Colegio “Tirso de Molina” Departamento de Matemáticas

Matemáticas II Curso 2013-2014

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. 

CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.  DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares de la forma: (

)

Esta es una matriz de m filas y n columnas. Se dice que su dimensión es m.n. Cada elemento

son números reales.

Veamos a continuación otras formas de denotar una matriz: ó Si m=n diremos que la matriz es cuadrada. Diremos que dos matrices son iguales cuando son de la misma dimensión y, además, coinciden término a término, esto es: (

)

|[

]



TIPOS DE MATRICES:  Rectangulares: si m≠n.  Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n. Esto es, si m=n. Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann. La diagonal secundaria es la formada por los elementos , , , . . ., .  Se llama matriz nula a aquella que tiene todos sus términos 0.  Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es 1x n.  Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será m x 1.  Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos.  Y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.  Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal. Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal. 1

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 Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por , donde n es el orden o tamaño de la matriz.  Traspuesta de una matriz: es la matriz resultante de intercambiar en dicha matriz las filas por las columnas y viceversa.  Simétrica: una matriz diremos que es simétrica cuando coincide con su matriz traspuesta. Así, la matriz A será simétrica si y sólo si A= , siendo la matriz traspuesta de A.  Si A= será antisimétrica.  Opuesta: la matriz opuesta de una dada, A, es la matriz resultante de cambiar todos y cada uno de los términos de la matriz A. Así pues, la matriz opuesta de A será –A. 

OPERACIONES CON MATRICES Y SUS PROPIEDADES: 1. SUMA/ RESTA: para que dos matrices puedan sumarse tienen que ser, necesariamente, de la misma dimensión. Así, la matriz suma es la matriz resultante de sumar término a término. PROPIEDADES: - Asociativa: (A+B) + C = A + (B+C) - Conmutativa: A+B=B+A - Elemento Neutro: ( la matriz de dimensión n.m con todos los elementos cero) - Elemento Opuesto: la matriz –A, que resulta de cambiar de signo a todos los términos de la matriz A. 2. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ: para multiplicar un número dado por una matriz, se multiplica el número por cada uno de los términos de la matriz. PROPIEDADES: - Asociativa: a. (b.A) = (a.b). A - Distributiva respecto a la suma de números: (a+b). A= a.A+b.A - Distributiva respecto a la suma de matrices: a.(A+B) = a. A + a. B - Elemento neutro, el número 1: 1. A= A 3. PRODUCTO DE MATRICES: previamente veamos cómo es el producto de un vector fila por un vector columna, ambos de la misma dimensión. Así, el producto de una matriz fila por una matriz columna es un número que se obtiene multiplicando término a término y sumando los resultados, esto es:

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(

)

IMPORTANTE: para que dos matrices A y B puedan multiplicarse, es necesario que e número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz. En tal caso, el producto A. B =C es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera por cada vector columna de la segunda matriz, resultando así una matriz que tiene tantas filas como A y tantas columnas como la matriz B, del siguiente modo:

PROPIEDADES: -

-

-

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Asociativa: ( IMPORTANTE!!! El producto de matrices no es conmutativo. En general, A.B≠ B.A por tanto, utilizaremos expresiones del tipo: “ La matriz A está multiplicada por la derecha por la matriz B “ en el caso de A. B. Distributivas: si A, B, C, D son matrices cuyas dimensiones permiten efectuar las operaciones que se indican, se cumplen las siguientes propiedades: Elemento neutro, la matriz identidad correspondiente, si A es m x n:

MATRICES CUADRADAS

Las matrices cuadradas de un cierto orden n son matrices que, como hemos visto anteriormente, con el mismo número de filas que de columnas y además de cumplir todas las propiedades vistas, se pueden multiplicar siempre entre sí. Veamos a continuación alguna propiedad más para las matrices cuadradas. -

-

Matriz unidad: llamamos matriz unidad o identidad de orden n a la matriz cuadrada de orden n con todos 1 en la diagonal principal de la matriz y el resto de sus términos 0. La denotaremos por . Elemento neutro para matrices cuadradas de dimensión n : para cualquiera que sea , se cumple: .

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MATRIZ INVERSA DE UNA DADA. MÉTODO DE GAUSS. El curso pasado hemos visto el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas. Este curso además de utilizar este método para resolver sistemas de ecuaciones lineales de hasta cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, veremos otra utilidad del método de Gauss como es el cálculo de matrices inversas a una dada.  DEFINICIÓN: Diremos que, dada una matriz cuadrada , tiene inversa, , si se cumple que . Y en ese caso, diremos que A es una matriz regular. Las matrices cuadradas que no tienen inversa se llaman singulares. OJO! : Una matriz no cuadrada no puede poseer matriz inversa y no todas las matrices cuadradas tienen inversa. Así, para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada dada A utilizaremos el método de Gauss sobre la matriz | de manera que, tras realizar las transformaciones elementales del método de Gauss sobre dicha matriz llegaremos a obtener otra matriz | siendo la matriz inversa de A que deseábamos calcular. NOTA: Si en la parte izquierda aparece una fila de ceros, A no tiene inversa. Será pues singular.

Recordemos a continuación en qué consistía el método de Gauss: Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la matriz . Se llama transformación elemental en una matriz a: T1) Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero. T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo. T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sí. 

RANGO DE UNA MATRIZ

Un concepto muy importante relacionado con las matrices es el rango. El concepto de rango se encuentra ligado al de “independencia lineal” de filas o columnas de una matriz, pero no se introduciría de esta manera porque se requieren conceptos que no conocemos. Basta saber que se define el rango de una matriz como el número máximo de filas o columnas linealmente independientes. Sin embargo, el cálculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspectiva, utilizando el método de Gauss. Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A a la que aplicamos el método de Gauss con el fin de simplificarla lo más posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor número de ceros posible), realizando operaciones elementales en filas. 4

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Llamaremos rango de una matriz A y lo representaremos por rang(A) o rg(A) al número de filas no nula de la matriz tras aplicarle el método de Gauss. Veremos en la práctica que el rango de una matriz de orden m.n será a lo sumo el min(m,n) ; esto es, si tenemos una matriz 3x5 su rango será a lo sumo 3. Propiedad: Una matriz tiene inversa si y sólo si rg(A) es máximo. 2. DETERMINANTE. Introduciremos a continuación el concepto de determinante asociado a una matriz cuadrada. Este concepto permite simplificar operaciones matriciales tales como el cálculo del rango o de la matriz inversa que hemos visto por el método de Gauss. DEFINICIÓN: Si es una matriz 2x2 se define el determinante de la matriz A, y se expresa como det(A) o bien /A/ , como el número: | |

|

|

Para definir determinantes de matrices de orden mayor que 2 es necesario introducir previamente algunos conceptos. Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el menor complementario de un elemento de A, , como el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j en la que se encuentra dicho elemento aij. Se representa por . Estrechamente ligado al concepto de menor complementario se encuentra el de adjunto de una matriz. Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el adjunto de un elemento aij de A como el número: es decir, no es más que el menor complementario correspondiente acompañado de un signo más o menos dependiendo de la fila y la columna en la que se encuentre el elemento en cuestión. En general puede saberse si el signo del menor complementario y del adjunto coinciden o no utilizando una sencilla regla gráfica, por ejemplo, para matrices 3 x 3 y 4 x 4 basta fijarse en las matrices: (

)

(

)

donde el + significa que el adjunto coincide con el menor complementario y el - indica que tienen signo contrario. Una vez vistos estos conceptos se puede definir ya: Definición: Dada una matriz cuadrada A de tamaño n se define su determinante como la suma del producto de los elementos de una línea cualquiera de la matriz (fila o columna) elegida, por sus correspondientes adjuntos.

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Se puede demostrar, aunque dicha demostración excede los contenidos del curso, que el valor del determinante no depende de la fila o columna elegida para calcularlo. 

LA REGLA DE SARRUS.

La definición de determinante es bastante engorrosa y se hace mucho más pesada a medida que aumenta el orden de la matriz A. En el caso de las matrices cuadradas de orden 3, esta regla facilita el cálculo de dichos determinantes. Si la matriz es A = (

) entonces el determinante de A se calcula

mediante la resta de dos expresiones obtenidas del siguiente modo: Llamaremos sumandos positivos a los obtenidos al multiplicar: - Los elementos de la diagonal principal: a11 ・ a22 ・ a33. - Los elementos de la línea paralela superior a la diagonal principal por el elemento aislado de la esquina inferior izquierda: a12 ・ a23 ・ a31. - Los elementos de la línea paralela inferior a la diagonal principal por el elemento aislado de la esquina superior derecha: a21 ・ a32 ・ a13. Gráficamente:

sumandos positivos

Llamaremos sumandos negativos a los obtenidos al multiplicar: - Los elementos de la diagonal secundaria: a13 ・ a22 ・ a31. - Los elementos de la línea paralela superior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la esquina inferior derecha: a12 ・ a21 ・ a33. - Los elementos de la línea paralela inferior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la esquina superior izquierda: a32 ・ a23 ・ a11. Gráficamente:

sumandos negativos Y entonces det (A)=( Sumandos positivos - Sumandos negativos).

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 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostración, son: 1. Si una matriz tiene una línea (fila o columna) de ceros, el determinante vale cero. Esta propiedad es evidente, puesto que por definición de determinante, basta elegir dicha línea para desarrollar y el determinante será 0. 2. Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales, su determinante es nulo. 3. Si permutamos dos lineas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo, por ejemplo: |

| = 91→|

| = -91.

4. Si multiplicamos todos los elementos de una línea de un determinante por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. Por ejemplo:

|

| = 91 , entonces |

| = 182.

5. Si a una línea de una matriz se le suma otra línea multiplicada por un número, el determinante no cambia. Esta propiedad permite utilizar un método más sencillo para calcular determinantes de orden mayor que 3. 6. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta, |A| = | | 7. Se verifica que: |

| = | |. | | .

8. Si A tiene matriz inversa, A−1, se verifica que: Una estrategia a tener en cuenta en este caso de determinantes de orden 4 o superior, o incluso de orden 3 si la matriz es compleja, es el método de “hacer ceros”, puesto que el valor del determinante no varía al realizar a la matriz ciertas transformaciones elementales en filas , como indica la propiedad 5 anterior, si bien hemos de ser cuidadosos al aplicar dicha propiedad. Así pues la mejor forma de calcular un determinante es hacer ceros en una fila o columna y desarrollar por dicha fila o columna, porque entonces sólo tendremos que calcular un adjunto. Veremos un ejemplo.

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RELACIÓN ENTRE LA INVERSA Y LOS DETERMINANTES.

Hay una estrecha relación entre la inversa de una matriz cuadrada y su determinante. De hecho se verifica que: Propiedad: Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇐⇒ |A| ≠ 0. Además, en este caso, la matriz inversa de A, A−1 se calcula de la manera:

donde Adj(A) denota la matriz adjunta de A, es decir, aquella que se obtiene de sustituir cada elemento de A por su adjunto. 

APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES AL CÁLCULO DEL RANGO.

Los determinantes también proporcionan una forma sencilla de calcular el rango de una matriz cualquiera. Un definición alternativa de rango de una matriz es: El rango de una matriz A es el tamaño del mayor menor complementario no nulo que esté incluido dentro de la matriz. Veamos cómo actuar para determinar dichos mayores con un ejemplo.

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