DEFINICIÓN DE TRABAJO Supongamos que queremos llevar un cuerpo a lo largo de un camino desde un punto A hasta otro B

(recuerda que el móvil no tiene porqué moverse según la resultante de la fuerza que actúa sobre él porque puede tener algún tipo de restricción)

Por definición, el trabajo realizado por la fuerza F para desplazarlo una longitud infinitesimal es el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento:

r r dW = F • dr dW = trabajo elemental r F = vector fuerza r r r dr = vector desplazamiento = dxi + dyj El trabajo total para llevar al cuerpo desde el punto A al B por el camino c lo obtenemos mediante la integral definida entre esos puntos: B r r W A → B , c = ∫ F • dr A, c

Observa en la figura que para desplazamientos grandes el módulo del vector desplazamiento no coincide con el espacio recorrido sobre la trayectoria, pero para un desplazamiento infinitesimal sí que son iguales:

∆r ≠ ∆s

dr = ds

pero

Así que podemos poner que:

r r dW = F • dr = F ⋅ dr ⋅ cos α = F ⋅ ds ⋅ cos α B

W A→ B ,c = ∫ F ⋅ cos α ⋅ ds A,c

Ejemplo Un niño tira de un camión de juguete aplicando una fuerza de 20N mediante una cuerda y formando un ángulo de 60º con la horizontal. Calcular el trabajo que realiza cuando lo arrastra 10m.

r r r r r Teniendo en cuata que F = F cos α ⋅ i + Fsenα ⋅ j y que dr = dx ⋅ i r r r B r x =10 r W A→ B ,c = ∫ F • dr = ∫ ( F cos α ⋅ i + Fsenα ⋅ j ) • dx ⋅ i x =0

A, c

r r r r recordando que i • i = 1 y que i • j = 0

W A→ B , c = ∫

x =10

x =0

F cos α ⋅ dx = [F cos α ⋅ x ]x =0 = 20 ⋅ cos 60 ⋅ (10 − 0) = 100 Julios x =10

Teniendo en cuenta de que en este ejemplo la fuerza es constante, podríamos haber acabado antes utilizando la expresión W = F ⋅ s ⋅ cos α pero en el caso general de que la fuerza fuese variable habría que haberlo hecho de esta forma. Como podemos ver en el ejemplo, solo la componente de la fuerza que lleva la dirección del desplazamiento es la que realiza trabajo, de manera que podríamos poner que: B

B

A

A

W = ∫ Ft ⋅ dr = ∫ Ft ⋅ ds

En el caso general de que la fuerza que realiza el trabajo sea variable con el tiempo, o bien que dependa de las coordenadas, o que sea disipativa como la de rozamiento, entonces el trabajo para llevar el cuerpo del punto A al punto B depende del camino que se siga.

Lo expresamos como:

W A→ B ,c1 ≠ W A→ B ,c 2

∫

B

r B r r r F • dr ≠ ∫ F • dr

A, c1

A, c 2

Ejemplo Un cuerpo de 20 Kg se encuentra en la base de un plano inclinado 30º sobre la horizontal, sin rozamiento. Un hombre tira de él y lo sube hasta una altura de 1,5 m. a) con qué fuerza debe tirar el hombre para subirlo con velocidad constante b) que trabajo realiza c) si otro hombre lo sube verticalmente hasta la misma altura con la ayuda de una polea, ¿qué fuerza y que trabajo realizaría en este otro caso? a) Si el hombre sube el cuerpo con velocidad constante quiere decir que la suma de las fuerzas es cero, por tanto:

de la figura se deduce que para que la suma de las fuerzas sea cero, el hombre debe ejercer una fuerza: F = mg ⋅ senα = 20 ⋅ 10 ⋅ sen30 = 100 New

b) el trabajo para subirlo 1,5 metros, es decir para desplazarlo por el plano un espacio igual a 1,5 sen30 = ⇒ s = 3 metros s El trabajo, será:

W = F ⋅ s = 100 ⋅ 3 = 300 Julios c) El hombre que sube el cuerpo con la ayuda de una polea:

Aplicando la segunda ley a todo el sistema F − mg = ma F = ma = 20 ⋅ 10 = 200 New Como vemos, al tratarse de una polea es ideal y que la fuerza que aplicamos no tiene masa, entonces se transmite íntegramente: F=mg El trabajo que realiza el hombre para subir la masa 1,5 m sería:

W = F ⋅ s = 200 ⋅1,5 = 300 Julios Como vemos el trabajo que realiza es exactamente el mismo porque no hay rozamiento, sin embargo la fuerza que debe ejercer si lo sube por el plano es mas pequeña, de ahí la utilidad de estos.

Ejemplo: Un niño tiene una pistola de juguete de resorte, como la que se indica en la figura. La constante de recuperación del muelle es de 500 N/m ¿Qué trabajo realiza el niño cada vez que comprime el resorte 20 cm para cargarla?

La fuerza que hemos de hacer para comprimir el muelle es exactamente igual a la fuerza recuperadora del muelle, solo que en sentido contrario, claro

FRe cuperadora = − k ⋅ x ( Muelle )

FDeformadora = k ⋅ x ( Nosotros )

W =∫

x = 0, 2

x =0

r r r x = 0, 2 x = 0, 2 r 1 F • dr = ∫ kxi • dxi = ∫ kx ⋅ dx = kx 2 x =0 x =0 2

0,2 0

=

1 500(0,2 2 − 0 2 ) = 10 Julios 2

Este trabajo que ha realizado el niño al cargar la pistola: W = 12 kx 2 queda almacenado en el resorte. Al apretar el gatillo y dejar libre el muelle actúa la fuerza recuperadora F = −kx y de esta forma se nos devuelve el trabajo que realizamos al cargarla. Comprueba que el trabajo hecho por la fuerza recuperadora es –10Julios y el signo menos indica que este trabajo no lo hacemos nosotros, sino el muelle de la pistola.

POTENCIA Dos máquinas pueden realizar el mismo trabajo, una en poco tiempo y la otra tardando más. Para identificar a la mejor se define la potencia como el trabajo realizado en la unidad de tiempo, así: dW P= dt teniendo en cuenta la definición de trabajo podemos encontrar otra expresión análoga: r r r r dW F • dr P= = = F •v dt dt

Ejemplo Un motor eléctrico se utiliza para elevar un peso de 250Kg desde el suelo hasta una altura de 25m. Se emplea en la operación un tiempo de 5 minutos. Si el motor consume 500 watios ¿Cuánto vale la energía perdida?.

El trabajo que realmente hace el motor es: Wmotor = P ⋅ t = 500 ⋅ (5 ⋅ 60) = 150000 Julios El trabajo útil es el que realmente hace falta para subir los 250Kg a la altura de 25m: Wutil = F ⋅ s = mg ⋅ s = 250 ⋅ 10 ⋅ 25 = 62500 Julios El trabajo perdido, que se transformará en calor es: W perdido = Wmotor − Wutil = 87500 Julios El rendimiento del motor sería:

Re n dim iento =

Wutil 62500 100 = 100 = 41,7% Wmotor 150000

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERCIA CINÉTICA

r r Si tenemos en cuenta la definición de trabajo y la segunda ley y que v = dr dt , podemos poner que: r r r r r dv dv r dW = F • dr = m • dr = m • v ⋅ dt dt dt r r teniendo en cuenta que dv y v son vectores en la misma dirección y que por tanto el coseno del ángulo que forman es 1: r r dW = m ⋅ dv • v = m ⋅ v ⋅ dv

W A→ B

B

1 1 1  = ∫ mv ⋅ dv =  mv 2  = mv B2 − mv A2 A 2 2 A 2 B

W A→ B = Ec B − Ec A = ∆Ec Lo que nos dice que “el trabajo realizado por la fuerza F para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos”. Se conoce como teorema de las fuerzas vivas. (Obviamente la fuerza F es la resultante de todas, incluida la de rozamiento si existe)

Ejemplo Si dejamos caer un cuerpo de 2Kg desde una altura de 5m ¿Qué energía cinética tendrá al llegar al suelo? Posiblemente la reacción de algún alumno sea calcular el valor de la velocidad al llegar al suelo y luego aplicar la fórmula de la energía cinética. Eso estaría bien, pero vamos a resolverlo aplicando el teorema de las fuerzas vivas. El trabajo realizado, en este caso, por la fuerza peso y dado que tiene la misma dirección y sentido del desplazamiento, es: W = F ⋅ s = mg ⋅ s = 20 ⋅ 5 = 100 julios Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética y teniendo en cuenta que la energía cinética en el punto A (arriba) es nula porque parte del reposo, sería: W A→ B = E cB − E cA

⇒

Ec B = 100 julios

Ejemplo Un ciclista va a 5 m/s por una calle horizontal. Cuando se le cruza una suegra frena para no pillarla y se detiene en 5m. ¿Cuánto vale el coeficiente de rozamiento?

Si el ciclista se termina parando, quiere decir que toda su energía cinética inicial se disipará en rozamiento (como puede verse la Froz es la única neta sobre el ciclista), así que: ∆Ec = WRoz sustituyendo: r x r 1 2 1 2 mv f − mvi = ∫ FRoz • dxi 0 2 2

r r r FRoz = − Nk ⋅ i = − mgk ⋅ i

como

1 − mvi2 = − mgk ⋅ x 2

⇒

vi2 52 k= = = 0,25 2 gx 2 ⋅ 10 ⋅ 5

Ejemplo: Un proyectil de 15gr se mueve con una velocidad de 1500m/s cuando choca con un saco de arena y se para después de recorrer 10cm ¿Qué trabajo ha realizado la arena sobre el proyectil?. Suponiendo constante la fuerza que realiza este trabajo, ¿cuánto vale?

El trabajo realizado por la arena debe ser igual a la energía cinética que tenía la bala: Warena =

1 2 1 mv = 0,015 ⋅ 1500 2 = 16875 Julios 2 2

La fuerza de rozamiento que disipa este trabajo es: Warena = F ⋅ s

⇒

F=

16875 = 168750 New 0,1

El ejercicio es exacto al anterior, pero lo hemos resuelto de forma menos rigurosa a propósito, porque cuando la fuerza es constante y para colmo tiene la misma dirección del desplazamiento puede resolverse con un poco de intuición.

FUERZAS CONSERVATIVAS En los ejemplos anteriores hemos visto como un cuerpo que tiene energía cinética es capaz de realizar un trabajo. Supongamos ahora que lanzamos una piedra hacia arriba con una determinada velocidad inicial. Ya sabemos que, si despreciamos el rozamiento, la piedra al volver a la posición inicial tendrá la misma velocidad inicial. Quiere decir que tiene la misma energía cinética inicial y final, y que por tanto el cuerpo “conserva su capacidad de hacer trabajo”. Las fuerzas gravitatorias, por tanto, son conservativas. Siguiendo con el mismo ejemplo, si ahora consideramos que hay rozamiento, la velocidad de la piedra al llegar será menor que la inicial, lo que quiere decir que su energía cinética es menor y por tanto que el rozamiento es una fuerza disipativa o no conservativa. Por otro lado, ya hemos indicado que en general el trabajo realizado por una fuerza F al llevar un cuerpo del punto A al B depende del camino seguido. En el caso particular de que “el trabajo sea independiente del camino seguido decimos que la fuerza F es conservativa”. Por tanto si el trabajo lo hace una fuerza conservativa podemos poner que: W A→ B ,c1 = W A→ B ,c 2 como al cambiar los límites de integración la integral cambia de signo, resulta que: W A→ B ,c1 + WB → A,c 2 = 0 también se escribe:

o bien que

W A→ B + W B → A = 0

r r F ∫ • dr = 0

Quiere decir que “el trabajo realizado por una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo”. Fíjate como en la segunda expresión no hemos indicado el camino seguido, puesto que al tratarse de una fuerza conservativa el trabajo es independiente de la trayectoria seguida. Resumiendo, podemos definir a las fuerzas conservativas diciendo: • •

Aquellas que no merman la capacidad de realizar trabajo de un cuerpo Aquellas que para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B, el trabajo que realizan no depende el camino seguido: W A→ B ,c1 = W A→ B ,c 2

•

Aquellas que al realizar un trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada, éste es nulo: r r F ∫ • dr = 0

Son fuerzas conservativas, obviamente las que cumplen con esas definiciones, pero a título indicativo diremos que son fuerzas conservativas todas aquellas que no dependen del tiempo o dela velocidad, es decir, son conservativas las fuerzas que sean constantes (a excepción de la de rozamiento) y también que dependen de una coordenada y actúan a lo largo de ella, como por ejemplo la fuerza elástica de un resorte.

Un tipo de fuerzas conservativas muy importantes son las fuerzas centrales, como es el caso de las gravitatorias y eléctricas. (Fuerzas centrales son aquellas cuya dirección pasa por un punto llamado centro de fuerzas y su módulo depende de la distancia al centro de fuerzas)

ENERGÍA POTENCIAL Imaginemos una maceta en lo alto de un balcón. Como consecuencia de su posición “en un campo de fuerzas conservativo como el gravitatorio”, tiene una cierta energía acumulada que puede convertir en trabajo en cualquier momento. Lo mismo podríamos decir para el caso de un resorte que se encuentra desplazado respecto de su posición de equilibrio. Se define diferencia de energía potencial (ddp) de una partícula, entre dos puntos B y la que tenía en A, como el trabajo realizado por nosotros para llevar la partícula del punto A al B. B r r W A→ B ,nosotros = ∫ Fnosotros • dr = Ep B − Ep A = ∆Ep A

Así pues, el trabajo realizado por nosotros para deformar el muelle una distancia x queda almacenado en forma de energía potencial elástica, así si soltamos el muelle él volverá a la posición de equilibrio y realizará el mismo trabajo que hicimos para deformarlo. En otras palabras nos devuelve el trabajo que hicimos nosotros para deformarlo. (exactamente igual podríamos decir de la maceta en el balcón.) Es importante distinguir bien los pasos: • •

para deformar el resorte nosotros tenemos que realizar un trabajo al soltar el resorte, es él quien realiza el trabajo, y éste es exactamente igual al que hicimos para deformarlo

Es muy importante recalcar que los trabajos, aunque iguales en valor, son realizados por fuerzas distintas: • •

para subir la maceta al balcón, nosotros hemos de realizar una fuerza contraria al peso, o contraria a la fuerza recuperadora en el caso del muelle. cuando soltamos la maceta, el trabajo lo realiza ahora la gravedad, es decir el peso, o la fuerza recuperadora en el caso del muelle. Quiere decir que ahora el trabajo nos lo devuelve el sistema.

Vamos a demostrar que el trabajo realizado por nosotros (el que queda almacenado en forma de energía potencial) es igual al trabajo que nos devuelve el sistema. a) Caso del resorte: Supongamos un resorte como el de la figura, que sigue la ley de Hooke. Para deformarlo r r hemos de aplicar una fuerza Fnosotros = kx ⋅ i mientras que al soltarlo quien trabaja es la fuerza r r recuperadora que vale Fresorte = − kx ⋅ i . Por otro lado como el desplazamiento es según el eje r r X, el vector desplazamiento será: dr = dx ⋅ i

B

W A→ B , nos

B r r r B r 1 = ∫ Fnos • dr = ∫ kx ⋅ i • dx ⋅ i = ∫ kx ⋅ dx = kx 2 2 A A A

B A

=

A r A r r A r 1 WB → A, resort = ∫ Fresort • dr = ∫ − kx ⋅ i • dx ⋅ i = ∫ − kx ⋅ dx = − kx 2 2 B B B

(

1 k x B2 − x A2 2

A B

=

(

)

1 k x B2 − x A2 2

)

Podría preguntarse ¿porqué si hemos recorrido un ciclo completo el trabajo en el ciclo no es nulo? Y la respuesta es muy simple, porque los trabajos no están hechos por la misma fuerza, ya que en el primer caso la hacemos nosotros y en el segundo el resorte. b) Caso del campo gravitatorio: Por ahora nos limitaremos a demostrar para puntos próximos a la superficie terrestre (el valor de g podemos considerarlo constante) que el trabajo realizado por nosotros para llevar una masa de un punto A hasta otro B es igual al trabajo que el campo gravitatorio hace para llevarlo de nuevo del punto B al A.

Para subir nosotros el cuerpo desde al punto A al B tenemos que hacer una fuerza contraria r r al peso del cuerpo, es decir que Fnos = mg ⋅ j , mientras que para ir desde el punto B al A es la fuerza del campo gravitatorio (el peso) la que lo lleva y por tato la que realiza el trabajo r r Fcampo = − mg ⋅ j . Por otro lado, en este caso como nos movemos sobre el eje Y, el vector r r desplazamiento es: dr = dy ⋅ j

B

W A→ B , nos

B r r r B r = ∫ Fnos • dr = ∫ mg ⋅ j • dy ⋅ j = ∫ mg ⋅ dy = mgy BA = mghB − mgh A A

A

A

A

WB → A,campo

A r r r A r = ∫ Fcampo • dr = ∫ − mg ⋅ j • dy ⋅ j = ∫ − mg ⋅ dy = − mgy B

B

A B

= mgh B − mgh A

B

Fíjate que en este ejemplo hemos llevado el cuerpo desde el punto A hasta el B siguiendo la vertical, pero sería igual si hubiésemos seguido otro camino cualquiera:

En efecto el resultado sería exactamente el mismo, porque al realizar el producto escalar de r la fuerza, tanto de la que hacemos nosotros que tiene dirección j como de la que hace el r campo, que tiene dirección − j por el vector desplazamiento nos quedaría lo mismo, ya que r r como sabemos i • j = 0 porque son vectores perpendiculares y el coseno de 90º es nulo.

Resumiendo, hemos visto que: W A→ B ,nosotros = ∆Ep = WB → A,campo o bien, teniendo en cuanta la propiedad de las integrales definidas, que: W A→ B ,campo = − ∆Ep = −W A→ B ,nosotros El trabajo realizado por las fuerzas conservativas es igual a menos la variación de energía potencial e igual a menos el trabajo que hacemos nosotros. Es muy importante tener en cuenta que la energía potencial es una característica de los campos de fuerzas conservativas y que es una magnitud que solo depende de la posición del cuerpo en los mismos. Es decir, que un cuerpo, por el simple hecho de moverse tiene asociada una energía cinética, pero no tiene porqué tener energía potencial, imagina por ejemplo que se encuentra en un lugar exento de gravedad.

Energía potencial en un punto: Es evidente que tal como se define la energía potencial (trabajo que hacemos para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B) no se puede hablar de energía potencial en un punto aislado, sin embargo, como: B r r Ep B − Ep A = ∫ Fnosotros • dr A

Si hacemos EpA=0 si a la energía potencial del cuerpo en el punto A le asignamos, por acuerdo, el valor cero, entonces podríamos hablar de energía potencial absoluta en el punto B. Sería como decir que la energía potencial en un punto es el trabajo realizado por nosotros para llevar el cuerpo desde el origen hasta ese punto. (O bien el trabajo que hace el campo para llevar el cuerpo desde ese punto al origen) En los problemas de mecánica es corriente asignarle cero a la energía potencial en la superficie de la tierra (aunque no lo sea) así, la energía potencial de un gato en lo alto de un balcón sería: Ep = mgh

Ejemplo: Un cuerpo de 20 Kg se encuentra en la base de un plano inclinado 30º sobre la horizontal, sin rozamiento. Un hombre tira de él y lo sube hasta una altura de 1,5 m. a) con qué fuerza debe tirar el hombre para subirlo con velocidad constante b) que trabajo realiza

Ya resolvimos este mismo ejemplo mas arriba por métodos dinámicos, ahora lo resolveremos teniendo en cuanta que el trabajo que hace el hombre para llevar el cuerpo desde el punto A hasta el B es igual a la diferencia de energía potencial. Además si consideramos el nivel cero de energía potencial en el punto mas bajo, el A, entonces: W A→ B ,nosotros = Ep B − Ep A = mghB = 20 ⋅ 10 ⋅ 1,5 = 300 Julios

Ejemplo: En un lugar donde hay un campo de fuerza uniforme, como se muestra la figura. Demuestra que el trabajo para llevar un cuerpo desde el punto A hasta el B es el mismo por cualquiera de las dos trayectorias señaladas en la figura.

r r Teniendo en cuenta que F = F ⋅ i y que el vector desplazamiento en cada tramo es: r r drac = dy ⋅ j r r drcb = dx ⋅ i r r r drac = dx ⋅ i + dy ⋅ j El trabajo para ir desde A hasta B por al camino ABC es: C

W A→ B = W A→C + WC → B

r B r B = ∫ F ⋅ i • dy ⋅ j + ∫ F ⋅ i • dx ⋅ i = F [x ]C = F ⋅ s cb A

C

El trabajo para ir desde A hasta B por el camino AB es: B

r r B W A→ B = ∫ F ⋅ i • (dx ⋅ i + dy ⋅ j ) = F [x ]A = F ⋅ s cb A

Lo que es era evidente, ya que como se sabe, solamente se realiza trabajo en los desplazamientos horizontales, es decir, en aquellos en los que el desplazamiento tiene la dirección de la fuerza. Por el contrario en los desplazamientos verticales el vector desplazamiento y la fuerza al formar ángulo de 90º su coseno es nulo.

Ejemplo: Calcular la variación de energía potencial que experimenta de un yerno de 70Kg, cuando huyendo de su suegra se mueve desde el punto A(1,2) al B(5,10). B

∆Ep = W A→ B , yerno

B r r r r r = ∫ Fyerno • dr = ∫ mg ⋅ j • (dxi + dyj ) = mg ⋅ y A

y =10 y =2

= 70 ⋅ 10 ⋅ (10 − 2) = 5600 J

A

Evidentemente, podríamos haber resuelto como ∆Ep = mghB − mgh A = m ⋅ g ⋅ 8 = 5600 J

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo realizado por la fuerza F para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos: W A→ B = ∆Ec Por otro lado, hemos visto que si la fuerza F es conservativa (como el peso o la fuerza recuperadora de un muelle), podemos poner que el trabajo realizado por las fuerzas conservativas es igual a menos la variación de energía potencial:

W A→ B ,campo

= − ∆Ep

F .Conservativas

Si consideramos que las únicas fuerzas existentes son las fuerzas conservativas del campo, entonces ambos trabajos serían iguales, y por tanto restando nos quedaría que ∆Ec + ∆Ep = 0 o lo que es igual:

Ec A + Ep A = Ec B + Ep B = E = const Nos dice que “Si todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas, la suma de la energía cinética y potencial es igual para cualquier punto”. A la suma de Ec y Ep se le llama energía mecánica. Este teorema lo que viene a decir es que la Ec y Ep pueden variar de unos puntos a otros, pero que su suma (la energía mecánica) permanece constante.

Ejemplo: Un niño se tira por un tobogán desde una altura de 2 metros. ¿Con qué velocidad llegaría abajo si despreciamos el rozamiento?

Teniendo en cuenta que no hay rozamiento, aplicando el teorema de conservación de la energía mecánica, tendremos que la energía potencial que el niño tiene arriba se transformará en cinética cuando llegue abajo.

Ec A + Ep A = Ec B + Ep B

mgh A +

1 2 1 mv A = mghB + mv B2 2 2

v A = 2 gh A = 2 ⋅ 10 ⋅ 2 = 4,47m / s Como vemos, al no haber rozamientos el resultado es el mismo que si el niño cayera en caída libre desde esa altura

Ejemplo: Cuando sobre un muelle helicoidal, situado verticalmente sobre una mesa, colocamos una masa de 1Kg, éste se comprime 2cm. Calcular la deformación que experimentaría el muelle si le dejamos caer la misma masa desde una altura de 1m. Con el primer dato y aplicando la ley de Hooke calcularemos la constante de recuperación del muelle. (teniendo en cuenta que le fuerza que deforma al muelle es el peso de la masa): F = kx

⇒

k=

mg 1 ⋅ 10 = = 500 N / m x 0,02

Ahora tendremos en cuenta que la energía potencial del cuerpo, como consecuencia de su posición (A) se transformaré en cinética en el momento del impacto (B) (aunque no totalmente) y finalmente se transformará en energía potencial elástica (C)

Aplicaremos el principio de conservación entre el punto A y C, porque de esta forma toda la energía potencial gravitatoria se transforma en energía potencial elástica: Ec A + Ep A + Ep elast , A = Ec B + Ep B + Ep elast , B mgh A =

1 2 kx 2

1 2 kx 2

⇒

mg (1 + x) =

x = 0,2m

FORMA GENERAL DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA Hemos visto que en caso de que sobre una partícula actúen sólo fuerzas conservativas, la energía mecánica se conserva. Ahora vamos a ver al caso mas general, en el que además sobre la partícula actúen fuerzas no conservativas, como la de rozamiento. En este caso, como el trabajo realizado por todas las fuerzas (conservativas o no) es igual a la variación de la energía cinética, tenemos que:

W A→ B ,campo

+ W A→ B

F .Conservativas

= ∆Ec

F . NoConservat

Por otro lado, hemos visto que para las fuerzas que sean conservativas (como el peso o la fuerza recuperadora de un muelle), podemos poner que:

= − ∆Ep

W A→ B ,campo F .Conservativas

Así que restando nos queda que

= ∆Ec + ∆Ep

W A→ B F . NoConservat

Ec A + Ep A + W A→ B

= Ec B + Ep B

F . NoConservat

Quiere decir que la energía mecánica inicial del cuerpo más el trabajo realizado por la fuerzas no conservativas en un punto es igual a la energía mecánica al final. Eso quiere decir que la energía mecánica al final puede ser mayor o menor que la inicial. Todo depende del signo del trabajo de las fuerzas no conservativas. En el caso mas frecuente de que se trate de las fuerzas de rozamiento, como el trabajo que realizan es negativo r r (porque al llevar sentido contrario al desplazamiento al realizar el producto escalar FRoz • dr r r tendremos siempre, por ejemplo − i • i = −1 ) la energía al final siempre será menor que la inicial. Ec A + Ep A − WRoz = Ec B + Ep B

Ejemplo: ¿Con qué velocidad llegaría un niño que se tira por un tobogán desde una altura de 2 metros, suponiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,5.? Ec A + Ep A − WRoz = Ec B + Ep B mgh A − (mg cos 30 ⋅ k ) ⋅ s =

v B = 2,31m / s

1 2 mv B 2

Ejemplo: Un bloque de 30Kg, que parte del reposo desliza hacia abajo por un plano inclinado 20º sobre la horizontal, hasta que finalmente se detiene por un resorte, después de comprimirlo 30,5cm como se muestra en la figura. Calcular la constante elástica del muelle sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,2.

Si tenemos en cuenta que la energía potencial que el bloque tiene arriba punto (A) menos la que pierde en rozamientos debe ser igual a la energía potencial elástica del resorte al final (B)

Aplicando la conservación de la energía entre la posición inicial y final tenemos que: Ep A − WRoz = Ep elastica , B mgh A − (mg cos 20 ⋅ k ⋅ s + mg ⋅ k ⋅ s´) =

1 2 Kx 2

30 ⋅ 10 ⋅ 2,6 − [30 ⋅ 10 cos 20 ⋅ 0,2 ⋅ 7,6 + 30 ⋅ 10 ⋅ 0,2 ⋅ (2,75 + 0,305)] = K = 3616,23 N / m

1 K ⋅ 0,305 2 2