Tema 2. Cinemática 2.1 Posición y movimiento 2.2 Velocidad 2.3 Aceleración 2.4 Movimiento rectilíneo uniforme 2.5 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 2.6 Movimiento circular 2.7 Movimientos compuestos

La cinemática es la parte de la física que estudia el movimiento sin tratar sobre las causas que lo originan. El origen de la palabra está en la palabra griega: kinetikos. En este tema se estudiará el movimiento de objetos y, para ello, se definirán en primer lugar una serie de términos relativos a la determinación de la posición de un objeto y a las variaciones que ésta experimenta. Inmediatamente después se pasará a estudiar diversos movimientos sencillos para acabar analizando movimientos que se componen a partir de otros más sencillos.

2.1. Posición y movimiento 2.1.1 Conceptos básicos del movimiento Punto material Es un objeto ideal sin dimensiones pero con masa. La forma del objeto no se tiene en cuenta al estudiar su movimiento. También se le denomina móvil, masa u objeto.

Sistema de referencia Es el lugar desde el cual se mide la posición de los objetos. Se asocia al origen de los ejes cartesianos, 0, (0,0) o (0, 0, 0) en una, dos o tres dimensiones respectivamente.

Movimiento Cambio de posición de un objeto respecto de un sistema de referencia. Es muy importante tener en cuenta que, para determinar si algo se mueve, primero hay que determinar respecto a qué se mueve. En nuestra vida cotidiana asumimos que el suelo está en reposo, incluso si viajamos en avión tren o barco. No existe ningún lugar que podamos afirmar que esté en reposo absoluto.

Tema 2: Cinemática

Relatividad del movimiento Dependencia del movimiento respecto del sistema de referencia elegido. Un viajero de avión está en movimiento cuando el avión vuela porque se asume que el sistema de referencia está en tierra, pero respecto al pasajero que está a su lado el viajero está en reposo.

Los sistemas de referencia se pueden clasificar de dos modos: 1. Sistemas de referencia absolutos y relativos; los primeros serían aquellos que estuvieran en reposo absoluto, lo cual es imposible, por lo que todos los sistemas de referencia son relativos. 2. Sistemas de referencia inerciales y no inerciales; un sistema de referencia inercial no está acelerado mientras que el no inercial es aquel que posee aceleración.

Para describir el movimiento de un objeto respecto de un sistema de referencia se definen:



1. El vector de posición ( r ) es el vector que tiene su origen en el sistema de referencia y su extremo el en objeto.







2. El vector desplazamiento (  r  r  ro ) en un intervalo de tiempo, es la diferencia entre el vector de posición en el instante final menos el vector de posición en el instante inicial. 3. La trayectoria es la unión de los puntos por los que ha pasado el móvil 4. La distancia recorrida (s) es la longitud medida sobre la trayectoria de los puntos por los que ha pasado el móvil.

Figura 2.1. Movimiento respecto de un sistema de referencia

2.1.2 Ecuaciones del movimiento La descripción matemática del movimiento de un objeto se expresa mediante el vector de posición, que cambia a medida que transcurre el tiempo y recibe el nombre de ecuación vectorial del movimiento. En un sistema tridimensional general el vector de posición es de la forma;

12

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

 r t   x t ˆi  yt ˆj  zt kˆ

donde x(t), y(t) y z(t) representan funciones que dependen del tiempo. Si se igualan de las coordenadas cartesianas con las funciones que las representan se obtienen las ecuaciones paramétricas;

x  x t   y  yt  z  zt   Si en las ecuaciones paramétricas se elimina el tiempo y se dejan en función de ‘x’, ‘y’ y ‘z’ se obtiene la ecuación de la trayectoria.

Ejemplos: 1) Ecuación vectorial del movimiento 

 r t   t  4ˆi  2t 2ˆj

Ecuaciones paramétricas 

x  t  4  y  2t 2 

Ecuación de la trayectoria 

t  x  4  y  2x  42

Ecuación vectorial del movimiento 

 t  r t   2t 2  4 ˆi    3t  1 ˆj  4tkˆ 5  

2)





Ecuaciones paramétricas 

  t  y   3t  1 5  z  4t  

Ecuación de la trayectoria 

  z  t  4   

x  2t 2  4

2

z x  2   4 4 y

z z  3 1 20 4

13

Tema 2: Cinemática

2.2. Velocidad 2.2.1 Definición de velocidad Se ha definido el movimiento como el cambio de posición de un objeto respecto de un sistema de referencia. La velocidad es la magnitud que permite determinar si esos cambios se producen rápida o lentamente. Para ello se van a definir cuatro magnitudes: la velocidad media, la velocidad instantánea (o simplemente velocidad), la celeridad media, y la celeridad (o rapidez). Todas ellas tienen como unidad el m/s.

Velocidad media Se define como el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo en que se ha producido dicho desplazamiento. Es una magnitud vectorial.

    r r Δr Vm   2 1 Δt t 2  t 1 Velocidad instantánea La velocidad media se refiere a un movimiento que ha transcurrido en un intervalo de tiempo, pero generalmente se quiere conocer cuál es la velocidad en un instante determinado. Para ello se puede hacer el intervalo de tiempo cada vez más pequeño hasta llegar al límite cuando t0. El cálculo de este límite equivale a calcular una derivada. Por la tanto, se define la velocidad instantánea o simplemente velocidad como la derivada del vector de posición respecto del tiempo. El vector velocidad es en todo momento tangente a la trayectoria. La velocidad es una magnitud vectorial.

   Δ r d r t  v  lim  Δt0 Δt dt

Figura 2.2 Vector de posición, vector desplazamiento, velocidad media y velocidad instantánea

14

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

Celeridad media Es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado para ello. Es una magnitud escalar. Cm 

Δs Δt

Se emplea cuando no interesa saber la dirección ni el sentido del movimiento sino simplemente lo rápido que se ha viajado en un trayecto.

Celeridad Es el módulo de la velocidad en un instante de tiempo concreto. La celeridad es una magnitud escalar.  c v

2.2.2 Componentes cartesianas de la velocidad Se ha visto que la velocidad es una magnitud vectorial, por lo que se puede expresar en componentes cartesianas como:

 v  v xˆi  v yˆj  v zˆk

por otro lado la velocidad se ha definido como la derivada del vector de posición:   d r t  v  dt d  x t ˆi  y t ˆj  zt kˆ  dt dx t  ˆ dyt  ˆ dzt  ˆ  i j k dt dt dt





igualando las expresiones anteriores se obtiene: vx 

dxt  dt

vy 

dyt  dt

vz 

dzt  dt

es decir, cada componente de la velocidad es la derivada con respecto del tiempo de la correspondiente componente del vector de posición.

2.3. Aceleración 2.3.1 Definición de aceleración De la misma manera que la velocidad es una magnitud que indica la rapidez con que cambia la posición, la aceleración en general indica cómo de rápido varía la velocidad. La aceleración es 2

una magnitud vectorial que se mide en m/s .

15

Tema 2: Cinemática

Un tren de alta velocidad puede alcanzar los 300 km/h (83m/s) mientras que un ciclomotor puede llegar como máximo a 60Km/h (17m/s). El tren es cinco veces más rápido que el ciclomotor. Sin embargo, el tren necesita 6 minutos (360 segundos) para alcanzar su velocidad máxima mientras que el ciclomotor tarda 7 segundos en alcanzar la suya. Las aceleraciones de ambos vehículos son:

a tren 

83  0.23m/s 2 360

amoto 

17  2.43m/s 2 7

Como se puede apreciar la moto tiene mucha mayor aceleración a pesar de tener mucha menor velocidad.

Aceleración media Es el cociente entre la variación de la velocidad y el tiempo que tarda en producirse ese cambio.

  Δv am  Δt Aceleración instantánea Indica cómo es el cambio en la velocidad en un instante concreto. Para calcularla se hace tender ’t’ a cero en la expresión de la aceleración media y se calcula el límite resultante. Al igual que ocurría con la velocidad ese límite es una derivada temporal. Así pues se define la aceleración como la derivada del vector velocidad respecto al tiempo o la segunda derivada del vector de posición respecto al tiempo.

    Δv dv t  d2 r t  a  lim   Δt0 Δt dt dt 2

2.3.2 Componentes cartesianas de la aceleración La aceleración es una magnitud vectorial que se puede expresar en componentes cartesianas:  a  a xˆi  a yˆj  a z kˆ

y de la misma manera que se hizo antes:  dv x t  ˆ dv y t  ˆ dv z t  ˆ a i j k dt dt dt 

ax 

16

dv x t d2 xt  dt dt 2

d 2 x t  ˆ d 2 y t  ˆ d 2 zt  ˆ i j k dt 2 dt 2 dt 2

ay 

dv y t dt



d2 yt dt 2

az 

dv z t d2zt  dt dt 2

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

Cada componente de la aceleración es la primera derivada de la componente correspondiente de la velocidad o la segunda derivada de la correspondiente componente de la velocidad. 2.3.2 Componentes intrínsecas de la aceleración Hemos visto que la aceleración de un movimiento representa los cambios en la velocidad. También hemos visto que la velocidad es un vector y por lo tanto tiene módulo, dirección y sentido. Las componentes intrínsecas de la aceleración están referidas a unos ejes situados sobre el móvil y cuya orientación varía según la trayectoria. Su utilidad de diferenciar los cambios en el módulo e la velocidad de los cambios en su dirección.

 aT

 aN

 aT

 aN

 aT  aN

 aT

Figura 2.3 Componentes tangencial y normal de la aceleración

El sistema de referencia que se emplea está formado por dos ejes perpendiculares entre sí, uno de ellos siempre en la dirección del movimiento y otro perpendicular. - la componente tangente a la trayectoria, es la componente tangencial de la  aceleración a T . Ésta produce cambios en el módulo de la velocidad, y su sentido puede ser el del movimiento (el móvil aumenta el módulo de su velocidad) o contrario al movimiento (el móvil disminuye el módulo de su velocidad). El módulo de esta componente se calcula derivando el módulo de la velocidad: aT 

dv(t) dt

- otro perpendicular a la trayectoria y dirigido al centro de curvatura de la trayectoria,  que contiene la componente normal de la aceleración a N . Esta componente es la que produce cambios en la dirección de la velocidad y siempre es positiva. En los movimientos circulares se denominar aceleración centrípeta. Se puede calcular mediante la expresión: aN 

v 2 (t) R

donde R representa el radio de giro de la curva que se describe.

17

Tema 2: Cinemática

2.4. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) Todas las expresiones y definiciones anteriores tienen una validez general, sin embargo, no es fácil representar movimientos, velocidades y aceleraciones. En este y los siguientes apartados se van a estudiar movimientos sencillos. Empezaremos por los movimientos rectilíneos. 2.4.1 Ecuaciones en el MRU Se define el movimiento rectilíneo uniforme MRU como aquel en el que: a) la trayectoria es una línea recta; b) la velocidad es constante.

Como la trayectoria es una línea recta el movimiento es unidimensional, es decir, sólo se necesita una coordenada para especificar posiciones y velocidades y no se emplean vectores. Como la velocidad es constante, la aceleración es cero. Estos movimientos se representan en la mayoría de los casos sobre el eje x y se establece que las velocidades dirigidas hacia la derecha son positivas y las dirigidas hacia la izquierda son negativas.

Figura 2.4 Criterio de signos en posición (a) y velocidad (b)

Como la velocidad es constante se puede expresar como la velocidad media: v

Δx Δt

v

x  x0 t  t0

x  x 0  v t  t 0 

con lo que la ecuación vectorial del movimiento, es decir, la que proporciona la posición de los objetos queda: x = x0 + v (t –t0) donde; - x representa la posición en el instante (t), - t representa al tiempo y es variable, - x0 es la posición en el instante inicial (t0) y por lo tanto es constante, - v es la velocidad también constante, - t0 es el instante inicial, que generalmente vale 0 y también es constante.

18

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

Ejemplos x = 5 + 7 (t – 2)

1)

es un MRU que comienza en t0=2s, en ese instante el móvil se encontraba a 5m a la derecha de la posición de equilibrio (x0=5m) y se mueve hacia la derecha con una velocidad v=7m/s. x = – 3t + 10

2)

es un MRU que comienza en t0=0s, inicialmente está a 10m a la derecha de la posición de equilibrio (x0=10m) y el punto material se mueve recorriendo 3m cada segundo hacia la izquierda (v=–3m/s).

2.4.2. Gráficas en el MRU Los MRU se pueden visualizar gráficamente representando posición frente a tiempo (x-t). El tiempo ‘t’ es la variable independiente y la posición ‘x’ es la variable dependiente. La figura 2.5 representa un MRU típico en el que se han destacado los parámetros más importantes del movimiento. En esta figura el móvil parte de una posición inicial negativa (x0), su velocidad es positiva

(se

mueve

hacia

valores

de

x

Figura 2.5 Gráfica x-t en un MRU típico

crecientes) y pasa por el origen (x=0) en el punto de corte con el eje t.

Todas las gráficas x-t de los MRU son siempre líneas rectas en las que se cumple que: a) La pendiente de la recta representa la velocidad, una recta creciente significa que la velocidad es positiva, y decreciente negativa. Cuanto mayor sea la inclinación de la recta mayor será la velocidad. b) La posición inicial está representada en el punto que la recta corta coincide con t0. Si la coincidencia se produce por encima del eje t la posición inicial es positiva y es negativa si el corte es bajo el eje. c) El punto de corte con el eje t, si existe, representa el paso del móvil por el origen.

En la figura 2.6 se puede apreciar como la velocidad es negativa en (a) y positiva en (b), (c) y (d). Las velocidades mayores corresponden a (a) y (d) porque las rectas tienen más pendiente. Las posiciones iniciales son positiva en (a), negativas en (b) y (d) y nula en (c), es decir parte del origen. En (e) el instante inicial es t0>0 y en (f) el móvil no llega a pasar por el origen.

19

Tema 2: Cinemática

x

x

x

t

t

t

a)

c)

b)

x

x

x

t

t

d)

e)

t

f)

Figura 2.6 Graficas x-t en varios MRU

2.5. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) 2.5.1 Ecuaciones en el MRUA El MRUA se caracteriza porque: a) la trayectoria es una línea recta; b) la aceleración es constante.

Como en el caso anterior la trayectoria es una línea recta, por lo que la descripción del movimiento es unidimensional y no se emplearán vectores. La aceleración es constante, por lo que la velocidad aumentará o disminuirá de modo uniforme. El criterio de signos es igual al caso anterior; las posiciones a la izquierda de la posición de equilibrio son negativas y a la derecha son positivas, y las velocidades y aceleraciones hacia la izquierda son negativas y hacia la derecha positivas. Es muy importante tener muy presente que una aceleración negativa no significa que sea de frenado. Las aceleraciones son de frenado cuando tienen sentido contrario a la velocidad independientemente de los signos de cada una de ellas.

En estos movimientos la aceleración es constante por lo que ésta se puede igualar a la aceleración instantánea:

a

Δv Δt

a

v  v0 t  t0

v  v 0  at - t 0  v  v 0  at  t 0 

20

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

donde: - v es la velocidad en un instante determinado, - v0 es la velocidad en el instante inicial (t0) y es una constante, - a es la aceleración que por definición es constante, - t es el tiempo en un instante determinado, - t0 es el instante inicial que generalmente vale 0 y también es constante. La posición se puede calcular mediante la expresión:

x  x 0  v 0 t  t 0  

1 at  t 0 2 2

donde: - x representa la posición en un instante determinado, - x0 es la posición en un instante inicial, - el resto de magnitudes ya se han explicado. Existe otra ecuación muy práctica que se deriva de las anteriores. Despejando (t – t0) en la ecuación de la velocidad, sustituyendo en la de la posición y operando se obtiene: 2

2

v = v0 + 2ax Ejemplos: 1)

x = – 4 +5t + 4t

2

v = 5 + 8t

es un MRUA que comienza en t=0, la posición inicial es x 0=–4m, la velocidad 2

en ese instante vale v0= 5m/s y la aceleración vale a=8m/s .

2)

x = 10 – (t – 3)

2

v = – 2(t – 3)

este MRUA comienza en t0=3s, partiendo del reposo (v0=0) desde x0=10m y 2

tiene una aceleración de a=–2m/s .

2.5.2. Gráficas en el MRUA En el MRUA existen dos tipos de gráficas para representar el movimiento, las gráficas posición-tiempo y las de velocidad-tiempo. Las primeras son de tipo parabólico debido a que la posición depende de t al cuadrado, en cambio las velocidad depende del tiempo linealmente y por lo tanto son líneas rectas.

21

Tema 2: Cinemática

f

Figura 2.7. Posición y velocidad en un MRUA

La figura 2.7 muestra una gráfica MRUA típica, en la que se resaltan los puntos más importantes. El movimiento se inicia en la posición (a), quedando representada la posición inicial en el corte de la curva con el eje vertical (que representa la posición). La velocidad inicial es negativa (f) ya que, inicialmente, el móvil se va aproximando al origen de coordenadas. En (b) el móvil pasa por el origen por primera vez y continua avanzando hacia la izquierda hasta que se detiene en (c). En ese punto su velocidad es nula (e) y comienza a desplazarse hacia la derecha pasando de nuevo por el origen (d) y alejándose indefinidamente hacia la derecha. La velocidad disminuye en módulo inicialmente, se anula y después aumenta de forma indefinida. De lo anterior se deduce que la aceleración es positiva.

En la figura 2. 8 se representan gráficas de posición y velocidad de diversos MRUA. Los movimientos con aceleración positiva se representan con la parábola abierta hacia arriba, y los negativos hacia abajo. El vértice de la gráfica representa un cambio de sentido en el movimiento y por lo tanto el instante en que la velocidad se anula. Dependiendo de los parámetros del movimiento, la parábola puede cortar el eje de tiempos dos, una o ninguna vez, representando los pasos por el origen. Cuánto más cerrada sea la parábola mayor es la aceleración. La gráfica de velocidad siempre es una línea recta que puede cortar el eje de tiempos dependiendo de si la velocidad se invierte o no. Cuánto mayor es la aceleración más pendiente tiene la recta que representa la velocidad.

22

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

Figura 2.8 Gráficas x-t y v-t en diversos MRUA

2.5.3. Caída libre Un caso frecuente de MRUA es el movimiento vertical en la superficie terrestre. Todos los objetos en la superficie de la Tierra están sometidos a una aceleración llamada g de valor: g = –9.8m/s

2

23

Tema 2: Cinemática

El signo negativo indica que la aceleración está siempre dirigida hacia abajo. Las ecuaciones del MRUA adaptadas a este caso se convierten en: posición



y  y0  v 0t 

velocidad



v  v 0  gt

1 2 gt 2

y combinando las dos anteriores se obtiene:

v 2  v 02  2g  Δy

En las anteriores ecuaciones ya se ha puesto el signo negativo de la aceleración de la 2

gravedad indicando que va hacia abajo, por lo que g se sustituye directamente por 9.8m/s . Además se ha sustituido la variable de posición ‘x’ por la variable ‘y’ para representar mejor que estos movimientos ocurren en la vertical

2.6. Movimiento circular El movimiento circular se caracteriza porque la trayectoria es una circunferencia. Dependiendo de si el móvil tarda siempre el mismo tiempo en completar una circunferencia o no, el movimiento es circular uniforme (MCU) o circular uniformemente acelerado (MCUA) respectivamente. Para determinar la posición en estos movimientos se emplea el ángulo barrido (), expresado en radianes.

Otra característica de éstos movimientos es que todos son acelerados independientemente de que el módulo de la velocidad varíe o se mantenga constante. Esto se debe a que la dirección de la velocidad cambia continuamente. 2.6.1 Movimiento circular uniforme (MCU) Se caracteriza porque la trayectoria es una circunferencia y el módulo de la velocidad es constante. Se define la velocidad angular  como el ángulo barrido por unidad de tiempo ω

Δθ Δt

Las unidades de la velocidad angular son los radianes por segundo (rad/s). A veces es conveniente expresar la

R

velocidades angulares en r.p.m. (revoluciones por minuto). El factor de conversión entre rpm y rad/s es: 1rpm 

2π rad/s 60

Si de la expresión de la velocidad angular se despeja el ángulo  se obtiene la expresión que permite calcular la posición angular en cualquier instante:

θ  θ 0  ωt  t 0 

24

Figura 2.9 Movimiento circular

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

La relación entre ángulo barrido y distancia recorrida es: s  θ R

por lo que la distancia recorrida en estos movimientos se puede calcular como:

s  s 0  ωRt  t 0 

comparando con la expresión conocida de la posición en los movimientos uniformes se deduce la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular: v  ω R

En el MCU se definen: -

El periodo (T) es el tiempo en dar una vuelta completa. Se mide en segundos (s).

-

La frecuencia (f) es el número de vueltas que se dan en un segundo. Se mide en hercios (Hz).

La relación entre ambas magnitudes es. f

1 T

La velocidad angular se relaciona con el periodo y la frecuencia mediante las expresiones: ω

2π  2π f T

Se ha dicho que él movimiento circular es acelerado porque cambia el sentido de la velocidad. La aceleración correspondiente al movimiento circular se llama aceleración centrípeta y se puede calcular como: ac 

v2  ω 2R R 2

Esta aceleración siempre está dirigida hacia el centro de la circunferencia, se mide en m/s y se corresponde con la componente normal de la aceleración que se vio en apartados anteriores. 2.6.2 Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) El MCUA se caracteriza porque la trayectoria es circular y la velocidad varía uniformemente con el tiempo. Para estos movimientos se define la aceleración angular () como el cociente entre la variación de la velocidad angular y el tiempo necesario para ello. α

Δω Δt

Las unidades de a son los radianes por segundo al cuadrado rad/s . Despejando  se obtiene: 2

ω  ω0  αt  t 0 

25

Tema 2: Cinemática

el ángulo barrido se obtiene de: θ  θ 0  ω0 t  t 0  

1 αt  t 0 2 2

la relación entre la aceleración y la aceleración angular es:

a  α R Análogamente al MRUA existe una fórmula derivada de la expresión de  y .

ω2  ω02  2α  Δθ

En estos movimientos se tienen las dos componentes intrínsecas de la aceleración: - la aceleración tangencial: aT =  · R - la aceleración normal o centrípeta que varía con el tiempo: aN  a C 

v 2 (t) R

ésta última varía con el tiempo, ya que el módulo de la velocidad cambia debido a la aT. 2.6.3 Descripción de movimientos en función de las componentes intrínsecas de la aceleración movimiento rectilíneo uniforme (MRU): es aquel cuya aT=0

 | v | constante

trayectoria es una línea recta y la velocidad es constante.

aN=0

mov. rectilíneo

aT= cte

 | a | constante

aN=0

mov. rectilíneo

movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA): es aquel cuya trayectoria es una línea recta y tiene aceleración constante. movimiento circular uniforme (MCU): la trayectoria es una

 | v | constante

aT=0

circunferencia de radio 'R' y el módulo de la velocidad es

2 v

constante. En este caso a la aceleración es centrípeta

an 

movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA): la

aT=cte

R

trayectoria es una circunferencia de radio 'R' y el módulo de la velocidad aumenta uniformemente con el tiempo.

a n (t) 

 cte

 | a t| constante  2 v(t) R

movimientos curvilíneos: son aquellos en los que la trayectoria es una curva cualquiera y las aceleraciones cambiarán con el tiempo en general.

26

 | v | y R ctes.

aT y aN variables

 v( t ) variable

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

2.7. Movimientos compuestos 2.7.1 Principio de superposición En muchas ocasiones el movimiento de los puntos materiales se describe como combinación de dos o más movimientos simples. Éstos movimientos son independientes entre sí, cumpliéndose siempre el principio de superposición aplicado al movimiento que dice: “Cuando dos o más movimientos afectan a un punto material, el resultado final es el mismo tanto si lo hacen de manera simultánea o sucesiva.” Esto significa que si un punto material se mueve afectado por dos velocidades simultáneas ‘v 1’ y ‘v2’ durante un intervalo de tiempo ‘t’, acabará en la misma posición si primero se mueve solo con ‘v1’ durante el intervalo de tiempo ‘t’ y después lo hace con ‘v 2’ de nuevo el mismo intervalo de tiempo. Los siguientes ejemplos ilustran dos casos sencillos de movimiento combinado.

Ejemplo 1. Movimiento compuesto por dos MRU En la figura 2.10, una barca que cruza un río con una velocidad v b, también se ve afectada por la velocidad de la corriente vc, de tal manera que la velocidad total de la barca es la suma vectorial de las velocidades que le afectan.

Figura 2.10. Ejemplo de movimiento combinado

La velocidad total de la barca es:  v total  v bˆj  v cˆi

lo que significa que, en un intervalo de tiempo, la barca recorre una distancia en el eje ‘y’ debida exclusivamente al motor y simultáneamente otra distancia en el eje ‘x’ debido exclusivamente a la velocidad del río sin que un movimiento influya de ninguna manera sobre el otro al estar aplicadas ambas velocidades sobre ejes diferentes. Esto significa que la barca tarda el mismo tiempo en cruzar el río con y sin corriente, el único efecto de la corriente consiste producir un movimiento horizontal más o menos acentuado.

27

Tema 2: Cinemática

Dado que los movimientos que afectan a la barca son MRU las ecuaciones paramétricas que resultan son: x  vct y  vbt

el tiempo para cruzar el río se determina de la segunda ecuación, puesto que cualquier movimiento en el eje ‘x’ no afecta al movimiento en el eje ‘y’: t cruzar 

A vb

y la desviación producida se determina a partir de la segunda ecuación y el tiempo invertido en cruzar:

D  xt cruzar   v c t cruzar

y el ángulo de desviación se calcula mediante la tangente: tg α 

vc vb

Ejemplo 2. Movimiento compuesto por tres MRU Un barco en mitad del océano se ve afectado por tres velocidades: la del motor (vm=10m/s), la de la corriente (vc=5m/s) y la del viento (vv=3m/s).

Figura 2.11. Movimiento compuesto

La velocidad total del barco es la suma de las tres velocidades. Para poder calcularla hay que expresar cada una de las velocidades en función de sus componentes en los ejes x e y.

 v m  10  cos 30º ˆi  10  sen30º ˆj  8'66 ˆi  5ˆj

28

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

 v c  5  cos - 20º ˆi  5  sen- 20º ˆj  4'70 ˆi  4'56 ˆj  v v  3i



 

  

    v total  v m  v c  v v  8'66 ˆi  5ˆj  4'70 ˆi  4'56 ˆj   3ˆi  8'66  4'70  3ˆi  5 - 4'56 ˆj  10'36 ˆi  0'44 ˆj Luego la velocidad total del barco es:

 v total  10'36 ˆi  0' 44 ˆj

Figura 2.12. Velocidad total del barco.

Ejemplo 3. Corrección de trayectoria. Supongamos que una barca pretende cruzar el río con corriente sin desviarse. Para conseguirlo el movimiento de la barca que es el que controla el timonel debe corregir la



desviación que supone la corriente. La velocidad del motor ( v m ) se aplica con un determinado ángulo de corrección (c).

Figura 2.13 Corrección de la trayectoria de un móvil afectado por dos velocidades

Las velocidades que afectan a la barca quedan:

 v m  v msenα c ˆi  v mcos α c ˆj

 v c  v cˆi

29

Tema 2: Cinemática

y la velocidad total es:

 v total  v c  v msenα c ˆi  v mcos α c ˆj Como lo que se quiere es mantener la barca en movimiento solo en el eje ‘y’ y que no haya movimiento en el eje ‘x’ se tiene que anular la componente del eje ‘x’. vc – vm sen(c) =0

senα c  

vc vm

v  α c  sen1  c   vm  Calculado el ángulo de corrección la velocidad total de la barca queda sólo en el eje ‘y’:

 v total  v mcos α c ˆj

2.7.2 Tiro oblicuo Un caso muy frecuente de movimiento combinado es el del tiro oblicuo también llamado tiro parabólico. Cuando se lanza un proyectil éste se ve afectado por dos movimientos, por un lado el movimiento de avance en el eje ‘x’ originado por el impulso inicial. A lo largo del eje ‘x’ no se producen variaciones en la velocidad y por lo tanto el movimiento es uniforme, MRU. En el eje ‘y’ el movimiento se ve afectado por la aceleración de la gravedad, por lo que se tiene un MRUA. De las condiciones iniciales se conocen dos parámetros; la velocidad y el ángulo de lanzamiento, e interesa calcular el alcance, la altura máxima alcanzada, el tiempo de vuelo y la ecuación de la trayectoria. La siguiente descripción parte de un caso general; velocidad inicial v0 y ángulo .

Figura 2.14. Tiro oblicuo

En primer lugar se descompone la velocidad en las dos componentes de cada eje:

v 0x  v 0 cosα  v 0y  v 0 senα

la velocidad en cada eje viene determinada por las ecuaciones:

30

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

v x  v 0x  v 0 cosα  v y  v 0y - gt  v 0 senα - gt

La posición del proyectil es: x  v 0x t  v 0 cosα  t   1 y  v 0 senα  t - gt 2  2 

Ahora se van a calcular las características de este movimiento a partir de las ecuaciones obtenidas anteriormente.

Altura máxima El proyectil alcanza su altura máxima en el instante que termina de ascender y comienza a descender, es decir cuanto su velocidad vertical se anula, luego la condición es:

vy  0 v 0 senα  gt  0 t max 

v 0 senα g

La altura máxima se obtiene sustituyendo este tiempo en la ecuación de posición vertical

hmax

v senα 1  v 0 senα    yt max   v 0 senα 0  g g 2  g 

hmax 

2

v 02 sen2 α 2g

Tiempo de vuelo Es el tiempo que transcurre desde que se lanza el proyectil hasta que alcanza el suelo. En ese instante la altura del mismo vale cero, por lo que:

0  v 0 senα  t 

1 2 gt 2

t  0  Soluciones   2v 0 senα t  g 

La primera solución representa el lanzamiento, momento en el que el proyectil estaba en el suelo, la segunda representa el instante en el que el proyectil vuelve a alcanzar el suelo.

31

Tema 2: Cinemática

tv 

2v 0 senα g

Alcance El alcance es la distancia recorrida sobre la horizontal. El movimiento en la horizontal es un MRU durante un intervalo de tiempo ‘tv’, por lo que el alcance se calcula sustituyendo el tiempo de vuelo en la ecuación de la posición horizontal:

A  x t v  A  v 0 cosα

A

2v 0 senα g

2v 02 senα  cosα g

Ecuación de la trayectoria Las ecuaciones de la posición del proyectil son las ecuaciones paramétricas, por lo que si se despeja en tiempo de la primera y se sustituye en la segunda se obtiene:

t

x v 0 cosα

 x 1  x  y  v 0 senα  g v 0 cosα 2  v 0 cosα  y  x  tgα 

g 2v 02 cos 2 α

2

x2

La ecuación obtenida corresponde a un parábola, lo que indica que, en general, cualquier objeto lanzado en las proximidades de la superficie terrestre describirá un movimiento parabólico.

Si el lanzamiento se hubiera realizado desde una altura inicial las ecuaciones iniciales son las mismas añadiendo el término (y0) en la ecuación de la posición vertical. Si el lanzamiento se realiza apuntando hacia abajo sólo hay que introducir en la calculadora un ángulo negativo para calcular las funciones trigonométricas.

32

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

Ejercicios POSICIÓN Y MOVIMIENTO 1. Razona si el conductor de un coche que viaja a 100km/h se equivoca o no al pensar lo siguiente: “Esos árboles se mueven hacia mi” 2. ¿Qué dos condiciones se tienen que dar para que la distancia recorrida sea igual al módulo del vector desplazamiento? 3. Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: Si el vector desplazamiento de un móvil es pequeño significa que el móvil ha recorrido poca distancia.  4. La ecuación vectorial del movimiento de un móvil es: r  (4  3t)ˆi  3ˆj  (9t 2  4)kˆ (S.I.) a) Calcular el vector de posición y la distancia al origen de coordenadas en los instantes 't = 0s' y 't = 5s'. b) Calcular la ecuación de la trayectoria 5. Un móvil se mueve según las ecuaciones paramétricas: x(t) = t 4t 2

y(t) = 5t + 4 z(t) = t 4t 3

2

a) calcular la ecuación vectorial del movimiento b) calcular el vector desplazamiento entre los instantes 't=2s' y 't=10s' 6. Calcular y representar la trayectoria del móvil cuyo vector de posición es:  a) r (t)  (3t  2)ˆi  (2t  5)ˆj  b) r (t)  (3t, 9t 2  16) 2

7. Un móvil tiene como ecuaciones paramétricas y = 6 – t , x = 3t – 5. Determina la ecuación vectorial del movimiento y la ecuación de la trayectoria.

VELOCIDAD 8. ¿Por qué la velocidad media no es un buen referente para hacernos una idea del movimiento de un vehículo? 9. ¿Cuál de los cuatro tipos de velocidad es al que nos referimos cotidianamente como “velocidad media”? 10. Un vehículo parte de Granada y llega a Motril manteniendo en el indicador de velocidad siempre 85km/h. ¿Por qué la velocidad del móvil no ha sido constante? 11. ¿Cuál es la velocidad media de un ciclista en un velódromo de 300m que tarda 12s en dar una vuelta completa?¿Cuál es su celeridad media?  12. El vector de posición de un móvil es r t   2t  1ˆi  t  5ˆj . a) Calcula a qué distancia del origen estaba en t=5s. b) Calcula a qué distancia estaba del punto de partida en t=5s. c) Representa ambas situaciones. ¿Qué vector se usa en cada caso?

33

Tema 2: Cinemática

13. Representa la trayectoria del móvil del ejercicio anterior calculando su posición segundo a segundo. 14. Un móvil se mueve según las ecuaciones paramétricas: 2

x(t) = t +1 y(t) = t + 3 z(t) = 2t 5 2

a) Calcula la ecuación vectorial del movimiento. b) Calcula el vector desplazamiento entre los instantes t=2s y t=10s. c) Calcula la velocidad media en el intervalo anterior. d) Calcula la velocidad. e) Calcula la celeridad. f) Calcula la celeridad a los 6s. g) ¿A qué distancia se encuentra del origen a los 3s? h) ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida a los 3s? 15. Contesta verdadero o falso y razona la respuesta: a) Si la velocidad media es nula el punto material ha estado en reposo. b) Si la celeridad media es nula el punto material ha estado en reposo. 16. Un vehículo sale a las 9:30h de una ciudad situada en la posición (4,15) según las coordenadas que le da un plano graduado en kilómetros. En ese momento el cuenta kilómetros marca 12.562. A las 13:00 se encuentra en otra ciudad situada en la posición (2,1), marcando el cuenta kilómetros 12.683. a) Calcula el desplazamiento del móvil. b) Calcula la velocidad media y la celeridad media. c) ¿Qué magnitud ha ido indicando el velocímetro del vehículo durante todo el recorrido?

ACELERACIÓN 17. Dada la siguiente ecuación del movimiento:  r (t)  2tˆi  (4t 2  6t)ˆj a) Calcula la velocidad y la aceleración. b) Calcula la velocidad y la aceleración en el instante “t=5s”. c) Calcula la velocidad media y la aceleración media entre t=10s y t=15s. d) Calcula la ecuación de la trayectoria. 18. Un móvil se mueve según las ecuaciones paramétricas: x(t) = t  5t + 8 2

y(t) = 2t + 6 z(t) = t  3t

2

a) calcula la aceleración. b) calcula la aceleración a los 10s. c) calcula la aceleración media entre los instantes 3s y 5s.

34

Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME 19. Un vehículo se encuentra en la posición x= –6m en el instante inicial y tiene una velocidad v= 3m/s. Calcula: a) La ecuación del movimiento. b) La posición a los 10 segundos. c) El desplazamiento entre los 3 y 8 segundos. d) Calcula la derivada de la posición. ¿Era de esperar el resultado? 20. Un punto material se desplaza con un MRU recorriendo 5 metros cada segundo hacia la izquierda. A los 10 segundos de iniciarse el movimiento se encontraba a 12m a la izquierda del origen. Calcula la posición inicial, la ecuación vectorial del movimiento el y instante en el que pasa por el origen. 21. Representa gráficamente la posición en función del tiempo de los siguientes MRU a) v>0, x0