EJERCICIO: Se colocan ( al azar) en línea las letras de la palabra “matemáticas”. ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos consonantes? ¿Y por dos vocales? ¿y la de que empiece por vocal y termine por consonante? SOLUCIÓN: a1.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos consonantes? Diagrama de árbol Dentro de la palabra “MATEMÁTICAS” tenemos: 2 3 2 1 1 1 1

M A T E I C S

4 3 6 5 11

CONSONANTES DISTINTAS VOCALES DISTINTAS CONSONANTES TOTAL VOCALES TOTAL LETRAS TOTAL

Preparamos el diagrama de árbol para la elección de las dos primeras letras de todas las posibles palabras. Se entiende que las palabras resultantes no tienen porque tener sentido ortográfico ni semántico. Aleatoriamente escogeremos letras de las que componen la palabra “matemáticas”. El problema plantea preguntas sobre las probabilidades del orden en que salgan las letras atendiendo a si son vocales o consonantes. Por tanto: ESCOGEMOS LA

ESCOGEMOS LA

PRIMERA LETRA

SEGUNDA LETRA VOCAL VOCALES TOTAL

VOCAL VOCALES TOTAL LETRAS TOTAL

LETRAS TOTAL

5 11

CONSONANTE CONSONANTES TOTAL LETRAS TOTAL

M,A,T,E,M,A,T,I,C,A,S

4 10 6 10

VOCAL VOCALES TOTAL

CONSONANTE CONSONANTES TOTAL LETRAS TOTAL

LETRAS TOTAL

6 11

CONSONANTE CONSONANTES TOTAL LETRAS TOTAL

5 10 5 10

En la primera elección puede salirnos una vocal o una consonante. La probabilidad de cada caso es el número de elementos del tipo buscado entre el total de los elementos existentes con probabilidad de ser escogidos. En la segunda elección, para todos los casos queda un elemento

menos en el total (que será el escogido en la primera elección) y dependiendo del punto del camino en el que nos encontremos tendremos un elemento menos de los buscados o no. Por ejemplo: Para que salgan dos consonantes seguidas, la primera elección deberá ser una consonante. La probabilidad de salir primero una consonante será 6 (número total de consonantes dentro de la palabra “matemáticas”) entre 11 (número total de letras dentro de la palabra “matemáticas”). La segunda elección deberá ser otra consonante. La probabilidad de salir en la segunda elección una consonante será 5 (número total de consonantes dentro de la palabra “matemáticas” menos la consonante que nos debería salir en la primera elección) entre 10 (número total de letras dentro de la palabra “matemáticas” menos la consonante que nos debería salir en la primera elección). REGLA NEMOTÉCNICA: “En probabilidad, cuando tenemos una Y multiplicamos. Cuando tenemos una O sumamos” ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera elección salga una consonante Y en la segunda elección salga una consonante? La probabilidad de la primera elección POR la probabilidad de la segunda elección. 6 5 30 3 ⋅ = = =0,2727 11 10 110 11 Es decir: un 27,27% Se puede comprobar que hemos planteado bien el diagrama de árbol. Sabemos que la suma de todas las probabilidades que dan lugar a un suceso debe de ser 1 (100 %). Según esto, la probabilidad de que la primera letra escogida sea una consonante O una vocal es la suma de sus probabilidades y deberá ser igual a 1 (100 %). 5 6 11 + = =1 11 11 11 La suma de las probabilidades de todos los caminos posibles también debe ser 1 (100 %). Es decir: (

5 4 5 6 6 5 6 5 20 30 30 30 110 ⋅ )+( ⋅ )+( ⋅ )+( ⋅ )= + + + = =1 11 10 11 10 11 10 11 10 110 110 110 110 110

a2.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos consonantes? Ley de Laplace Según Laplace “la probabilidad de un suceso A es igual al cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles”. P ( A)=

Casos favorables Casos posibles

Los casos favorables será la suma de las combinaciones de cada una de las consonantes de la palabra “matemáticas” con las otras consonantes. Como hay letras que se repiten, las nombramos de forma distinta porque al haber más elementos de un tipo, éste tendrá más probabilidades de ser escogido. Si colocamos las 6 consonantes en una fila y en una columna, fácilmente podemos ver el número total de casos favorables. Las combinaciones de una letra con ella misma debemos eliminarlas ya que no son posibles. Por ejemplo, la combinación CC no es posible ya que en la palabra “matemáticas” solo tenemos una C. La MM tampoco es posible, pero MM2 si es viable y esta es la razón por la que nombramos de manera distinta a los elementos que se repiten. M M T M2 T2 C S

T MT

TM M2 M T2 M CM SM

M2 T T2 T CT ST

M2 M M2 T M2

T2 M T2 T T2 M2 T2

T2 M2 C M2 S M2

C MC TC M2 C T2 C

C T2 S T2

S MS TS M2 S T2 S CS

SC

En la figura anterior tenemos 6 filas y 6 columnas. Es decir: 6⋅6=36 casos Como no podemos combinar un elemento con él mismo, restamos los 6 casos sombreados en la tabla: 36−6=30 casos favorables Los casos posibles será la suma de las combinaciones de cada una de las letras de la palabra “matemáticas” con las otras letras. Como hay letras que se repiten, las nombramos de forma distinta porque al haber más elementos de un tipo, éste tendrá más probabilidades de ser escogido. Si colocamos las 11 letras en una fila y en una columna, fácilmente podemos ver el número total de casos posibles. Las combinaciones de una letra con ella misma debemos eliminarlas ya que no son posibles. M M A T E M2 A2 T2 I C A3 S

AM TM EM M2 M A2 M T2 M IM CM A3 M SM

A MA TA EA M2 A A2 A T2 A IA CA A3 A SA

T MT AT ET M2 T A2 T T2 T IT CT A3 T ST

E ME AE TE M2 E A2 E T2 E IE CE A3 E SE

M2 M M2 A M2 T M2 E M2 A2 M2 T2 M2 I M2 C M2 A3 M2 S M2

A2 M A2 A A2 T A2 E A2 M2 A2 T2 A2 I A2 C A2 A3 A2 S A2

T2 M T2 A T2 T T2 E T2 M2 T2 A2 T2 I T2 C T2 A3 T2 S T2

I MI AI TI EI M2 I A2 I T2 I CI A3 I SI

En la figura anterior tenemos 11 filas y 11 columnas. Es decir:

(11⋅11)−11=121−11=110 casos posibles

C MC AC TC EC M2 C A2 C T2 C IC A3 C SC

A3 M A3 A A3 T A3 E A3 M2 A3 A2 A3 T2 A3 I A3 C A3 S A3

S MS AS TS ES M2 S A2 S T2 S IS CS A3 S

Y según la ley de Laplace: P ( A)=

Casos favorables 30 3 = = =0,2727 Casos posibles 110 11

Es decir: un 27,27% a3.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos consonantes? Ley de Laplace y Variaciones *Variación con repetición: VRn ,m =nm Variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m son las distintas muestras que se pueden formar con n elementos combinando cada elemento también consigo mismo. En nuestro ejemplo: Para los casos favorables tenemos 6 consonantes tomadas de 2 en 2 para dar las combinaciones posibles de escoger dos consonantes seguidas. VRn ,m =nm →VR6,2=62 =36 casos El problema es que estamos obteniendo también las combinaciones de cada elemento consigo mismo. Como se ha visto en el apartado anterior debemos desestimar esas combinaciones porque no son posibles. Por esto debemos utilizar la Variación SIN repetición. *Variación sin repetición: V n ,m=n (n−1)...(n−m+1) Variaciones sin repetición de n elementos tomados de m en m son las distintas muestras que se pueden formar con n elementos sin combinar cada elemento consigo mismo. En nuestro ejemplo: Para los casos favorables tenemos 6 consonantes tomadas de 2 en 2 para dar las combinaciones posibles de escoger dos consonantes seguidas. V n ,m=n (n−1)...(n−m+1) → V 6,2 =6(6−1)...(6−2+1)=6⋅5=30 casos Otros ejemplos del cálculo de variación sin repetición: V 6,3 =6⋅5⋅4=120

V 7,3 =7⋅6⋅5=210

V 7,4 =7⋅6⋅5⋅4=840

V 8,2 =8⋅7=56

Para la resolución de nuestro problema usaremos la Ley de Laplace colocando la variación sin repetición de las 6 consonantes tomadas de 2 en dos que son los casos favorables. En el denominador colocaremos los casos posibles que son la variación sin repetición de las 11 letras de la palabra “matemáticas” tomadas de 2 en 2. P ( A)=

Casos favorables V 6,2 6⋅5 30 3 = = = = =0,2727 Casos posibles V 11,2 11⋅10 110 11

Es decir: un 27,27% b1.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos vocales? Diagrama de árbol Dentro de la palabra “MATEMÁTICAS” tenemos: 2 3 2 1 1 1 1

M A T E I C S

4 3 6 5 11

CONSONANTES DISTINTAS VOCALES DISTINTAS CONSONANTES TOTAL VOCALES TOTAL LETRAS TOTAL

Preparamos el diagrama de árbol igual que el que hemos usado para el caso de las consonantes. En esta ocasión escogemos los caminos que nos llevan a la elección de 2 vocales seguidas. Por tanto: ESCOGEMOS LA

ESCOGEMOS LA

PRIMERA LETRA

SEGUNDA LETRA VOCAL VOCALES TOTAL

VOCAL VOCALES TOTAL LETRAS TOTAL

LETRAS TOTAL

5 11

CONSONANTE CONSONANTES TOTAL LETRAS TOTAL

M,A,T,E,M,A,T,I,C,A,S

VOCAL VOCALES TOTAL

CONSONANTE CONSONANTES TOTAL LETRAS TOTAL

LETRAS TOTAL

6 11

CONSONANTE CONSONANTES TOTAL LETRAS TOTAL

4 10 6 10

5 10 5 10

Para que salgan dos vocales seguidas, la primera elección deberá ser una vocal. La probabilidad de salir primero una vocal será 5 (número total de vocales dentro de la palabra “matemáticas”) entre 11 (número total de letras dentro de la palabra “matemáticas”). La segunda elección deberá ser otra vocal. La probabilidad de salir en la segunda elección una vocal será 4 (número total de vocales dentro de la palabra “matemáticas” menos la vocal que nos debería salir en la primera elección) entre 10 (número total de letras dentro de la palabra “matemáticas” menos la vocal que nos debería salir en la primera elección). ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera elección salga una vocal Y en la segunda elección salga una vocal? La probabilidad de la primera elección POR la probabilidad de la segunda elección. 5 4 20 2 ⋅ = = =0,1818 11 10 110 11 Es decir: un 18,18% b2.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos vocales? Ley de Laplace P ( A)=

Casos favorables Casos posibles

Si colocamos las 5 vocales en una fila y en una columna, fácilmente podemos ver el número total de casos favorables. Las combinaciones de una letra con ella misma debemos eliminarlas ya que no son posibles. A A E A2 I A3

EA A2 A IA A3 A

E AE A2 E IE A3 E

A2 A A2 E A2 I A2 A3 A2

I AI EI A2 I

A3 A A3 E A3 A2 A3 I A3

A3 I

En la figura anterior tenemos 5 filas y 5 columnas. Es decir: 5⋅5=25 casos Como no podemos combinar un elemento con él mismo, restamos los 6 casos sombreados en la tabla: 25−5=20 casos favorables Colocamos las 11 letras en una fila y en una columna como en el apartado a, fácilmente podemos ver el número total de casos posibles. Las combinaciones de una letra con ella misma debemos eliminarlas ya que no son posibles.

M M A T E M2 A2 T2 I C A3 S

AM TM EM M2 M A2 M T2 M IM CM A3 M SM

A MA TA EA M2 A A2 A T2 A IA CA A3 A SA

T MT AT ET M2 T A2 T T2 T IT CT A3 T ST

E ME AE TE M2 E A2 E T2 E IE CE A3 E SE

M2 M M2 A M2 T M2 E M2 A2 M2 T2 M2 I M2 C M2 A3 M2 S M2

A2 M A2 A A2 T A2 E A2 M2 A2 T2 A2 I A2 C A2 A3 A2 S A2

T2 M T2 A T2 T T2 E T2 M2 T2 A2 T2 I T2 C T2 A3 T2 S T2

I MI AI TI EI M2 I A2 I T2 I CI A3 I SI

C MC AC TC EC M2 C A2 C T2 C IC A3 C SC

A3 M A3 A A3 T A3 E A3 M2 A3 A2 A3 T2 A3 I A3 C A3

S MS AS TS ES M2 S A2 S T2 S IS CS A3 S

S A3

En la figura anterior tenemos 11 filas y 11 columnas. Es decir: (11⋅11)−11=121−11=110 casos posibles Y según la ley de Laplace: P ( A)=

Casos favorables 20 2 = = =0,1818 Casos posibles 110 11

Es decir: un 18,18% b3.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos vocales? Ley de Laplace y Variaciones P ( A)= Es decir: un 18,18%

Casos favorables V 5,2 5⋅4 20 2 = = = = =0,1818 Casos posibles V 11,2 11⋅10 110 11

c1.- ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por vocal y termine por consonante? Diagrama de árbol El diagrama de árbol necesario para llegar hasta la última elección de las 11 posibles letras de la palabra “matemáticas” tendría 2048 posibilidades en la columna 11. Esto hace poco viable resolver la cuestión que nos plantean por este método. Pero, ¿podemos resolverlo sin hacer el diagrama de árbol? ¿Depende la probabilidad de que la letra se escoja al principio o al final de la palabra? Vamos a verlo con una palabra más sencilla, de 4 letras, por ejemplo la palabra “casa”. Dentro de la palabra “CASA” tenemos: 1 C 2 A 1 S

2 1 2 2 4

1ª

LETRA

CONSONANTES DISTINTAS VOCALES DISTINTAS CONSONANTES TOTAL VOCALES TOTAL LETRAS TOTAL 2ª 3ª LETRA

LETRA

4ª

LETRA

V VOCS

V VOCS LETRAS

LETRAS

X 2

C CONS

V VOCS LETRAS

V VOCS LETRAS

LETRAS

1 3

2 4

V VOCS

C CONS LETRAS

C,A,S,A

LETRAS

2 2

C CONS LETRAS

V VOCS

V VOCS LETRAS

LETRAS

1 2

C CONS

C CONS LETRAS

LETRAS

2 3

X 1

X 1 1 1

X 1 1 1

V VOCS

COMO BUSCAMOS LA PROBABILIDAD DE COMENZAR POR VOCAL DESHECHAMOS EL CAMINO DE COMENZAR POR CONSONANTE

X 1

C CONS LETRAS

LETRAS

1 2

C CONS LETRAS

1 1 X 1

Aparecen 2 caminos posibles para comenzar por vocal y terminar por consonante. Multiplicamos las probabilidades de cada camino y luego sumamos las 2. 2 1 2 1 2 2 1 1 4 4 8 1 ( ⋅ ⋅ ⋅ )+( ⋅ ⋅ ⋅ )=( )+( )= = =0,3333 4 3 2 1 4 3 2 1 24 24 24 3 Ley de Laplace y Variaciones para el ejemplo de la palabra CASA Para los casos favorables tenemos 2 vocales tomadas de una en una y 2 consonantes tomadas de una en una. Sumamos la variaciones. En los casos posibles tenemos 4 letras tomadas de 2 en 2. P ( A)=

Casos favorables V 2,1+V 2,1 2+2 4 1 = = = = =0,3333 Casos posibles V 11,2 4⋅3 12 3

Es decir: un 33,33% Análogamente, para la palabra “MATEMATICAS”: Para los casos favorables tenemos 6 consonantes tomadas de una en una y 5 vocales tomadas de una en una. Sumamos la variaciones. En los casos posibles tenemos 11 letras tomadas de 2 en 2. P ( A)=

Casos favorables V 6,1 +V 5,1 6+5 11 1 = = = = =0,10 Casos posibles V 11,2 11⋅10 110 10

Es decir: un 10,00%