Problema 1. En el diagrama se presentan los tres primeros cuadriláteros de una secuencia que inicia en un punto en el centro del tablero y crece desde ese punto hacia fuera, ¿cuál es el número de puntos que están en el perímetro e interior del cuadrilátero 2007?

Solución: Se observa que en su perímetro e interior, el primer cuadrilátero tiene cinco puntos y además 5 = 1 + 4 = 12 + 2 2 , el segundo cuadrilátero tiene en su perímetro e interior trece puntos y además 13 = 4 + 9 = 2 2 + 32 , el tercer cuadrilátero tiene en su perímetro e interior veinticinco puntos y además 25 = 9 + 16 = 3 2 + 4 2 . Si continuamos con este proceso concluimos que el cuadrilátero 2007 debe tener en su perímetro e interior 2007 2 + 2008 2 puntos, es decir, 8060113. Problema 2. Supóngase que a es un dígito no nulo, ¿qué valor debe tomar el dígito a para que el número a321032 sea divisible por 13? Solución: Aplicando el criterio de divisibilidad por 13 de manera secuencial obtenemos Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa Cuarta etapa Quinta etapa

a32103 + 4(2) = a32111 a3211 + 4(1) = a3215 a321 + 4(5) = a341 a34 + 4(1) = a38 a3 + 4(8) = (a + 3)5

Donde (a + 3) representa un dígito, y es claro que el valor de a es 3.

Problema 3. Considérese la siguiente figura

Si el arco AC es de 100° y el arco DB es de 70°, ¿cuál es la medida en grados del ángulo BED? Solución: La medida del ángulo ABC es 50° y de manera similar la medida del ángulo BAD es 35°, así que el ángulo AEB tiene medida de 95°, luego entonces el ángulo pedido tiene una medida de 85°. Problema 4. Completa la siguiente multiplicación

3 6 ×

4

1

4

2

8

3 4

2

6

8

Solución: Es obvio que el cuadro vacío del primer factor debe ser ocupado por un 2 , luego

entonces el cuadro vacío del segundo factor debe ser ocupado por un 7 y de esta manera todo se acomoda para que la multiplicación quede de la siguiente forma:

3

6

2

×

7 4

1 4

4 8

2 5

3

4

2 6

7

8 8

Problema 5. Considere la siguiente multiplicación

8 7 6 a ×

7 b

8 7 6 a 6 1 3 7 6 6 2 2 5 2 a ¿Qué valor adquiere la expresión a + b ? Solución: Por simple observación se deduce que b toma el valor de 1 y además el valor de a tiene que ser 8 ya que 7 × 8 es el único caso que termina en 6 , por lo tanto

a+b =9

Problema 6. En la siguiente figura cada cuadro tiene área de una unidad cuadrada ¿qué área tiene la región sombreada?

Solución: Calcularemos primero el área de la figura no sombreada, se observa que está constituida por cuatro triángulos de base una unidad, considerando como el primero al de la parte superior y siguiendo el sentido de las manecillas del reloj se tiene que: 3 A(T1 ) = 2 3 A(T2 ) = 2 4 A(T3 ) = = 2 2 4 A(T4 ) = = 2 2 El área no sombreada es 7 u 2 por lo que el área sombreada es de 42u 2 .

Problema 7. La suma de dos números es 370 y su mínimo común múltiplo es 17112, ¿cuáles son esos números? Solución: Sean x, y tales números, se debe cumplir que x + y = 370 y además que mcm ( x, y ) = 17112 . Como 370 es par se debe tener que ambos números son pares o ambos números son impares; pero como el mínimo común múltiplo es par los números deben ser pares. Ahora descompondremos 17112 en factores primos: 17112

2

8556

2

4278

2

2139

3

713

23

31

31

1 Luego entonces 17112 = 2 × 3 × 23 × 31 y haciendo combinaciones obtenemos que 2 × 3 × 31 = 186 y 8 × 23 = 184 . Se concluye pues que los números son 184 y 186. 3

Problema 8. ¿Cuántos números de diez dígitos que sean divisibles por 4 se pueden formar usando solamente los dígitos 2 , 4 , 5 ? Solución: Nos interesan las dos últimas posiciones y particularmente los números que terminan en a) L 24 → 38 formas b) L 52 → 38 formas c) L 44 → 38 formas En total tenemos 3 × 38 = 39 = 19683 números diferentes.

Problema 9. Carlos y Pedro son hermanos, si el máximo común divisor de sus edades es 9 y el mínimo común múltiplo de las mismas es 54, ¿cuánto suman sus edades si la suma es lo menor posible? Solución: Descomponiendo el mínimo común múltiplo en factores primos se obtiene que 54 2 27 3 9 3 3 3 1 Por lo que 54 = 2 × 33 , como ambos números (edades) tienen al 9 como factor común podemos hacer combinaciones y encontramos que las cantidades apropiadas son 9 × 2 = 18 , 9 × 3 = 27 de esta manera, la suma de las edades es 45.

Problema 10. Considerando la siguiente sucesión 1, 3 , 3 , 3 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 9 , 9 , 9 , 9 ,9 , 9 , 9 , 9 , 9 ,11,L ¿Qué número se localiza en la posición 2007 en tal sucesión? Solución: Se observa que el 1 aparece una sola vez, el 3 aparece tres veces, el 5 aparece cinco veces, y así sucesivamente. Si sumamos estas cantidades, nos damos cuenta que estamos considerando la suma de los enteros positivos impares, esto es, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + L + (2n − 1) = n 2 Ahora 44 2 = 1936 y 45 2 = 2025 , en consecuencia el dígito que se localiza en la posición 2007 es el impar número 45, esto es, 2 (45) − 1 = 89 , así el 89 se localiza en la posición 2007.

Problema 11: Sean

R m y Rn

respectivamente los residuos de las divisiones

4 ÷ 5 y 3 ÷ 8 . Si m y n son enteros positivos, ¿qué condición adicional deben cumplir estos enteros para que el residuo de la división Rm ÷ Rn sea un entero? m

n

Solución: Consideremos primero la expresión 4 m ÷ 5 y observemos lo que ocurre con los residuos: Si m = 1 entonces el residuo es 4 Si m = 2 entonces el residuo es 1 Si m = 3 entonces el residuo es 4 Si m = 4 entonces el residuo es 1 Luego entonces para m impar el residuo es 4 y para m par el residuo es 1. Ahora consideremos la expresión 3 n ÷ 8 y de igual manera observemos lo que ocurre con los residuos: Si n = 1 entonces el residuo es 3 Si n = 2 entonces el residuo es 1 Si n = 3 entonces el residuo es 3 Si n = 4 entonces el residuo es 1 Luego entonces para n impar el residuo es 3 y para m par el residuo es 1. Como respuesta a la pregunta tenemos que basta que m ∈ N y n sea entero positivo par.

Problema 12. A una losa rectangular de 4 dm por 6 dm, se le hacen cortes horizontales y transversales como se ilustra en la figura y de ella se obtienen 20 ladrillos en forma de paralelogramo de base 1 dm y altura 1 dm.

¿Cuántos ladrillos se obtendrán de una losa que mide 100 dm por 200 dm ? Solución: Cuando se hacen cortes en la losa de 4 × 6 se desperdician cuatro triángulos de base 1 y altura 2. Por lo que se obtienen 24 − 4 = 20 ladrillos. Si la losa de 100 × 200 se corta en 50 tiras de 2 × 200 , en cada tira se desperdician 2 triángulos de área 1, esto es, de cada tira se obtienen 2 × 200 − 2 = 398 ladrillos. Entonces en total se pueden obtener 50 × 398 = 19900 ladrillos.

Problema 13. Se construye un blanco con 100 círculos concéntricos de perímetros iguales a 1, 2 , 3 ,L ,100 dm respectivamente. El círculo central se colorea de negro. La región entre el círculo central y el siguiente círculo se colorea de amarillo. El área entre el segundo y tercer círculos, de nuevo se colorea de negro, y así sucesivamente se completa el blanco con anillos negros y amarillos, alternados. Una persona lanza un dardo sobre el blanco y considera que tiene igual probabilidad de impactar cualquier punto del mismo. ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo impacte en región negra ( en el centro o en un anillo negro ) ? Solución: El área total del blanco es 2 a (C100 ) = π R100 P  = π  100   2π 

2

2

 100   = π  π 2   2500 = dm 2

π

Donde R100 es el radio y P100 es el perímetro del círculo mayor. Consideremos los anillos: Negros: A1 , A3 ,L , A99 Amarillos: A2 , A4 , L, A100

El área del anillo An está dada por

 n   n −1 a ( An ) = π   − π    2π   2π  1 (2n − 1) = 4π Por lo que la probabilidad de impactar en anillo negro es: 2

2

a ( A2 k −1 ) k =1 a (C100 )

50

50

P( Negro) = ∑ P( A2 k −1 ) = ∑ k =1

=

π

50

∑ [2 (2k − 1) − 1] 2500 4π 1

k =1

=

1 50 ∑ (4k − 3) 10000 k =1

= 0.495 Problema 14. Suponga que nuestro planeta en realidad tiene cuatro satélites naturales. El más cercano a la tierra completa un ciclo en 28 días, el que sigue, tiene un ciclo de 39 días, el que sigue, tiene su ciclo de 52 días y el más lejano tiene un ciclo de 64 días. Si el día de hoy, 24 de marzo de 2007 todos los satélites estuvieron en conjunción (alineados), ¿cuál es la fecha más próxima en la que estarán en conjunción al menos tres de ellos? Solución: mcm1 (28 , 52 , 39) = 1092 mcm2 (28 , 52 , 64 ) = 5824

mcm3 (52 , 39 , 64 ) = 2496 mcm4 (28 , 39 , 64 ) = 1743 Se observa que el mínimo común múltiplo más pequeño es 1092, esto es, dentro de 1092 días volverán a estar en conjunción tres de los satélites naturales. Como el año 2008 es bisiesto, dentro de 2 años y 361 días ocurrirá este fenómeno. Será el 20 de marzo de 2010 (4 días antes del 24 de marzo de ese año).

Problema 15. Se tiene un segmento AB de 10 cm de longitud. Sobre este segmento se construye un triángulo equilátero como se muestra en la figura. Del vértice D del triángulo se traza un segmento hasta el punto B de tal forma que la medida del ∠ B es 30° ¿Qué valor tiene el perímetro del triángulo BCD?

D

A

B C

Solución: Basándonos en la figura que se muestra a continuación se concluye que la medida de ∠ADB es 90°, entonces a 2 = b 2 + c 2 ⇒ 100 = b 2 + c 2 . D c b A

B

C a

Por otra parte sen 30° =

b 1 = ⇒ b = 5 ∴ c 2 = 100 − 25 = 75 ⇒ c = 75 = 5 3 , así el 10 2

perímetro pedido es: Perímetro = BC + CD + DB = 5 + 5 + 5 3 = 10 + 5 3 Sencillamente por que los ángulos interiores del triángulo equilátero son todos de 60°. Problema 16.¿Cuántos números de la forma abc , donde a , b y c representan dígitos satisfacen la desigualdad 298 < abc − cba < 492? Solución: abc − aba = 100a + 10b + c − (100c + 10b + a ) = 99( a − c ) . Como 99 × 3 = 297 y 99 × 5 = 495 , entonces a − c = 4 y b puede ser 0,1,2,...,9 Por lo que a = 9, c = 5; a = 8, c = 4; a = 7, c = 3; a = 6, c = 2; a = 5, c = 1 , entonces el número de formas pedidas es 5 × 10 = 50 . Problema 17. Considera a x como un dígito que puede tomar valores de 0 a 9 y a n como un entero positivo tal que 1 ≤ n ≤ 2007 , ¿cuántos números de la forma 2 x 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 2 xL x 2 2 2L 2 x 142 4 43 4 n veces

son divisibles por 6? Solución: Consideremos el número An = 2 x 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 2 x L x 2 2 2 L 2 x 142 4 43 4 n veces

para n = 1, 2 ,L , 2007 . Se debe cumplir que An es par y la suma de sus dígitos múltiplo de 3, por lo que x sólo puede tomar los valores 0 , 2 , 4 , 6 , 8 .

Sea S la suma de los dígitos de An y definamos a S1 = suma de las x S 2 = suma de los 2

∴ S = S1 + S 2 = nx + 2

n(n + 1) = n ( n + 1 + x) 2

Ahora procederemos por casos: 1) Si x = 0 entonces S = n ( n + 1) que resulta múltiplo de 3 si n o n + 1 lo son , esto es, 1× 2

2×3 3× 4 4×5 5× 6 6×7 M 2005 × 2006 2006 × 2007 2007 × 2008 Por lo que se obtienen 669 × 2 = 1338 múltiplos de 3 2) Si x = 2 entonces S = n (n + 3) , procediendo de manera similar al caso anterior encontramos que 1× 4 2×5 3× 6 4× 7 5×8 6×9 M

2005 × 2008 2006 × 2009 2007 × 2010 Se observan en este caso solamente 669 múltiplos de 3 3) Si x = 4 entonces S = n (n + 5) procediendo de manera similar a los casos anteriores encontramos 1338 múltiplos de 3. 4) Si x = 6 entonces S = n (n + 7) y resultan también 1338 múltiplos de 3 5) Si x = 8 entonces S = n ( n + 9) resultan solamente 669 múltiplos de 3 En total tenemos 5352 números divisibles por 6.

Problema 18. Se pueden construir espirales usando semicircunferencias. En la siguiente figura se muestra una espiral que inicia en 0 y termina en -5, construida de esa manera, ¿cuál es la longitud de una espiral similar que inicia en 0 y termina en 1000?

Solución: La semicircunferencia que inicia en 0 y termina en 1 tiene longitud

π

. La 2 semicircunferencia que inicia en 1 y termina en -1 tiene longitud π . La que inicia en -1 y 3π . Entonces la longitud de la espiral que inicia en 0 y termina termina en 2 tiene longitud 2 en 1000 es: π 1999 × 2000 L = (1 + 2 + 3 + 4 + L + 1999) = π = 999500 π 2 4

x x ≤ 20,000 x

Problema 19. Sean x e y

enteros positivos tales que

5 y ≥ 1,000 . ¿Cuánto suman todos los números distintos

y

y

xx + 5y x

últimos dígitos de

que se construyen con los dos

y

?

Solución:

x x ≤ 20,000 x

Como

, entonces x solo puede tomar los valores 1, 2 y 3.

Como 5 ≥ 1,000 , entonces y ≥ 3 . El número dígitos a 25, para todo y ≥ 3. Entonces, y

y

Si

x = 1,

xx + 5y

Si

x = 2,

xx + 5y

x

x

5y

y

y

termina en 26. y

termina en 41.

tiene como dos últimos

x + 5 termina en 08. Si x = 3, Por lo que todos los números de dos dígitos distintos que se pueden obtener de esa expresión son 26, 41 y 08, y por tanto suman 26 + 41 + 08 = 75. xx

yy

Problema 20: Una moneda balanceada se lanza 9 veces y sus resultados se colocan, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, en un arreglo cuadrado de 9 celdas como el que se especifica en la figura. Por ejemplo, si ocurre la secuencia s , a , s , s , a , a , s , a , a, se coloca en el arreglo en la siguiente forma ( s = sello, a = águila): s

a

s

s

a

a

s

a

a

¿Cuál es la probabilidad de que, al repetir el experimento, se tenga “gato” en el arreglo, esto es, al menos una fila o una columna o una diagonal, tengan los mismos resultados?

Solución: El número total de arreglos está dado por 29 =

9

9

k =0

 

∑  k  = 512

Si se tienen 3 símbolos o menos de una clase ( “a” o “s” ) , siempre ocurrirá al menos un “gato” en el arreglo. El total de casos en este esquema es 9 9  9 9 9  9 9 9   +   +   +   +   +   +   +   = 256  0 1   2  3  6  7  8   9 En el caso en que se tengan 4 símbolos de una clase y 5 de la otra, pueden ocurrir “gatos” o “no gatos”. Los casos de 4 “s” y 5 “a” es perfectamente equivalente al caso 4 “a” y 5 “s”, por lo que sólo se analizará el primer caso.

* Conteos en el caso 4 “s” y 5 “a”: “Gatos” con “s”: En filas En Columnas En diagonal Total

6 + 6 + 6 = 18 6 + 6 + 6 = 18 6 + 6 = 12 48

Analizaremos ahora el conteo de “gatos “ sólo con “a”, pero con “s”: Con una sola columna: 4 + 4 + 4 = 12 Con una sola fila: 4 + 4 + 4 = 12 Con una sola diagonal 4+4 = 8

Con una fila y una columna: 3+3+3 = 9 Con diagonal y columna: 3+3 = 6 Con diagonal y fila: 3+3 =6 Con dos diagonales: Solo un caso

=1

Por lo que el número total de casos en los que se tiene “gato” con 4 “s” y 5 “a” es: 48 + 12 + 12 + 12 + 8 + 9 + 6 + 6 + 1 = 102

Conteos totales: De lo anterior, el número total de arreglos con “gato” está dado por: 256 + 2(102) = 460 y la probabilidad de obtener un “gato” es 460 115 = = 0.8984 P= 512 128