31

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1

Página 57 PRACTICA Números reales

1 a) Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: ) 3 41 ; √49 ; 53, 7; 3,2; √12 ; √5 13 b) ¿Alguno de ellos es entero? c) Ordénalos de menor a mayor.

) a) Racionales: 41 ; – √49 ; 53,7; 3,2 · 10 –10 13 3

Irracionales: √12 ; √5 b) Entero: – √49 = –7

) 3 c) – √49 < 3,2 · 10 –10 < √5 < 41 < √12 < 53,7 13 2 Di cuáles de los siguientes números son irracionales: – 3; 4

) 1,73 ;

√3 ;

π;

√9 ;

– 1 + √5 2

1 + √5 . 2

Son irracionales √3 , π y

3 Ordena de menor a mayor: ) a) 1,45; 1,4; √2

3 b) √2 ; √3 ; 13 9

)

3 b) √2 < √3 < 13 9

a) √2 < 1,4 < 1,45

4 Clasifica estos números como naturales, enteros, racionales y/o reales: 3 –2

–3 4 π

√2

7,23

0

–4

1 3

√–1

11 9

√5

2

2,48

18

1 + √2

–1

3

1

1,010203…

Unidad 3. El número real

√–1

31

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 2

N

→ 3; 0; 2; 18; 1

Z

→ 3; 0; 2; 18; 1; –2; –4; –1; √–1

Q

3 → 3; 0; 2; 18; 1; –2; –4; –1; √–1 ; – 3 ; 7,23; 1 ; 11 ; 2,48 4 3 9

Á

3 → 3; 0; 2; 18; 1; –2; –4; –1; √–1 ; – 3 ; 7,23; 1 ; 11 ; 2,48; 4 3 9

3

√2 ; π; 1 + √2 ; 1,010203…

5 Representa en la recta real los siguientes números: a) –3; 2,7; √17 ; 1 , de forma exacta. 3 b) π = 3,14…, de forma aproximada. a) √17 = √4 2 + 1 2

— √17

1 –3

–2

–1

b)

0

1 — 3

1

2

3 2,7

3,1 3,2

3

4 π ≈ 3,14…

Inter valos

6 Dados los números: 1; 2; 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1: a) Indica cuáles de ellos pertenecen al intervalo [2, 4). b) Lo mismo, pero con el intervalo [2, 4]. c) Igual, pero con el intervalo (2, +∞). a) Al intervalo [2, 4) pertenecen el 2; 2,3; 3; 3,9 b) En el intervalo [2, 4] están el 2; 2,3; 3; 3,9; 4 c) En el intervalo (2, +∞) se encuentran los números 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1 Unidad 3. El número real

4 √— 17

31

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 3

7 Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones dadas en cada caso: a) Menores o iguales que 3. b) Comprendidos entre –1 y 0, incluyendo el 0, pero no el –1. c) Mayores que 2, pero menores que 3. d) Mayores que 5. a) (– ∞, 3] b) (–1, 0]

3 –1 0

c) (2, 3) d) (5, +∞)

2

3

5

8 Escribe en forma de intervalo y representa en cada caso: a) {x / – 6 ≤ x ≤ 3}

b) {x / – 4 < x ≤ 4}

c) {x / x ≥ 3}

d) {x / 0 < x < 5}

e) {x / x > –2}

f ) {x / 10 ≥ x }

a) [–6, 3] b) (–4, 4] c) [3, +∞) d) (0, 5)

–6

0

–4 0

0

4

3

0

e) (–2, +∞) f ) (–∞, 10]

3

5

–2 –1

0

0

10

9 Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso: a) 0 < x < 1

b) x ≤ –3

c) x > 0

d) –5 ≤ x ≤ 5

e) x > –5

f) 1 ≤ x < 3

Unidad 3. El número real

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

31

Pág. 4

a) (0, 1)

0

1

b) (–∞, –3]

–3

c) (0, +∞)

0

0

d) [–5, 5]

–5

e) (–5, +∞)

–5

0

f ) [1, 3)

0

1

5

3

10 Escribe en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos: a) (1; 2,5)

b) [–2, 3]

c) [–7, 0)

d) [–3, +∞)

e) (2, +∞)

f ) (–5, 2]

a) {x / 1 < x < 2,5} b) {x / –2 ≤ x ≤ 3}

0

1

–1

0

–2

c) {x / –7 ≤ x ≤ 0}

2 2,5 3 1

2

3

–7

d) {x / –3 ≤ x}

0 –3

0

e) {x / x > 2}

0

f ) {x / –5 < x ≤ 2}

–5

2 0

2

Potencias y raíces

11 Expresa en forma de potencia con exponente fraccionario: 3

5

c) √a 5

8

d) √x

f ) √a 2

4

g) √a

h) √2

a) 5 2/3

b) a 2/5

c) a 5/8

d) x 1/3

e) a –1/2

f ) a 2/4 = a 1/2

g) a 1/2

h) 2 1/2

a) √52

b) √a 2

e) √a –1

3

12 Expresa en forma de raíz: a) 32/5

b) 23/4

c) a 1/3

d) a 1/2

e) x 1/4

f ) a 3/2

g) x –1/2

h) x –3/2

5

5

a) √3 2 = √9 4

e) √x Unidad 3. El número real

4

4

3

b) √2 3 = √8

c) √a

d) √a

f ) √a 3

g) √x –1

h) √x –3

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

31

Pág. 5

13 Calcula: a) 251/2

b) 271/3

c) 1252/3

d) 813/4

a) 25 1/2 = (5 2) 1/2 = 5 2/2 = 5 b) 27 1/3 = (3 3) 1/3 = 3 3/3 = 3 c) 125 2/3 = (5 3) 2/3 = 5 3 · 2/3 = 5 2 = 25 d) 81 3/4 = (3 4) 3/4 = 3 3 = 27 Página 58

14 Calcula las siguientes raíces: 4

b) √243

4

e) √–1

3

h) √144

a) √16 d) √1 g) √–27 4

5

c) √0

3

f ) √–1

4

7

5

a) √16 = √2 4 = 2

5

b) √243 = √3 5 = 3

7

d) √1 = 1

4

3

f ) √–1 no existe

c) √0 = 0 e) √–1 = –1 3

3

g) √–27 = √(–3) 3 = –3

h) √144 = √12 2 = 12

15 Obtén con la calculadora: 5

3

a) √9 d)

√ 4

3 — 5

g) 8 –1/3

4

b) √–173

c) √143

e) √283

f ) 283/4

h) 0,021/2

i ) 0,2 –1/2

5

b) √–173 ≈ –5,57

c) √14 3 = 14 3/4 ≈ 7,24

4

d)

e) √28 3 ≈ 148,16

f ) 28 3/4 ≈ 12,17

g) 8 –1/3 = 0,5

h) 0,02 1/2 ≈ 0,14

a) √9 = 9 1/5 ≈ 1,55

i) 0,2 –1/2 ≈ 2,24 Unidad 3. El número real

3

√ () 4

3 = 3 5 5

1/4

≈ 0,88

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

31

Pág. 6

Radicales

16 Multiplica y simplifica el resultado: 3

3

a) √2 · √3 · √6

b) √a · √a 2

c) √5 · √10 · √8

d) √a · √a 3

a) √2 · √3 · √6 = √2 · 3 · 6 = √36 = 6 3

3

3

3

b) √a · √a 2 = √a · a 2 = √a 3 = a c) √5 · √10 · √8 = √5 · 10 · 8 = √400 = 20 d) √a · √a 3 = √a · a 3 = √a 4 = a 2

17 Simplifica los siguientes radicales: a) √5 3

6

b) √212

12

e) √x 2y 2

d) √a 4 · b 8

15

c) √a 8

10

8

f ) √x 12

4

6

15

a) √a 3 = √a 10

5

5

b) √2 12 = √2 4 = √16

5

12

c) √a 8 = √a 4 8

3

d) √a 4 · b 8 = √a · b 2

4

4

e) √x 2 · y 2 = √x · y

f ) √x 12 = x 3

18 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor en cada caso: 3

4

3

a) √2 , √3 , √4 3

4

4

a) √2 , √3 , √4 12

12

3

12

12

4

12

12

3

4

√2 = √2 6 = √64  √3 = √3 4 = √81 √4 = √4 3 = √64

     

4

3

√2 = √4 < √3

6

b) √2 4 , √5 3 , √3 5 3

12

4

12

6

12

√2 4 = √2 16 ; √5 3 = √5 9 ; √3 5 = √3 10 6

3

4

Como 3 10 < 2 16 < 5 9 → √3 5 < √2 4 < √5 3 Unidad 3. El número real

6

b) √2 4 , √53 , √35

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

31

Pág. 7

19 Divide y simplifica el resultado: 3

√ 12 a) √3

b)

√4 √2

e)

√ √

4

√a 2 d) 4 √a

√

a)

√ 12 = √3

b)

√ 4 = √ 42 = 6 √2 √23

3

c)

3

d)

e)

3

3

a2 = a

3 : 2

6

f)

√ 6

4

4

20 = 3

12 12

4

20 — 3

6

√ 20 f) 4 √ 10

2 3

5 20 —:— = 12 3

√ 4

5·3 = 12 · 20

√ 4

1 = 1 16 2

a2 3 = √a a

3 2 —:— = 2 3

2 = 3

20 = 10

5 — : 12

42 6 = √2 — 23

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 4

5 : 12

3 : 2

√ √ 4

12 = √4 = 2 3

6

4

c)

20 2 = 10 3

12

√ √

32 = 3 — 2 22

12 400 4 = 1 000 10

20 Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales: 3

4

a) √16

b) √28

c) √2 10

d) √8

e) √200

f) √300

3

3

3

a) √16 = √2 4 = 2 √2 b) √28 = √7 · 2 2 = 2 √7 4

4

4

c) √2 10 = √2 4 · 2 4 · 2 2 = 4 √4 d) √8 = √2 3 = 2 √2 e) √200 = √5 2 · 2 3 = 5 · 2 √2 = 10 √2 f ) √300 = √2 2 · 5 2 · 3 = 10 √3

21 Calcula y simplifica en cada caso: a) ( √2 ) 10 4

d) √√8 Unidad 3. El número real

3

4

b) ( √2 )4

c) ( √3 2 )8

e) ( √√2 )10

f) ( √√2 )6

3

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

31

Pág. 8

3

a) ( √2 )10 = √2 10 = 2 5 = 32

3

4

c) ( √3 2 )8 = √3 16 = 3 4 = 81

d) √√8 = √8

e) ( √√2 )10 = √2 10 = √2 5

f ) ( √√2 )6 = √2 6 = 2

4

4

3

4

22

3

b) ( √2 )4 = √2 4 = 2 √2 8

6

( E S T Á R E S U E LTO E N E L L I B RO ) .

23 Calcula y simplifica: a) √3 + 3 √3 – 5√3

b) 2 √8 + 4 √72 – 7 √18

c) 3 √2 + 4 √8 – √32 + √50

d) 5 √12 + √27 – 8 √75 + √48

e) √2 +

3 √2 5 √2 – 4 3

a) √3 + 3 √3 – 5 √3 = (1 + 3 – 5) √3 = – √3 b) 2 √8 + 4 √72 – 7 √18 = 2 √2 3 + 4 √3 2 · 2 3 – 7 √3 2 · 2 = = 4 √2 + 24 √2 – 21 √2 = (4 + 24 – 21) √2 = 7 √2 c) 3 √2 + 4 √8 – √32 + √50 = 3 √2 + 4 √2 3 – √2 5 + √5 2 · 2 = = 3 √2 + 8 √2 – 4 √2 + 5 √2 = = (3 + 8 – 4 + 5) √2 = 12 √2 d) 5 √12 + √27 – 8 √75 + √48 = 5 √2 2 · 3 + √3 3 – 8 √52 · 3 + √2 4 · 3 = = 10 √3 + 3 √3 – 40 √3 + 4 √3 = = (10 + 3 – 40 + 4) √3 = –23 √3 e) √2 +

3√ 2 5√ 2 12√ 2 9√ 2 20√ 2 (12 + 9 – 20)√ 2 √ 2 – = + – = = 12 4 3 12 12 12 12

24 Efectúa: a) √320 + √80 – √500 3

3

b) √125 + √54 – √45

3

c) √40 + √135 – √5 a) √320 + √80 – √500 = √2 6 · 5 + √2 4 · 5 – √2 2 · 5 3 = = 2 3 · √5 + 2 2 · √5 – 2 · 5 √5 = = 8 √5 + 4 √5 – 10 √5 = (8 + 4 – 10) √5 = 2√5 Unidad 3. El número real

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

31

Pág. 9

b) √125 + √54 – √45 = √5 3 + √3 3 · 2 – √3 2 · 5 = = 5 √5 + 3 √6 – 3 √5 = 2 √5 + 3 √6 3

3

3

3

3

3

c) √40 + √135 – √5 = √2 3 · 5 + √33 · 5 – √5 = 3

3

3

3

3

= 2 √5 + 3 √5 – √5 = (2 + 3 – 1) √5 = 4 √5

25 Racionaliza y simplifica: a)

2 √2

a)

2 2 √2 = = √2 2 √2

b)

4 4√ 6 2√ 6 = = 6 3 √6

c)

6 6√ 12 √ 12 2 √ 3 = = = = √3 2 12 2 √ 12

d)

3 3√ 15 √ 15 = = 15 5 √ 15

b)

4 √6

c)

6 √ 12

26 Racionaliza y simplifica: 3 √5

b)

1 √x

d)

a)

3

c)

3

3

3

1 √a 5 8

3

3 3 · √52 3 · √52 3 √ 25 a) 3 = 3 = = — 3 3 — 5 √ 5 √ 5 · √ 52 √ 53 8

8

3

1 √a 3 √a 3 = √ a 3 = 8 8— = 8 a √a 5 √a5 · √ a3 √a8

b) 8

3

3

3

1 √x 2 = √x 2 = √ x 2 c) 3 = 3 3 — 3 x √x √x · √ x 2 √x 3 4

4

4

2 2 √23 2 √23 2√ 8 4 d) 4 = 4 = = = √8 — 4 4 2 √ 2 √ 2 · √ 23 √ 2 4 Unidad 3. El número real

2 √2

4

d)

3 √ 15

31

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 10

Página 59

27 Racionaliza y simplifica: a)

2 1 + √2

b)

d)

1 1 – √3

1 e) — √5 + 3

10 g) — — √3 + √2

h)

4 3 – √2

√2 √2 + 3

c)

23 5 – √2

1 f) — — √3 – √2 i)

1 + √3 1 – √3

— 2(1 – √ 2) 2 2(1 – √2) 2 – 2√ 2 a) = = = 2 √2 – 2 — — = 1–2 –1 1 + √ 2 (1 + √ 2)(1 – √ 2) — 4(3 + √ 2) 4 4(3 + √2) 12 + 4√ 2 b) = = — — = 9–2 7 3 – √ 2 (3 – √ 2)(3 + √ 2) — 23(5 + √ 2) 23 23(5 + √2) 23(5 + √2) c) = = = 5 + √2 — — = 25 – 2 23 5 – √ 2 (5 – √ 2)(5 + √ 2) — 1 + √3 1 1 + √3 1 + √3 1 + √3 d) = = =– — — = 1 – 3 –2 2 1 – √ 3 (1 – √ 3)(1 + √ 3) — √ 5–3 1 √5 – 3 = √5 – 3 = 3 – √5 e) = — = — –4 4 √ 5 + 3 (√ 5 + 3)(√ 5 – 3) 5 – 9 — — – √ 3 + √2 1 √ 3 + √2 f) — — = — — — — = = √3 + √2 3–2 √ 3 – √ 2 (√ 3 – √ 2)(√ 3 + √ 2) — — – 10(√ 3 – √ 2) 10 10(√3 + √2) g) — — = — — — — = = 10 √3 – 10 √2 3–2 √ 3 + √ 2 (√ 3 + √ 2)(√ 3 – √ 2) — — – — √ 2 (√ 2 – 3) √ 2(√2 – 3) 2 – 3√2 3√2 – 2 √ 2 h) — = — = = = — 2–9 –7 7 √ 2 + 3 (√ 2 + 3)(√ 2 – 3) — — — 1 + √ 3 ( 1 + √ 3 )( 1 + √ 3) 1 + 2√3 + 3 = 2√3 + 4 = – √3 – 2 i) —= — — = 1–3 –2 1 – √ 3 (1 – √ 3)(1 + √ 3) P I E N S A Y R E S U E LV E

) ) 28 ¿Cuántos números racionales hay entre 0,8 y 0,9? Pon ejemplos y razona tu respuesta.

Unidad 3. El número real

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

31

Pág. 11

)

)

Entre 0,8 y 0,9 hay infinitos números racionales. Basta con introducir nueves ) ) en) tre la parte entera y el primer decimal de 0,8. Por ejemplo, 0,98 está entre 0,8 y 0,9.

)

)

)

Lo mismo ocurre con 0,998; 0,9998; 0,99998, y así, sucesivamente, vemos que ) ) podemos incluir infinitos números racionales entre 0,8 y 0,9.

29 Explica un procedimiento para construir un segmento que mida, exactamente, √13 cm.

Con un rectángulo 3 × 1 construimos su diagonal, que medirá √3 2 + 1 2 = √10 . Con un rectángulo de dimensiones √10 y 1 construimos √11 .

√(√10 )2 + 1 2= √10 + 1 = √11 Análogamente, con un rectángulo de dimensiones √11 y 1 construimos √12 . Finalmente, con un rectángulo de dimensiones √12 y 1 construimos √13 .

30 ¿Cuáles de las siguientes raíces no existen?: 3

6

5

4

√–20 ; √0,12 ; √–1 ; √241 ; √–16 4

No existen las raíces de índice par y radicando negativo: √–1 , √–16 no existen.

31 Obtén con la calculadora:

32

—

1 – √5 a) 3

√3 + √ 2 b)

1 – √5 a) ≈ –0,41 3

√ 3 + √ 2 ≈ 1,57 b)

2

c)

√2 1 + √2

c)

√ 2 ≈ 0,59 1 + √2

—

2

( E S T Á R E S U E LTO E N E L L I B RO ) .

33 Expresa como potencia única: 3

3

a) √3 · √3

b) 2 √4 3

√8 √4

d) 3

e)

√a8 a2

3

a) √3 · √3 = 3 1/2 · 3 1/3 = 3 1/2 + 1/3 = 3 5/6 3

c) a √a

3

b) 2 √4 = 2 · √2 2 = 2 · 2 2/3 = 2 1 + 2/3 = 2 5/3 Unidad 3. El número real

3

6

f) √a 2 · √a

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

31

Pág. 12

c) a √a = a · a 1/2 = a 3/2 d)

√ 8 = √ 2 3 = 23/2 = 23/2 – 2/3 = 2 5/6 3 3 2/3 √4 √22 2 3

e)

√ a 8 = a8/3 = a 8/3 – 2 = a 2/3 2 2 a

a

3

6

f ) √a 2 · √a = a 2/3 · a 1/6 = a 2/3 + 1/6 = a 5/6

34 Expresa en forma exponencial: 5

b) √a 5 · a 2

d) ( √a )–3

e) ( √a 2 )2

4

5

f) ( √a )5 8

a) ( √a 2 )3 = (a 2/5) 3 = a 6/5 3

3

4 c) √√x

8

a) ( √a 2 )3

8

b) √a 5 · a 2 = √a 7 = a 7/8

4 c) √√x = √x = x 1/12 12

d) ( √a )–3 = (a 1/2) –3 = a –3/2

4

e) ( √a 2 )2 = (a 2/4) 2 = a

f ) ( √a )5 = (a 1/2) 5 = a 5/2

35 Reduce a un solo radical: 8

3

4

4

a) √2 2 · √2 3

4

4

6

6

b) √a 3 · √a 5 12

12

12

c)

√8 — √2 · √ 2 4

12

a) √2 2 · √2 = √2 8 · √2 3 = √2 8 · 2 3 = √2 11 12

12

12

12

12

b) √a3 · √a5 = √a 9 · √a 10 = √a 9 · a 10 = √a 19 = a √a 7 8

c)

8

√8 = √23 — 8 2 8 —4 = 4 √2 · √ 2 √2 · √ 2

Unidad 3. El número real

√ 8

23 = 22 · 2 4

√ √ 8

23 = 26

8

1 = 8√2 –3 23