TEMA 1. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

1 1 Campo electrostático 1.1. 1.2. Conductores y dieléctricos 1 3 Ci 1.3. Circuitos it d de corriente i t continua ti 1.4. Campo magnético y generación de tensiones alternas 1.5. Circuitos de corriente alterna 1.6. Campo electromagnético y ondas

1.1. Campo electrostático Campo originado por cargas eléctricas en reposo.

 Carga eléctrica Propiedad básica de la materia. La carga eléctrica de un cuerpo u objeto es la suma de las cargas de cada uno de sus constituyentes mínimos: moléculas, átomos y partículas elementales. Existen cargas positivas y negativas. En ell estado E t d normall d de llos cuerpos materiales, t i l llas cargas eléctricas lé t i mínimas í i están compensadas, por lo que dichos cuerpos se comportan eléctricamente como neutros. Hace falta una acción externa para que un objeto material se electrice. La electrización de un cuerpo se consigue extrayendo del mismo las cargas de un signo y dejando en él las de signo contrario contrario. En tal caso caso, el cuerpo adquiere una carga eléctrica neta no nula. La interacción eléctrica es la existencia de fuerzas eléctricas entre cargas. cargas Si esas cargas están en reposo, se denomina interacción electrostática.

Experiencia Fricción entre materiales  transferencia de carga entre ellos  aparición de fuerzas Bola de corcho suspendida por un hilo no metálico a la que se acerca acerca, sin tocar, una varilla de vidrio o de ámbar previamente frotadas

Hilo no metálico

Hilo no metálico

_

+

Corcho

Varilla de ámbar

Corcho

Varilla de vidrio

a)

b)

Hilo no metálico

Corcho

c)

_

Varilla de vidrio

+

Varilla de ámbar

Si tocamos dos bolas de corcho con las barras de vidrio y/o ámbar

+

+

_

_

b)

a)

_

+

c)

Conclusión Hay d H dos titipos o estados t d de d electrización, l ti ió que B Benjamín j í F Franklin kli (1706 (1706-1790) 1790) llamó positiva (+, vidrio) y negativa (-, ámbar). Y hay dos tipos de interacción eléctrica, y dos tipos carga eléctrica (+ y -).

 Cuantización de la carga Átomo: Núcleo (protones y neutrones) + electrones

Protones: +e Electrones: -e

e=1.6x10-19 C  Unidad fundamental de carga eléctrica. Unidad S.I.: culombio (C) Todas T d las l cargas observables b bl se presentan t en cantidades tid d enteras t d de lla unidad id d fundamental e. Q=±Ne. La carga está cuantizada. Normalmente N es muy grande y la carga parece ser continua.  Conservación de la carga La carga no se crea ni se destruye destruye, sólo se transfiere transfiere. La suma algebraica de todas las cargas en cualquier sistema cerrado es constante. Inicialmente los átomos son neutros: el número de protones y electrones es igual. Al frotar lo cuerpos, se liberan electrones de los átomos, que se transfieren entre ellos. Si un cuerpo cede electrones a otro se queda con un defecto de carga negativa, o lo que es lo mismo, cargado positivamente, y viceversa.

 Ley de Coulomb

z

Ley empírica que proporciona la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, en reposo y en el vacío.

q1

 r12

 r1

La fuerza que ejerce la carga q1 sobre q2 está dada por

q2  r2

 F12 

1 q1q2 rˆ12 x 2 40 r12        r12 r12  r2  r1 , r12  r12  r2  r1 , rˆ12  r12

 0  8.854 10 12 N -1  m -2  C 2 , permitividad pe dad d dieléctrica e éc ca de del vacío ac o

1  8.99  109 N  m 2  C  2 40

Esta fuerza tiene las siguientes propiedades: · Es repulsiva si q1 y q2 son del mismo signo (positiva). · Es E atractiva i sii q1 y q2 son de d signo i opuesto ((negativa). i ) · Satisface el principio de acción y reacción. · Satisface el principio de superposición: si hay más de dos cargas presentes, la fuerza sobre cada una de ellas será la suma vectorial de las fuerzas que ejercen todas las demás sobre ella individualmente.

y

 Campo eléctrico El hecho de que una carga eléctrica ejerza una fuerza sobre otra se puede interpretar considerando que una carga crea un campo eléctrico E en todo el espacio, y es este campo el que ejerce una fuerza sobre otras cargas. El campo eléctrico en un punto del espacio se define como la fuerza F ejercida por unidad de carga sobre una carga de prueba positiva q0  colocada en ese punto  F E q0 El campo eléctrico en el S.I. se expresa en N/C. La dirección y el sentido en un punto son los de la fuerza en ese punto. Esto nos permite poder calcular el campo eléctrico E creado por una carga puntual q en un punto P a unadistancia rP como  F q  E rˆ 2 P q0 40 rP donde rˆP es un vector unitario que apunta desde el punto de la carga fuente al punto de observación P. El campo eléctrico es entonces un vector radial desde la posición de q hacia fuera si q es positiva, y hacia q si es negativa. La fuerza que experimentaría una carga q’ por acción de   este campo sería simplemente F  q ' E

En el caso de tener n cargas puntuales qi situadas en puntos ri (distribución di discreta de d cargas), ) por ell principio i i i d de superposición i ió d de lla ffuerza d de C Coulomb, l b el campo eléctrico total será la suma vectorial de los campos creados por cada una individualmente  n qi E rˆ 2 iP i 1 4 0 riP donde riP es un vector unitario que apunta desde el punto de la carga fuente i al punto de observación del campo P. P  Líneas de campo El campo eléctrico lé t i puede d representarse t dib dibujando j d lílíneas que iindiquen di su dirección. En un determinado punto el campo E es tangente a las líneas de campo eléctrico. El espaciado de las líneas da idea de la intensidad del campo eléctrico Ejemplos: eléctrico.

Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

 Potencial eléctrico La fuerza electrostática que experimenta  unacarga de prueba q0 en presencia de un campo eléctrico E es F  q0 E . Si debido a esa fuerza, q0 se desplaza recorriendo un trayecto infinitesimal dl en esa región, el trabajo hecho por el campo será     dW  Fdl  q0 Edl que por conservación de la energía se traducirá en una disminución de la energía potencial electrostática de q0 en el campo dU  dW  q0 Edl La energía potencial por unidad de carga, U/q0, es lo que se denomina potencial eléctrico o electrostático o simplemente potencial. Se suele representar t por V= V U/ U/q0. Es E una magnitud it d escalar. l La diferencia de potencial entre dos puntos vendrá dada por B   U V  VB  VA     Edl q0 A que es el trabajo por unidad de carga realizado por un agente externo para mover una carga de prueba positiva del punto A al punto B sin cambio en su energía cinética.

Se suele elegir el origen de potenciales en el infinito, lo cual nos permite definir el potencial eléctrico en un punto cualquiera como el trabajo por unidad de carga necesario para llevar una carga de prueba positiva desde el infinito hasta ese punto: B   VB    Edl 

En el S.I. la unidad de potencial es el voltio (V): V=julio/culombio=J/C. Para una carga puntual q situada en el origen de coordenadas tendríamos

 E

P   q0 q q q ˆ r V E d l U q V        0  40 r 2 40 r 40 r 

Líneas de fuerza y superficies equipotenciales de una carga puntual positiva

Figura extraída de Física para la Ciencia y la  Tecnología, Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

1.2. Conductores y dieléctricos Conductores son aquellos materiales que contienen cargas eléctricas que pueden moverse libremente en su interior. Se dice que tienen cargas libres. Ejemplo: j p metales,, en los que q las cargas g libres son los electrones de valencia ((los más externos, los poco ligados al núcleo de los átomos).

Dieléctricos son aquellos materiales que no tienen cargas libres susceptibles de moverse. Se dice que sus cargas están ligadas. Son muy malos conductores de la electricidad (aislantes). Ejemplo: vidrio, corcho, madera. Propiedades de un conductor ideal en equilibrio: · El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio electrostático es cero. · La L carga neta t de d un conductor d t en equilibrio ilib i electrostático l t táti sólo ól puede d estar t en su superficie. · El campo eléctrico justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie. · Un conductor en equilibrio electrostático es un volumen y una superficie equipotenciales. · Dos conductores separados entre sí estarán, en general, a distinto potencial. La diferencia de potencial dependerá de la carga de cada uno, de sus formas y de la distancia entre ellos.

 Capacidad y condensadores Se denomina capacidad C al cociente entre la carga Q y el potencial V de un conductor aislado. C=Q/V. Mide la capacidad de almacenar carga para una determinada diferencia de potencial. Como el potencial siempre es proporcional a la carga, esta relación no depende de Q o de V, sino sólo del tamaño y forma del conductor. La unidad en el S S.I. I es el faradio (F): F F=culombio/voltio=C/V culombio/voltio C/V. Un condensador es un sistema de dos conductores aislados entre sí, que tienen cargas iguales y de signo contrario (±Q) (±Q). Son dispositivos capaces de almacenar carga eléctrica y energía eléctrica. La carga eléctrica se deposita en las placas (conductores) y la energía eléctrica se almacena en la región entre placas (dieléctrico, que puede ser el vacío). Ejemplo: condensador de placas plano-paralelas. Formado por dos grandes placas conductoras paralelas. Suelen ser láminas metálicas muy finas, separadas y aisladas una de otra por una lámina delgada de plástico. plástico Su capacidad es C  A / d Conductores, armadura o placas

Símbolo de un condensador

Hilos de conexión

En principio, las dos placas del condensador son neutras, y se cargarán si las conectamos a través de un “dispositivo” dispositivo (batería o pila) que mueva cargas de una placa a la otra. Este movimiento de cargas tiene lugar hasta que la diferencia de potencial entre las placas sea igual a la diferencia de potencial V entre los terminales de la batería batería.

Figura extraída de Física para la  Ci i l T Ciencia y la Tecnología,  l í Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

La cantidad de carga eléctrica Q que se acumula en las placas depende del valor de V y de la capacidad C del condensador. Q=CV. La energía electrostática almacenada en un condensador cargado es

1 Q2 1 1 U  QV  CV 2 2 C 2 2 Si q es la carga transferida de una placa a otra y se desea transferir un dq adicional desde el conductor negativo a potencial 0 hasta el positivo a potencial V, el incremento de energía potencial del condensador será

q dU  Vdq  dq C

Q



q 1 Q2 U   dU   dq  C 2 C 0

 Asociación de condensadores En su forma más sencilla, sencilla los condensadores se pueden conectar: - En serie C1

C1

- En paralelo

C2



1 1 1   Ceq C1 C2



Ceq  C1  C2

C2

Conexión serie n 1 1  Ceq i 1 Ci

Conexión paralelo n

n condensadores

Ceq   Ci i 1

Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

Diferentes tipos p de condensadores

 Corriente eléctrica en conductores En un conductor sus cargas libres pueden moverse y dar lugar a corriente corriente. La corriente eléctrica se define como el flujo de cargas eléctricas que, por unidad de tiempo, atraviesan un área transversal. Figura extraída de Física para la  Ciencia y la Tecnología,  Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

I

Q t

Las partículas que contribuyen a la corriente pueden tener carga positiva o negativa. Por convenio, el sentido de la corriente es el del flujo de las cargas positivas En un conductor metálico la corriente es debida al flujo de electrones positivas. y, por tanto, el sentido de la corriente es el opuesto al del movimiento de los electrones. La unidad de corriente en el S S.I. I es el amperio (A): A=culombio/segundo=C/s. A=culombio/segundo=C/s Cable de sección A, con n partículas libres portadoras de carga q por unidad de volumen (densidad), desplazándose a una velocidad vd (velocidad de arrastre o deriva) Figura extraída de Física para la  Ciencia y la Tecnología,  Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

Q  qnAvd t  I 

Q  qnAvd t

La corriente por unidad de área (densidad de corriente) será

  I (A/m2) J   qnvd ó J  qnvd A g o distinto sentido según g la carga g de Tanto J como vd son vectores ((de igual las partículas). vd es la velocidad media de todas las partículas, nula en equilibrio (E=0) y distinta de cero fuera de equilibrio (E≠0), puesto que el campo ejerce una fuerza F=qE sobre las partículas cargadas. vd depende de la intensidad de E, y en principio se puede pensar que son proporcionales.  Resistencia y ley de Ohm Si sobre un conductor de longitud L (y área transversal A) aplicamos una diferencia de potencial V, V aparecerá un campo eléctrico E E=V/L V/L, que dará lugar a un desplazamiento neto de las partículas cargadas y por lo tanto a una corriente I. Figura extraída de Física para la  Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología,  Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

Se define la resistencia del conductor como R R=V V/I La unidad de resistencia en el S.I. es el ohmio (): =voltio/amperio=V/A

En muchos materiales (la mayoría de los metales), la resistencia no depende ni de V ni de I. Se denominan materiales óhmicos óhmicos, donde se cumple que V=IR con R constante, que es la denominada ley de Ohm La resistencia de un trozo de material es proporcional a su longitud e inversamente proporcional a su área transversal

R

L 1 L  A A

siendo  la constante de proporcionalidad, denominada resistividad. Su inversa  se conoce como conductividad. A partir de las relaciones anteriores la ley de Ohm también podría ponerse   como J  E La potencia suministrada a un trozo de conductor (disipada en forma de calor, efecto Joule) por el que circula una corriente será

V2 P  IV  I R  R 2

(vatios)

Las resistencias comerciales (típicamente de carbono) sólo se fabrican de ciertos valores, valores indicados por bandas que siguen un código de colores

Resistencia

Hilos de conexión cone ión

Símbolo para representar una resistencia en un circuito

Figuras extraídas de www.fegasinel.com

 Asociación de resistencias En serie Por ellas circulará la misma corriente

V  IR1  IR2  I ( R1  R2 )  IReq Para n resistencias n

Req   Ri i 1

En paralelo Entre ellas existe la misma diferencia de potencial

I  I1  I 2 

1 1 1 V V   V     V R1 R2 Req  R1 R1 

Para n resistencias n 1 1  Req i 1 Ri

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1.3. Circuitos de corriente continua Circuitos que trabajan con señales constantes en el tiempo  Fuentes de tensión y de corriente Para mantener una corriente en un conductor se necesita mantener el campo eléctrico. Esto se consigue con un generador o fuente de fuerza electromotriz o fuente de tensión,, el cual es un dispositivo p que q convierte otras formas de energía (química, mecánica) en energía eléctrica: realiza un trabajo sobre la carga que pasa a su través, elevando su energía potencial. El trabajo realizado por la fuente fuente, por unidad de carga carga, se llama fuerza electromotriz (fem o tensión) de la fuente. Se suele representar por  o V , y se mide en voltios. Dentro de la fuente, las cargas positivas se mueven desde un punto de menor potencial eléctrico a otro de mayor potencial (al revés los electrones). Una fuente de tensión (o fem) ideal es aquella que mantiene una diferencia de potencial constante  entre sus terminales independientemente de la corriente I que circule i l a su través. é

A

VA>VB

+ _ B

VA-VB = V =

Si conectamos con unos conductores ideales una fuente ideal a una resistencia R, R circulará una corriente I de valor I=/R, /R y la potencia suministrada por la fuente será P=I=VI. A

A I V =

V =

+

_ B

R

I

+ _

R

r Figura extraída de Física para la  Ciencia y la Tecnología,  Tipler/Mosca, Ed.  Reverté p / ,

B F t d Fuente de ttensión ió ideal id l

Fuente de tensión real

Una fuente de fem real es aquella en la que la diferencia de potencial entre sus terminales depende del flujo de carga (corriente) que pase por la fuente. Dentro de la fuente hay, para las cargas, un aumento de energía potencial menor que la correspondiente a  , tanto menor cuanto mayor sea la corriente. i t Esta E t disminución di i ió puede d representarse t por una pequeña ñ resistencia r en serie con la fuente ideal, cumpliéndose que

VA  VB    Ir

y la l corriente i t será á

I

 Rr

Una fuente de corriente ideal es aquella que siempre da la misma corriente, independientemente de la tensión entre sus terminales. A

A r

I

I

B B Ideal

Real

Una fuente de corriente real tiene una resistencia interna r,, de modo que q la corriente que suministra depende de la diferencia de potencial entre sus terminales. Se representa por una fuente de corriente ideal en paralelo con su resistencia interna. La fuente de corriente ideal es una real con r =∞.

 Resolución de circuitos VA

VA  VB  IR

Ley de Ohm

I

VB

R La ley de Ohm y las reglas de asociación de resistencias no son suficientes para resolver un circuito arbitrario.

c R

R R/2

a

R/4

e

b

R/2

R

d

R

N d o nodo Nudo d es la l unión ió d de 3 ó más á conductores d t ((a, b b, c, d y e). ) Malla es cualquier camino cerrado en un circuito (acba, cbec, aceda, etc.). Rama es cualquier trayecto entre dos nudos (ac, (ac ab, ab eb eb, etc etc.). )

 Leyes de Kirchhoff Ley de Nudos: La suma de las corrientes que entran a un nudo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. Consecuencia del principio de conservación de la carga. I1  I 2  I 3

Ley de Mallas: La suma algebraica de las diferencias de potencial entre extremos de los componentes de una malla es cero cero. Consecuencia del principio de conservación de la energía.

 IR1  IR2   2  Ir2  IR3  1  Ir1  0

Figura extraída de Física para la Ciencia y la  Tecnología, Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

Pasos para aplicar la ley de mallas con las corrientes de cada rama: a) Se dibujan (se ponen las flechas) las corrientes en cada rama (como se desee). b) S Se ponen llos signos i , de d mayor y menor potencial t i l eléctrico lé t i en llas resistencias según el sentido de I. -

I



-

+

+

+

R -IR recorrido

recorrido

-

+IR

c) Se elige un sentido de recorrido de la malla empezando en un punto cualquiera y se van poniendo los sumandos de las diferencias de potencial con los signos correspondientes correspondientes. Se iguala la suma algebraica a cero. Para resolver un circuito se plantean las ecuaciones de las diferentes mallas y se soluciona el sistema resultante.

 Teoremas adicionales Teorema o principio de superposición lineal En un circuito de componentes lineales conteniendo varios generadores (fuentes), la corriente en cada rama se puede calcular como la suma algebraica de las corrientes producidas independientemente por cada generador cuando el resto de los generadores se sustituye por sus resistencias internas.

I  I1  I 2

R I

1 r1

2 r2



R

1 r1

I1

R r2

+

r1

I2

2 r2

T Teorema o circuito i it equivalente i l t d de Thè Thèvenin i Cualquier circuito lineal activo (con fuentes), con terminales de salida A y B, puede sustituirse por un solo generador de voltaje ideal en serie con una resistencia, tales que: 1.- La fem de la fuente equivalente es igual a la diferencia de potencial entre los terminales A y B en circuito abierto. 2.- El valor de la resistencia es igual a la resistencia equivalente del circuito entre los puntos A y B sustituyendo cada generador por su resistencia interna.

Teorema o circuito equivalente de Norton Cualquier circuito lineal activo, con terminales de salida A y B, se puede sustituir por una fuente de corriente ideal en paralelo con una resistencia, de forma que: 1.- El valor de la corriente del generador equivalente es igual a la intensidad de 1 corriente que circula entre A y B en cortocircuito. 2.- El valor de la resistencia es igual a la resistencia equivalente del circuito entre los puntos A y B sustituyendo p y cada g generador p por su resistencia interna ((coincide con la resistencia del circuito de Thèvenin).

Teorema de Millman El potencial en un punto B de un circuito lineal activo respecto al potencial en un punto A que tomamos como referencia se puede expresar como

VB  VA

 R  R i

i

1 i

1 i

i

donde i representa cada una de las ramas que van de A a B, siendo i la fem equivalente de la rama i y Ri la resistencia equivalente en la rama i.

1.4. Campo magnético y generación de tensiones alternas El campo magnético es el transmisor de la interacción magnética. Es producido por corrientes eléctricas (cargas en movimiento) y sólo actúa sobre corrientes o cargas en movimiento. Experimentalmente se demuestra que una carga q que posee velocidad v en presencia de un campo magnéticoB experimenta una fuerza magnética   perpendicular a ambos dada por F  qv  B

Figuras extraídas de Física para la  Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología,  Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

La unidad del S.I. para el campo magnético es el tesla (T). Una carga de un culombio que se mueve con una velocidad de un metro por segundo g p perpendicular p a un campo p magnético g de un tesla experimenta p una fuerza de un newton. N N 1T  1 1 C  m/s Am El tesla es una unidad muy grande. En su lugar se suele utilizar el gauss (G)

1 G  10 -4 T

La fuerza que experimenta una partícula cargada en presencia de un campo eléctrico y un campo magnético viene dada por la expresión de la fuerza de     Lorentz F  q EvB





 Ley de Faraday Un campo p magnético g variable en el tiempo p crea en un conductor una fuerza electromotriz y una corriente eléctrica. Se llaman fem inducida y corriente inducida, y el proceso se denomina inducción electromagnética. Ejemplo: imán acercándose o alejándose de una espira conductora  varía el número de líneas de campo que atraviesan el área encerrada por la espira y por tanto varía el flujo magnético a través del circuito. La corriente inducida cambia de sentido según se acerque o aleje el imán.

Figura extraída de Física para la  Ciencia y la Tecnología,  Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

Imán acercándose a una espira

Esta experiencia explica que si el flujo magnético  M que atraviesa un circuito varía en el tiempo, se induce una fem  , cuyo valor es:   d M  con  M   B  dA dt S la cual se conoce como ley de Faraday. El signo menos indica que la fem y la corriente inducidas tienden a oponerse a la variación que las produce (ley de Lenz). La unidad del flujo magnético en el S.I. es el weber (Wb): Wb=T. m2

Si suponemos por sencillez un campo magnético B uniforme, el cual forma un ángulo  con la normal a la espira (de área A), A) tendremos que

 M  BA cos     

d M d   BA cos  dt dt

que nos indica que se induce una fem cuando varía B, A, , o una combinación de ellas.

 Autoinducción El flujo magnético que atraviesa un circuito puede ser debido al campo magnético producido por su propia corriente.

I (t )  B(t )   M (t )

Al cerrar el interruptor S, la corriente varía en el tiempo hasta que se alcanza su valor final (la corriente en un circuito no cambia de forma instantánea desde cero a un valor finito o al revés). Es decir, se induce una fem en el circuito que se opone al aumento de la corriente. Cuando se abre el interruptor S ocurre algo similar. A esta t fem f se la l denomina d i autoinducida, t i d id y all ffenómeno ó se le llama autoinducción. Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología,  Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

Si consideramos una espira o una bobina por la que circula una corriente I, esta corriente produce un campo magnético B que es siempre proporcional a I. g el flujo j magnético g a través de la espira p será también p proporcional p a I. Luego

 M  I   M  LI La constante de proporcionalidad L se denomina autoinducción de la espira o b bi bobina, yd depende d d de su geometría tí yd dell medio. di La unidad de inductancia en el S.I. es el henrio (H): H=Wb/A=T.m2/A

l

La autoinducción de un solenoide de N espiras muy juntas y longitud l es: N2A L  0 l

A I

I

donde A es el área de las espiras y 0 la permeabilidad magnética del medio. L

Símbolo utilizado para representar una bobina ideal de autoinducción L. L La autoinducción real, además del valor de la autoinducción, tiene una resistencia en serie r, asociada al hilo con el que se fabrica.

 Asociación de autoinducciones Serie

L1

L2

L1

Paralelo L2



Leq  L1  L2



1 1 1   Leq L1 L2

 Generación de una fem sinusoidal En su versión E ió simplificada, i lifi d un generador d d de corriente i t alterna lt está tá fformado d por una espira i (o una bobina de espiras) que gira en un campo magnético uniforme producido por un imán. Al variar el flujo que atraviesa la espira se induce una fem que varía sinusoidalmente en el tiempo, obteniéndose una corriente también sinusoidal con t cuando se cierra el circuito con una resistencia, una autoinducción, un condensador o una combinación de ellas. Los extremos de la espira van unidos a unos anillos que rotan con ella. Los contactos a estos anillos se llevan a cabo con escobillas de grafito. La espira rota con velocidad angular  constante. Este movimiento se puede producir por un salto de agua, una turbina de vapor, un motor de combustión, etc.

Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

Si n es la normal al plano de la espira (o bobina) y  el ángulo que forman n y B, el j q que atraviesa la espira p será flujo

 M  AB cos  y al girar la espira se cumplirá que   0  t , siendo  el ángulo inicial en t=0. En una bobina de N espiras el flujo podrá ponerse como  M  NAB cos(0  t ) y según la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida en la bobina será

d M  NAB sen(0  t ) dt que se puede poner como (t )   max sen(0  t ) 

siendo max la amplitud de  ó valor máximo ó valor de pico. A (+t) se le llama fase del movimiento armónico y  indica el origen de fases. Dependiendo del origen de tiempos (t) puede tener la forma sen ó cos. tiempos, cos (t) es el valor instantáneo de la tensión tensión.

+



~

_

símbolo de un generador ideal de tensión alterna

T Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

Se denomina periodo al intervalo de tiempo entre dos valores iguales consecutivos de la tensión y se representa por T. Se denomina frecuencia f al número de veces que se repite la señal en 1 s. Sus unidades son hertzios (Hz): Hz=ciclos/segundo. La frecuencia de la red eléctrica en Europa es de 50 Hz Hz. Frecuencia angular =2f es la velocidad angular. Se mide en radianes/segundo. radianes/segundo Longitud de onda es el periodo espacial de la señal =cT = c/f , siendo c=3.108 m/s la velocidad de la luz en el vacío vacío. Además de la generación de una tensión alterna monofásica (la que se ha presentado) también se tiene la trifásica (industrial) presentado), (industrial).

1.5. Circuitos de corriente alterna Circuitos que trabajan con señales que varían periódicamente (típicamente sinusoidalmente) en el tiempo. Las definiciones de fuentes de corriente y tensión (ideales y reales) dadas para los circuitos de corriente continua son igualmente válidas para corriente alterna. Lo teoremas de superposición lineal, Thevenin, Norton y Millman son igualmente válidos  Generador conectado a una resistencia , I Figuras extraídas de Física  para la Ciencia y la  Tecnología, Tipler/Mosca,  Ed.  Reverté

0

VR (t )  (t )   max cos(t )

I (t ) 

, I



t 2

(t )  max cos(t )  I max cos(t )  R R

todas las magnitudes están en fase

La potencia instantánea suministrada por el generador (que será la que se disipe en la resistencia) podrá ponerse como 2 2 P (t )  (t ) I (t )   max I max cos 2 t  I max R cos 2 t  I max R

1 1  cos 2t  2

Consta de un término constante y otro variable en el tiempo de frecuencia doble de la del generador. Siempre es positiva o cero.

Figura extraída de Física para la Ciencia y la  Tecnología, Tipler/Mosca, Ed.  Reverté l í l / d é

El valor medio de la potencia instantánea en un periodo (potencia que se convierte en trabajo útil en la resistencia) es T 2 2 1 1  I max R  I max R  max I max P (t )   P (t )dt   T    2 2 T 0 T 2 

 Valores eficaces El valor medio de una tensión o una corriente sinusoidal es cero. Por ello se definen los valores eficaces de estas magnitudes y de la potencia. Mientras en el osciloscopio se observan los valores instantáneos, en los voltímetros y amperímetros de alterna se miden valores eficaces. En general, si g(t) es el valor instantáneo de una señal, su valor eficaz es 1 T 2  g ef    g (t )dt  T 0 

12



g 2 (t )

Para señales armónicas (sinusoidales) en el tiempo, tendremos (t )   max cos(t ) 

 ef   max

2  0.707 max

I (t )  I max cos(t ) 

I ef  I max

2  0.707 I max

Pef  I ef2 R   ef I ef igual expresión que para corriente continua

 Generador conectado a una autoinducción (bobina)

Figuras extraídas de Física para  la Ciencia y la Tecnología,  Ti l /M Tipler/Mosca, Ed.  Reverté Ed R té

Suponemos que la bobina es ideal, r =0 , por lo que en continua equivale a un cortocircuito. Cuando se le aplica una señal alterna , I variará en el tiempo, y en la bobina se producirá una fem inducida (fuerza contraelectromotriz) que se opone a la l variación i ió d de I.

 ind  

d M dI  L dt dt

Es una tensión que proporcionará una corriente de sentido contrario a I. Si consideramos la tensión entre extremos de la bobina en el sentido de I

dI d dt Por la ley de mallas se cumple que   VL  0 , luego se ha de cumplir que VL   ind  L

  VL  L

dI dt

Si la fuente del circuito es una tensión cosenoidal (t )   max cos(t ) t

t

1 1   t I   dt    max cos t dt  max sent 0  max sent  L0 L0 L L 

 max cost   2   I max cost   2  L

A la vista de estos resultados,, podemos p decir que q la corriente y la diferencia de potencial entre extremos de L no están en fase. La corriente se retrasa /2 con respecto a VL(t) ó (t). La relación entre los valores máximos de la tensión aplicada y la corriente es I max 

 max L

L tiene dimensiones de impedancia (), y a X L  L se la conoce como impedancia de la bobina (reactancia inductiva). XL depende de la frecuencia: aumenta con  y es nula (cortocircuito) para una señal continua (=0).

La relación entre los valores eficaces de la tensión aplicada y la corriente que circula por el circuito es  ef  ef  I ef  L X L La potencia instantánea cedida a la bobina por el generador será

P(t )  (t ) I (t )   max I max cos(t ) cos(t   2) 

 max I max cos(2t   2)  cos  2 2

 max I max sen 2t 2 Varía con frecuencia 2 y su valor medio P(t ) en un periodo es cero (es negativa la mitad del tiempo y positiva la otra mitad). Esto es consecuencia de que la bobina es ideal: en media la bobina no disipa ninguna energía (la f fuente nii entrega nii recibe ib energía í d de lla b bobina bi id ideal). l) P(t ) 

P

t 0



2

 Generador conectado a un condensador

Figuras extraídas de Física para  la Ciencia y la Tecnología,  Ti l /M Tipler/Mosca, Ed.  Reverté Ed R té

En continua un condensador no deja pasar la corriente corriente, actúa como un circuito abierto (sólo pasa corriente en transitorios de carga o descarga). Cuando se le aplica una señal alterna , el condensador se carga y se descarga periódicamente La oposición que presenta a la corriente procede de la periódicamente. oposición entre las cargas de las placas al cargarse. Por la ley de mallas se cumple que   VC  0 , luego se ha de cumplir que t

  VC  Q C

con Q   I (t )dt  C  VC C 0

Si la fuente del circuito es una tensión cosenoidal (t )   max cos(t ) I

dQ dV  C C   max Csent   max C cos(t   2)  I max cos(t   2) dt dt

Vemos que la fase de I se adelanta en /2 a la fase de VC(t) ó (t).

La relación entre valores máximos es I max   max C 

 max 1 C

1/C tiene dimensiones de impedancia (), y a

X C  1 / C se la conoce como impedancia del condensador (reactancia capacitiva). XC depende p de la frecuencia: disminuye y al aumentar  y se hace infinito (circuito abierto) para una señal continua (=0). p y la corriente q que La relación entre los valores eficaces de la tensión aplicada circula por el circuito es  ef I ef   ef C  XC La potencia instantánea cedida al condensador por el generador será

 max I max cos(2t   2)  cos( 2)  2 2  max I max I max XC  sen 2t   sen 2t 2 2

P(t )  (t ) I (t )   max I max cos(t ) cos(t   2) 

P(t )  

 max I max sen 2t 2

Varía con frecuencia 2 y su valor medio P(t ) en un periodo es cero (es negativa la mitad del tiempo y positiva la otra mitad). Podemos decir que un condensador ideal no consume potencia; la que recibe, la devuelve (al igual que la autoinducción ideal).

P

t 0



2

 Generador conectado a un circuito RLC serie Como la corriente I que circula por todos los elementos del circuito es la misma t

dI 1 dI Q   IR  L   IR  L   Idt dt C dt C 0 Figura extraída de Física para la Ciencia y la  Tecnología, Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

Para calcular I(t) deberíamos resolver la anterior ecuación integro-diferencial. Si suponemos que (t )   max cos(t ), en el estado permanente la corriente será del tipo I  I max cos(t  ) , donde debemos determinar Imax y  para que satisfagan la ecuación anterior. Sustituyendo la solución propuesta

 max cos t  I max R cos(t  )  LI max sen (t  ) 

I max sen (t  ) C

Desarrollando D ll d cos((t  ) y sen (t  ) , e iigualando l d llos té términos i que multiplican lti li a cos(t ) y sen (t ) I max    cos    sen   sen I R LI max max  max C  0  I Rsen  LI cos   I max cos  max max  C

1 L  C De la segunda ecuación: tan   R

1   R2   L  C  

2

L 



1

C

 X L  XC

R Triángulo de impedancias

Y teniendo en cuenta la primera ecuación

I max 

 max 1   R   L    C  

2

2

Impedancia del circuito Valor eficaz de la corriente Admitancia del circuito Reactancia del circuito

1   Z  R   L    C  

2

2

I eff   eff Z Y  Z 1 X  X L  X C  L  1 / C

La fase  de la corriente (fase de  - fase de I ) cumple que   2      2 . Cuando     2 , en el circuito sólo hay condensador. Y cuando    2 , en el circuito sólo hay autoinducción. Si  el circuito es inductivo inductivo. Si  el circuito es capacitivo capacitivo. Y si   el circuito es resistivo.

La potencia instantánea suministrada por la fuente es

P(t )  I   max I max cos(t ) cos(t  )  __ Potencia instantánea

Potencia en circu uito serie RLC

0,4

+

+

+

0,3

..... Término P(2wt)

0,2

Término en cos 

0,1 0,0 0 -0,1

 max I max cos(2t  )  cos()  2

1

-

2

3

4

-

5

6

7

8

wt=1000 t rad/s

9

10

11

12

13

El primer término (sumando) de esta potencia es de frecuencia doble de la del generador y dependiente del tiempo. tiempo El segundo sumando es constante en el tiempo.

-

-0,2 -0,3

T

 I 1 La potencia media en un periodo es P (t )   P (t )dt  max max cos    ef I ef cos  T 0 2 Se denomina potencia activa, se mide en vatios y es positiva o cero. Se puede poner como

Pa   ef I ef

R R  I ef2 Z  I ef2 R Z Z

interpretándose como la potencia que se cede a la R (trabajo útil). Se denomina factor de p potencia a cos  . Siempre p es p positivo. Si cos   no hayy p potencia activa y si cos  la potencia activa es máxima.

 Circuitos de corriente alterna mediante impedancia compleja Hasta ahora hemos representado las señales alternas mediante sus valores instantáneos, que constan de amplitud, frecuencia y fase, lo cual hace difícil su estudio. Mediante la notación fasorial para corrientes y tensiones, y el concepto de impedancia compleja de los elementos del circuito, circuito el estudio del régimen permanente senoidal se simplifica mucho.

z  x  jy 

j  1

 z  r  x2  y2  z  re j  y arctan    x

j, Imaginario y

z

r



Real x

El valor instantáneo de una señal alterna es (t )   0 cos t , o bien (t )   0sent Si escribimos  (t )   0 e jt   0 cos t  j 0sent , ó

 (t )   0 e jt e j   0 e j ( t  )   0 cos(t  )  j 0sen(t  ) podemos decir que los valores instantáneos á de una señal real son los valores de la parte real o los de la parte imaginaria de su representación compleja. g y derivar señales en el tiempo. p Esta notación hace más fácil integrar

Integración de señales complejas

I (t )  I 0 e

j ( t   )

t

  I dt d  0

I 1 j I 0 e j ( t   )   I 0 e j ( t   )  0 e j ( t     2 ) j  

En la operación de integración la amplitud se divide por  y la señal resultante se retrasa en /2 (fase -/2). /2) En un circuito esto es lo que ocurrirá cuando se tenga un condensador (VC se retrasa en /2 respecto a IC).

Derivación de señales complejas

I (t )  I 0 e j ( t ) 

dI  jI 0 e j ( t )  I 0 e j ( t   2) dt

En la operación de derivación la amplitud se multiplica por  y la señal resultante se adelanta en /2. En un circuito esto es lo que ocurrirá cuando se tenga una autoinducción (VL se adelanta en /2 respecto a IL).

 Circuito RLC serie estudiado con notación compleja 

t

 (t )  VR  VL  VC  I R  L  I R  jLI 

dI 1   I dt  dt C 0



 1 1    I Z I  I  R  jL  jC j C  

Se define la impedancia compleja del circuito RLC serie como

1   Z  R  j  L    R  j  X L  X C   R  jX C   Z  Z R  Z L  ZC ,

Z R  R, Z L  jX L  jL, Z C   jX C 

1 jC

con parte real e imaginaria. Su módulo y fase serán

Z  Z e j Z

2  1    Z  R 2   L    C     1 L   C  Fase de   Fase de I  Z  arctan R 



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 Resonancia Si suponemos que la amplitud max de la señal del generador es constante y que se puede variar su frecuencia, la amplitud de la corriente Imax variará con la frecuencia. Hay un valor de la frecuencia =0 para la que se cumple que XL=XC, =0 y Z=R es mínima mínima, de modo que  e I están en fase y la amplitud de la corriente es máxima, =max/R. 1 1 X L  X C  0   f0  LC 2 LC frecuencia de resonancia del circuito Imáx

2,0 1,8 1,6

0.707xImáx

I (amperios)

1,4 1,2 1,0

R= 5  C= 1 F L= 1 mH 0= 31620 rad/s 1= 29220 rad/s 2= 34220 rad/s Q= 6.3

0,8

VL VR I VC

0,6

VL  VC

0,4 0,2

1 0 2

0,0 0

4

1x10

4

2x10

4

3x10

4

4x10

4

5x10

4

6x10

 (radianes/s)

Ejemplo de curva de resonancia de un circuito RLC serie

Diagrama de fasores en resonancia

1.6. Campo electromagnético y ondas Las ecuaciones de Maxwell relacionan los vectores campo eléctrico y magnético, E y B, con sus fuentes, que son las cargas eléctricas y las corrientes. Estas ecuaciones resumen las leyes experimentales de la electricidad y el magnetismo. Figuras extraídas de Física para  la Ciencia y la Tecnología,  Tipler/Mosca, Ed.  Reverté

Ley de Gauss

Ley de Faraday

Ley de Gauss del magnetismo Ley de Ampere (+corriente de desplazamiento)

Estas ecuaciones pueden combinarse para originar una ecuación de ondas que deben satisfacer los vectores campo eléctrico y magnético. Estas ondas electromagnéticas están originadas por cargas eléctricas aceleradas como, por ejemplo, j l llas cargas eléctricas lé t i alternantes lt t presentes t en una antena. t F Fueron producidas por primera vez por Hertz en 1887. La velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío es

c

1  3 108 m/s  0 0

0 permeabilidad magnética del vacío 0 permitividad dieléctrica del vacío

 Ecuación de ondas

 2 y ( x, t ) 1  2 y ( x, t )  2 v t 2 x 2 solución general

v  velocidad de la onda

y ( x, t )  f1 ( x  vt )  f 2 ( x  vt )

que se puede expresar como superposición de funciones de onda armónicas de la forma

y ( x, t )  y0 sen(kx  t )

e

y ( x, t )  y0 sen(kx  t )

Ondas planas: de valor uniforme en todos los puntos de cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación con k 

2 el número de onda ( longitud de onda) 

  2f la frecuencia angular v  f

velocidad de la onda

 Ondas electromagnéticas Considerando el vacío, en ausencia de cargas g y corrientes, y q que E y B son funciones del tiempo y de una sola coordenada espacial x, las ecuaciones de Maxwell implican que tanto E como B obedecen a ecuaciones de onda, en particular:

Se trata de ondas planas, puesto E y B son uniformes en todos los puntos de cualquier plano perpendicular al eje x. Ambos campos están en fase, son perpendiculares entre sí y perpendiculares a la dirección de propagación. Las ondas electromagnéticas son, por lo tanto, ondas transversales. l En cada punto del espacio y en cada instante de tiempo los módulos de E y B están relacionados por la expresión E=cB, con c la velocidad de las ondas en el vacío. La dirección de propagación de una onda electromagnética es la dirección del producto vectorial ExB

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 El espectro electromagnético

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