matemáticas de los estudiantes más avanzados de México equivalía al nivel promedio regular de los estudiantes de Japón – qué está entre los primeros diez mejores países en esta asignatura. Aunque andamos arriba de Argentina, Brasil y Costa Rica. A esta reflexión sobre las generaciones nuevas de estudiantes hay que complementarla considerando que ahora ha cambiado también la edad de vida promedio del mexicano. A mediados del siglo pasado era de 35 años teniendo en la actualidad una edad promedio de vida de 84 años. Este dato nos proporciona otro indicativo más: nuestros jóvenes de preparatoria y educación superior todavía no tienen pensado casarse pronto, ni ven el trabajo como una forma de autosuficiencia, ni tienen el estudio como una forma idónea de preparación académica. La escuela es un lugar de convivencia social. Cómo que han alargado la etapa de la adolescencia. Y aunque son jóvenes-niños los maestros

queremos que maduren pronto. Y provocamos un choque de generaciones. Y aunque dijimos que en matemáticas la red global no podría actualizarnos al momento sino que el aprendizaje se da más bien con ejercicios y resolución de problemas, esto no quiere decir que no las podemos aprovechar, sino que al contrario en la red podemos actualizarnos en paquetería ( ‘ software ’ ) muy útil para estudiar por nuestra cuenta. Pero paquetes como wolfram o matlab son para gente que ya sabe matemáticas – aparte de que algunos tienen alto costo económico – lo que implica que no son para su aprendizaje sino para su especialización. Y nuestros jóvenes necesitan de la aritmética y el álgebra para entrar a los terrenos de la geometría analítica, el cálculo, Laplace o las series de Fourier. Hace dos años en el XV Coloquio de Matemáticas de la Salle llevado a cabo en Salamanca, Gto. un expositor nos sorprendió a todos los presentes con la presentación del cálculo fraccionario – el cual utiliza derivadas de orden ‘n’ pero siendo ‘n’ no sólo números naturales sino fraccionarios. Pues como – al menos para mí – fue muy elevado este concepto, no lo comprendí, así que la red de internet ha sido el medio para estar estudiando este tema. Igual me sucedió cuando asistí a una conferencia en la Escuela de Matemáticas en la UNAM en 2010 sobre las ‘cadenas de Markov’, ¡qué cosas tan difíciles! Bueno, pues la red también ha sido mi escuela para estudiar estas cadenas probabilísticas.

En el desarrollo de una clase de matemáticas intervienen tres factores: la enseñanza, el aprendizaje y la estructura institucional; cada uno con una importancia específica pero con el aprendizaje como el más importante. Incluso, pedagógicamente ya no deberíamos decir enseñanza-aprendizaje de las matemáticas sino simplemente aprendizaje. En las instituciones educativas los maestros desarrollan un proyecto profesional – y algunos de ellos están por horas o cubren un interinato – esto repercute en qué la preparación de sus clases dependerá del tiempo que dispongan libre y si este tiempo es muy limitado, igual de limitada será su preparación. La profesionalización del maestro será evidente de acuerdo a su ética, pero ¿cómo puede influir en el aprovechamiento de sus alumnos? Por la creatividad. Necesita recurrir a métodos de enseñanza ya que cada tema requiere un método específico. Las técnicas didácticas pueden aplicarse de manera combinada, planeadas algunas veces, otras de forma natural o ‘improvisadas’ de acuerdo a la dinámica del grupo, a la hora de la clase, del día, del tema qué este vigente en la sociedad. No nada más es que expliquemos un tema y ya, hay que estar continuamente monitoreando el ambiente del aula, procesando la información y produciendo el conocimiento. El cuadro 1 nos ayuda a comprender mejor este punto.

CUADRO 1. ETAPAS DE LA CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO

Acorde a los tiempos modernos, la educación superior en México se ha diversificado en una amplia gama de opciones para estudiar una carrera profesional. Aunque ‘ la preparación, más que para el trabajo, implica una formación para la vida ’ expresa el Hermano Salvador Valle. Así, dentro de esta revolución del ‘software’ y tecnología educativa, hay una rama del conocimiento que no se ha desarrollado como debiera en pleno siglo XXI: las matemáticas. Y es que según veremos en este trabajo, muy poca investigación se hace respecto a esta ciencia en nuestra

localidad y por lo tanto, no tenemos parámetros de referencia a los que podamos considerar para formular nuestros planes educativos, dónde eso sí, estamos convencidos que las matemáticas juegan un papel fundamental en el desarrollo de las carreras profesionales en nuestras universidades e institutos tecnológicos.

excelente por instituciones oficiales como CONACYT y que en cambio, la iniciativa privada da un apoyo casi nulo, inexistente, salvo pequeñas excepciones.

1. El desarrollo de la ciencia matemática. Esto es, la comprensión de procesos ya establecidos anteriormente como fórmulas, métodos, reglas y la implementación de nuevos procedimientos de cálculo, la definición de las excepciones a la regla en caso de se encuentren, las paradojas en algún concepto, la justificación de alguna contradicción, etc. 2. El proceso de enseñanzaaprendizaje. Estrategias didácticas considerando las teorías científicas del aprendizaje. 3. El enfoque histórico. Su crecimiento como ciencia y su implementación académica en nuestra ( cada ) entidad federativa.

Es tanta la importancia de las matemáticas a nivel mundial que inclusive la ONU declaró el año 2000 como Año Internacional de las Matemáticas, para resaltar el papel central que tiene la enseñanza de esta ciencia tanto en la construcción de conceptos básicos como en el desarrollo del pensamiento racional y promocionarla en todos los niveles así como en todo el mundo. Sobre la investigación en matemáticas, José Carrillo Menéndez ( 2000 ), decano de la Universidad Complutense de Madrid comenta que en la década de los ochentas se publicaron en el mundo unos 250,000 artículos de investigación en revistas especializadas, cantidad que se duplicó a 500,000 en la década de los noventas. Entre los países que más investigación realizan en matemáticas se encuentran en los primeros lugares Estados Unidos, seguido de Francia, Alemania, el Reino Unido, Japón, Italia y España. Enfatiza el decano que ‘ un reto evidente para cualquier país que pretenda mantener un alto nivel de desarrollo y hacer frente a los desafíos del siglo XXI será invertir en matemáticas, tanto en mejorar el nivel de su enseñanza como de su investigación ’.

El Dr. Onésimo Hernández Lerma – Premio Nacional de Ciencias 2001 en el área de Físico-Matemáticas – explica ( 2002 ) que en México el apoyo para la labor de las matemáticas es bueno pero no

Actualmente el trabajo de investigación en matemáticas se lleva a cabo principalmente en las universidades, pero esto no quiere decir que no se deban implementar programas en los distintos

Proponemos pues, que cada centro educativo realice un estudio exhaustivo de las matemáticas donde se consideren los siguientes tres enfoques:

niveles educativos e inclusive en las empresas privadas. Para conocer los estudios formales de profesores de matemáticas hicimos una encuesta (2007 y 2014) en las siguientes instituciones de la ciudad de Chihuahua:           

Escuela Normal Superior José Medrano Colegio de Bachilleres 1 Colegio de Bachilleres 2 Universidad Autónoma de Chihuahua Cbtis 122 Cbtis 158 Universidad Tecnológica de Chihuahua Universidad Interamericana del Norte Instituto Tecnológico de Chihuahua Universidad La Salle Chihuahua Tec Milenio

En el estudio se encontró que ningún profesor contaba con estudios profesionales de matemáticas. Además, en la encuesta se hacía alusión que dada la importancia de las matemáticas en el mundo, se había efectuado en 1900 – en París, Francia – un Congreso Internacional de Matemáticas en que se habían definido los retos para el siglo XX que entonces empezaba y en el año 2000 se había efectuado otro congreso internacional en Berkeley, Estados Unidos, para enlistar los retos del presente siglo. De nuestros maestros entrevistados sólo uno conocía algo del congreso de 1900. Esta sencilla investigación nos indica que aunque las

matemáticas las consideramos como fundamentales para llevar a buen término una carrera profesional en nuestras universidades y tecnológicos, es presentada en las aulas por puro amor a la camiseta, ya que como licenciados o ingenieros, ni somos matemáticos ni somos pedagogos; lo que habla de una fuerte necesidad que hay en el gremio docente de cada institución de más apoyo tal vez económico, pero también de difusión institucional e implementación de programas didácticos de esta ciencia. Queremos dejarle todo a los libros de aritmética, álgebra y trigonometría de Aureliano Baldor – cubano por cierto . En el 2007 escuchaba en las noticias ( Hechos Meridiano, abril ) que menos de la mitad de los profesores de matemáticas de nivel medio superior no está titulado en alguna carrera; y sabemos que todo lo que pase en este etapa escolar de nuestros estudiantes al fin de cuentas repercutirá en el nivel superior. Estamos conscientes que la enseñanza de las ciencias ha sido acorde al movimiento de las sociedades. En Francia, San Juan Bautista de la Salle implementó en el siglo XVII lo que hoy conocemos como las escuelas normales de preparación de maestros. En México se instaló la primera universidad de América en 1521 y en Chihuahua capital se creó el primer instituto tecnológico regional del país en 1948. Hace falta entonces dar el paso definitivo, tanto en lo académico como en la investigación de las matemáticas, hay que

estar conscientes que debemos impulsar desde la la Coordinación de Matemáticas e inclusive de la misma Dirección los apoyos necesarios tanto didácticos como de intercambio científico entre las instituciones locales, nacionales e internacionales generando material de trabajo como folletos, libros, técnicas de enseñanza, didácticas y de creatividad. PROPUESTA La parte didáctica. Hemos mencionado que en el estudio de las matemáticas, aparte de la investigación de conceptos y fórmulas debe incluir también el aspecto histórico y sobre todo didáctico. ¿ Cuál sería la didáctica de las matemáticas que proporcionara un alto grado de aprovechamiento ? Sabemos que principalmente en el aula el maestro utiliza la técnica de exposición de temas, explica conceptos e incluso demuestra ecuaciones y desarrolla fórmulas complejas. En este tenor, el estudiante pone atención a ejemplos y hace ejercicios. El profesor utiliza como material didáctico el pizarrón y el marcador ( en algunos lugares todavía el gis ); ¿ esto es inadecuado ? por supuesto que no. El aprendizaje no se da por la técnica utilizada ni por el material empleado. El aprendizaje se observa cuando es significativo, representa un motivo de cambio o de logro académico. Entonces, nuestro interés como docentes se centra en hacer ese aprendizaje significativo. Con esta consideración, proponemos abarcar la enseñanza de las

matemáticas desde tres perspectivas principales ( que se complementen en el plan de clase de cada maestro ): 1. Las matemáticas puras 2. Las matemáticas aplicadas 3. Las matemáticas recreativas Podemos definir a las matemáticas puras como la ciencia que trata de manera simbólica y abstracta una serie de enunciados que incluyen operaciones lógicas con argumentos y reglas previamente establecidos por las matemáticas mismas. El estudio de las matemáticas puras implica tener como materia prima las mismas matemáticas puras. Cuando Paul Dirac ( 1902-1984 ) afirmaba que “ es más importante la belleza de las ecuaciones que el que se ajusten a los experimentos ” se estaba refiriendo precisamente a las matemáticas puras. Yo soy de la idea que las matemáticas como materia en un salón de clases fueran enseñadas como matemáticas puras – que es el objetivo principal de los programas de estudio –pero precisamente por lo que hemos mencionado en la página en la actualidad hay mucha información, miles de imágenes, contactos globales, entonces las personas recibimos respuestas inmediatas a preguntas que hacemos por el celular o el internet. Las personas queremos saber qué estamos aprendiendo y para qué puede servir. Pero al instante.

Entonces, cada tema de matemáticas – propongo - debe ser acompañado de ejemplos de la vida real. Las matemáticas aplicadas consideran la interacción con las demás ciencias, producen resultados viables en la solución de problemáticas cotidianas y permiten generar tecnología. Su estudio lleva a conocer nuevos métodos y estrategias para resolver problemas. Las matemáticas aplicadas dan lugar a nuevas corrientes de conocimiento en las mismas matemáticas. La programación lineal es un ejemplo típico de ello. La probabilidad y estadística en la psicología, sociología, medicina, economía y demás ciencias sociales son también buenos ejemplos. El estudio de las ciencias naturales desde el punto de vista del análisis numérico, algebraico o vectorial se da gracias a las matemáticas aplicadas. Combinar el lenguaje abstracto de las matemá- ticas puras con la solución de problemas prácticos de las matemáticas aplicadas, agregando a cada ejercicio el toque personal que tiene cada maestro en recrearse con la belleza de la interpretación de un simbolismo que es a la vez ciencia y arte, nos llevará a todos – alumnos y profesores – a comprender que el conocimiento, aparte de tener un fundamento lógico, tiene un camino sumamente sencillo de llegar a él. Cuando desarrollamos las matemáticas de esta manera es que hemos entrado al campo de las matemáticas recreativas. Con ellas podemos deducir fórmulas, hacer operaciones aritméticas mentales, demostrar paradojas, utilizar

procedimientos algebraicos para validar enunciados incorrectos ( o para invalidar enunciados correctos ). Esta recreación del conocimiento que la he estudiado desde el año de 1979 cuando llegó a mis manos un libro del ruso Yakov Perelman ha permitido el desarrollo de infinidad de procedimientos matemáticos, de lógica, juegos y soluciones en problemas en que se requieran cálculos aritméticos. Y se ha cultivado un sentimiento de agradecimiento a quiénes han compartido sus experiencias en el campo de las matemáticas recreativas. Cuando san Agustín de Hipona decía que sin las matemáticas sería imposible comprender muchos pasajes de la Biblia, estaba en lo correcto; y se estaba refiriendo principalmente a las matemáticas recreativas. Sin las matemáticas recreativas no podríamos comprender la multiplicación de los panes hecha por nuestro Señor Jesucristo, o los cuarenta años que anduvieron los israelitas buscando la tierra prometida al igual que los cuarenta días que estuvo en el desierto el Señor como preparación a su misión redentora, las setenta veces siete que hay que perdonar a quienes nos ofende, el número 12 de los apóstoles, los 153 pescados que sacaron los discípulos cuando vieron a Jesús resucitado – una cantidad rica en signos, el 3 significa totalidad y el 7 y 8 plenitud; si sumamos el 1 el 5 y el 3 nos da 9, es decir 3 por 3 y si separamos 153 como 15 y 3 vemos que el 15 es la suma de 7 y 8; entonces 7, 8 y 3 son un signo

de totalidad, suficiencia, lo que es, ¡ eso pescaron los discípulos, toda la humanidad ! – Sin las matemáticas recreativas como comprendemos las 144,000 personas ( 12 por 12 por 1000 ) que vio San Juan subiendo al cielo o que el amor de Dios es infinito, etc. En las matemáticas recreativas el aprendizaje se vuelve significativo por sí mismo – tiene un porqué – no se necesita algún enfoque a otra ciencia (matemáticas aplicadas) ni representan lo simbólico y general de los cálculos numéricos y el trato con la variable ‘x’. CONCLUSIÓN La experiencia administrativa y docente en instituciones educativas nos permite visualizar una especie de conflicto entre ‘qué’ y ‘cómo’ se enseña y ‘qué’ y ‘cómo’ se aprende. Si el maestro enseña bien y el alumno aprende bien no hay ningún problema. Casi podríamos decir que si el maestro enseña mal y el alumno aprende bien tampoco habría problema. El conflicto se da cuando el alumno no aprende o aprende mal. Las causas de esta problemática son diversas pero podemos resumirla en una sola: no se ha determinado la dinámica de aprendizaje del grupo en la clase específica de matemáticas. Por un lado la didáctica de enseñar del maestro es general y por el otro, la psicología de aprendizaje del alumno es particular. Si consideramos los extremos se da el caso ( y muy frecuente ) de que el instructor es un genio en las matemáticas y un genio en la enseñanza de ellas, pero

los alumnos no aprenden. ¿ Qué está pasando en el aula ? El maestro está enseñando las matemáticas desde un enfoque que no aceptan los alumnos