TEMA 2: MATRICES 2.1. Generalidades sobre matrices. 2.1.1 Definición de matriz. Tipos de matrices. 2.1.2 Operaciones algebraicas con matrices. 2.1.3 Matriz traspuesta y traspuesta-conjugada. 2.1.4 Submatrices. 2.2. Proceso de escalonamiento matricial. 2.2.1 Operaciones elementales y matrices elementales. 2.2.2 Proceso de escalonamiento de una matriz no nula. 2.2.2.1 Matrices en forma escalonada por filas. 2.2.2.2 Proceso de escalonamiento de una matriz. Forma normal. 2.3. Determinantes. 2.3.1 Definición de determinantes. Propiedades. 2.3.2 Interpretación geométrica. 2.3.3 Cálculo de determinantes. 2.4. Matrices no-singulares y factorización LDU de una matriz. 2.4.1 Matriz inversa. 2.4.1.1 Definición. Propiedades. 2.4.1.2 Criterios de no singularidad. 2.4.1.3 Cálculo de la inversa de una matriz mediante operaciones elementales. 2.4.2 Factorización LDU de una matriz n × n sobre K. 2.4.2.1 Factorización LU. 2.4.2.2 Factorización LDU. 2.5. Partición de matrices en bloques. 2.5.1 Matrices en bloques. Tipos de matrices en bloques. 2.5.2 Operaciones con matrices en bloques. 2.5.3 Aplicaciones: cálculo de inversas, cálculo de determinantes y cálculo de pivotes de una matriz que admite factorización LDU.

1

2.1. GENERALIDADES SOBRE MATRICES. 2.1.1 D´  M. T  M. Definición 1. Una colección de mn elementos de K distribuidos de forma ordenada en m filas y en n columnas será llamada matriz m × n con entradas en K y se representa de forma extendida    a11 a12 . . . a1n   a21 a22 . . . a2n   A =  .. .. . . .  . ..   . .   am1 am2 . . . amn y de forma compacta A = (ai j )m×n . Cada elemento ai j va provisto de dos subíndices, el primero hace referencia a la fila y el segundo hace referencia a la columna donde reside. Este elemento de K es llamado entrada (i, j) de A. Los elementos ai1 , ai2 , . . . , ain forman la fila i-ésima de la matriz, 1 ≤ i ≤ m. La matriz 1 × n con entradas en K: Ai = (ai1 . . . ain ), recibe el nombre de matriz fila i-ésima de A. Los elementos a1 j , a2 j , . . ., am j forman la columna j-ésima de la matriz, 1 ≤ j ≤ n. La matriz m × 1    a1 j    con entradas en K: A j =  ... , recibe el nombre de matriz columna j-ésima de A.   am j    A1  Así podemos expresar A = (A1 . . . An ) =  ...    Am Al conjunto de todas las matrices m × n con entradas en K lo denotaremos con Mm×n (K). Definición 2. Dos matrices A = (ai j ) ∈ Mm×n (K) y B = (bi j ) ∈ M p×q (K) diremos que son iguales si m = p, n = q y ai j = bi j , ∀i ∈ {1, . . . , m} y ∀ j ∈ {1, . . . , n}. Definiciones 3. Tipos de matrices. 1. Si A = (ai j ) ∈ Mm×n (K) y n = m, diremos que A es cuadrada. 2. Si A = (ai j ) ∈ Mm×n (K), diremos que A es nula si todas sus entradas son cero. Se denota Om×n . 3. Si A = (ai j ) ∈ Mn×n (K), entonces a) diremos que A es triangular superior si ai j = 0 siempre que i > j, 1 ≤ i, j ≤ n. b) diremos que A es triangular inferior si ai j = 0 siempre que i < j, 1 ≤ i, j ≤ n. c) diremos que A es diagonal si ai j = 0 siempre que i , j, 1 ≤ i, j ≤ n y escribiremos A = diag(a11 , . . . , ann ). d) llamaremos matriz identidad n × n a la matriz diag(1, . n. ., 1) y la denotamos En×n . e) diremos que A es tridiagonal si ai j = 0 siempre que i > j + 1 ó i < j − 1, 1 ≤ i, j ≤ n. f ) diremos que A es simétrica si ai j = a ji , 1 ≤ i, j ≤ n. 2

g) diremos que A es antisimétrica si ai j = −a ji , 1 ≤ i, j ≤ n. h) diremos que A es hermítica si ai j = a ji , 1 ≤ i, j ≤ n. i) diremos que A es antihermítica si ai j = −a ji , 1 ≤ i, j ≤ n. 2.1.2 O  M. ∗ Suma de matrices: A = (ai j ), B = (bi j ) ∈ Mm×n (K) =⇒ A + B = (ai j + bi j ) ∈ Mm×n (K) Propiedades. • Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C, • Conmutativa: A + B = B + A,

∀A, B, C ∈ Mm×n (K)

∀A, B ∈ Mm×n (K)

• Elemento neutro: ∃ Om×n tal que A + Om×n = A = Om×n + A,

∀A ∈ Mm×n (K)

• Elemento opuesto: ∀ A ∈ Mm×n (K) existe −A ∈ Mm×n (K) tal que A + (−A) = Om×n = (−A) + A ∗ Producto por un escalar: A = (ai j ) ∈ Mm×n (K) y α ∈ K =⇒ αA = (αai j ) ∈ Mm×n (K) Propiedades. • La propiedad distributiva respecto la suma de matrices: α(A + B) = αA + αB,

∀A, B ∈ Mm×n (K), ∀α ∈ K

• La propiedad distributiva respecto de la suma de escalares: (α + β)A = αA + βA,

∀A ∈ Mm×n (K), ∀α, β ∈ K

• Asociativa del producto por un escalar: (αβ)A = α(βA), • 1A = A

∀A ∈ Mm×n (K), ∀α, β ∈ K

∀A ∈ Mm×n (K) con 1 ∈ K

•

A ∈ Mm×n (K), α ∈ K y αA = Om×n =⇒ A = Om×n ó α = 0

•

A, B ∈ Mm×n (K), α ∈ K − {0} y αA = αB =⇒ A = B

•

A ∈ Mm×n (K) − {Om×n }, α, β ∈ K y αA = βA =⇒ α = β

∗ Producto de matrices: Si A = (ai j ) ∈ Mm×n (K) y B = (bi j ) ∈ Mn×p (K), entonces A · B = (ci j ) ∈ Mm×p (K), siendo n X ci j = aik bk j . k=1

Observar que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. 3

Propiedades. • Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C, C ∈ M p×q (K)

∀A ∈ Mm×n (K), B ∈ Mn×p (K),

• Distributiva por la izquierda del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C,

∀A ∈ Mm×n (K), B, C ∈ Mn×p (K)

• Distributiva por la derecha del producto respecto de la suma: (B + C) · D = B · D + C · D,

∀B, C ∈ Mn×p (K), D ∈ M p×q (K)

• ∃ En×n tal que A · En×n = A y ∃ Em×m tal que Em×m · A = A, •

A · On×p = Om×p ,

O s×m · A = O s×n ,

∀A ∈ Mm×n (K)

∀A ∈ Mm×n (K)

• En general, no se cumple la ley de cancelación: si A ∈ Mm×n (K), B ∈ Mn×p (K) AB = Om×p 6=⇒ A = Om×n ó B = On×p Si A =

1 1 1 1

! yB=

! 1 1 , entonces AB = O2×2 , A , O2×2 y B , O2×2 . −1 −1

• El producto de matrices NO es conmutativo, en general. ! ! ! ! 1 3 1 2 10 14 1 5 Si A = yB= , entonces AB = , = BA. 0 1 3 4 3 4 3 13 Definición 4. Se dice que dos matrices A y B ∈ Mn×n (K) conmutan si AB = BA. Se dice que dos matrices A y B ∈ Mn×n (K) anticonmutan si AB = −BA. Definición 5. Si A ∈ Mn×n (K) y m ∈ N, llamaremos potencia m-ésima de A y escribiremos Am a la m matriz A · · · A. Por convenio A0 = En×n . Definiciones 6. 1. Si A = (ai j ) ∈ Mn×n (K), diremos que A es idempotente si A2 = A. 2. Si A = (ai j ) ∈ Mn×n (K), diremos que A es involutiva si A2 = En×n . 3. Si A = (ai j ) ∈ Mn×n (K), diremos que A es nilpotente si existe k ∈ N tal que Ak = On×n . Si Ak = On×n y Ak−1 , On×n diremos que k es el índice de nilpotencia de A. 2.1.3 M T. M T C. Definiciones 7. Sea A = (ai j ) ∈ Mm×n (K). Se llama matriz traspuesta de A a la matriz AT = (a ji ) ∈ Mn×m (K). Se llama matriz traspuesta conjugada de A a la matriz A∗ = (a ji ) ∈ Mn×m (K). 4

Propiedades. Sean A, B ∈ Mm×n (K), C ∈ Mn×p (K) y α ∈ K. (i) (AT )T = A; (A∗ )∗ = A (ii) (αA)T = αAT ; (αA)∗ = αA∗ (iii) (A + B)T = AT + BT ; (A + B)∗ = A∗ + B∗ (iv) (AC)T = C T AT ; (AC)∗ = C ∗ A∗ Nota 8. Sea A = (ai j ) ∈ Mn×n (K). • Es útil utilizar las siguientes caracterizaciones: A es simétrica ⇐⇒ AT = A A es hermítica ⇐⇒ A∗ = A

A es antisimétrica ⇐⇒ AT = −A A es antihermítica ⇐⇒ A∗ = −A

• Toda matriz cuadrada se puede escribir como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. " simétrica # " antisimétrica # 1 1 A = (A + AT ) + (A − AT ) 2 2 • Toda matriz cuadrada se puede escribir como suma de una matriz hermítica y otra antihermítica. " hermítica # " antihermítica # 1 1 A = (A + A∗ ) + (A − A∗ ) 2 2 2.1.4 S. Definición 9. Dada una matriz A = (ai j ) ∈ Mm×n (K), se llama submatriz de A que definen los índices de filas i1 < . . . < i p y los índices de columnas j1 < . . . < jq a la matriz p × q con entradas en K cuya entrada (h, k) coincide con la entrada (ih , jk ) de A.    ai1 j1 ai1 j2 . . . ai1 jq   ai j ai j . . . ai j  2 2 2 q   2 1 .. ..  ..  .. . . .   .  ai p j1 ai p j2 . . . ai p jq Dada una matriz A = (ai j ) ∈ Mm×n (K), llamaremos submatriz principal (lider) de orden i a la submatriz que definen los índices de filas 1 < . . . < i y los índices de columnas 1 < . . . < i y la denotaremos mediante A[i]    a11 a12 . . . a1i     a21 a22 . . . a2i  [i] A =  .. .. . . .  . ..   . .   ai1 ai2 . . . aii

5

2.2. PROCESO DE ESCALONAMIENTO MATRICIAL. 2.2.1 O E  M E. Definiciones 10. Sea A ∈ Mm×n (K). Una operación elemental sobre las filas de A de • tipo 1: permuta la fila i-ésima y la j-ésima. • tipo 2: multiplica la fila i-ésima por α ∈ K − {0}. • tipo 3: suma a la fila i-ésima la j-ésima multiplicada por α ∈ K − {0}. Llamaremos matriz elemental de tipo i (i ∈ {1, 2, 3}) a la matriz que resulta de aplicar una operación elemental de tipo i sobre En×n . Se denotan respectivamente: E(i, j), E(α (i)) y E((i) + α ( j)). Ejemplos 11.   0 0  • Tipo 1: E(1, 3) =  0 1  1 0   1 0  • Tipo 2: E(3(2)) =  0 3  0 0    • Tipo 3: E((1) + 3(2)) =  

1 0 0

   . Observa que es una matriz simétrica e involutiva.

0 0 1

   . Observa que es una matriz diagonal y simétrica.

 1 3 0   0 1 0 . Observa que es una matriz triangular.  0 0 1

Realizar una operación elemental por filas sobre A ∈ Mm×n (K) equivale a P A por la matriz que resulta de aplicar dicha operación elemental sobre Em×m .    a b    Ejemplo 12. Considera A =  c d  y 2F3 , entonces   e f       1 0 0   a b   a b       E(2(3)) · A =  0 1 0   c d  =  c d       0 0 2 e f 2e 2 f Análogamente se definen las operaciones elementales sobre las columnas de una matriz A ∈ Mm×n (K). Realizar una operación elemental por columnas sobre A equivale a P A por la matriz que resulta de aplicar dicha operación elemental sobre En×n .    a b  Ejemplo 13. Considera A =  c d  y C1 + 7C2 , entonces   e f 6

    !  a + 7b b   a b      1 0  A · E((2) + 7(1)) =  c d  =  c + 7d d    7 1   e f e + 7f f 2.2.2 P D E D U M N N. 2.2.2.1 Matrices en forma escalonada por filas. Definición 14. Una matriz A ∈ Mm×n (K) se dice que está en forma escalonada por filas si verifica: 1. las filas nulas (si existen) se encuentran en la parte inferior de la matriz; 2. la primera entrada no nula de la fila i-ésima (i ∈ {2, . . . , m}) se encuentra a la derecha de la primera entrada no nula de la fila anterior. Diremos que A ∈ Mm×n (K) está en forma escalonada reducida por filas si además de estar en forma escalonada verifica: 3. la primera entrada no nula de cada fila no nula es 1; 4. la primera entrada no nula de cada fila no nula es la única entrada no nula de su columna. 2.2.2.2 Proceso de escalonamiento de una matriz. Forma normal. Dada una matriz A ∈ Mm×n (K) no nula, mediante operaciones elementales realizadas sobre sus filas y/o columnas (o de forma equivalente, premultiplicando o postmultiplicando por matrices elementales) se puede transformar en una matriz que está en forma escalonada por filas o, en una matriz que está en forma escalonada reducida por filas. Para conseguir entradas nulas por debajo, por arriba o a la derecha de una entrada no nula, resulta de utilidad emplear las llamadas matrices de tipo M. Estas matrices son producto de ciertas matrices elementales de tipo 3:       M =     

1 0 ... 0 0 1 ... 0 .. .. . . .. . . . . 0 0 ... 1 0 0 . . . β(r+1)r .. .. .. .. . . . . 0 0 . . . βmr

       ó M =      

0 ... 0 ... .. .. . . 0 ... 1 ... .. . . . .

0 0 0 0 .. .

0 ... 1

1 0 .. .

0 ... 1 ... .. . . . . 0 ... 0 ... .. .. . .

    1 . . .   .. . .  .  .     ó M =  0 . . .  0 . . .     ... ...     0 ... 0 0 .. .

... ... .. .

1 δr(r+1) 0 1 .. .. . . 0 0 ... 0 ...

0 0 .. .

7

... ... .. .

λ1r .. .

0 .. .

. . . 0  .. ..  . .   . . . 0   . . . 0  . . ..  . . 



1 λ(r−1)r 0 1 .. .. . .  0 0 ... 1

0 0 .. .

. . . δrn ... 0 . . . .. . ... 1

           

Nota 15. Si transformamos una matriz A ∈ Mn×n (K) no nula en una matriz de la forma    a11 a12 . . . a1n   (2)  (2)  0 a22 . . . a2n   .. .. . . .   . . ..  .   0 0 . . . a(n) nn utilizando únicamente operaciones elementales de tipo 3 por filas, entonces diremos que hemos (n) triangulado la matriz A. Los elementos a11 , a(2) 22 , . . . , ann reciben el nombre de pivotes de A. Dada una A ∈ Mm×n (K) no nula, mediante operaciones elementales sobre sus filas y/o columnas (o equivalentemente, premultiplicando o postmultiplicando por matrices elementales) se puede transformar en una matriz cuyas entradas son unos y ceros, y los unos ocupan las primeras entradas diagonales. Teorema 16. Si A ∈ Mm×n (K) no nula, entonces existen operaciones elementales que la transforman en ! Er×r O N= O O La matriz N recibe el nombre de forma normal de A. Corolario 17. Si A ∈ Mm×n (K) no nula, entonces existen matrices elementales E1 , . . . , E s y F1 , . . . , Ft de modo que ! Er×r O E s · . . . · E1 AF1 · . . . · Ft = =N O O    1 2 0    Ejemplo 18. Reduce a la forma normal la matriz A =  4 6 9 .   0 −2 9     1 2 0   1 2 0   F2 −4F1  A =  4 6 9  −−−−−→  0 −2 9    0 −2 9 0 −2 9

       1 2 0  − 1 F  1 2 0   C2 −2C1  F3 −F2   2 2   −−−−→  0 −2 9  −−−−→  0 1 −9/2  −−−−−→ 0 0 0 0 0 0

    1 0 0  C + 9 C  1 0 0   3 2 2  −→  0 1 −9/2  −−−−−→  0 1 0    0 0 0 0 0 0

    = N

Esto es, ! ! 1 9 E − (2) · E((3) − (2)) · E((2) − 4(1)) · A · E((1) − 2(2)) · E (2) + (3) = N 2 2

8

2.3. DETERMINANTES. 2.3.1 D´  . P. Definición 19. Sea A = (ai j ) ∈ Mn×n (K). Llamaremos determinante de A y escribiremos det(A) al elemento de K que obtenemos del siguiente modo • Si n = 1, det(A) = a11 . • Si n ≥ 2, det(A) =

n X

(−1)1+ j a1 j det(A1 j )

j=1

donde Ai j es la submatriz de A de orden n−1 que se obtiene eliminando la fila i-ésima y la columna j-ésima de A. Proposición 20. Si A = (ai j ) ∈ Mn×n (K), entonces se verifica 1. det(A) =

n X

(−1)i+ j ai j det(Ai j )

(desarrollo por la fila i-ésima)

j=1

2. det(A) = det(AT ) 3. det(A) =

n X

(−1)i+ j ai j det(Ai j )

(desarrollo por la columna j-ésima)

i=1

4. det(En×n ) = 1 5. det(A1 , . . . , Ai , . . . , A j , . . . , An ) = − det(A1 , . . . , A j , . . . , Ai , . . . , An ) (i)

6. det(A1 , . . . , O, . . . , An ) = 0 7. det(A1 , . . . , Ai , . . . , A j , . . . , An ) = 0, si Ai = A j con i , j (i)

z }| { (i) (i) 8. det(A1 , . . . , αX + βY, . . . , An ) = α det(A1 , . . . , X , . . . , An ) + β det(A1 , . . . , Y , . . . , An ), i ∈ {1, 2, . . . , n} 9. det(A1 , . . . , αAi , . . . , An ) = α det(A1 , . . . , Ai , . . . , An ), i ∈ {1, 2, . . . , n} ( j)

z }| { 10. det(A1 , . . . , A j + αAi , . . . , An ) = det(A), i ∈ {1, 2, . . . , n} Nota 21. (1) Las propiedades 5, 6, 7, 8, 9 y 10 tienen su versión correspondiente por filas. (2) Si A ∈ Mn×n (K), como consecuencia de la proposición anterior tenemos det(E(i, j) · A) = − det(A) = det(A · E(i, j)) det(E(λ(i)) · A) = λ det(A) = det(A · E(λ(i))) det(E(( j) + λ(i)) · A) = det(A) = det(A · E(( j) + λ(i))) 9

Particularizando para A = En×n , se deduce que det(E(i, j)) = −1,

det(E(λ(i))) = λ,

det(E(( j) + λ(i))) = 1

En consecuencia, afirmamos que det(E · A) = det(E) det(A) = det(A · E), siendo E una matriz elemental. Proposición 22. Sean A y B ∈ Mn×n (K). • det(λA) = λn det(A), con λ ∈ K • det(AB) = det(A) det(B)   a11 a12   0 a22 Ejemplo 23. Si A =  .. ..  . .  0 0

. . . a1n . . . a2n . .. . .. . . . ann

     es triangular superior, entonces  

det(A) = a11 · . . . · ann Este resultado se mantiene para matrices triangulares inferiores. 2.3.2 I´ ´. La idea de determinante de una matriz cuadrada proviene del cálculo de hipervolúmenes. Veamos el caso más sencillo, n = 2. Consideremos la figura:

El área del paralelogramo OP1 PP2 se obtiene restando al área del rectángulo OP’PP” la suma de las áreas de cuatro triángulos y de dos rectángulos dibujados en la figura. x · y  x · y  1 1 2 2 S = (x1 + x2 )(y1 + y2 ) − 2 −2 − 2x2 y1 = x1 y2 − x2 y1 2 2 Si notamos P1 = (a11 , a12 ) = (x1 , y1 ) y P2 = (a21 , a22 ) = (x2 , y2 ), obtenemos S = a11 a22 − a21 a12 10

Por tanto, el área del paralelogramo coincide con el determinante de la matriz A =

! a11 a12 . a21 a22

2.3.3 C´  . Si A ∈ Mn×n (K) no nula, entonces utilizando operaciones elementales por filas y/o columnas podemos transformarla en una matriz triangular( o paralelamente premultiplicando y/o postmultiplicando por matrices elementales podemos transformarla en una matriz triangular)    t11 t12 . . . t1n     0 t22 . . . t2n  Er · . . . · E1 · A · F1 · . . . · F s =  .. .. . . .  . ..   . .   0 0 . . . tnn De aqui podemos obtener det(A) =

Ejemplo 24.   1  0 det   0 0

6 2 4 0

9 2 5 6

3 3 7 9

t11 · . . . · tnn det(Er ) · . . . · det(E1 ) · det(F1 ) · . . . · det(F s )

    1   F −2F  3 = 2 det  0   0   0

6 2 0 0

9 2 1 6

    1   F −6F  4 = 3 det  0   0   0

3 3 1 9

6 2 0 0

9 2 1 0

3 3 1 3

    = 1 · 2 · 1 · 3 = 6  

Ejemplo 25. Sean a, b, c ∈ R tales que a + b + c , 0.   a − b − c 2a 2a  2b b−c−a 2b det   2c 2c c−a−b

   

F1 + F2 F1 + F3

=

  a + b + c a + b + c a + b + c  2b b−c−a 2b det   2c 2c c−a−b

  1 1 1  2b = (a + b + c) det  2b b − c − a  2c 2c c−a−b   1 0 0  0 = (a + b + c) det  2b −(a + b + c)  2c 0 −(a + b + c)

11

   

C2 − C1 C3 − C1

=

   3  = (a + b + c)

   

1 a+b+c F 1

=

2.4. MATRICES NO SINGULARES Y FACTORIZACIÓN LDU DE UNA MATRIZ. 2.4.1 M I. 2.4.1.1 Definición. Propiedades. Definición 26. Sea A = (ai j ) ∈ Mn×n (K). Diremos que A es una matriz no singular (o invertible) si existe una matriz B ∈ Mn×n (K) tal que AB = En×n = BA Existe una única matriz B que verifica la relación anterior. Esta matriz la denotaremos por A−1 y la llamaremos matriz inversa de A. En caso contrario, se dice que A es singular (o no invertible). Nota. Si A y B ∈ Mn×n (K) entonces AB = En×n ⇐⇒ BA = En×n Proposición 27. Si A ∈ Mn×n (K) es no singular, entonces se verifica • A−1 es no singular y (A−1 )−1 = A. • AT es no singular y (A−1 )T = (AT )−1 . Proposición 28. Si A ∈ Mn×n (K) es no singular, entonces en cada fila y en cada columna de A existe al menos una entrada no nula. Como consecuencia, la matriz nula On×n es singular. Proposición 29. Si D = diag(a11 , a22 , . . . , ann ) es una matriz diagonal. D es no singular ⇐⇒ aii , 0, para i = 1, 2, . . . , n −1 −1 En este caso, D−1 = diag(a−1 11 , a22 , . . . , ann ).

Proposición 30. Las matrices elementales son matrices no singulares y además las inversas son también matrices elementales del mismo tipo. −1

E(i, j)

= E(i, j),

−1

E(λ(i))

! 1 = E (i) , λ

E(( j) + λ(i))−1 = E(( j) − λ(i))

Proposición 31. Sean A, B ∈ Mn×n (K). Entonces, AB es no singular ⇐⇒ A y B son no singulares, y, en este caso, (AB)−1 = B−1 A−1 . 2.4.1.2 Criterios de no singularidad. Teorema 32. Si A ∈ Mn×n (K) es no nula y N es la forma normal de A, entonces A es no singular ⇐⇒ N = En×n Corolario 33. Toda matriz no singular se puede escribir como producto de matrices elementales. 12

Teorema 34. Si A ∈ Mn×n (K) no nula, entonces A es no singular ⇐⇒ det(A) , 0 Corolario 35. Si A ∈ Mn×n (K) es una matriz triangular, entonces A es no singular ⇐⇒ aii , 0, para i = 1, 2, . . . , n En particular, las matrices de tipo M son no singulares. Además, se comprueba que la inversa de una matriz triangular no singular es otra matriz triangular del mismo tipo. 2.4.1.3 Cálculo de la matriz inversa de una matriz mediante operaciones elementales Teorema 36. Supongamos que una matriz no singular A ∈ Mn×n (K) es reducida a En×n mediante un número finito de operaciones elementales sobre filas. Entonces, la aplicación de estas operaciones elementales en el mismo orden sobre las filas de En×n proporcionan A−1 . Nota. Se pueden obtener resultados análogos trabajando sólo con operaciones elementales sobre columnas o con operaciones elementales sobre filas y columnas. Método práctico de cálculo de la inversa. • Aplicando únicamente operaciones elementales sobre filas: operaciones elementales

[ A | En×n ] −−−−−−−−−−−−−−−→ [ En×n | A−1 ] sobre filas

• Aplicando únicamente operaciones elementales sobre columnas:      A  operaciones elementales  En×n     −−−−−−−−−−−−−−−→  sobre columnas En×n A−1 • Aplicando operaciones elementales sobre filas y columnas:    P  A En×n  operaciones elementales  En×n   −−−−−−−−−−−−−−−→  sobre filas y columnas En×n On×n Q On×n

  

y, en este caso, A−1 = Q P.   2 1  Ejemplo 37. Calcula la inversa de la matriz A =  0 −1  1 1 elementales sobre filas.     2 1 −1 1 0 0  1 1 2 0   F1 ↔F3  [ A | E3×3 ] =  0 −1 0 0 1 0  −−−−−→  0 1 0 0   (−1)F2  1 1 2 0 0 1 2 1 −1 1 13

−1 0 2

    aplicando únicamente operaciones

    1 1 2 0 0 1  0 1   F3 −2F1   −1 0  −−−−−→  0 1 0 0 −1 0  →    0 0 0 −1 −5 1 0 −2

    1 1 2 0 0 1  − 1 F  1 1 2 F3 +F2   5 3  −−−−→  0 1 0 0 −1 0  −−−−→  0 1 0    0 0 −5 1 −1 −2 0 0 1   1 0 0 2/5 3/5 1/5 F1 −F2   0 −1 0 −−−−→  0 1 0  0 0 1 −1/5 1/5 2/5

0 0 0 −1 −1/5 1/5    −1  =⇒ A

Ejemplo 38. Calcula la inversa de la matriz A = elementales sobre columnas.  1 −1     A   5 2  =    1 0 E2×2  0 1 Por tanto, A

−1

=

1 −1 5 2

       1 0    5 7  1   C2 +C1   7 C2   −−−−→   −−−→     1 1      0 1

  1 1   F1 −2F3  0  −−−−−→  0   2/5 0   2/5 3/5  −1 =  0  −1/5 1/5

 1 0 2/5 −2/5 1/5   1 0 0 −1 0   0 1 −1/5 1/5 2/5  1/5   0   2/5

! aplicando únicamente operaciones

   0    1    1   C1 −5C2  0   −−−−−→   2/7 1/7  1 1/7     0 1/7 −5/7 1/7

1 5

0 1

! 2/7 1/7 . −5/7 1/7

   1 2 3    Ejemplo 39. Calcula la inversa de la matriz A =  1 0 0  aplicando operaciones elementales   2 1 5 sobre filas y columnas.       1 2 3 1 0 0   1 0 0 0 1 0  1 0 0 0 1 0       1 0 0 0 1 0  1 2 3 1 0 0   0 2 3 1 −1 0          A E3×3   2 1 5 0 0 1  F1 ↔F2  2 1 5 0 0 1  F3 −2F1  0 1 5 0 −2 1  −−−−−→   −−−−−→   =          1 0 0 0 0 0   1 0 0 0 0 0  F2 −F1  1 0 0 0 0 0 E3×3 O3×3       0 1 0 0 0 0   0 1 0 0 0 0  0 1 0 0 0 0  0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0      1 F 2 2  −−−→     

  1 0 0 0 1 0  0 0 1 0  1 0   0 1 3/2 1/2 −1/2 0  0 1 0 1/2 −1/2 0   0 1 5 0 −2 1  C3 − 23 C2  0 1 7/2 0 −2 1  −−−−−→   1 0 1 0 0 0 0 0  0 0 0 0     0 1 0 0 0 0  0 0  0 1 −3/2 0  0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0    0 0 1 0  0 0 1  1 0  1 0    0 1 0 1/2 −1/2 0 0 1 0 1/2 −1/2     0 0 7/2 −1/2 −3/2 1  2 C  0 0 1 −1/2 −3/2   7 3  →  − − − →    1 0  1 0 0 0 0 0  0 0 0    0 0 0  0 0  0 1 −3/7  0 1 −3/2  0 0 1 0 0 0 0 0 2/7 0 0

14

      F3 −F2  −−−−→           0   0   0

0 0 1

       →   

Por tanto, A−1

    1 0 0   0 1 0    = Q P =  0 1 −3/7  ·  1/2 −1/2 0    0 0 2/7 −1/2 −3/2 1

     0 1 0      =  5/7 1/7 −3/7 . −1/7 −3/7 2/7

2.4.2 F´ LDU    n × n  K. 2.4.2.1 Factorización LU. Si A ∈ Mn×n (K) y se puede triangular utilizando únicamente operaciones elementales de tipo 3 por filas, o equivalentemente, se puede factorizar como sigue Mn−1 Mn−2 . . . M2 M1 A = A(n) siendo Mi matrices de tipo M (que en este caso son matrices triangulares inferiores con diagonal de unos y, por tanto, no singulares) 1 ≤ i ≤ n − 1, entonces podemos despejar A     1 0 0 . . . 0   a11 a12 a13 . . . a1n   ∗ 1 0 . . . 0   0 a(2) a(2) . . . a(2)     22 23 2n   (3) (3)   ∗ ∗ 1   0  −1 −1 0 0 a a A = (M1 . . . Mn−1 )A(n) = LA(n) =    33 3n    .  .. .. . . . . ..  . . ..   .. . .  . . . . .     ∗ ∗ ∗ ... 1 0 0 0 . . . a(n) nn Hemos escrito A como producto de una matriz L triangular inferior con diagonal de unos y una matriz A(n) triangular superior. Esta factorización es conocida como factorización LU de A. 2.4.2.2 Factorización LDU. Después de obtener la factorización LU, la matriz A(n) , a su vez se puede factorizar como producto de una matriz D diagonal, donde las entradas diagonales son los pivotes, y una matriz U triangular superior con diagonal de unos.      1 0 . . . 0   a11 0 . . . 0   1 ∗ . . . ∗   ∗ 1 . . . 0   0 a(2) . . . 0   0 1 . . . ∗  22   A = LA(n) = LDU =  .. .. . . ..   .. .. . . ..   .. .. . . ..  . .   . . .   . . . .   . . .    (n)   ∗ ∗ ... 1 0 0 ... 1 0 0 . . . ann Esta factorización de la matriz A es conocida como factorización LDU de A. Con estas definiciones, para que A ∈ Mn×n (K) admita factorización LU y LDU es necesario que (n−1) a11 , a(2) 22 , . . . , a(n−1)(n−1) sean no nulos. Teorema 40. Si A ∈ Mn×n (K), entonces, para t = 1, 2, . . . , n (t) [1] [2] [t] a11 , a(2) 22 , . . . , att son no nulos ⇐⇒ A , A , . . . A son no singulares

Teorema 41. Si A ∈ Mn×n (K) admite factorización LDU, entonces A es no singular ⇐⇒ todos los pivotes son no nulos 15

Teorema 42. Si A ∈ Mn×n (K) admite factorización LDU y es no singular, entonces la factorización LDU es única. Si además A es simétrica, entonces L = U T . 2.5. PARTICIÓN DE MATRICES EN BLOQUES 2.5.1 M  . T    . Definiciones 43. Dada una matriz A ∈ Mm×n (K), si trazamos p − 1 líneas horizontales entre ciertas filas de A y q − 1 líneas verticales entre ciertas columnas de A, se tiene una partición en bloques de A de la forma:   Λ11 Λ12 · · ·   Λ21 Λ22 · · · A =  .. .. ..  . . .  Λ p1 Λ p2 · · ·

Λ1q Λ2q .. . Λ pq

      

donde cada Λi j es una submatriz de A. Por tanto, diremos que A es una matriz en bloques p × q. Si p = q, entonces diremos que A es una matriz en bloques cuadrada. Dada una matriz A = (Λi j ) en bloques cuadrada, diremos que • A es diagonal en bloques si Λi j = O, para i , j, y escribiremos A = Λ11 ⊕ Λ22 ⊕ · · · ⊕ Λ pp • A es triangular superior en bloques si Λi j = O, para i > j • A es triangular inferior en bloques si Λi j = O, para i < j 2.5.2 O     ∗ Suma de matrices en bloques. Si A = (Λi j ) y B = (Ωi j ) son matrices en bloques p × q, donde los bloques Λi j y Ωi j son del mismo tamaño para cada i, j con 1 ≤ i ≤ p y 1 ≤ j ≤ q, entonces A + B = (Λi j + Ωi j ) Ejemplo 44.   −1 0  A =  2 1  3 −2

=⇒

    =

A+B=

Λ11 Λ12 Λ21 Λ22

! y

   4 −1    B =  3 3  =   0 −5

Λ11 + Ω11 Λ12 + Ω12 Λ21 + Ω21 Λ22 + Ω22

16

!

   3 −1    =  5 4    3 −7

Ω11 Ω12 Ω21 Ω22

!

∗ Producto de matrices en bloques. Si A = (Λi j ) es una matriz en bloques p × q y B = (Ω jk ) es una matriz en bloques q × t, donde cada bloque Λi j es de tamaño mi × n j y cada bloque Ω jk es de tamaño n j × sk , entonces A · B = (Γik ), siendo Γik =

q X

Λi j · Ω jk

j=1

Ejemplo 45.    0 1 2   1 2 3   = A =   2 3 0   3 0 1

=⇒

Λ11 Λ12 Λ21 Λ22

!

   0 1 2 3    y B =  1 2 3 0  =   2 3 3 1

Λ11 Ω11 + Λ12 Ω21 Λ11 Ω12 + Λ12 Ω22 Λ21 Ω11 + Λ22 Ω21 Λ21 Ω12 + Λ22 Ω22

A·B=

!

Ω11 Ω12 Ω21 Ω22

!

  5 8 9 2  8 14 17 6 =   3 8 13 6 2 6 9 10

     

2.5.3 A     . • Cálculo de inversas. Si T =

P O O R

! es una matriz en bloques diagonal y P y R son no singulares, entonces T es no singular

Si T =

P Q O R

y

T

−1

P−1 O O R−1

=

!

! es una matriz en bloques triangular superior y P y R son no singulares,

entonces T es no singular Análogamente, si T =

P O Q R

y

T

−1

P−1 −P−1 QR−1 O R−1

=

!

! es una matriz en bloques triangular inferior y P y R son no

singulares, entonces T es no singular

y

T

       Ejemplo 46. Calcula la inversa de la matriz A =       17

2 0 0 0 0 0 0 0

−1

=

0 8 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 2 0 0 0

P−1 O −1 −1 −R QP R−1

!

0 0 0 0 0 1 1 2

            

0 1 2 0 1 0 0 0

3 1 3 0 5 0 0 0

0 0 0 0 0 2 0 1

0 0 0 0 0 3 0 5

A=

P O O R

! =⇒ A

Observemos que   2 0 1 0  0 8 1 1  P =  0 0 1 2   0 0 1 0 0 0 2 1    −1 Por tanto, A =  

3 1 3 0 5

−1

=

     =   

P−1 O O R−1

S Q O R

!

=⇒ P

S −1 −S −1 QR−1 O O R−1 O O O R−1

A−1

S −1 −S −1 QR−1 O R−1

! −1

=

!

    

  0 3/14 1/7 −3/7 0 0 0   1/2  0 1/8 −1/14 −5/56 1/56 0 0 0     0 0 0 1 0 0 0 0     0 0 5/7 1/7 −3/7 0 0 0    =  0 −1/7 −3/7 2/7 0 0 0   0   0 0 0 0 0 1 0   0   0 0 0 0 0 5/7 1/7 −3/7    0 0 0 0 0 −1/7 −3/7 2/7

• Cálculo de determinantes. ! Λ11 Λ12 Si A = es una matriz en bloques y Λ11 es no singular y Λ22 es una matriz O Λ22 cuadrada, entonces, det(A) = det(Λ11 ) det(Λ22 ) • Cálculo de los pivotes. Si A ∈ Mn×n que admite LDU y π1 , π2 , . . . , πn son los pivotes, entonces A = LDU,

siendo D = diag(π1 , π2 , . . . , πn )

Tomando submatrices se obtiene que A[k] = L[k] D[k] U [k] ,

para k = 1, 2, . . . , n

y considerando determinantes det(A[k] ) = det(L[k] ) det(D[k] ) det(U [k] ) = det(D[k] ) = π1 π2 · · · πk , 1 ≤ k ≤ n Por tanto, π1 = det(A[1] ) = a11 πk =

det(A[k] ) , det(A[k−1] ) 18

para k = 2, . . . , n

P S´ 3      2 −1 0   3 0 4      (P.I) Sean A =  0 3 −2  y B =  1 −2 5 . Calcula 2A − 3BT .     1 −1 2 0 1 2   ! !  1  2 −5 1 −3   (P.II) Sean A = , B = (3 − 1 2), C = y D =  2 . Hallar (A · B + C) · D. 0 1 0 1   3     ! !  −1 0   1 0  0 −1 −1     (P.III) Dadas las matrices A =  0 2 , B = , C =  −2 −3  y D = . 1 2 1     3 −1 1 3 Calcula 2A · B + 3C y (A + C) · (3B · D).    3 3 −1    (P.9)(pág. 130) Expresa la matriz  0 3 2  como suma de una matriz simétrica y de otra   −1 2 2 antisimétrica.

(P.IV) Descomponer la matriz A =

1 2 3 4

! como suma de una matriz simétrica y una matriz

antisimétrica.

   0 0 0 0   1 0 0 0  . (P.10)(pág. 131) Calcula las potencias de A =   0 1 0 0  0 0 1 0 ! ( 0 1 A si n es impar n (P.V) Considera la matriz A = . Comprueba que A = . 1 0 E2×2 si n es par      1 0 n   1 0 1      (P.VI) Comprobar que An =  0 1 0  siendo A =  0 1 0 .     0 0 1 0 0 1 ! 1 a (P.VII) Dada la matriz A = . Calcular An . 0 1 (P.16)(pág. 131) Prueba que A y B conmutan ⇐⇒ AT y BT conmutan. (P.VIII) Hallar las matrices 2 × 2 sobre R que conmutan con la matriz A =

! 1 1 . 0 1

(P.18)(pág. 131) Prueba que si A es antisimétrica, entonces A2 es simétrica. (P.33)(pág. 133) Si A es idempotente, prueba que B = E − A satisface AB = BA = O.      0 1 −1   4 3 3  (P.37)(pág. 133) Prueba que las matrices A =  4 −3 4  y B =  −1 0 −1  son invo    3 −3 4 −4 −4 −3 lutivas.

(P.25)(pág. 132) Halla todas las matrices complejas n × n A tales que A∗ A = 0. (P.27)(pág. 132) La traza tr(A) de una matriz cuadrada se define como la suma de todas sus entradas diagonales. Prueba que tr(A + C) = tr(A) + tr(C) y tr(λA) = λ tr(A). 19

(P.36)(pág. 133) Prueba que

1 −1 2 −1

! y

1 1 4 −1

! anticonmutan y (A + B)2 = A2 + B2 .

(P.32)(pág. 133) Halla dos matrices C y D tales que (C + D)(C − D) , C 2 − D2 . P S´ 4 (P.1)(pág.148) Señala qué tipo de operaciones elementales sobre filas hay que efectuar sobre E3×3 para obtener las siguientes matrices elementales.          0 1 0   1 0 0   1 0 0   0 0 1          (i)  1 0 0  (ii)  0 1 0  (iii)  0 3 0  (iv)  0 1 0          0 0 1 2 0 1 0 0 1 1 0 0 Repite el ejercicio considerando operaciones elementales sobre columnas.

   2 3 1    (P.2)(pág.148) Dada la matriz A =  0 −1 −5 , computa PA y AP siendo P cada una de   −2 7 0 las matrices elementales del problema anterior.

   0 6 13    (P.6)(pág.149) Sea C =  0 2 4 . Halla matrices elementales E1 ,. . .,E4 tales que E4 E3 E2 E1C = E3×3 .   1 0 0 (P.9)(pág.150) Prueba que las matrices elementales de orden 4, E(1, 2) y E(3, 4) conmutan y E(1, 2) y E(2, 3) no conmutan. (P.16)(pág. 151) Prueba que las matrices elementales de tipo II conmutan. (P.17)(pág. 151) Hallar dos matrices elementales de tipo III que no conmuten.    1 3 3    (P.20)(pág.152) Obtener la forma normal de la matriz A=  1 4 3 .   1 3 4    1 2 3 1 3   3 2 1 1 7  . (P.I) Obtener una forma escalonada reducida de la matriz   0 2 4 1 1  6 3 2 9 1 (P.21)(pág.152) Escribe todas las posibles formas normales de una matriz de tamaño 3 × 4.    1 3 6 −1  (P.22)(pág.152) Reduce la matriz  1 4 5 1  a su forma normal.   1 5 4 3    1 2 −1 2    (P.23)(pág. 152) Reduce la matriz  2 5 −2 3  a su forma normal.   1 2 1 2 (P.16)(pág.176) Reduciendo a forma triangular, calcula el valor de los determinantes de las siguientes matrices

   8 7 −3    (i)  1 1 2    1 1 3

   −4 −6 7    (ii)  8 −2 −5    −1 1 1 20

   0 −2 1    (iii)  7 5 2  .   5 −2 6

   1 1 1 1   1 2 3 4  . (P.7)(pág. 175) Calcula det(A) siendo A =   1 3 6 10   1 4 10 20 (P.8)(pág.175) Utilizando operaciones elementales, prueba que      b + c b0 + c0 b00 + c00   a a0 a00      (i)det  c + a c0 + a0 c00 + a00  = 2 det  b b0 b00      a + b a0 + b0 a00 + b00 c c0 c00    b + c c + a a + b    b c  = 0 (ii)det  a   1 1 1  2     a bc a2   ac bc ab      (iii) det  b2 b2 ac  = det  bc ab ac .     ab ac bc ab c2 c2    x y z    (P.I) Sabiendo que det  3 0 2  = 5, calcula sin desarrollar, los determinantes :   1 1 1       2x 2y 2z    x − 1 y − 1 z − 1 x y z       1 3 det  3/2 0 1  , det  3x + 3 3y 3z + 2  , det  4      1 1 1 x+1 y+1 z+1 1 1 1

    .

P S´ 5 (P.13)(pág.176) Sea S una matriz n × n antisimétrica. Si n es impar, prueba que det(S ) = 0.  0 x y    ¿Qué se puede afirmar de det(A) = det  −x 0 −z ?   −y z 0 (P.12)(pág.176) Si A = A−1 . ¿ Cuáles son los posibles valores de det(A)? (P.I) Sea A matriz n × n sobre K tal que A3 = A. ¿ Cuáles son los posibles valores de det(A)? (P.II) (i) Calcula el determinante de las siguientes matrices sin desarrollarlo. Justifica tu respuesta.

   1 1 1    B =  8 1 3    2 2 2

   1 0 0    C =  −2 1 0    −4 0 2

(ii) Sea A ∈ Mn×n (R) tal que 3A2 − 2A = On×n . Calcula los posibles valores del determinante de A.

(P.30)(pág 180) Prueba que si A es hermítica, entonces det(A) es un número real.    1 3 3  (P.20)(pág.152) Escribe A=  1 4 3  como producto de matrices elementales.   1 3 4 21

(P.4)(pág. 210) Supongamos que una matriz B n × n verifica la ecuación B7 − 3B + E = On×n . Prueba que B es no singular y calcula B−1 . (P.2)(pág. 210) Suponiendo que todas las matrices que intervienen son no-singulares, despeja D en cada una las siguientes ecuaciones: (i) ADB = C ; (ii) ACDB = C ; (iii) CADB = C ; (iv) (AB)−1 AD = E ; (v) A(B + D) = (B−1 )−1 . (P.5)(pág.211) Supón que una matriz n × n A satisface A p = O para algún p. Demuestra que A es singular.

(P.11)(pág.212) Prueba que si A es no singular y simétrica, entonces A−1 es simétrica.    1 −1 1    (P.III) Utilizando el Método de Gauss, obtener la inversa de  −1 1 2  .   2 −1 −2    1 0 0 0   1 2 0 0  . (P.16)(pág.213) Calcula la inversa de   2 1 3 0  1 2 1 4      0 −1 0   1 2      (P.IV) Halla una matriz 3 × 2 tal que X = AX + B, donde A =  0 0 −1  y B =  2 1 .     0 0 0 3 3    1 3 −1    (P.V) Calcular la factorización LDU de la matriz A =  2 8 4 .   −1 3 4    1 1 1    (P.VI) Calcular la factorización LDU de la matriz A =  1 −1 −1 .   1 −1 2 (P.VII) Averigua si las siguientes  matrices admiten  factorización LDU y en caso afirmativo  1 1 1   1 1 −1      1 −1  y B =  1 −1 −1 . calcula dicha factorización: A =  1     1 −1 2 1 −1 −1    1 α 3    (P.VIII) Estudia para que valores de α la matriz A =  3 1 −1  admite factorización LDU y   0 2 1 calcula dicha factorización en tales casos. Teniendo en cuenta la factorización anterior calcula det(A) y calcula, para que valores de α, A es no singular.

P S´ 6 ( )     (P.I) Calcula el determinante de A =   

1 1 0 0 0

 3 −1 2 3   2 1 −3 4   0 1 0 0 .  0 −2 5 0   0 3 2 7

22

(P.18)(pág. 228) Sabiendo que

1 1 3 4

!−1

! 4 −1 , calcula la inversa de las siguientes −3 1

=

matrices estableciendo los bloques convenientes

   1 1 0     3 4 0  ; 0 0 4

       (P.II) Calcular la inversa de la matriz A =              (P.III) Calcula la inversa de la matriz A =      

       

3 0 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 1 0 0

1 1 1 1 3

1 1 1 1 4

     .   

 1 0 −1 1 1 0 0 0  2 −1 −2 1 1 0 0 0   0 −2 1 1 1 0 0 0   0 0 0 3 0 0 0 0  . 0 0 0 0 −5 0 0 0   0 0 0 0 0 1 0 −1   0 0 0 0 0 2 −1 −2   0 0 0 0 0 0 −2 1  2 0 1 0 3 0 0 0  0 8 1 1 1 0 0 0   0 0 1 2 3 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0 0  . 0 0 2 1 5 0 0 0   0 0 0 0 0 1 2 3   0 0 0 0 0 1 0 0   0 0 0 0 0 2 1 5 B C O O

!

(P.6)(pág. 225) Supongamos que establecemos una partición por bloques de una ! Bn Bn−1C matriz A. Prueba que An = . O O (P.16)(pág. 227) Sea la matriz cuadrada A ⊕ B ⊕ C . Prueba que es nilpotente si, y sólo si, cada bloque lo es.

23