T-2) LA FUERZA DE LORENTZ (10 puntos) Un móvil se desliza por un plano inclinado sobre el que pende el conductor cilíndrico AC a una distancia h de la línea de máxima pendiente, tal como indica la figura. Aunque se trata de un objeto macroscópico, se considera al móvil simplemente como una partícula de masa m, cargada positivamente con una carga q. El plano inclinado se considera de material aislante, de manera que el móvil no se descargue, y el conductor cilíndrico de longitud infinita y de radio despreciable para simplificar el efecto de la corriente que lo recorre. En este problema se analiza el movimiento bajo la acción combinada de la gravedad, el campo electromagnético y el rozamiento, partiendo del reposo desde la parte superior del plano inclinado. 1. Suponga despreciable el rozamiento entre el móvil y el plano. Por el conductor circula una corriente eléctrica de intensidad I en el sentido de A hacia C. a. Haga un esquema indicando claramente el campo creado por la corriente y su valor en la posición del móvil. (1 punto) b. Haga un nuevo esquema indicando todas las fuerzas que actúan sobre el móvil mientras desciende por el plano e indique el valor de cada una de ellas.(1 punto) c. Obtenga las ecuaciones del movimiento del móvil. (1 punto) d. Demuestre que cuando la velocidad del móvil alcanza un cierto valor, éste se “despega” del plano. Obtenga el valor vd de esta velocidad. (2 puntos) e. Determine la distancia d recorrida por el móvil antes del despegue. (0.5 puntos) 2. Considere en adelante que existe un coeficiente de rozamiento µ entre móvil y plano, Determine la nueva velocidad de despegue v’d. (1.5 puntos) 3. Suponga ahora que, también con rozamiento, se repite la experiencia partiendo del reposo, pero con la corriente circulando en sentido contrario, de C hacia A. a. Demuestre que el móvil tiende a alcanzar una velocidad uniforme (velocidad límite). Obtenga el valor vl de esta velocidad. (2 puntos) b. Haga una gráfica en la que se muestre de forma cualitativa la velocidad del móvil en función del tiempo. (1 punto)

A I q

C h θ

XIV OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA Cuenca, abril de 2003

T-2) La fuerza de Lorentz (solución) 1.a. El problema tiene simetría cilíndrica. Por la ley de Ampere: B 2π h = µ0 I B= µ0 I/(2π h).

El sentido de B, dado por el de la corriente I y la regla de signos adecuada, es crucial en lo que sigue. 1.b. En el esquema P es el peso, FL la fuerza de Lorentz y N la reacción normal del plano.

Nótese que FL es normal al plano y hacia arriba, pues se supone que el móvil desciende por el plano con cierta velocidad v y FL es perpendicular a v y a B P = mg,

FL = q v B,

N=P cosθ - FL

1.c. En el esquema: ∑ fx = Ft, por lo tanto m g senθ = m a ⇒ ∑ fy = 0, es decir, que

a = g senθ

FL -P cosθ +N =0 ⇒ N = mg cosθ -q v B,

1.d. Obsérvese que, mientras que la aceleración del móvil es independiente de la acción del campo magnético, la reacción del plano N disminuye a medida que la velocidad aumenta. Llegará un momento en que la velocidad alcanzada es tal que N = 0. A partir de ese momento, el móvil deja de actuar sobre el suelo y... despega. N = 0 ⇒ mg cosθ -q v B = 0 ⇒ vd = m g cosθ /(q B) 1.e. Por ejemplo: td = vd/a = m cotθ /(q B) ⇒ d=1/2 a td2 = m2 g cotθ cosθ/(2 q B) 2. Hay una nueva fuerza: el rozamiento R, que es proporcional a la reacción del plano y actúa en sentido contrario a Ft.

Se tiene: R = µ N = µ (mg cosθ -q v B). Las demás fuerzas no se alteran. Ft – R = m a

⇒ a = g (senθ - µ cosθ) + µ (q B/m) v

N + FL - P cosθ= 0 ⇒ N= m g cosθ - q v B, El despegue (cuando N = 0) se produce para v = vd = m g cosθ/(q B), El mismo valor que sin rozamiento (valor que se tardará mas tiempo en alcanzar).

Sustituyendo vd en la ecuación de la aceleración a, se obtiene la aceleración en el momento de despegue: ad = g senθ, la misma que si no hubiera rozamiento. 3. Al cambiar el sentido de la corriente, cambia el de B y, por tanto, el de FL. El nuevo valor de la fuerza de rozamiento es R= µ (mg cosθ +q v B) 3.a.

Ft – R = m a

⇒ a = g (senθ - µ cosθ) - µ (q B/m) v

N - F L - P cosθ = 0 ⇒

N= m g cosθ + q v B,

Las ecuaciones del apartado anterior indican que cuando v crece desde 0, la aceleración a va disminuyendo hasta alcanzar a=0. A partir de ese momento cesa la aceleración y el movimiento continúa a velocidad constante vL. Cuando se alcanza la velocidad límite vL 0 = g (senθ - µ cosθ) - µ (q B/m) vL ⇒ vL = m g (senθ - µ cosθ)/(µ q B).

3.b. Gráfica de la velocidad en función del tiempo.

Nótese que al ser la curva v(t), su pendiente da la aceleración en cada instante, a(t) = dv(t)/dt. Su valor inicial, a(0) = tg α, corresponde a la situación de velocidad nula en que se anula la fuerza de Lorentz.