EJERCICIOS DE SUMAS DE CUADRADOS 1).-Partiendo de N = 3293 = 53 ² + 22 ² , y sabiendo que 1301 ² â ¡ 3292 ( mód.3293 ), hallar los factores de “N” , asÃ− como los cuadrados que tengan como residuo N-1. 2).-El número N = 11.659 es igual a la diferencia de dos cuadrados , 110 ² â “ 21 ² .Hallar los factores de “N”. 3).-Sabiendo que N = 19.993 = 133 ²+ 48 ² ,calcular el cuadrado que genera como resto R(x) = 16744.- Téngase en cuenta que R(x) = ( N - 57 ² ). 4).-N = 26.689 , tiene como factores 13 y 2053.- Descomponer “ N “ en suma de cuadrados. 5).-Hallar los divisores del número N = 56.117 , sabiendo que es igual a 169 ² + 166 ² = = 226 ²+ 71 ² . 6).-Calcular diversas combinaciones de sumas de cuadrados del número 28.845. 7).-El número 26.689 , es igual a 135 ² + 92 ² . Hallar su factores . 8).-Representar un cuadrado , como la diferencia entre la suma de de dos grupos de tres cuadrados. ---------------------------------------------------------Ejercicio 1 N = 3293 x = 89 y = 37 3293 = 53 ² + 22 ² = 2809 + 484 --------------------------------------------1301 ² â ¡ 3292 ( mod. 3293 ) 22 ² x 1301² â ¡ 2278 ( mód.3293) ; 2278 ² â ¡ 2809 ( mod.3293 ) 53 ² x 1301² â ¡ 3093( mód.3293) ; 3093 ² â ¡ 484 ( mod. 3293 ) 3093 - 22 = 3071 = 37 x 83 2278 - 53 = 2225 = 25 x 89

1

3293 b + 53 a = ------------------------ = 2547 22 3293 b + 22 a = ----------------------- = 746 53 2547 ² ⠡ 3292 ( mod.3293 ) 746² ⠡ 3292 ( mod. 3293 ) ---------------------------------------------------------------------Ejercicio 2 N = 11659 110² - 21² = 11659 11659 b - 110 a = ---------------------- = 9433 21 9433 ² ⠡ 1 ( mod. 11659 ) 11658² ⠡ 1 ( mod. 11659 ) 9433² ⠡ 1 ( mod. 11659 ) ----------2225² = 5 x 5 x 89 N = 11659 = 89 x 131 ----------------------------------------------------------------Ejercicio 3 N = 19993 = Primo = 133² + 48² R(x) = 16744 1993 b + 133 a = --------------------- = 14581

2

48 14581² â ¡ 19992 ( mod. 19993 ) R CTO C Cuadrado del complemento x 14581 ---------- ----------------- ------------10898 x 3249 = 19992 19992 ² 5412 ² 19992 x 3249 = 16744 19936 ² 8589 ² 16744 x 3249 = 303 16744 ² 9741 ² De arriba abajo, se multiplica 303 x 3249 = 4790 14737 ² 15426 ² por 57 . 4790 x 3249 = 8156 303 ² 19583 ² 8156 x 3249 = 8119 17271 ² 16616 ² La columna “ C ” indica los cuadrados que generan los restos de la columna “ R “ .La columna “ CTO” son los cuadrados que tienen como residuo cuadrático ( N - R ) 57 ² â ¡ 3249 ( mod. 19993 ) 19936² â ¡ 3249 ( mod. 19993 ) 3249² â ¡ 15203 ( mod. 19993 ) 14581² â ¡ 19992 ( mod. 19993 ) 5412² â ¡ 19992 ( mod. 19993 ) 3249 ³ â ¡ 15203 ( mod. 19993 ) 19993 - 4790 = 15203 -----------------------------------------------------------------Ejercicio 4 N = 26689 = 13 x 2053 = ( 2² + 3² ) ( 17² + 42² ) = = ( 34² + 51² ) + ( 84² + 126² ) = ( 84² + 51² ) + ( 126² - 34 ² ) = = 135 ² + 92 ² = 33 ² + 160 ² a + b = 135 c + d = 160 a - b = 33 c - d = 92 3

------ -----2 a = 168 2 c = 68 a = 84 c = 34 b = 51 d = 126 26689 = 34² + 51² + 84² + 126² 34 ² = 2² x 17² 2 2 2 + 3 = 13 51² = 3² x 17² 84 ² = 2² x 42² 2 2 17 + 42 = 2053 126 ² = 42² x 3² -----------------------------------------------------------------------Ejercicio 5 2222 N = 56117 = 169 + 166 = 226 + 71 c + d = 169 a + b = 226 c - d = 71 a - b = 166 ----- ---2 c = 240 2 a = 392 c = 120 a = 196 d = 49 b = 30 -----------------------------------------a = 4 x 49 b = 2 x 15 c = 2 x 15 x 4 d = 7 x 7 49 ² + 30 ² = 3301 4 ² + 1 ² = 17 3301 x 17 = 56.117 a = 4 ² x 7 ² x 7 ²

4

b = 2 ² x 3 ² x 5 ² c = 2 ² x 4 ² x 3 ² x 5 ² d = 7 ² x 7 ² ---------------------------------------------------------------------Ejercicio 6 22 N = 28845 = 99 + 138 28845 : 5 = 5769 5 = 2 ² + 1 5769 = 12 ² + 75 ² ( 12 ² + 75² ) ( 2 ² + 1 ² ) = ( 24 ² + 150 ² + 12 ² + 75² ) ( 24 + 75 ) ² = 99 ² ( 150 - 12 ) ² = 138 ² 28845 = 99 ² + 138 ² 28845 = 51 ² + 162 ² ---------------------------------------------------------------------28845 : 45 = 641 641 = 25 ² + 4 ² 45 = 6 ² + 3 ² ( 25 ² + 4 ² ) ( 6 ² + 3 ² ) = ( 150 ² + 24 ² ) + ( 75² + 12 ² ) 2222 = 162 + 51 = 138 + 99 -------------------------------------------------------------------------------Ejercicio 7 N = 26689 = 135 ² + 92 ² Multiplicado por “ 5 “ 5 x 26689 = 133.445 ( 135² + 92² ) ( 2² + 1² ) = ( 270² + 184² ) + ( 135² + 92² ) = = 362² + 49² = 178² + 319²

5

---------------------------------------------------------a + b = 362 c + d = 319 a - b = 178 c - d = 49 ----- ----540 368 a = 270 c = 184 b = 92 d = 135 a = 270 = 2 x 5 x 3 x 3 x 3 b = 92 = 2 x 2 x 23 c = 184 = 2 x 2 x 2 x 23 d = 135 = 3 x 3 x 3 x 5 2 ² + 3 ² = 13 N = 26689 = 13 x 2053 ----------------------------------------------------------------------Ejercicio 8 Todo cuadrado ,entero, positive,puede descomponerse como la diferencia entre la suma de dos grupos de 3 cuadrados. N ² = ( a ² + b ² + c ² ) ⠓ ( d ² + e ² + f ² ) Condición : a+d=Nb+e=Nc+f=Nc=2N⠓a⠓b Ejemplo : N = 161 161 ² = ( 101 ² + 97 ² + 124 ² ) - ( 60 ² + 64 ² + 37 ² ) Si , ( 2 N - a - b ) ² ⠡ 1 ( módulo N ) ( 2 N ⠓ a ⠓ b ) ² = 4 N - 4 a N - 4 b N + a ² + 2 a b + b ² ⠡ 1 ( módulo N )

6

( a + b ) ² ⠡ 1 ( módulo N ) Luego ¿ ( a + b ) = N + 1 ? . Es posible, pero no necesario. ---------------------------------------------------------------1 8

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