Campos Electromagn´eticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla

Tema 2: Postulados del Electromagnetismo 1. Breve rese˜ na hist´ orica: Fen´omenos el´ectricos y magn´eticos. Importancia del Electromagnetismo. La descripci´on mediante campos. 2. La carga el´ ectrica: Naturaleza. Propiedades. Distribuciones de carga. Densidades superficiales y lineales. 3. Corriente el´ ectrica: Concepto de intensidad. Concepto de densidad de corriente. Corrientes superficiales y filiformes. Ley de conservaci´on de la carga. 4. Ecuaciones de Maxwell en el vac´ıo: Campos El´ectrico y Magn´etico. Formulaci´on local. Compatibilidad de las ecuaciones. 5. Fuerza de Lorentz: Fuerza general sobre cargas. Fuerza sobre distribuciones. Transformaci´on galileana de los campos. 6. Forma integral de las Ecuaciones de Maxwell: Ley de Gauss. Ley de inexistencia de monopolos. Ley de Faraday. Ley de Amp`ere-Maxwell. 7. Discontinuidades de los campos: Discontinuidad del campo el´ectrico al atravesar una distribuci´on superficial de carga. Discontinuidad del campo magn´etico al atravesar una distribuci´on superficial de corriente. Balance de carga en una superficie. 8. Conservaci´ on de la energ´ıa: Trabajo de las fuerzas electromagn´eticas. Teorema de Poynting. Energ´ıas el´ectrica y magn´etica. Vector de Poynting.

2.1.

Breve rese˜ na hist´ orica

• Fen´ omenos el´ ectricos y magn´ eticos Las primeras noticias de lo que hoy conocemos como fen´omenos electromagn´eticos provienen del mundo griego. Hacia el a˜ no 600 a.C. los fil´osofos helenos hab´ıan ya observado que al frotar trozos de a´mbar estos adquir´ıan la capacidad de atraer peque˜ nos fragmentos de papiro y paja. (La palabra electr´ on proviene de la voz griega para a´mbar) Asimismo, observaron que ciertas piedras provenientes de la isla de Magnesia (la magnetita) eran capaces de atraer trozos de hierro. Sin embargo, estos fen´omenos no comenzaron a estudiarse intensivamente hasta el principio de la edad moderna (aunque hay que se˜ nalar el descubrimiento de la br´ ujula, fen´omeno puramente magn´etico, de importancia capital en la historia de la Humanidad). En su obra De magnete (1600), William Gilbert establece por primera vez la distinci´on entre los dos fen´omenos, electricidad y magnetismo. A partir de este momento las investigaciones se intensifican, pero es sobre todo a partir de la segunda mitad del siglo XVII cuando se empiezan a establecer las bases de lo que hoy denominamos electromagnetismo cl´asico. Hay que destacar los trabajos experimentales de Cavendish y Coulomb, que establecieron la ley de atracci´on entre cargas el´ectricas. En particular las experiencias de Coulomb consistieron en la Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

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medida de la fuerza, mediante una balanza de torsi´on, que sufre una esferilla conductora cargada cuando se le acerca otra esferilla tambi´en cargada. El resultado de sus observaciones se resumieron en la f´ormula bien conocida an´aloga a la ley de atracci´on de masas de Newton: F =k

qq  , r2

donde intervienen las dos cargas q y q  , la distancia entre ambas y una constante universal k, para dar la fuerza medida F . Comprob´o que dicha fuerza es atractiva o repulsiva dependiendo del tipo de electrificaci´on de las esferas, y que su direcci´on era seg´ un la recta que las un´ıa. La invenci´on de la pila el´ectrica por Volta (1800), permiti´o generar corrientes el´ectricas permanentes, lo cual llevo al descubrimiento de nuevos fen´omenos. En particular, en 1820 Oersted descubri´o la primera relaci´on experimental entre electricidad y magnetismo, al observar que una corriente el´ectrica era capaz de desviar una aguja imantada (una br´ ujula). En 1831, el f´ısico ingl´es Michael Faraday realiz´o el descubrimiento inverso, un im´an en movimiento era capaz de producir una corriente el´ectrica transitoria. Las ideas de Faraday sobre electricidad y magnetismo fueron ampliadas y formuladas matem´aticamente por James Clerk Maxwell, qui´en en 1872 present´o sus famosas ecuaciones, donde se muestra que la electricidad y el magnetismo, junto con los fen´omenos de la o´ptica, obedecen un conjunto u ´ nico de leyes. A partir de este momento, todos estos fen´omenos se engloban bajo el t´ermino electromagnetismo. • Importancia del electromagnetismo En la actualidad se considera que s´olo existen cuatro interacciones fundamentales en la Naturaleza: gravitatoria, electromagn´etica, fuerza fuerte y fuerza d´ebil. Las dos u ´ ltimas s´olo se dejan sentir dentro de los n´ ucleos at´omicos (distancias del orden de 10−15 m) y son responsables de la cohesi´on de los n´ ucleos (la fuerza fuerte) y de los fen´omenos radioactivos (la fuerza d´ebil). La fuerza gravitatoria y la electromagn´etica son fuerzas de largo alcance, es decir, sus efectos se dejan sentir entre cuerpos separados por distancias muy grandes. La primera es u ´ nicamente atractiva, mientras que la segunda puede ser atractiva o repulsiva. De las dos, la m´as intensa es la electromagn´etica. As´ı, entre dos electrones en reposo la fuerza el´ectrica es aproximadamente 1036 veces m´as intensa que la fuerza gravitatoria. La raz´on de que la interacci´on gravitatoria sea dominante a escala astron´omica es la casi perfecta neutralidad de los cuerpos macrosc´opicos. En nuestra vida corriente la interacci´on electromagn´etica es de largo la m´as importante. De hecho, puede decirse que salvo los fen´omenos relacionados con el peso, todo lo que nos rodea es electromagnetismo. La estructura de la materia esta formada por part´ıculas (protones, electrones, neutrones) que interaccionan por medio de la electricidad y el magnetismo, produciendo distintos estados de agregaci´on (s´olidos, l´ıquidos, gases). En u ´ ltima instancia, la impenetrabilidad de los s´olidos, poder pisar suelo firme, se debe a esta interacci´on. Todos los procesos qu´ımicos, desde el motor de combusti´on hasta los procesos biol´ogicos se basan en el electromagnetismo. Y toda la energ´ıa que recibimos del Sol, gracias a la cual existe la vida sobre la Tierra, llega en forma de ondas electromagn´eticas. Hablando ya en un nivel ligado a nuestra propia civilizaci´on, podemos argumentar que todo lo relativo a telecomunicaciones, radio y televisi´on se apoya en la existencia de ondas electromagn´eticas. Las instalaciones el´ectricas de una casa o de una f´abrica, o los circuitos integrados que permiten la construcci´on de ordenadores se basan en el fen´omeno de la corriente el´ectrica. El tipo de energ´ıa m´as utilizado en la vida cotidiana es la el´ectrica. Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

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• Descripci´ on mediante campos Los fen´omenos electromagn´eticos se manifiestan como fuerzas que act´ uan entre part´ıculas o cuerpos materiales (cargas el´ectricas, imanes, corrientes, etc). En principio se intent´o explicar estas interacciones bas´andose en el principio de acci´on a distancia: una part´ıcula ejerce una fuerza sobre otra situada a una cierta distancia, y la informaci´ on se transmite instant´aneamente. As´ı es como Newton trata la interacci´on gravitatoria en los Principia (1687). Sin embargo, esta visi´on plantea algunos problemas conceptuales. En la vida real la informaci´on sobre un acontecimiento tarda un cierto tiempo en llegar desde el lugar en que se produce (ya sean los cotilleos en un bloque de vecinos o la publicaci´on de las notas de un examen). Este y otros problemas indujeron a Michael Faraday a introducir la idea de que la interacci´on entre dos cuerpos cargados o magnetizados no ocurre directamente, sino que se produce a trav´es de un agente mediador, que es el campo electromagn´etico. As´ı, al colocar una carga el´ectrica en un punto, ´esta crea una perturbaci´on en el medio que la rodea (que hoy llamamos campo el´ectrico). Si otra part´ıcula cargada se coloca en ese espacio, el campo en ese punto ejerce una fuerza sobre ella. Si se modifica el valor de la primera carga, esta modificaci´on se traslada al campo, que a su vez la traslada a la segunda part´ıcula, variando la fuerza ejercida sobre ella. En un principio la introducci´on de este campo puede parecer un artificio destinado a facilitar los c´alculos, y as´ı se trat´o durante alg´ un tiempo por gran parte de la comunidad cient´ıfica. Sin embargo, posteriormente se comprendi´o que el campo electromagn´etico posee realidad f´ısica en s´ı mismo, entendi´endose como tal que es capaz de almacenar y transportar energ´ıa y momento lineal y cin´etico.

2.2.

La carga el´ ectrica

La carga el´ectrica es una cualidad de la materia responsable de la interacci´on electromagn´etica entre distintas part´ıculas. La carga el´ectrica posee las siguientes propiedades: 1. La carga es dual: existen dos tipos que se denominan positivo y negativo, discernible por el comportamiento que part´ıculas cargadas con cada tipo muestran en su interacci´on con otras dadas, y por la propiedad de neutralizar en cierta medida su efecto cuando se combinan. 2. La carga est´a cuantizada: del conocimiento actual de las part´ıculas elementales se admite que existe una carga m´ınima, que es la del electr´on para el tipo negativo y la del prot´on para el positivo, ambas iguales en valor absoluto. Cualquier estado de agregaci´on de la materia posee una carga m´ ultiplo de dicho valor. 3. La carga se conserva localmente: nunca se ha observado un fen´omeno del cual resulte la creaci´on neta de carga en un punto del espacio. Siempre que aparece (o se destruye) una carga en un punto, aparece (o se destruye) una carga opuesta en el mismo punto. 4. La carga es un invariante relativista: su medida da el mismo resultado en cualquier sistema de referencia, sea cual sea su velocidad. La carga se simboliza habitualmente por la letra q. Su medida y la adopci´on de la unidad debe posponerse hasta que se describan la interacci´on electromagn´etica y las condiciones experimentales adecuadas para ello. Baste adelantar que la unidad en el Sistema Internacional es el Coulombio (C) y que la carga del electr´on es qe = −1,6 · 10−19 C. Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

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Dado que la materia es discreta y la carga es una cualidad suya, la distribuci´ on de la carga en el universo es discreta. Sin embargo, en la mayor´ıa de las situaciones que nos interesan, el n´ umero de part´ıculas constituyentes es tan grande que es conveniente adoptar la hip´ otesis de medio continuo. Seg´ un ´esta, en cada punto r del espacio podemos definir una densidad volum´ etrica de carga mediante la expresi´on N 1  ρ(r, t) = qi , dτ i=1 siendo N el n´ umero de part´ıculas cargadas encerradas en un volumen dτ que contiene al punto r. El volumen elegido debe ser peque˜ no en relaci´on con las dimensiones caracter´ısticas del sistema considerado, pero suficientemente grande para que las fluctuaciones en el valor de N sean peque˜ nas en comparaci´on con N. En la mayor´ıa de las situaciones que estudiaremos es posible encontrar un volumen dτ que cumpla ambas condiciones. Por tanto podremos considerar la carga asignada a un volumen elemental dτ en el punto r por dq = ρ(r)dτ y aplicar el formalismo del c´alculo diferencial e integral desarrollado en el tema 1. Si tenemos una sola especie cargada, con carga q y n´ umero de part´ıculas por unidad de volumen igual a n(r), la densidad resultar´a ser ρ(r) = qn(r). Si son s especies con cargas qi y densidades ni tendremos en general ρ(r, t) =

s  i=1

qi ni (r, t).

Ejemplo: 3 Teniendo en cuenta que la densidad m´asica del cobre es ρm = 8,95 g/cm , que cada a´tomo posee un electr´ on de conducci´on y que el peso at´ omico del cobre es Pa = 63,55 g/mol, h´ allese el n´ umero de portadores de carga libres (electrones) para 1 mm3 de este material. Si un mol posee NA = 6,022 · 1023 ´ atomos de cobre, que ocupan un volumen τmol , la densidad de portadores (pasando todo a unidades del Sistema Internacional) es n=

NA NA ρm N A 6,022 · 1023 · 8950 = = = = 8,48 · 1028 m−3 . τmol Pa /ρm Pa 63,55 · 10−3

donde hemos usado que la masa de cobre correspondiente a un mol es Pa y por tanto ρm = Pa /τmol . En 1 mm3 de cobre se incluyen entonces N = nτ = 8,48 · 1028 · 10−9 = 8,48 · 1019 electrones. Si el volumen considerado es de una micra c´ ubica los electrones de conducci´ on incluidos son todav´ıa del orden umero suficientemente elevado para justificar una aproximaci´ on de medio continuo. de 1011 , un n´

En otras muchas ocasiones tendremos que tratar con distribuciones superficiales de carga (como en el caso de conductores en equilibrio electrost´atico, o el bombardeo de materiales aislantes con part´ıculas cargadas que quedan depositadas en su superficie). Entonces se define an´alogamente una densidad superficial de carga como ρS (r) =

N 1  qi , ΔS i=1

con N las cargas encerradas en una porci´on de a´rea ΔS, de una capa muy delgada definida en un punto r de la superficie. La carga definida en una superficie elemental es dq = ρS (r)dS. Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

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Tambi´en es u ´ til, aunque de menor inter´es conceptual, la definici´on de una densidad lineal de carga λ(r), de tal forma que la carga asociada a un elemento dl de una l´ınea cargada es dq = λ(r)dl. El concepto de densidad volum´etrica de carga permite representar distribuciones discretas usando la funci´on δ de Dirac. Un conjunto de n cargas qi localizadas en los puntos ri se describe con la funci´on n ρ(r) =

 i=1

qi δ(r − ri ).

Ejemplo: Una esfera de radio R posee una distribuci´ on volum´etrica de carga con simetr´ıa radial, descrita por la funci´ on  0 si 0 < r < R − d ρ(r) = ρ0 si R − d < r < R. Se trata pues de una corteza uniformemente cargada de espesor d adyacente a la superficie de la esfera. Si el espesor d es peque˜ no en comparaci´on con R puede ser u ´ til definir una densidad superficial de carga que sustituya a la distribuci´on en volumen. ¿Qu´e relaci´on existe con la densidad volum´etrica? Para responder a esta cuesti´ on debemos asignar a cada elemento de superficie dS una carga elemental dq. La  subtiende un a´ngulo s´ olido dΩ desde el centro densidad superficial ser´ a entonces ρS = dq/dS. Si la superficie dS 2 de la esfera, podemos escribir dS = R dΩ y dq queda definida como la carga asociada a dicho ´angulo s´ olido:  R   ρ0  3 dq = R − (R − d)3 dΩ. ρ0 r2 dr senθdθdφ = 3 R−d dΩ(θ,φ)

espesor cargado

r(r)

dS

r0

R-d dW R

R-d R

r

Extrayendo un factor R3 del corchete y teniendo en cuenta la relaci´on entre dS y dΩ escribimos dq =

  ρ0 R 3  ρ0 R  1 − (1 − d/R)3 dΩ = 1 − (1 − d/R)3 dS, 3 3

y por tanto

 ρ0 R 3  dq = 1 − (1 − d/R)3 . dS 3 Si, como se nos dice, d R y cero Si el campo magn´etico medido en todo el espacio es, en coordenadas cil´ındricas, B si r < R, obt´enganse sus fuentes. La aplicaci´ on de la divergencia y el rotacional a estas expresiones dan tambi´en cero en este caso y no hay fuentes distribuidas en volumen. La discontinuidad en la superficie cil´ındrica r = R evidencia la existencia de una corriente  = μ0jS da, teniendo en cuenta que n = ur , jS = A/(μ0 R)uz . superficial. La condici´ on de salto n × [B]  se verifica trivialmente, por ser nula a un lado y a otro de la La continuidad de la componente normal de B superficie r = R.

Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

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• Balance de carga en una superficie. La conservaci´on de la carga tambi´en se debe verificar en cualquier superficie. De especial relevancia es el caso de una superficie S en la que tenemos definidas singularidades de carga y corriente dadas por la densidad ρS (r) y jS (r) respectivamente. A un lado y a otro podemos tener definidas distribuciones volum´etricas de carga y corriente, ρi (r) y ji (r), con i = 1, 2 (ver figura).

S1

DS

n

j1

gDS

j2

S2

e js

rS

A partir de la ecuaci´on de continuidad integrada para un volumen elemental ya habitual con forma de caja de pastillas se tiene  

0=

τ

 · j + ∂ρ ∇ ∂t





d   = j · dS + ρdτ. dt τ Sτ

La integral de superficie representa el flujo de carga que escapa por la frontera del volumen. En el l´ımite en que el grosor de la caja tiende a cero hay tres aportes: dos de ellos son an´alogos a los  y B;  otro es nuevo y encontrados en este tipo de an´alisis aplicado anteriormente a los campos E surge de la presencia de una singularidad superficial de corriente:  Sτ

 = ΔS( j · dS j1 − j2 ) · n +

 SL

 j · dS.

En el flujo lateral no intervienen las distribuciones volum´etricas puesto que el ´area lateral tiende a cero, pero en este l´ımite s´ı puede haber flujo de carga debido a la corriente superficial definida  = δdr × n, siendo dr un vector en una fina capa de espesor δ, jS = l´ımδ→0 δj. Escribiendo dS elemental del contorno de S2 se tiene 

SL

= j · dS



γS2

jS · (dr × n).

Si dividimos esta expresi´on por ΔS y tomamos l´ımite ΔS → 0 encontramos una expresi´on que definimos, por analog´ıa con el caso tridimensional, como la divergencia superficial del vector jS (se trata del flujo que escapa lateralmente por unidad de superficie): 1  dr · (jS × n). ΔS→0 ΔS γS

 S · jS = l´ım ∇

 S · jS = n · ∇  × Recordando la segunda definici´on intr´ınseca de rotacional podemos escribir ∇ (jS × n). Por otra parte la integral de volumen no es otra cosa que la carga encerrada, que vale ρS ΔS. En conclusi´on, la ecuaci´on que resulta es Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

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 S · jS + ∂ρS = 0 n · [j] + ∇ ∂t que es de validez general si la superficie no se deforma. Ejemplo: Si se bombardea la superficie plana de un material aislante con un haz de iones de intensidad I, y secci´on S, con una inclinaci´ on α respecto de la normal, durante un tiempo T , h´ allese la densidad superficial de carga depositada. Podemos distinguir dos medios: uno el material aislante, que no deja pasar a los portadores de carga y dentro del cual podemos tomar j = 0; otro su exterior, del que proviene el haz, en el cual la densidad de corriente en m´odulo es I/S si es uniforme. Si el medio es aislante tampoco tendr´ a lugar migraci´ on superficial de la carga, por lo que admitimos que no hay corriente superficial. En un punto sobre el que incide el haz de iones se establece un balance de carga expresado por la f´ormula encontrada anteriormente, con jS = 0. Tomando el vector normal a la superficie apuntando hacia el exterior escribimos ∂ρS I = 0, − cos α + S ∂t El signo negativo proviene de que, al ser incidente, forma un a´ngulo mayor de π/2 con la normal a la superficie. Esta ecuaci´on define la derivada de la densidad de carga como una constante. Integrando en el tiempo,  ρS =

0

T

I ∂ρS dt = T cos α. ∂t S

Como hemos dicho, si la superficie que consideramos se deforma, la f´ormula anterior no es v´alida. Sirva como ejemplo lo que sigue. Ejemplo: H´ allese la densidad superficial de carga de un globo de radio R1 , con carga q, que se infla hasta alcanzar un radio R2 . Suponiendo que la distribuci´ on es uniforme en toda la superficie del globo, la densidad superficial inicial es ρS1 = q/S1 = q/(4πR12 ), y la final es ρS2 = q/S2 = q/(4πR22 ). Est´ a claro que durante el proceso ∂ρS /∂t = 0 y sin embargo la simetr´ıa del problema impide la existencia de una corriente superficial ni tampoco podemos considerar densidades de corriente a un lado y a otro de la superficie del globo. La ecuaci´ on de balance de carga no se cumple, y ello es debido a que la superficie var´ıa en el tiempo.

2.8.

Energ´ıa almacenada en los campos

En este cap´ıtulo pretendemos introducir todos los conceptos b´asicos que se deben manejar dentro de la teor´ıa electromagn´etica. Hemos definido ya la carga y la corriente el´ectrica, as´ı como sus posibles distribuciones; hemos definido los campos el´ectrico y magn´etico; hemos establecido la relaci´on entre todos ellos (ecuaciones de Maxwell), y hemos cerrado la descripci´on de la interacci´on electromagn´etica al definir la fuerza de Lorentz. Sin embargo, al igual que en Mec´anica, es de la m´axima utilidad introducir magnitudes energ´eticas como herramientas para comprender y analizar los fen´omenos electromagn´eticos. Veremos en breve que si en una regi´on del espacio existen campos el´ectrico y magn´etico, tambi´en existen asociados a ellos energ´ıas el´ectrica y magn´etica, respectivamente. De cursos introductorios de F´ısica estamos acostumbrados a analizar, por ejemplo, la ca´ıda de objetos en la superficie terrestre mediante el c´alculo de energ´ıas cin´etica y potencial, entre Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

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las cuales pueden existir trasvases; tambi´en se tienen p´erdidas debidas a rozamiento con el aire, que pueden ser interpretadas como transformaci´on de energ´ıa mec´anica en energ´ıa de otro tipo (calor´ıfica). Todo esto puede servirnos, a modo de analog´ıa, para entender los conceptos que ahora siguen. • Trabajo de las fuerzas electromagn´ eticas. Consideremos una distribuci´on volum´etrica de carga y de corriente. Sobre cada portador de carga, con carga q y velocidad v , la fuerza de Lorentz realiza un trabajo durante un intervalo dt dado por  + v × B)  · v dt, dWq = F · dr = q(E donde hemos tenido en cuenta que en ese intervalo de tiempo el desplazamiento sufrido por la carga es dr = v dt. El segundo t´ermino dentro del par´entesis desaparece por ser la fuerza de origen magn´etico perpendicular a la trayectoria del portador. S´olo la fuerza de origen el´ectrico realiza trabajo, que sumado para todos los portadores encerrados en un elemento de volumen dτ conduce a s   dτ dt = j · E  dτ dt. dW = qi nivi · E i=1

En otras palabras, la potencia mec´ anica suministrada por unidad de volumen a la distribuci´on es dP dW  = = j · E. dtdτ dτ • Teorema de Poynting Acabamos de establecer que sobre una distribuci´on de corriente el campo electromagn´etico realiza  Si una fuerza que por unidad de volumen conduce a la ”inyecci´on”de una potencia dada por j · E. esta expresi´on es positiva se trata efectivamente de un aporte de energ´ıa por unidad de tiempo al sistema de cargas en ese punto. Si es negativa es el sistema de cargas el que cede esa energ´ıa. La cuesti´on que se nos plantea es de qui´en se extrae o a qui´en se cede, respectivamente. Para contestar a esto vamos a presentar la potencia realizada por las fuerzas electromagn´eticas de otra forma. Usando la Ley de Amp`ere-Maxwell para expresar la corriente se tendr´a ⎛

⎞

   =⎝ 1∇  ×B  − 0 ∂ E ⎠ · E  ·∇  ×B  − 0 E  · ∂E .  = 1E j · E μ0 ∂t μ0 ∂t Haciendo uso de la identidad  · (E  × B)  =B  ·∇  ×E  −E  ·∇  ×B  ∇  ×E  a partir de la Ley de Faraday queda y sustituyendo ∇    =−1∇  · (E  × B)  − 0 E  · ∂E − 1 B  · ∂B . j · E μ0 ∂t μ0 ∂t Los t´erminos con derivada temporal pueden relacionarse f´acilmente con las derivadas de E 2 y B 2 , con lo cual llegamos a la expresi´on final

Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

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 = ∂ (uE + uB ) + ∇  · P,  −j · E ∂t donde se definen las cantidades  = 1E  × B,  P μ0

0 2 E , 2

uE =

uB =

1 2 B . 2μ0

La cantidad uE tiene dimensiones de energ´ıa por unidad de volumen, y es dependiente exclusivamente del campo el´ectrico en ese punto. Por este motivo se le denomina densidad volum´ etrica etrica de energ´ıa de energ´ıa el´ ectrica. An´alogamente a uB se la denomina densidad volum´  se le conoce como vector de Poynting, y su significado f´ısico es el de un magn´ etica. A P flujo de energ´ıa por unidad de superficie transversal. Ya se ver´an en temas posteriores ejemplos de c´alculo de energ´ıas y flujos de energ´ıas. La ecuaci´on encontrada es el teorema de Poynting, que establece un balance local de energ´ıa en cada instante. En lo que sigue vamos a tratar de interpretar el significado f´ısico de esta ecuaci´on. Quiz´as la mejor forma de entender la ecuaci´on se consigue integr´andola a un volumen arbitrario τ . Si hacemos esto, aplicamos el teorema de la divergencia y reordenamos t´erminos resulta −

d dt

 τ



(uE + uB ) dτ =

τ

 dτ + j · E

 Sτ

 · dS,  P

que debe leerse: la disminuci´on en la energ´ıa electromagn´etica almacenada en una regi´ on τ se emplea en trabajo realizado por los campos sobre las cargas y energ´ıa que escapa por su frontera. En otras palabras, parte se transforma en otro tipo de energ´ıa y parte se pierde. La transformaci´on consiste en que el sistema de cargas incluido en la regi´on τ modifica su movimiento por efecto de la fuerza de Lorentz, lo cual revierte en una variaci´on de la energ´ıa mec´anica. Hay que tener en cuenta que en un proceso cualquiera cada uno de los t´erminos del teorema puede tener signo positivo o negativo. En efecto, la energ´ıa electromagn´etica puede aumentar o disminuir; el flujo de energ´ıa a trav´es de la frontera puede ser saliente (positivo) o entrante (negativo); el trabajo realizado por la fuerza de Lorentz puede ser tambi´en positivo o negativo. Si este u ´ltimo es negativo significa, en muchos casos, que existen fuerzas de otro origen que est´an actuando en contra del campo electromagn´etico. Dichas fuerzas son responsables de que se gane en energ´ıa electromagn´etica. Tal es el caso, por ejemplo, de una central hidroel´ectrica, en la que la energ´ıa gravitatoria del agua almacenada es responsable de la separaci´on de carga que produce

 la corriente el´ectrica. La energ´ıa gravitatoria es fuente de energ´ıa el´ectrica. Por tanto, si j · Edτ es negativo, debemos entender que hay otro tipo de energ´ıa (t´ermica, nuclear, qu´ımica, potencial, etc.) que est´a actuando como fuente de energ´ıa electromagn´etica. Bajo este nuevo punto de vista podemos reinterpretar el teorema de Poynting escribiendo −

 τ

 dτ = j · E

d dt



 τ

(uE + uB ) dτ +

Sτ

 · dS,  P

que leemos ahora as´ı: la potencia cedida por el conjunto de cargas de una regi´ on τ al campo electromagn´etico se emplea en aumentar la energ´ıa almacenada en los campos en dicha regi´ on y el resto escapa por su frontera. Hay que hacer ´enfasis en la realidad independiente de los campos y las part´ıculas. Estas u ´ ltimas constituyen un sistema mec´anico dotado de energ´ıa mec´anica (cin´etica y de interacci´on); por su Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

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parte se acaba de postular que los campos el´ectrico y magn´etico almacenan energ´ıa; el teorema de Poynting establece c´omo se intercambia la energ´ıa entre ambos sistemas. Para clarificar m´as el significado del teorema de Poynting, veamos dos ejemplos: Ejemplos: 1. El Sol constituye un excelente ejemplo de sistema formado por cargas. Su interior es lo que se denomina un plasma, es decir, un gas de part´ıculas cargadas positiva y negativamente. Las reacciones nucleares que tienen lugar en ´el constituyen la fuente de energ´ıa electromagn´etica. Podemos suponer que posee una temperatura estable, al menos en la escala humana de tiempos, y que por tanto el sistema est´ a en un estado estacionario. Por tanto la energ´ıa electromagn´etica almacenada es constante y la energ´ıa nuclear se transforma ´ıntegramente en radiaci´on electromagn´etica. De los tres t´erminos involucrados en el teorema de Poynting, s´ olo dos son distintos de cero e iguales entre s´ı: la energ´ıa nuclear trabaja en contra de los campos electromagn´eticos, pero no produce un aumento de energ´ıa, sino un flujo hacia el exterior. 2. En un aparato de rayos X un haz de electrones es acelerado por campos el´ectricos muy intensos en cierta regi´on, y luego se les hace chocar, con lo cual pierden su energ´ıa de manera brusca. En este proceso debemos considerar dos etapas. (i) En la primera los electrones adquieren velocidad por el campo el´ectrico aplicado, sin emisi´ on apreciable de radiaci´ on, porque la aceleraci´on de las cargas es relativamente lenta (en el tema 4 veremos que el fen´omeno de radiaci´ on requiere aceleraci´ on de cargas). El teorema de Poynting queda en este caso    dτ = d (uE + uB ) dτ. − j · E dt τ τ La energ´ıa potencial el´ectrica de las cargas disminuye (uB  0 y uE < 0) y se transforma ´ıntegramente en energ´ıa  > 0). mec´anica (potencia mec´anica positiva, porque j · E (ii) En la segunda etapa los electrones pierden su energ´ıa mec´anica tras chocar, pero no ha habido variaci´ on de energ´ıa electromagn´etica almacenada; debemos por tanto decir que toda esa energ´ıa escapa en forma de radiaci´ on X. El teorema queda    · dS,   dτ = P − j · E τ

Sτ

con ambos t´erminos positivos (n´ otese que el choque con un material muy masivo es una interacci´on con un campo  < 0 en el proceso). el´ectrico opuesto a la corriente, y que por tanto j · E

j⋅E0

Es instructivo comparar el teorema de Poynting con la ecuaci´on de continuidad. Ambos son teoremas de conservaci´on: uno para la energ´ıa y otro para la carga. Estos teoremas siempre tienen una misma estructura, a saber, un ”t´ermino fuente”, que caracteriza la creaci´on o destrucci´on de una magnitud (masa, carga, energ´ıa, cantidad de movimiento, etc.), que se iguala a un t´ermino de tasa de crecimiento temporal de dicha magnitud y otro de flujo de la magnitud a trav´es de la  mientras que frontera. En el caso de la energ´ıa electromagn´etica existe un t´ermino fuente, −j · E, en el de la carga neta no lo hay, puesto que se postula que se conserva localmente. Si en lugar de Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

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Campos Electromagn´eticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla

la carga neta se analiza un balance de densidad de portadores de cada especie por separado s´ı hay en general un t´ermino fuente puesto que las interacciones entre portadores pueden conducir a su creaci´on o aniquilaci´on. En el caso del teorema de Poynting la energ´ıa electromagn´etica surge de una conversi´on de la energ´ıa mec´anica de las part´ıculas englobadas. Insistiendo m´as en el significado de este tipo de teoremas, pongamos un s´ımil basado en el sistema de calefacci´on de una casa. Los radiadores, estufas, o cualquier otro sistema empleado en el interior de la casa constituyen las fuentes de energ´ıa t´ermica. La temperatura de la casa es un indicador de la energ´ıa t´ermica almacenada en su interior. Por u ´ltimo, el calor escapa en cierta medida por las paredes de la casa (dependiendo de su aislamiento), y en particular por las ventanas. Podemos establecer el siguiente balance: la potencia calor´ıfica suministrada por las fuentes es igual a la variaci´on de energ´ıa calor´ıfica almacenada por unidad de tiempo m´as la potencia calor´ıfica que escapa por las paredes y ventanas. Puede demostrarse que los campos electromagn´eticos no s´olo son portadores de energ´ıa, sino tambi´en de momentos lineal y angular. Los teoremas de conservaci´on de estas magnitudes mec´anicas deben contar con los campos como realidades f´ısicas del mismo rango que las propias part´ıculas. Como u ´ ltimo comentario, debemos tener en cuenta que si la descripci´on que nos interesa de cierto sistema no es como conjunto de portadores sometidos a fuerzas bien definidas (entre ellas la de Lorentz), sino como medios continuos sujetos a lo que se denominan ”leyes constitutivas”, el teorema de Poynting, tal como se ha enunciado, sigue siendo v´ alido pero deja de tener utilidad. Debe en tales casos redefinirse lo que se entiende por energ´ıas el´ectrica y/o magn´etica y vector de Poynting, y la interpretaci´on de los distintos t´erminos que aparecen en la ecuaci´on de balance se hace m´as complicada. A partir del tema 5, cuando estudiemos el comportamiento electromagn´etico de los medios materiales, entraremos en descripciones de este u ´ltimo tipo y veremos definiciones de energ´ıas alternativas a las dadas en este apartado.

Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

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