Integral indefinida Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones racionales e irracionales. es una primitiva de otra función

Definición 1 Se dice que una función sobre un intervalo

si para todo

Teorema 1 Sean

y

de

se tiene que

dos primitivas de la función

. en

. Entonces,

para todo de , . Es decir dada una función sus primitivas difieren en una constante (en adelante denotaremos por a una constante cualquiera). Definición 2 El conjunto de todas las primitivas de una función se denomina integral indefinida de que, si

es una primitiva de

y se denota por

definida en . De manera

, (2)

Teorema 2 (Propiedades de la integral indefinida.)

1. 2. 3.

,

Tabla de Integrales

1. 2. 3.

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Métodos de integración. Integración por cambio de variable. Teorema 3 Sea la imagen de primitiva de la función

una función derivable en

y sean

. Supongamos que sobre el conjunto , o sea,

el dominio y existe la

Entonces sobre todo el conjunto además

la función

tiene una primitiva y

Ejemplos: a) Calcular

. Como la integral no es de la tabla es necesario

convertirla en una de la tabla. Para ello hacemos:

. Como la integral no es de la tabla es necesario

b) Calcular

convertirla en una de la tabla:

Integración por partes. Supongamos que las funciones un intervalo sobre

y existe la primitiva de la función existe la primitiva de

y

son derivables en en

. Entonces,

y se cumple que (3)

o en forma diferencial (4)

Ejemplos:

a) Calcular

. Como la integral no es de la tabla es necesario

convertirla en una de la tabla. Utilicemos la integración por partes:

b) Calcular

. Como la integral no es de la tabla es necesario

convertirla en una de la tabla. Utilizemos la integración por partes:

es de la misma forma que la original así que volveremos a La integral aplicar integración por partes:

Juntando las dos fórmulas anteriores concluimos que

de donde, resolviendo la ecuación respecto a obtenemos:

Algunas de las integrales que pueden ser calculadas utilizando la integración por partes son: 1. Las integrales donde aparezcan las funciones , , , , potencias enteras de las funciones anteriores, entre otras donde tendremos que escoger como función

a alguna de las funciones anteriores (ver ejemplo a).

2. Las integrales

,

y

. Donde para encontrar las primitivas hay que utilizar la fórmula de integración por partes

veces tomando cada vez

,

, ...., respectivamente. 3. Las integrales de la forma

,

,

y

. Para encontrar las primitivas hay que denotar por a cualquiera de las integrales anteriores, aplicar dos veces integración por partes y resolver la ecuación resultante respecto a (ver ejemplo b). Integración de funciones racionales.

Si

entonces podemos dividir los polinomios

y

de tal forma que

Teorema 4 Supongamos que es una fracción simple, y que el polinomio denominador se puede factorizar de la siguiente forma (5)

donde

son las raíces reales de

, y los factores

no tienen raíces reales. Entonces, la fracción simple se puede descomponer en las siguientes fracciones elementales simples:

(6)

donde , , , , y son ciertas constantes reales. Para determinar dichas constantes sumamos los términos de la derecha. Nótese que el denominador común coincide con (5) y el numerador es un polinomio de grado a lo sumo . Luego comparamos el polinomio numerador que se obtiene al sumar las fracciones más simples en (6) con . Igualando los coeficientes de ambos obtendremos un sistema de ecuaciones con incógnitas que podemos resolver para encontar los coeficientes indeterminados posible encontrar el coeficiente ceros reales

, o sea, el

,

,

,

,

y

. No obstante es

de los sumandos correspondientes a uno de los

de

utilizando la propiedad que (7)

Como consecuencia de lo anterior, si factorización es de la forma

tiene

ceros reales y simples, o sea, si su (8)

entonces,

se puede descomponer en las fracciones elementales simples:

(9)

donde

,...,

se calculan por la fórmula (10)

Teorema 5 (Primitivas de las fracciones simples más elementales) 1

(11)

Ejemplos: a) Calcular

. Primero encontraremos las fracciones simples

mas elementales:

Luego, utilizando (10) obtenemos

Finalmente, utilizando (11) obtenemos

a) Calcular simples mas elementales:

. Primero encontraremos las fracciones

Para encontrar los coeficientes numeradores:

igualamos los polinomios de los

Dos polinomios de grado 3 son iguales si los coeficientes de las potencias , , son iguales, por lo que igualando dichos coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones:

y

También es posible utilizar otra propiedad de los polinomios: dos polinomios de grado que toman

valores iguales en

decir, si

para ciertos para todo

puntos dados son identicamente iguales, es (distintos entre si), entonces

. En nuestro ejemplo es conveniente tomar como los

los ceros de los polinomios denominadores y luego el resto de los valores tomarlos los más sencillos posibles:

que coincide con la encontrada por el método anterior. Luego,

Integrales trigonométricas. de la forma

En este apartado vamos a estudiar las integrales las cuales se convierten en integrales

racionales mediante la sustitución trigonométrica

,

que es un integral de una función racional. Ejemplo. Calcular la integral

.

Existen varios tipos de integrales trigonométricas que se pueden racionalizar con cambios más sencillos. Ellas son las siguientes:

1.

, donde

, cambio

2.

, donde

, cambio

3.

, donde

, cambio

Ejemplos. a) Calcular la integral

. Esta integral es del tipo 1. Luego,

que coincide con el resultado obtenido al utilizar la sustitución b) Calcular la integral

. Esta integral es del tipo 2. Luego,

c) Calcular la integral

Integrales irracionales.

la forma

. Esta integral es del tipo 3. Luego,

En este apartado vamos a estudiar las integrales de

,

Las integrales

y y

. .

Estas integrales irracionales se convierten en integrales trigonométricas mediante los cambios:

1.

, cambio

2.

, cambio

3.

, cambio

Ejemplos. a) Calcular la integral

pero,

. Esta integral es del tipo 1. Luego,

, por tanto

b) Calcular la integral

. Esta integral es del tipo 2. Luego,

pero,

, por tanto

c) Calcular la integral

pero,

Las integrales

se racionalizan mediante el cambio

. Esta integral es del tipo 3. Luego,

, por tanto

. Las integrales del tipo

.

Ejemplo Calcular la integral cambio

. Esta integral se racionaliza con el

. Luego,

de donde, deshaciendo el cambio

, obtenemos