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SOLIDOS Ademas de las figuras planas, la geometria estudia tambien aquellas que ocupan una porcion del espacio tridimensional, que son conocidas genericamente como solidos. Los solidos son objetos tridimensionales limitados por una 0 varias superficies. Si todas las superficies que los limitan son planas y de contorno poligonal, se denominan poliedros. Ademas de estos, tambien se estudiaran solidos que tienen alguna parte externa no plana, como los cilindros y los conos, y solidos con toda la superficie externa no plana, como la esfera, que se agrupan en las llamadas figuras de revolucion, pues se obtienen al hacer girar una figura plana en el espacio alrededor de un eje.

De los solidos con superficies externas planas se estudiaran los poliedros convexos. Para poder dar una definicion de este concepto, antes se debe definir que es un angulo poliedro convexo: sean NA, NB, NC, ... NX segmentos con un origen comun N y no coplanarios, es decir, que en un mismo plano no se encuentran dos segmentos. Los pianos que determinan dos segmentos consecutivos dejan a todos los demas a un mismo lado de dicho plano, es decir, en un mismo subespacio de los dos que el plano determina:

Se llama angulo poliedro convexo al conjunto de puntos comunes a todos los semiespacios as! formados. EI origen comun N de las semirrectas se llama vertice, y cada una de las semirrectas se denomina arista. Los angulos ANB, BNC, CND, ... XNA determinan las caras del angulo poliedro convexo.

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Los poliedros (de los terminos griegos polr, muchos, y edros, cara) son cuerpos solidos cerrados por

En geometria, las aportaciones de Arqu[medes al calculo de volumenes y superficies de distintas figuras se adelantaron a su tiempo, en especial por los metodos que us6. Gracias a ello, descubri6 relaciones de gran complejidad, como, por ejemplo, que los volumenes de un cono, de una semiesfera y de un cilindro, todos de la misma altura y radio, se encuentran en la raz6n 1:2:3. Tambien demostr6 que la superficie de una esfera es cuatro veces la de uno de sus cfrculos maximos, resolvi6 el calculo de las areas de las zonas esfericas y del volumen de segmentos esfericos, y demostr6 que el area de un casquete esferico equivale a la superficie de un cfrculo cuyo radio es la recta que une el centro del casquete con un punto de la circunferencia basal. Mejor6 asimismo el calculo del numero 7r (pi), herramienta fundamental de sus estudios de geometria. EI propio Arqufmedes atribuy6 gran importancia a su descubrimiento de que el volumen de una esfera inscrita en un cilindro es igual ados tercios del volumen del cilindro, y a la demostraci6n de que la Una de fas grandes Figuras de fa historia superficie de esta esfera de fa geometrfa Fueef griego Arqufmedes, quien tam bien abord6 otros diversos cames tambien los dos pos de fa ciencia, tafes como fa mecanica, tercios de la superficie fa ([sica y fa ingenierfa. del cilindro. Cuenta la leyenda que en la lapida de su tumba se incluy6 una ilustraci6n de una esfera inscrita en un cilindro. Sus aportes a otros campos de la ciencia fueron igualmente importantes: muchos de sus inventos representaron avances de gran importancia para su epoca, y entre los mas celebres se Ie atribuye el lIamado tornillo de Arqufmedes, utilizado en muchos parses para extraer agua de los pozos, de embarcaciones 0 terrenos anegados. Asimismo, invent6 maquinas de guerra, como catapultas y garfios movidos por palancas, que fueron utilizados para defender Siracusa, su ciudad natal, ante el asedio de los roman os. Quiza la mas espectacular invenci6n fue la de los conocidos como espejos de Arqufmedes, reflectores curvos de gran tamaiio que concentraban los rayos del sol sobre un objetivo, para incendiarlo; aunque no esta documentado hist6ricamente, se dice que fueron empleados para atacar las embarcaciones romanas que cercaron Siracusa.

angulos poliedros. Una definicion equivalente a la anterior caracteriza a los poliedros como cuerpos solidos limitados por caras planas, cada una de las cuales es un poligono, es decir, una figura plana limitada por lfneas rectas. Las lfneas que delimitan cada uno de los polfgonos son las aristas del poliedro, y cada uno de los vertices donde se unen dos aristas son los vertices del poliedro. Se dice que un poliedro es simple cuando no hay agujeros en su superficie. Existen, entre estos, poliedros concavos y convexos: los concavos son aquellos que tienen partes hundidas, mientras que los poliedros convexos, por el contrario, no presentan estos hundimientos. En este capitulo se estudiaran los poliedros simples convexos.

Tetraedro

El tetraedro regular tiene cuatro caras, cada una de las cuales es un triangulo equilatero, con las que se forman cuatro vertices y seis aristas. El angulo solido formado por 10s tres triangulos equilateros, AVB, BVe, CVA, puede cerrarse por un cuarto triangulo, ABC, igual a los anteriores. Resulta asi una piramide triangular con cuatro caras iguales. En la figura siguiente se presenta el dibujo de un tetraedro regular y los dos modos existentes de desarrollar sus cuatro caras sobre un plano:

Hay diversas maneras de clasificar los poliedros, aunque la mas comun consiste en distinguirlos por el numero de caras que tienen: asi, se pueden encontrar tetraedros (poliedros de 4 caras), pentaedros (de 5 caras), hexaedros (de 6 caras), heptaedros (de 7 caras), octaedros (de 8 caras), etc. Si se llama c al numero de caras, v al de vertices y a al de aristas, la expresion c + v = a + 2, conocida como formula de Euler, se cumple para todo poliedro simple. Los distintos polfgonos que pueden ser caras de un poliedro son el triangulo regular 0 equilatero, cuyos angulos miden 60°; el cuadrilatero regular 0 cuadrado, cuyos angulos miden 90°; el pentagono regular, el hexagono regular, el heptagono regular, el octagono regular, etc. A medida que aumenta el numero de lados del polfgono regular, crece tambien la medida de cada uno de sus angulos:

~[JQ (JQQ Se dice que un poliedro es regular cuando todas sus caras son polfgonos regulares iguales. Solo son posibles cinco poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro regulares.

C

A

C

\l\/\ Hexaedro

0

cuba

El hexaedro regular, tambien conocido como cubo, tiene seis caras cuadradas, ocho vertices y doce aristas. La siguiente ilustracion (pag. 481) muestra un hexaedro y su desarrollo plano:

Se marcan en un cubo dos diagonales en dos caras contiguas, de forma que confluyan en uno de los vertices comunes. En el dibujo siguiente, se trazan en azul:

i(uanto mide el angulo formado por esas dos Ifneas? Solucion al final del capitulo

Dodecaedro

EI dodecaedro regular consta de doce pentagonos regulares, veinte vertices y treinta aristas. Su forma y sus desarrollos se muestran en la ilustraci6n:

Octaedro

EI octaedro regular tiene ocho caras, todas ellas triangulos equil