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Superficies Minimales Pascual Lucas Conferencia impartida el 18/02/99 en el curso “La Historia de las Matem a´ ticas ´ a la docencia en Ense nanza ˜ y su aplicacion Secundaria”
´Indice General 1
´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I NTRODUCCI ON
3
2
LA
. . . . . . .
6
. . . . . . . . . . . . . .
6
ETAPA DE DESARROLLO DE LAS SUPERFICIES MINIMALES
2.1 L OS 2.2 E L
EXPERIMENTOS F´I SICOS DE
´ ´ S DE LAS PEL´I CULAS DE JAB ON PRINCIPIO F´I SICO QUE HAY DETR A
2.3 P ROPIEDADES 2.4 L A
P ROPIEDADES F´I SICAS
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . .
´ Y TOPOL OGICAS DE LAS SUPERFICIES MINIMALES
ESTABLES E INESTABLES
3.2 L OS
EXPERIMENTOS DE
A LGUNAS
SUPERFICIES MINIMALES
P LATEAU
8
. . . . .
´ DE CURVATURA CONSTANTE DE JAB ON
3.1 S UPERFICIES
4
´ EXTREMALES DE LAS PEL´I CULAS DE JAB ON
´ SUPERFICIE DE SEPARACION
2.5 P EL´I CULAS 3
P LATEAU
. . . . . . . . . . . . . . . .
CON COLUMNAS DE L´I QUIDOS
14 16 16
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4.1 E L
CATENOIDE
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22
4.2 E L
HELICOIDE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
. . . . . . . . . .
23
´ 4.3 R ELACI ON
ENTRE EL CATENOIDE Y EL HELICOIDE
1
5
4.4 L A
SUPERFICIE DE
E NNEPER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.5 L A
SUPERFICIE DE
C ATALAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.6 E L
ONDULOIDE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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R EALIZACIONES F´I SICAS
DE SUPERFICIES MINIMALES
. . . . . . . . . . .
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5.1 L A
´ F´I SICA DE UN HELICOIDE REALIZACI ON
. . . . . . . . . . . . . .
28
5.2 L A
´ F´I SICA DE UN CATENOIDE REALIZACI ON
. . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . .
33
5.3 L AS
SUPERFICIES MINIMALES EN LA NATURALEZA
2
1.
´ I NTRODUCCI ON
Vamos a introducirnos en la atmosfera ´ de una de las ramas mas ´ importantes de las matematicas ´ modernas, el calculo ´ de variaciones multidimensional. La teor´ıa de superficies minimales, que tuvo su origen en las investigaciones de matematicos ´ e ingenieros mecanicos ´ de los siglos XVIII y XIX, se desarrolla actualmente bajo el paraguas del calculo ´ de variaciones. El desarrollo original de esta teor´ıa esta´ indisolublemente ligado a la personalidad de los especialistas que se vieron involucrados en esta investigacion, ´ as´ı como a las demandas historicas ´ que condujeron al rapido ´ crecimiento de la teor´ıa, con sus espec´ıficas aplicaciones a problemas de la mecanica ´ y la f´ısica. En el calculo ´ variacional moderno es usual distinguir entre el caso unidimensional y el caso multidimensional. El caso unidimensional esta´ reservado al estudio de funcionales definidos, por ejemplo, sobre curvas diferenciables (t) en una variedad riemanniana. Los clasicos ´ ejemplos de estos funcionales son el funcional longitud L y energ´ıa E , que estan ´ definidos por las siguientes formulas: ´
Z
L( ) = j 0 (t)jdt
E ( ) =
Z
j 0 (t)j2 dt
Los puntos extremos de estos funcionales son ciertas curvas definidas en la variedad. Por ejemplo, los puntos extremos del funcional L son las curvas geod´esicas parametrizadas por cualquier parametro, ´ mientras que los puntos extremos del funcional energ´ıa son las geod´esicas parametrizadas por su parametro ´ natural, es decir, el parametro ´ longitud de arco, medido a partir de un cierto punto fijo de la curva. En muchos problemas de la f´ısica y la mecanica ´ surgen importantes funcionales que estan ´ definidos sobre superficies y otros objetos multidimensionales, por ejemplo, el espacio de las superficies con frontera prefijada. Un ejemplo importante es el funcional area ´ que asocia a cada una de estas superficies su area. ´ Otro ejemplo muy relacionado con el anterior es el funcional de Dirichlet, cuya definicion ´ se proporcionara´ mas ´ adelante. La relacion ´ entre el funcional area ´ y el funcional de Dirichlet es muy similar a la conocida relacion ´ entre los funcionales longitud y energ´ıa. En este sentido, los funcional area ´ y de Dirichlet se pueden denominar funcionales 2-dimensionales. El estudio sistematico ´ de los funcionales unidimensionales esta´ ligado al gran matematico ´ Leonhard Euler (1707–1783). Los intereses de Euler fueron muy variados, y su herencia matematica ´ es enorme. Escribio´ mas ´ de 850 libros y art´ıculos de investigacion, ´ y un inmenso numero ´ de cartas, muchas de las cuales pueden ser consideradas verdaderos trabajos de investigacion. ´ 3
En la historia de la geometr´ıa diferencial se asume que en 1760 Euler descubrio´ una nueva rama de las matematicas, ´ al combinar la geometr´ıa pura y los m´etodos variacionales diferenciales. Particularmente interesante es su obra Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes (1744), en la cual proporciona m´etodos para encontrar la solucion ´ a problemas isoperim´etricos, e investiga las propiedades geom´etricas de ciertas curvas notables, en particular, la catenaria. Esta obra es la primera dedicada al calculo ´ de variaciones y en ella Euler descubre que el catenoide (la superficie de revolucion ´ obtenida al girar una catenaria) es una superficie minimal. En 1760 publico, ´ en la revista Histoire de l’Acad´emie des Sciences, el art´ıculo Recherches sur la courbure des surfaces (Investigaciones sobre la curvatura de las superficies), y casi inmediatamente despu´es, J.L. Lagrange (1736–1813), todav´ıa un joven profesor en la Universidad de Tur´ın, publica en 1762 su conocida obra sobre el “m´etodo de variacion”, ´ pero que Euler denominara´ “calculo ´ de variaciones”. Habitualmente se reconoce que la teor´ıa de superficies minimales comenzo´ con el c´elebre art´ıculo de Lagrange titulado Essai d’une nouvelle methode ´ pour determiner ´ les maxima et les minima des formules integrales ´ indefinies ´ (Ensayo de un nuevo metodo ´ para determinar los maximos ´ y los m´ınimos de las formulas ´ dadas por integrales indefinidas, 1762). Como un ejemplo de sus t´ecnicas, Lagrange propon´ıa el problema de encontrar la superficie de menor area, ´ en la forma z = f (x; y ), que esta´ limitada por una curva dada. Encontro´ que una condicion ´ necesaria para que la funcion ´ f fuese un m´ınimo del funcional area ´ consist´ıa en que f deb´ıa satisfacer la siguiente ecuacion ´ diferencial en derivadas parciales:
(1 + fy2)fxx + 2fx fy fxy + (1 + fx2 )fyy = 0;
donde, como es habitual, los sub´ındices indican derivadas parciales. Lagrange senala ˜ que el plano es una solucion ´ trivial y que debe haber una solucion ´ no trivial de la ecuacion. ´ La ecuacion ´ anterior se suele denominar ecuacion ´ de Lagrange o ecuacion ´ de Euler-Lagrange, y sus soluciones se conocen con el nombre de superficies minimales. Es importante senalar ˜ que Lagrange nunca tuvo una actitud benevolente hacia la geometr´ıa diferencial. En una carta a d’Alembert en 1772, le comenta: ¿No le parece que la Geometr´ıa Sublime tiende a ser un poco decadente?
Parece bastante probable que Lagrange trataba los problemas geom´etricos unica´ mente como ejemplos e ilustraciones sobre las aplicaciones que pod´ıan tener los m´etodos anal´ıticos que hab´ıa descubierto. La siguiente etapa importante en el desarrollo de la teor´ıa de las superficies 4
minimales se debe a Gaspard Monge (1746–1818), que dedico´ muchas de sus energ´ıas al estudio de problemas relativos al calculo ´ de variaciones. El trabajo basico ´ de Monge en geometr´ıa diferencial, que generalizaba tanto sus propios trabajos como los de otros matematicos ´ de finales del siglo XVIII, es Application d’analyse a` la geometrie ´ (Aplicaciones del analisis ´ a la geometr´ıa, 1809), que esta´ dedicado parcialmente al calculo ´ de variaciones y a la teor´ıa de superficies minimales. Al comienzo de su libro, Monge desarrolla la teor´ıa general de curvas y superficies. En particular, analiza las propiedades de las dos curvaturas principales en un punto arbitrario de la superficie. Trabajando con las radios de curvatura demuestra que son iguales y opuestos en signo. Por tanto, la curvatura media de la superficie es cero y la superficie es minimal. En particular, Monge senala ˜ la siguiente propiedad: si esta´ acotada por una curva cerrada, entonces cualquier otra superficie acotada por la misma curva tiene mayor area. ´ Monge no parecio´ interesado en el problema de encontrar ejemplos concretos de superficies minimales, aparte de los ya conocidos (catenoide y helicoide). Algunos topicos ´ de la teor´ıa de superficies minimales fueron desarrollados por J.B. Meusnier, que fue disc´ıpulo de Monge. Ten´ıa solo ´ 22 anos ˜ cuando presenta, ante la Academia, su obra Memoire ´ sur la courbe des surfaces (Memoria sobre la curvatura de las superficies, 1776), donde presta bastante atencion ´ a las superficies minimales. En ella Meusnier encuentra numerosas propiedades de los primeros ejemplos no triviales de superficies minimales (catenoide y helicoide). Meusnier tambi´en prueba, pero mediante procedimientos geom´etricos y no anal´ıticos, que la ecuacion ´ de Lagrange es equivalente al hecho que la curvatura media H = (1=2)(1 + 2 ) es id´enticamente cero, donde 1 y 2 son las curvaturas principales de la superficie. Otro de los disc´ıpulos de Monge que tambi´en aportar´ıa su grano de arena a la teor´ıa de superficies minimales ser´ıa S. Poisson (1781–1840). Como su maestro, Poisson estuvo interesado en las aplicaciones delas matematicas ´ a la mecanica ´ y la f´ısica. En particular, sus investigaciones en la teor´ıa de l´ıquidos y efectos capilares fue un ´ımpetu para el desarrollo de la teor´ıa matematica ´ de la superficie de separacion ´ entre dos medios. Sus contribuciones a la teor´ıa de las superficies minimales tampoco son desdenables, ˜ y quizas ´ habra´ tiempo de comentar algunos resultados notables.
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2.
L A ETAPA DE DESARROLLO DE LAS SUPERFICIES MINIMA LES
2.1.
L OS
EXPERIMENTOS F´I SICOS DE
P LATEAU
Antes de poner algunos ejemplos matematicos ´ de superficies minimales, vamos a exponer algunos ejemplos y propiedades que pueden ser demostrados en el lenguaje de la geometr´ıa visual. Cuando el profesor belga Joseph Plateau (1801– 1883) comenzo´ sus experimentos acerca del estudio de la configuracion ´ de las pel´ıculas de jabon, ´ dif´ıcilmente pod´ıa imaginar que sus trabajos servir´ıan para desarrollar y potenciar una nueva rama de las matematicas, ´ y de las ciencias en general, que ha crecido sin parar hasta el presente, y que conocemos, en su honor, como el “problema de Plateau”. El problema de encontrar una superficie de menor area ´ con frontera prefijada fue denominada, parece ser, el “problema de Plateau” por el gran matematico ´ Lebesgue en su conocido trabajo Integrale, ´ longueur, aire (Intregral, longitud, area, ´ 1902). Algunos de los experimentos f´ısicos atribuidos a Plateau son extremadamente sencillos y, seguramente, seran ´ conocidos por todos, pues es dif´ıcil de creer que haya alguien que en su ninez ˜ (o quizas ´ en su juventud, e incluso despu´es) no haya nunca jugado a construir pompas de jabon. ´ Es bien conocido que si introducimos un aro metalico ´ en agua jabonosa y lo removemos con cuidado, entonces se forma una pel´ıcula de jabon ´ cuyo contorno es, precisamente, el aro. El tamano ˜ de la pel´ıcula de jabon ´ puede ser grande, pero sabemos por propia experiencia que cuanto mayor sea su tamano ˜ mas ´ facil ´ es que, por la accion ´ de la gravedad, se rompa. Por el contrario, si su tamano ˜ es muy pequeno, ˜ entonces las fuerzas gravitatorias pueden omitirse a la hora de realizar un estudio detallado de estas superficies de jabon. ´ Las superficies minimales son objetos matematicos ´ que pueden modelarse bastante satisfactoriamente utilizando pompas de jabon. ´ Rec´ıprocamente, muchas propiedades profundas de las superficies minimales se nos muestran de forma visual en simples experimentos f´ısicos con las pel´ıculas de jabon. ´ En esta seccion ´ vamos a ilustrar, como ejemplos muy sencillos, algunas nociones, t´ecnicas y resultados basicos ´ relativos al problema de Plateau. A pesar de que podemos correr el riesgo de hacer una exposicion ´ poco exacta o rigurosa, vamos a omitir todo el aparato matematico ´ necesario, y nos vamos a centrar en construcciones visuales. En el siglo
XVIII,
Euler y Lagrange ya dedicaron muchos esfuerzos al estu-
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dio de estas superficies. Posteriormente, Monge, Legendre, Amp´ere, Bj¨ orling, Riemann, Schwarz y Weierstrass encontrar´ıan soluciones exactas para ciertos contornos. La teor´ıa de las superficies minimales surgio´ del estudio de dos clases de pel´ıculas de jabon: ´ las pompas de jabon ´ y las pel´ıculas de jabon ´ propiamente dichas. Las pompas de jabon ´ se caracterizan porque han sido construidas y mantenidas en equilibrio por la presion ´ interna del gas (aire) atrapado en su interior. La forma esf´erica de la pompa se justifica facilmente ´ por el hecho de que esta forma garantiza la menor area ´ de la superficie para un volumen fijo, el encerrado por la pompa.
Figure 1
Un m´etodo sencillo de construir pompas de jabon ´ es el siguiente. Se toma un aro metalico, ´ se sumerge en agua jabonosa hasta que se forme una pel´ıcula de jabon. ´ Entonces se saca del agua y se desplaza rapidamente ´ en el espacio, siguiendo una direccion ´ perpendicular al plano del aro. La pel´ıcula de jabon ´ se deforma por el efecto de la presion ´ del aire, y varias pompas de jabon ´ pueden formarse. Logicamente, ´ el mismo efecto se consigue si soplamos la pel´ıcula de jabon ´ que se ha formado en el aro (as´ı nos evitamos tener que correr).
Figure 2
7
Otra forma de obtener pel´ıculas de jabon ´ consiste en construir contornos cerrados de alambre (no necesariamente planos ni circulares), sumergirlos en agua jabonosa y extraerlos. Entonces se forma una pel´ıcula de jabon ´ estable, que normalmente no posee pompas de jabon ´ en su estructura (las cuales se forman por la diferencia de presion). ´ Esta superficie estable tiene el alambre original como su contorno o frontera. Este tipo de pel´ıculas de jabon ´ son las mas ´ interesantes matematicamente, ´ debido a que en numerosos problemas aplicados, la superficie minimal esta´ asociada a alguna frontera fija, como ocurre por ejemplo en la teor´ıa de membranas.
2.2.
EL
´ ´ DE LAS PEL´I CULAS DE JAB ON PRINCIPIO F´I SICO QUE HAY DETR AS
El principio f´ısico que hay detras ´ de la formacion ´ de las pel´ıculas de jabon, ´ y que regulan su comportamiento y sus propiedades tanto locales como globales, es extremadamente simple: un sistema f´ısico conserva su configuracion ´ si no puede facilmente ´ alterarla para ocupar otra posicion ´ con menos energ´ıa, es decir, el principio de m´ınima energ´ıa. En nuestro caso, la energ´ıa de la superficie determinada por la pel´ıcula de jabon, ´ a veces descrita en t´erminos de la tension ´ superficial del l´ıquido, se origina por la existencia de fuerzas atractoras entre las mol´eculas y el desajuste o desequilibrio de estas fuerzas sobre la frontera de la superficie. La existencia de estas fuerzas desequilibradas origina un curioso efecto: la pel´ıcula de jabon ´ se transforma en una superficie elastica ´ que trata de minimizar su area ´ y, por tanto, minimizar la energ´ıa-tension ´ por unidad de area. ´ En este razonamiento despreciamos el efecto de la fuerza de la gravedad (en el caso de pompas y pel´ıculas con frontera) y de la presion ´ del aire (en el caso de pel´ıculas sin frontera). Consideremos con detalle las propiedades de la superficie del l´ıquido jabonoso, cuando anadimos ˜ jabon ´ al agua. En la siguiente figura representamos esquematicamente ´ la superficie de separacion ´ entre dos medios (materiales), el agua y el aire.
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Figure 4
Las mol´eculas de agua se representan por pequenos ˜ c´ırculos negros (algunas de ellas estaran ´ en el aire por efecto de la evaporacion, ´ pero las despreciamos), y las fechas dobles denotan las fuerzas mutuas de atraccion ´ actuando sobre mol´eculas polares de agua. Es claro que estas fuerzas son las causantes de la existencia de la tension ´ superficial en la superficie de separacion ´ entre ambos medios. Las propiedades de la superficie del l´ıquido se forman exactamente de esta manera.
Figure 5
En contraste con las mol´eculas de agua, las mol´eculas de jabon ´ estan ´ constituidas por largas y estrechas cadenas de carbono con un grupo final rico en ox´ıgeno. Cuando estas mol´eculas son anadidas ˜ al agua, se desplazan a la superficie y se distribuyen homog´eneamente. Mientras tanto, cada mol´ecula de jabon ´ de la superficie se orienta con su final no polar hacia fuera. Al remover las mol´eculas de agua en el l´ıquido, las mol´eculas de jabon ´ disminuyen la tension ´ superficial de la superficie de separacion. ´ Esta circunstancia proporciona mas ´ elasticidad a la superficie, que se manifiesta por ejemplo cuando introducimos
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el aro de alambre en el l´ıquido jabonoso, lo removemos y lo sacamos inmediatamente. Se forma una pel´ıcula de jabon ´ cuyo contorno es el alambre. La fuerza gravitatoria limita el tamano ˜ de la superficie minimal, y cuando algunas partes de la pel´ıcula de jabon ´ estan ´ muy distanciadas del alambre, la pel´ıcula de jabon ´ se destruye, ya que las fuerzas de tension ´ superficial son insuficientes para mantener la pel´ıcula en equilibrio.
2.3.
P ROPIEDADES
´ EXTREMALES DE LAS PEL´I CULAS DE JAB ON
Debido al proceso descrito anteriormente, un modelo matematico ´ que describa una pel´ıcula de jabon ´ puede denominarse “superficie minimal”, en el sentido que es una superficie que tiene la menor area ´ posible (localmente) entre todas las superficies con la misma frontera. Esta´ bastante claro que la forma de una superficie y sus propiedades estan, ´ en gran medida, determinadas por la configuracion ´ de su frontera. El concepto de m´ınima area ´ fue introducido, parece ser, por Arqu´ımedes, que no solo ´ observo´ que las l´ıneas rectas minimizaban la longitud entre dos puntos, sino que los planos pod´ıan caracterizarse en t´erminos de minimizar la superficie. Estas ideas aparecen de forma natural en nuestra vida cotidiana, por ejemplo cuando intentamos construir un tambor estirando la piel. Esto permite relacionar la tension ´ superficial con las propiedades de las superficies que localmente minimizan el area. ´ El siguiente e´ xito en el desarrollo de estas ideas (despu´es de un largo paron) ´ se debio´ a Boyle, que en 1676 se mostro´ interesado en la forma que adquir´ıan las gotas de un l´ıquido. Se fijo´ en que las gotas de lluvia eran aproximadamente esf´ericas y esto le dio una idea para imaginar un experimento curioso. Para estudiar el comportamiento de las gotas de agua durante un largo tiempo y evitar su destruccion, ´ Boyle mezclo´ dos l´ıquidos en un recipiente: una solucion ´ de K2 CO3 (un l´ıquido denso y pesado, una solucion ´ concentrada de carbonato potasico) ´ y alcohol (un l´ıquido ligero). Cuando los l´ıquidos se dejan reposar, se forma n´ıtidamente una superficie de separacion ´ entre ambos l´ıquidos.
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Figure 7
Entonces una gota de un tercer l´ıquido de densidad intermedia entre los dos l´ıquidos anteriores e inmiscible con los otros dos l´ıquidos se introduce en el recipiente y se coloca en la superficie de separacion. ´ La gota se mantiene en equilibrio, sumergi´endose en el alcohol y siendo tangente en un punto a la superficie de K2 CO3 . Este l´ıquido (por ejemplo, aceite) se ha escogido para no perturbar o modificar la superficie de separacion ´ y para que no se deforme a lo largo de la superficie de separacion, ´ como se indica en la siguiente figura.
Figure 8
Sobre la superficie de separacion ´ se colocan gotas de distintos tamanos, ˜ y vamos observando que la forma de las gotas va cambiando conforme vamos aumentando el tamano ˜ de las mismas. Van dejando de ser esf´ericas y se van achatando cada vez mas ´ debido a la fuerza de la gravedad; ciertamente, como hoy sabemos, la deformacion ´ de las gotas se produce siempre, incluso cuando el tamano ˜ de las gotas es muy pequeno. ˜ Lo que ocurre es que puede ser imperceptible al ojo humano. Sin embargo, para darnos cuenta de esto es preciso disponer de instrumentos de gran precision, ´ que desafortunadamente no pose´ıa 11
Boyle. Por otra parte debemos recordar que las ideas acerca de la necesidad de que la forma de las gotas deb´ıa corresponder con superficies de m´ınima energ´ıa estaban en su ninez ˜ en el siglo XVII. Ademas, ´ la forma de una gota de agua realmente minimiza la energ´ıa superficial bajo la accion ´ de la fuerza de la gravedad, la cual complica enormemente el tratamiento matematico. ´ En 1751 Segner llego´ a una planteamiento claro de este hecho f´ısico y comprendio´ que, para un estudio riguroso de la tension ´ superficial, era necesario eliminar la influencia de la fuerza gravitatoria. Estudio´ las gotas en ca´ıda libre y las gotas situadas en un l´ıquido de la misma densidad. Las gotas y el l´ıquido se escog´ıan para ser inmiscibles. Demostro´ que la esfera ten´ıa la menor area ´ entre todas las superficies cerradas acotando un volumen fijo. Parece ser que Segner fue el primero que comprendio´ el verdadero papel de la tension ´ superficial en todos estos procesos.
2.4.
LA
´ SUPERFICIE DE SEPARACI ON
Un paso importante para comprender la geometr´ıa interior de las superficies de separacion ´ entre dos l´ıquidos fue dado por Poisson en 1828, cuando probo´ que la superficie de separacion ´ (despreciando los efectos producidos por la fuerza de gravedad) ten´ıa curvatura media constante. Consideremos un punto P en la superficie y consideremos coordenadas cartesianas x, y en el plano tangente a la superficie en P , y escojamos la coordenada z en la direccion ´ del normal de la superficie en dicho punto. Entonces la superficie puede ser localmente parametrizada por r (x; y ) = (x; y; f (x; y )), donde f (x; y ) es una funcion ´ diferenciable cuyo grafo es, precisamente, la superficie.
Figure 9
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Entonces puede probarse que la curvatura media en
H (P ) =
P
viene dada por
@2f @2f + = f @x2 @y2
Para relacionar la curvatura media con la tension ´ superficial es conveniente que recordemos otra interpretacion ´ del operador laplaciano. Si f (x1 ; : : : ; xn ) una funcion ´ diferenciable, definimos la r -media de sigue: Z
Fr f (x) =
f
como
1 vol(Sr ) Sr f
donde Sr es la esfera (n , 1)-dimensional de radio r con centro el punto x. En otras palabras, hacemos la media de la funcion ´ f a lo largo de la esfera Sr . Definimos ahora la desviacion ´ de f respecto de su r -media:
r f (x) = f (x) , Fr f (x) y consideramos la funcion ´
g(x) = rlim !0 r f (x)
Se demuestra que dicha funcion ´ coincide, salvo un multiplo, ´ con la laplaciano de f , f (x). Volvamos a analizar la curvatura media. Entonces H (P ) = fxx + fyy = f puede interpretarse como la desviacion ´ del radio vector de la superficie de su media local en la direccion ´ del normal. Supongamos que la superficie es la frontera de separacion ´ entre dos medios y que las fuerzas de atraccion ´ actuan ´ sobre puntos cercanos, como en el ejemplo de las mol´eculas de agua que hemos comentado anteriormente (podemos imaginar, para mayor claridad, que estamos trabajando con pel´ıculas de jabon). ´ Entonces la siguiente cadena de igualdades puede escribirse: la presion ´ sobre la superficie en el punto P coincide con la proyeccion ´ sobre la recta normal a la superficie en P de la resultante de las fuerzas atractivas locales entre los puntos cercanos a P , que a su vez coincide (salvo un factor) con la desviacion ´ del radio vector de su media local (desviacion ´ en la direccion ´ del normal). Por tanto, la presion ´ en el punto P coincide con una cierta constante multiplicada por la curvatura media de la superficie en ese punto. Podemos escribir la igualdad
H = (p1 , p2 ); donde p1 y p2 indican las presiones de los medios separados por la superficie entre ellos, y 1= es la tension ´ superficial. Por tanto, el resultado que anunciabamos ´ anteriormente se satisface: si una superficie es un pompa de jabon, ´ o un sistema de pompas de jabon, ´ o la frontera de separacion ´ entre dos l´ıquidos de la misma densidad, etc., entonces suponiendo que la superficie esta´ en equilibrio la presion ´ en ambos lados de la superficie es una funcion ´ constante, es 13
decir, no depende del punto. Por tanto, la curvatura media de la superficie es constante.
2.5.
P EL´I CULAS
´ DE CURVATURA CONSTANTE DE JAB ON
Habiendo descubierto que las pel´ıculas de jabon ´ o “superficies l´ıquidas” son superficies de curvatura constante, Poisson se planteo´ el problema de encontrar una descripcion ´ completa de este tipo de superficies. Como el problema de las formas posibles de las gotas de un l´ıquido, o pequenas ˜ pompas, no ha sido todav´ıa completamente resuelto, los investigadores se centraron en el caso de las superficies de curvatura media positiva. Es obvio que la esfera eucl´ıdea estandar ´ pertenece a esa familia y que las pompas o gotas de l´ıquidos adaptan esta forma. Sin embargo, permanec´ıa sin resolver el problema de saber si exist´ıan otras superficies cerradas de curvatura media positiva. Aunque nos puede parecer que los numerosos experimentos f´ısicos con pompas justifican que la esfera es la unica ´ superficie de curvatura constante positiva dentro de la familia de las superficies diferenciables cerradas, una demostracion ´ matematica ´ de este hecho requiere algo mas ´ de esfuerzo. Poisson demostro´ que en la familia de los ovaloides que se aproximan a una esfera y son superficies de revolucion, ´ la esfera es la unica ´ superficie de curvatura media constante. Esta fue la unica ´ informacion ´ hasta 1853, cuando Jellet probo´ que entre las superficies estrelladas cerradas, la esfera era la unica ´ que pose´ıa curvatura media constante positiva. Ya en nuestro siglo, se ha demostrado que una superficie compacta, sin autointersecciones, con curvatura media constante, es una esfera usual. Recordemos ahora los dos hechos que hemos obtenido: si una pel´ıcula de jabon ´ encierra un volumen cuya presion ´ interior excede la presion ´ exterior, entonces la superficie tienen curvatura media positiva; si, por el contrario, la pel´ıcula de jabon ´ no encierra un volumen, entonces no existen diferencias de presion ´ a ambos lados de la pel´ıcula, por lo que la curvatura media es cero. Los primeros experimentos fundamentales de Plateau iban destinados a estudiar las propiedades de las superficies de separacion ´ entre dos l´ıquidos. Los experimentos fueron realizados con dos l´ıquidos de la misma densidad; al sumergir uno en el otro se produc´ıan gotas acotadas por superficies de curvatura constante positiva. Tambi´en fue posible construir pel´ıculas de jabon ´ con frontera o contorno. Estas pel´ıculas pod´ıan ser descritas mediante las siguientes propiedades equivalentes: (1) superficies de curvatura media cero; (2) superficies que minimizaban el area, ´ es decir, superficies minimales, (3) superficies cuyas cur14
vaturas principales eran, en todo punto, iguales en valor absoluto y opuestas en signo.
15
3.
´ P ROPIEDADES F´I SICAS Y TOPOL OGICAS DE LAS SUPERFI CIES MINIMALES
3.1.
S UPERFICIES
ESTABLES E INESTABLES
Incluso los mas ´ simples experimentos prueban que diferentes superficies de separacion ´ entre dos medios reaccionan de forma distinta frente a la mas ´ leve modificacion ´ o alteracion. ´ Algunas de ellas se oponen a la destruccion ´ y se demuestran estables, otras por el contrario muestran tendencias “suicidas”, convirti´endose en inestables. De la comparacion ´ y estudio de ambas situaciones se puede deducir un efecto importante, que puede ser visualmente ilustrado a trav´es de una funcion ´ escalar. El estudio del comportamiento local de una funcion ´ diferenciable esta´ fuertemente ligado al analisis ´ de sus puntos cr´ıticos, es decir, aquellos puntos que son ceros del vector gradiente. Estos puntos pueden ser de varios tipos. Imaginemos que tenemos una funcion ´ f (x; y ) de dos variables, entonces los puntos cr´ıticos pueden extremos, es decir, maximos ´ o m´ınimos. Pero existe un tercer tipo de punto mas ´ interesante, son los llamados puntos de silla, como el que se muestra en la siguiente figura.
Punto de Silla
Este tipo de puntos esta´ caracterizado por tener dos clases especiales de direcciones: a lo largo de la direccion ´ a, la funcion ´ es estrictamente creciente, mientras que a lo largo de la direccion ´ b, la funcion ´ es estrictamente decreciente. Una situacion ´ totalmente analoga ´ sucede cuando consideramos funcionales definidos sobre un espacio de dimension ´ infinita. Tal espacio (sin las formula16
ciones precisas que son necesarias para definirlo con rigor) es el conjunto de todas las superficies en el espacio eucl´ıdeo tridimensional. Entonces el funcional area ´ asocia a cada superficie su area. ´ Si la superficie (pel´ıcula de jabon) ´ esta´ en equilibrio, esto significa que, considerada la superficie como un punto del anterior espacio, entonces es un punto cr´ıtico del funcional area. ´ Igual que ocurr´ıa antes, el punto cr´ıtico puede ser maximo, ´ m´ınimo o un punto de silla. Durante la realizacion ´ de los experimentos con pel´ıculas de jabon ´ descubrimos que los m´ınimos locales son puntos estables, es decir, se oponen a las pequenas ˜ perturbaciones, regresando a la posicion ´ de equilibrio original. En el caso de los puntos de silla, las pel´ıculas de jabon ´ son inestables y existen perturbaciones, arbitrariamente pequenas, ˜ que minimizan el area ´ y conducen a una deformacion ´ espontanea ´ de la superficie, que adquiere una nueva configuracion ´ correspondiente a una energ´ıa menor. Ademas, ´ la nueva configuracion ´ puede ser distinta de la original, incluso desde el punto de vista topologico. ´ Como el espacio es de dimension ´ infinita, debemos entender que existen infinitas maneras, o infinitas direcciones, de perturbar nuestra superficie.
3.2.
L OS
EXPERIMENTOS DE
P LATEAU
CON COLUMNAS DE L´I QUIDOS
Comentemos a continuacion ´ algunos de los experimentos que realizo´ Plateau. Entre dos discos metalicos ´ del mismo radio, cuyos centros se encuentran sobre la recta perpendicular a los discos, Plateau obten´ıa una columna de l´ıquido que adquir´ıa la forma de un cilindro circular recto.
Figure 11
Como la frontera de un cilindro es una superficie de curvatura media constante, entonces teoricamente ´ dicha columna de l´ıquido es un punto cr´ıtico en el espacio de “todas las superficies”. En este caso, no estamos considerando 17
superficies cerradas, compactas y diferenciables de curvatura media constante positiva, pues entonces el unico ´ punto cr´ıtico ser´ıa la esfera. Sabemos que un cilindro no es una superficie compacta (ya que puede ser extendida indefinidamente en ambas direcciones). Sin embargo, si consideramos un trozo de cilindro, acotado por dos discos, entonces se convierte en una superficie diferenciable cerrada con frontera. Las propiedades de una columna cil´ındrica de l´ıquido dependen, esencialmente, de su altura. En experimentos f´ısicos reales, es facil ´ formar una columna de l´ıquido que no sea muy alta. Sin embargo, si vamos separando los discos, entonces la columna acaba por romperse. Analicemos detenidamente el proceso que ocurre cuando la columna se destruye al separar los discos. La columna cil´ındrica es estable si la altura no supera tres veces el diametro ´ del disco. Sin embargo, cuando la altura se aproxima a dicho valor por valores superiores (por ejemplo, 30 1 veces el diametro) ´ entonces la columna comienza a destruirse. Si la altura de la columna va creciendo lenta y cuidadosamente, entonces el comportamiento de la columna alrededor del punto cr´ıtico puede ser visualmente observado. El proceso de reestructuracion ´ de la columna se representa en la siguiente figura.
Figure 12
Por tanto, los cilindros bajos son estables y los cilindros altos son inestables, siendo la altura cr´ıtica tres veces, aproximadamente, el diametro ´ de los discos frontera. Obviamente, para poder realizar estos experimentos satisfactoriamente, el diametro ´ de los discos tiene que ser muy pequeno, ˜ para minimizar el efecto de la fuerza de la gravedad, para que e´ sta pueda ser compensada por las fuerzas de tension ´ superficial. El proceso de descomposicion ´ de una columna inestable, es decir, su reestructuracion ´ cualitativa, puede ser tambi´en visualizado mediante el siguiente 18
experimento, que ya se realizaba en el siglo XVII. Consideremos un aro, es decir, un alambre con forma de circunferencia plana, lo sumergimos en agua jabonosa y construimos un disco de jabon. ´ Entonces movemos el disco ortogonalmente a su plano, como se indica en la siguiente figura.
Figure 13
Bajo el efecto de suministrar aire a la pel´ıcula de jabon, ´ el disco se deforma y tiende a transformarse en un cilindro circular, al menos en los puntos cercanos al aro). Sin embargo, la forma cil´ındrica desaparece rapidamente, ´ se estrecha y comienzan a aparecer pompas (esf´ericas) de jabon. ´ Como ya hemos indicado anteriormente, el mismo efecto se consigue si fijamos el aro y comenzamos a soplar perpendicularmente al disco jabonoso. Una columna l´ıquida de forma cil´ındrica fue el primer ejemplo de superficie cr´ıtica estable que encontro´ Plateau. Entonces Beer conjeturo´ que todas las superficies de curvatura media constante eran puntos cr´ıticos (m´ınimos locales, concretamente) del funcional area. ´ Sin embargo, el propio Plateau demostro´ que dicha conjetura era incorrecta. Considero´ un cilindro de altura mayor que el cr´ıtico. Desde un punto de vista matematico, ´ tal cilindro sigue siendo un punto cr´ıtico (superficie) para el funcional area, ´ dentro del conjunto de todas las superficies. Plateau demostro, ´ anal´ıticamente, que tal cilindro tiene la menor area ´ posible dentro de todas las deformaciones del cilindro que mantienen constante el area ´ de las secciones horizontales, es decir, estas perturbaciones son aquellas en las que el l´ıquido no se desplaza verticalmente. Solo ´ se permiten los desplazamientos horizontales del l´ıquido que dejan inalteradas las areas ´ de las secciones horizontales. Recordemos que si la altura de un cilindro es menor que la cr´ıtica, entonces cualquier perturbacion ´ incrementa el area; ´ es decir, en este caso la superficie original es un m´ınimo local para el funcional area. ´ Sin embargo, si la altura 19
del cilindro es mayor que el cr´ıtico, entonces el cilindro es un punto de silla, en el espacio de todas las superficies, por lo que podemos encontrar infinitas direcciones tales que las perturbaciones del cilindro en esas direcciones hacen incrementar el area. ´
Figure 14
Plateau demostro´ experimentalmente que una superficie cr´ıtica se comporta como un punto de silla cuando la altura del cilindro es superior a tres veces el diametro ´ de los discos frontera. Plateau construyo´ una columna cil´ındrica de l´ıquido entre dos discos y comenzo´ a deformar verticalmente la superficie, manteniendo la simetr´ıa de la superficie. A continuacion, ´ Plateau comenzo´ a perturbar la columna de l´ıquido con una varita delgada de vidrio, conservando el area ´ de las secciones horizontales. La columna volv´ıa a su posicion ´ original casi instantaneamente, ´ mientras continuaba deformando el cilindro en direccion ´ vertical. Esto demuestra que la superficie es estable para permutaciones del tipo descrito.
Figure 15
20
Sin embargo, las perturbaciones verticales tienen otras consecuencias mas ´ relevantes. Es interesante hacer notar que la descomposicion ´ de una larga columna de l´ıquido sucede de manera ondulatoria, como podemos comprobar seguidamente. Tomemos un hilo delgado recubierto por una capa cil´ındrica de l´ıquido, de tal forma que el hilo sea el eje del cilindro. Comenzamos a ondular el cilindro y entonces cada onda se transforma en una bola de l´ıquido sobre el hilo original. Es claro que este fenomeno ´ es el resultado de las fuerzas de tension ´ superficial y la inestabilidad de largos cilindros de l´ıquido. Es cierto que el razonamiento que acabamos de presentar es simplista, quizas ´ en exceso, ya que las esferas que aparecen en la ultima ´ etapa del proceso nunca surgiran ´ en realidad. El proceso fue estudiado meticulosamente, debido al inter´es que ten´ıa en otras ciencias (como la ingenier´ıa el´ectrica), y era importante saber como ´ estabilizar un cable cil´ındrico muy largo con el alambre situado en su eje de simetr´ıa.
21
4. 4.1.
A LGUNAS SUPERFICIES MINIMALES EL
CATENOIDE
El catenoide es posiblemente la superficie mejor conocida de todas las minimales. Puede caracterizarse como la unica ´ superficie minimal, aparte del plano, que es invariante bajo rotaciones alrededor de un eje; en otras palabras, es la unica ´ superficie minimal de revolucion ´ (salvo el plano, naturalmente). Su curva modelo es una catenaria, esto es, una curva obtenida al colgar una cuerda de dos puntos. Como superficie minimal fue introducida por Meusnier, aunque probablemente era conocida anteriormente. En la transparencia se indican las l´ıneas de curvatura (paralelos y meridianos) y las l´ıneas asintoticas ´ (las curvas diagonales).
Catenoide
Una representacion ´ f´ısica del catenoide puede obtenerse considerando dos aros metalicos, ´ situados en planos paralelos, sumergirlos en agua jabonosa y, siendo sumamente cuidadoso, ir separandolos ´ poco a poco. El catenoide puede extenderse para formar una superficie completa. Como una superficie completa, su aplicacion ´ de Gauss cubre completamente la esfera excepto dos puntos ant´ıpodas. Si observamos cuidadosa y detenidamente la extension ´ de un catenoide para construir una superficie completa, observamos que el catenoide tiene a aplanarse muy rapidamente, ´ de forma que visto de lejos puede dar la impresion ´ de tener dos planos paralelos. Es decir, visto en el infinito, casi podr´ıamos decir que un catenoide es un plano (de multiplicidad dos, si se quiere). Se ha demostrado que este comportamiento es bastante general: toda superficie minimal completa 22
(con curvatura total finita) es, vista desde el infinito, un numero ´ finito de planos, cada uno de ellos de multiplicidad finita.
4.2.
EL
HELICOIDE
Junto con el catenoide, el helicoide fue encontrado como superficie minimal por Meusnier. El helicoide se genera mediante una recta que se desplaza circularmente alrededor de un eje; visualmente, podemos pensar que es una escalera de caracol sin peldanos ˜ y con una anchura infinita. Matematicamente, ´ cada punto de la recta se mueve describiendo una h´elice sobre un cilindro circular cuyo eje de revolucion ´ es el eje dado. En la transparencia podemos ver el eje, varias posiciones de la l´ınea recta generatriz y algunas de las h´elices generados por algunos puntos. Estas son las l´ıneas de curvatura del helicoide. En la transparencia tambi´en podemos ver algunas curvas asintoticas. ´
Helicoide
En 1842, E. Catalan demostro´ en su trabajo Sur les surfaces regl ´ ees ´ dont l’aire est un minimun (Sobre las superficies regladas que minimizan el area) ´ que el helicoide era la unica ´ superficie minimal, aparte del plano, que estaba reglada, es decir, que por cada uno de sus puntos pasa una l´ınea recta enteramente contenida en la superficie.
4.3.
´ R ELACI ON
ENTRE EL CATENOIDE Y EL HELICOIDE
El catenoide y el helicoide son superficies que estan ´ ´ıntimamente relacionadas, lo cual puede detectarse analizando sus parametrizaciones. Las ecuaciones param´etricas de un catenoide (menos un meridiano) son:
x(u; v) = (a cosh(v) cos(u); a cosh(v)sen(u); av) 23
y las del helicoide son:
y(u; v) = (asenh(v) cos(u); asenh(v)sen(u); au) donde, en ambos casos, 0 < u < 2 y ,1 < v < 1. Debido a las relaciones que existen entre las componentes de ambas parametrizaciones, se dice que x e y son superficies minimales conjugadas. Una propiedad muy interesante de las superficies minimales conjugadas es la siguiente. Si x e y son dos de tales superficies, entonces z = cos x + seny , para todo , es una superficie minimal isom´etrica tanto a x como a y . La familia z se denomina la familia asociada de x (o de y ). Por tanto, deducimos que el helicoide es la superficie minimal conjugada del catenoide y que existe una deformacion ´ isom´etrica, a trav´es de superficies minimales, que transforma el helicoide en el catenoide, excepto un meridiano (v´ease la transparencia).
Fig. 3.32
4.4.
LA
SUPERFICIE DE
E NNEPER
Desde un punto de vista, e´ sta es la superficie minimal mas ´ simple. Su representacion ´ param´etrica viene dada por:
x(u; v) = (u ,
u3
v + uv2 ; v , + vu2 ; u2 , v2 ); 3 3 3
(u; v) 2 R2
que proporciona una superficie algebraica (recordemos que el catenoide y el helicoide no lo son), definida en todo el plano. Observemos que realizamos una rotacion ´ de =2 alrededor del eje z (un eje vertical) seguido de una reflexion ´ en el plano xy , la superficie permanece invariante. El modelo descrito en la transparencia muestra algunas l´ıneas de curvatura que forman una red rectangular sobre la superficie, y un numero ´ menor de l´ıneas asintoticas. ´ 24
Superficie Enneper
La superficie tiene dos curvas de autointerseccion ´ que estan ´ en los planos xz e yz , donde cada curva esta´ compuesta por los puntos de autointerseccion ´ de una familia de l´ıneas de curvatura. La interseccion ´ de la superficie con el plano xy es un par de l´ıneas rectas que pasan por el origen, las cuales son l´ıneas asintoticas ´ de la superficie. La superficie de Enneper fue descubierta en 1864. Darboux proporciona la siguiente descripcion. ´ Sean dos parabolas ´ confocales en planos ortogonales, y sea un par de puntos, uno en cada parabola, ´ unidos por un segmento de l´ınea recta. Por el punto medio del segmento trazamos el plano perpendicular. Obtenemos una familia biparam´etrica de planos cuya envolvente es la superficie de Enneper. Puede probarse que la superficie conjugada de la superficie de Enneper se obtiene mediante una rotacion ´ de =4 de la superficie original, de forma que la familia asociada a la superficie de Enneper se obtiene a partir de la superficie original mediante una rotacion ´ continua.
4.5.
LA
SUPERFICIE DE
C ATALAN
Esta superficie fue descubierta por Catalan en 1855, y tiene la siguiente parametrizacion: ´
1 2
1 2
x('; v) = (asen2' , 2a' + av2 cos 2'; ,a cos 2' , av2 cos 2'; 2avsen') La aplicacion ´ ,r + 1=r.
x
esta´ definida en el plano con coordenadas polares
(r; '),
y
v=
Las curvas ' = constante son parabolas ´ que proporcionan una de las familias de l´ıneas de curvatura, y que aparecen en la transparencia. Los v´ertices de 25
tales parabolas ´ se encuentran sobre un cicloide y el plano de cada parabola ´ es perpendicular al plano del cicloide.
Superficie Catalan
Las curvas v = constante constituyen la otra familia de las l´ıneas de curvatura, que tambi´en aparecen dibujadas en la transparencia. Para ' = n (n = 0; 1; 2; : : : ) la parabola ´ degenera en una l´ınea recta doble. La superficie de Catalan es una superficie periodica ´ y las distintas partes congruentes estan ´ unidas por las l´ıneas anteriores. Las esquinas del cicloide son puntos singulares de la superficie, y puede ser facilmente ´ comprobado que son los unicos ´ puntos singulares. En consecuencia, la superficie de Catalan no puede ser extendida a una superficie completa. La superficie de Catalan puede ser caracterizada como la superficie minimal que contiene un cicloide como l´ınea geod´esica, y pertenece a una familia mayor, encontrada por Enneper, de superficies minimales que contienen una familia uniparam´etrica de parabolas. ´
4.6.
EL
ONDULOIDE
En comparacion ´ con la teor´ıa de las superficies minimales, el estudio de las superficies con curvatura media constante no nula esta´ todav´ıa en su “infancia”. Una de las razones de este retraso parece ser -en contraste con el caso minimal donde la aplicacion ´ de Gauss es holomorfa- que la aplicacion ´ de Gauss es armonica, ´ es decir, el laplaciano N del vector unitario normal N de la superficie es paralelo a N . Otra razon, ´ quizas ´ muy relacionada con la anterior, es que se conocen muy 26
pocos ejemplos de superficies con curvatura media constante no nula. Entre ellos, los mas ´ importantes son, sin ninguna duda, aquellos que son invariantes por rotaciones. Estos ejemplos fueron encontrados por Delanuy en 1841, e incluyen el plano, el catenoide (ambos minimales), la esfera, el cilindro, el onduloide y el nodoide.
Onduloide
La curva que genera el onduloide puede obtenerse como la trayectoria de un foco de una elipse que se enrolla a lo largo del eje de rotacion. ´ De hecho, esta construccion ´ es bastante general, y reemplazando la elipse por alguna otra conica ´ (posiblemente degenerada), podemos obtener todas las demas ´ curvas modelo.
27
5. 5.1.
R EALIZACIONES F´I SICAS DE SUPERFICIES MINIMALES LA
´ F´I SICA DE UN HELICOIDE REALIZACI ON
En 1842 Catalan probo´ que la unica ´ superficie completa y reglada de curvatura media cero era, aparte del plano, el helicoide. Un helicoide se puede obtener como la composicion ´ de dos movimientos de una l´ınea recta: un movimiento traslacional con velocidad uniforme y otro rotatorio con velocidad angular uniforme en el plano ortogonal al vector de traslacion. ´
Fig. 17
En otras palabras, se considera una l´ınea recta que intersecta a otra l´ınea recta perpendicularmente, y se desplaza uniformemente sobre la primera con una velocidad angular constante. Obviamente, esta superficie no es compacta. Si nos restringimos solamente a un segmento, en lugar de considerar toda la l´ınea, nos aparece la siguiente figura.
Fig. 18
28
Plateau construyo´ “una mitad” del helicoide, tomando una h´elice de alambre alrededor de una l´ınea recta:
Fig. 19,20
Sin embargo, la construccion ´ de un helicoide con una pel´ıcula de jabon ´ encierra numerosas dificultades t´ecnicas. Obviamente, un helicoide completo puede obtener pegando dos mitades, dos r´eplicas, como las que aparecen en la figura previa. Logicamente, ´ estamos suponiendo que los dos ejes de simetr´ıa van a poder superponerse perfectamente en un unico ´ eje, para que el helicoide est´e perfectamente construido. El eje vertical estabiliza la pel´ıcula de jabon, ´ ya que si se elimina y solo ´ nos quedamos con las dos h´elices de contorno, entonces, en el caso en que los “saltos” de las h´elices no sean grandes, entonces el helicoide se transforma en otra superficie distinta:
Fig. 21
Es claro que esta superficie no es reglada, es decir, no esta´ construida mediante segmentos de l´ıneas rectas. Los intentos de construir un trozo de un helicoide recto como una pel´ıcula de jabon ´ modelada sobre un alambre cerrado, utilizando dos h´elices coaxiales con el mismo salto, fracasan. 29
La diferencia esencial entre el helicoide recto y las superficies encontradas anteriormente se muestra claramente aqu´ı. El hecho es que el helicoide es una superficie no compacta que existe (desde el punto de vista matematico) ´ con independencia de cualquier contorno o frontera. Como se comprueba en experimentos, es inestable para pequenos ˜ valor del salto. Si nos restringimos y pensamos en construir helicoides a partir de h´elices con un salto suficientemente grande, entonces la construccion ´ de tal superficie no es dif´ıcil. Para conseguirlo, necesitamos un contorno construido con dos h´elices coaxiales, que con un salto adecuado permiten construir el helicoide.
Fig. 22
Pero, ¿como ´ podemos estar seguros de que esta superficie as´ı construida es reglada? Podemos realizar la siguiente demostracion ´ visual. Es claro que el helicoide de la Fig. 22 se ha obtenido a partir de la superficie minimal de la Fig. 21 alargando el salto de las h´elices involucradas (lo que conlleva que dichas h´elices se acerquen mas ´ al eje). Analicemos detenidamente la deformacion ´ h que se produce al aumentar el salto de las h´elices.
Fig. 23
30
Esta parte de la pel´ıcula de jabon ´ se fija en nuestra retina como un triangulo ´ curvil´ıneo, que va decreciendo conforme el salto de las espirales se va haciendo mas ´ grande. En un momento determinado, el triangulo ´ desaparece y queda reducido a un punto, y obtenemos la figura 22. Como la proyeccion ´ (en nuestra retina) de la pel´ıcula de jabon ´ es como aparece en la figura 23, es claro que entre dos puntos opuestos hay una l´ınea recta enteramente contenida en la superficie, ya que en los puntos donde visualmente se cortan las h´elices, nuestra retina solo ´ capta ese punto.
5.2.
LA
´ F´I SICA DE UN CATENOIDE REALIZACI ON
Consideremos una catenaria, es decir, la forma que adopta un cable que cuelga de dos puntos, y que tiene una longitud mayor que la distancia entre dichos puntos.
catenaria
Es facil ´ ver que todas las catenarias y, por tanto, todos los catenoides, son equivalentes, en el sentido de que pueden transformarse unos en otros por un movimiento del espacio tridimensional y un cambio de escala. En este sentido, las catenarias nos recuerdan a las parabolas, ´ que tambi´en son equivalentes con respecto a movimientos en el plano y cambios de escala (en contraste con las hip´erbolas y elipses, en que no ocurre esto). Un catenoide se obtiene al rotar la catenaria alrededor de una l´ınea en su mismo plano, pero solo ´ cuando esta l´ınea se encuentra a una cierta distancia de la catenaria. Si la l´ınea recta que nos hace el papel de eje de rotacion ´ es otra distinta, entonces la superficie que obtenemos no es minimal. As´ı, por ejemplo, si la catenaria casi toca el eje de revolucion ´ (digamos el eje OX ), entonces el punto mas ´ bajo describe una circunferencia de radio muy pequeno. ˜ Por tanto, 31
uno de los radios de curvatura es muy pequeno, ˜ y el otro es muy grande, de modo que la suma de ambos de podra´ ser cero. Consideremos la dependencia de la estructura del catenoide respecto del tamano ˜ de su frontera. Por simplicidad, supongamos que partimos de dos circunferencias coaxiales del mismo radio r , y sea h la distancia entre los planos paralelos que contienen las circunferencias (los aros).
Fig. 25
Como la curvatura media del catenoide es igual a cero, el radio de curvatura (es decir, el radio del c´ırculo osculador en el v´ertice de la catenaria, que coincide con el punto mas ´ cercano al eje de rotacion) ´ coincide con el radio de la circunferencia descrita por el v´ertice de la catenaria cuando se rota alrededor del eje, digamos . Por tanto, cuanto menor es , mayor debe ser la curvatura de la catenaria en el v´ertice. El parametro ´ var´ıa en un intervalo [0; +1).
Si > r , entonces no puede construirse obviamente una superficie minimal. En la figura 26 representamos, con una l´ınea gruesa, la seccion ´ del catenoide por un plano vertical pasando por el eje de simetr´ıa. Cuando
= r, entonces h = 0, y obtenemos los dos c´ırculos.
Cuando < r , entonces la distancia h crece, los discos se separan y surge una superficie minimal. Conforme ve decreciendo, el valor de h va creciendo, hasta llegar a un maximo ´ hmax , a partir del cual vuelve a decrecer. Conforme tiende a cero, h tiende tambi´en a cero, y la catenaria se va aproximando al eje. El valor maximo ´ es, aproximadamente (4=3)r .
Cuando la distancia h entre las dos circunferencia excede el valor hmax , entonces el catenoide desaparece, y la superficie minimal vuelve a transformarse en los 32
dos discos frontera. Esto muestra el paso de una solucion ´ de la ecuacion ´ de las superficies minimales a otra cuando entran en escena cambios topologicos ´ esenciales. En la siguiente figura mostramos varias posiciones consecutivas de la pel´ıcula de jabon. ´
Fig. 27
Un hecho curioso e importante merece ser destacado: Para cada valor de h, entre cero y hmax , existen dos catenoides posibles: el interior y el el exterior. Para valores pequenos, ˜ los catenoides son claramente distinguibles; sin embargo, conforme h va creciendo, los catenoides tienden a fundirse. En consecuencia, para cada valor h, 0 < h < hmax , existen tres pel´ıculas de jabon ´ asociadas a la misma frontera: dos catenoides y un par de discos. Plateau conjeturo´ que el interior era inestable, en contraste con el exterior y los dos discos, pero no pudo probarlo. Evidentemente, no es posible construir en la practica ´ el catenoide interior. No obstante, se ha podido probar, eso s´ı, teoricamente, ´ que Plateau llevaba razon: ´ el catenoide interior es una superficie inestable.
5.3.
L AS
SUPERFICIES MINIMALES EN LA NATURALEZA
Ya a principios del siglo XVIII era conocido que muchos problemas concretos de f´ısica, qu´ımica, biolog´ıa, etc. se reduc´ıan al analisis ´ de superficies minimales. Veamos un ejemplo extra´ıdo de la biolog´ıa. Las pel´ıculas minimales aparecen profusamente en la naturaleza como las superficies mas ´ economicas ´ que constituyen los esqueletos de organismos vivos. El ejemplo mas ´ efectivo nos lo proporciona los radiolarian, pequen´ ˜ ısimos animales marinos con las mas ´ variadas y exoticas ´ formas. 33
Aparentemente, D.A.W. Thompson fue el primero en darse cuenta del hecho que la tension ´ superficial jugaba un papel esencial en la configuracion ´ de estos seres vivos, en su libro On Growth and Form. Los radiolarian son pequenas ˜ c´elulas de protoplasma con unas formas similares a las pompas de jabon. ´ Como estos organismos son muy complejos, las superficies minimales que modelan su estructura tienen muchos puntos y caras singulares, en los cuales se concentra la mayor´ıa de su masa corporal. Esta concentracion ´ en los puntos y caras singulares de las pel´ıculas de jabon ´ es claramente observable. El l´ıquido fluye libremente desde la pel´ıcula de jabon ´ hasta las caras y aristas, donde el l´ıquido se ralentiza y concentra, haciendo visible la superficie minimal. El mismo proceso ocurre en los radiolarians. La concentracion ´ de l´ıquido en las aristas y caras conduce a la formacion ´ de part´ıculas solidas ´ que van formando gradualmente el esqueleto del animal. Despu´es de la muerte del animal, la masa corporal desaparece, se descompone, y un pequeno ˜ pero solido ´ esqueleto permanece. En la figura 44 mostramos tres esqueletos de radiolarians.
Fig. 44
El dibujo esta´ tomado del libro de E. Haeckel totulado Report on the ScientificResults of the Voyage of the HMS Challenger during the Years 1873–1876. Se muestran tambi´en tres superficies minimales (con las pel´ıculas de jabon) ´ que estan ´ construidas sobre tres poliedros basicos: ´ tetraedro, un cubo y un prisma. La similitud entre las formas de los esqueletos de los radiolarians y estas pel´ıculas jabon ´ es bastante evidente. Hay radiolarins mas ´ complicados, como los que se muestran en la siguiente figura.
34
Fig. 45
35