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Tema 2: Semiconductores intrínsecos y extrínsecos Cap. 3: K. Kano

– – – –

Introducción Densidad de Estados (DeE) Función de distribución de Fermi-Dirac Densidad de portadores en semiconductores intrínsecos. Nivel de Fermi – Semiconductores extrínsecos: tipo p y tipo n – Densidad de portadores en semiconductores extrínsecos – Nivel de Fermi en semiconductores extrínsecos

Tema 2: Semiconductores intrínsecos y extrínsecos

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Introducción Objetivo Calcular la densidad de portadores en semiconductores puros y poco dopados Motivo Poder determinaran los comportamientos característicos tensión/corriente de los dispositivos Esquema

⎫ ⎪ × ⎬ ⇒ Densidad de portadores Probabilidad de ocupación ⎪⎭ Densidad de estados

Concepto: Equilibrio térmico Es el estado en que un proceso es acompañado por otro, igual y opuesto (estado dinámico), mientras que el sistema se mantiene a la misma temperatura, sin intercambios de energía con el exterior. Tema 2: Semiconductores intrínsecos y extrínsecos

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Densidad de estados Definición La densidad de estados es el número de estados electrónicos posibles por unidad de volumen y por unidad de energía. En un metal (los electrones son libres):

N (E ) =

π ⎛ 8m ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ h2 ⎠

3

2

E

[1] Apéndice C K. Kano

Puede considerarse como una función continua en E Está expresión también será válida para un semiconductor cristalino (electrones quasi-libres, ligados a un potencial periódico) Para adaptarla, hemos de introducir EC, EV y m*

Nn (E ) =

π ⎛ 8m ⎞

3

N p (E ) =

π ⎛⎜ 8m ⎞⎟

3

∗ n

⎜⎜ 2 ⎟⎟ 2⎝ h ⎠ ∗ p

2 ⎜⎝ h 2 ⎠⎟

2

E − EC para E > EC

[2]

EV − E para E < EV

[3]

2

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Función de distribución de Fermi-Dirac Los electrones son fermiones, i. e., partículas que cumplen el principio de exclusión de Pauli Así, vendrán gobernados por la estadística de Fermi:

1

f (E ) = e

E − EF kT

+1

[4]

f(E) es la probabilidad que un estado de energía E esté ocupado, EF es el nivel de Fermi, k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta. http://jas2.eng.buffalo.edu/applets/education/semicon/fermi/functionAndStates/functionAndStates.html

Comentarios Un estado con energía E>EF tendrá mas posibilidades de ser ocupado a mayor temperatura. A una temperatura T, la probabilidad de ocupación disminuye si aumenta la energía Para cualquier T, la probabilidad de encontrar un electrón con una energía EF es 1/2. A T=0, la probabilidad de encontrar un electrón con E>EF es 0 y con E 3kT

[5]

fV (E ) = 1 − f (E ) ≅ exp[− (EF − E ) kT ] para (EF − E ) > 3kT

[6]

electrones → fC (E ) = f (E )

huecos →

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Densidad de portadores ⎛ 2πm kT ⎞ ⎛ E − EF ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ n = ∫ Nn (E ) ×fC (E ) dE = ... = NC exp⎜ − C N con 2 = ⎟ C EC kT ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ h ∗ n 2

∞

3

2

[7]

Densidad efectiva de estados de la banda de conducción

⎛ 2πm kT ⎞ ⎛ EF − EV ⎞ ⎟ p = ∫ N p (E ) ×fV (E )dE = ... = NV exp⎜ − con NV = 2⎜⎜ ⎟ ⎟ −∞ kT ⎠ ⎝ ⎝ h ⎠ ∗ p 2

EV

3

2

[8]

Densidad efectiva de estados de la banda de valencia

semiconductor Si Ge GaAs

N C (cm -3)

N V (cm -3)

3.22×10 19 1.03×10 19 4.21×10 17

1.83×10 19 5.35×10 18 9.52×10 18

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E g (eV) 1.12 0.66 1.42 5/13

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Densidad de portadores (cont.) Densidad intrínseca de portadores: ley de acción de masas

n ⋅ p = NC NV e

E −E − C V kT

Eg

=n ⇒ n⋅p =n 2 i

2 i

[9]

⎛ 2πkT ⎞ ni = 2⎜ 2 ⎟ ⎝ h ⎠

3

2

(m m ) ∗ n

∗ p

3

4

⎛ E ⎞ exp⎜⎜ − g ⎟⎟ [10] ⎝ 2kT ⎠

Posición del nivel de Fermi De ecuaciones anteriores:

EF =

EC + EV kT ⎛ NV ⎞ ⎟⎟ ln⎜⎜ + 2 2 ⎝ NC ⎠

[11]

Si usamos la relación 3 3 ∗ − 2 2 ∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ m NV ⎜ mn ⎟ [12] = ⎜ ∗ ⎟ = ⎜⎜ p∗ ⎟⎟ NC ⎝ mp ⎠ m ⎝ n⎠ Entonces ⎛ mn∗ ⎞ ⎛ mp∗ ⎞ EC + EV 3 EC + EV 3 + kT ln⎜⎜ ∗ ⎟⎟ = − kT ln⎜⎜ ∗ ⎟⎟ [13] EF = m 2 4 2 4 ⎝ n⎠ ⎝ mp ⎠ Para un semiconductor intrínseco:

⎛ mn∗ ⎞ 3 − kT ln⎜⎜ ∗ ⎟⎟ E i = EF = EV + 2 4 ⎝ mp ⎠ Eg

ni(Si,300K)=1.45×1010cm-3

EC E F=E i

[14]

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Eg

EV 6/13

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Semiconductores extrínsecos Los semiconductores extrínsecos se forman añadiendo pequeñas cantidades de impurezas a los semiconductores puros. El objetivo es modificar su comportamiento eléctrico al alterar la densidad de portadores de carga libres. Estas impurezas se llaman dopantes. Así, podemos hablar de semiconductores dopados. En función del tipo de dopante, obtendremos semiconductores dopados tipo p o tipo n. Para el silicio, son dopantes de tipo n los elementos de la columna V, y tipo p los de la III II

III IV V VI

p Tema 2: Semiconductores intrínsecos y extrínsecos

n 7/13

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Semiconductores tipo n y tipo p Tipo n

En general, los elementos de la columna V convierten al Si en tipo n. Estos elementos tienen cinco electrones de valencia en su última capa y se les llama impurezas dadoras. electrones ¡no generan huecos!

estados localizados (cargas fijas)

ionización completa

Tipo p

En general, los elementos de la columna III convierten al Si en tipo p. Estos elementos tienen tres electrones de valencia en su última capa y se les llama impurezas aceptoras. estados localizados (cargas fijas)

ionización completa

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huecos ¡no generan electrones!

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Densidad de portadores en semiconductores extrínsecos En los semiconductores tipo n, los electrones son los portadores mayoritarios. En los semiconductores tipo p, los huecos son los portadores mayoritarios. La ley de acción de masas se cumple para semiconductores extrínsecos, en equilibrio térmico

Nc, Nv = ctes. Eg ≠ f(n)

n0 ⋅ p0 = ni2

[15] Dependencia de la concentración de portadores con la temperatura

Para cumplir la neutralidad de la carga:

q (n0 + N A− ) = q (p0 + ND+ )

De ambas: ⎤ ND − N A ⎡⎛ ND − N A ⎞ 2 + ⎢⎜ ⎟ + ni ⎥ 2 2 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ 2

n0 =

Condición de ionización completa

[16] 1 2

[17] Para un semiconductor tipo n, ND>>NA, y ND>>ni :

n0 ≅ N D

y

p0 ≅

ni2

ND

[18]

Para un semiconductor tipo p, NA>>ND, y NA>>ni : tipo n n0 ≅ ND

T~300K

tipo p p0 ≅ NA

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p0 ≅ N A

y

n0 ≅

ni2

NA

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Nivel de Fermi en semiconductores extrínsecos Nivel de Fermi y densidad de portadores De las ecuaciones [7] y [8]: ⎛ E − Ei n = ni exp⎜ F ⎝ kT

⎞ ⎟ = n0 [20] ⎠

⎛ E − EF p = ni exp⎜ i ⎝ kT

⎞ ⎟ = p0 [21] ⎠

cambiando: n, p ↔ ni EF ↔ Ei

semiconduc tor tipo n [22] n N EF − Ei = kT ln 0 ≅ kT ln D ni ni

EC EF Ei

semiconduc tor tipo p [23] p N E i − EF = kT ln 0 ≅ kT ln A ni ni

EC E F-E i Eg

EV

Ei EF EV

Eg E i-E

http://jas2.eng.buffalo.edu/applets/education/semicon/fermi/bandAndLevel/fermi.html

desde otro punto de vista ...

http://jas2.eng.buffalo.edu/applets/education /semicon/fermi/levelAndDOS/index.html

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Ejemplo Sea una muestra de silicio a 300K. a) Calcule la densidad de portadores intrínsecos. b) Calcule la densidad de electrones y huecos si se dopa con fósforo en una concentración de 1017 cm-3. c) Calcule la posición de los niveles de Fermi intrínseco y extrínseco. a) Utilizando la ecuación [9]: ni2 = NC NV e

−

Eg kT

= 3.22 ⋅ 1019 cm − 3 × 1.83 ⋅ 1019 cm − 3 × e

−

1.12 eV 86.2 ⋅10

−6

µeV ⋅K -1 × 300K

→ ni ≅ 1010 cm − 3

b) El P dopa el Si tipo n. A 300 K, habrá ionización completa → se da: ND>>ni (1017>>1010). n0 ≅ ND = 10 cm 17

-3

;

2 n i p0 ≅

ND

= (10

10

cm − 3 )

c) El nivel de Fermi intrínseco se localizará en el centro de la banda prohibida. El extrínseco: n N EF − Ei = kT ln 0 ≅ kT ln D ni ni 1017 −1 = 86.2 µeV ⋅ K × 300 K × ln 10 10 17 10 = 0.025 eV × ln 10 = 0.403 eV 10 Tema 2: Semiconductores intrínsecos y extrínsecos

2 17

10 cm

−3

= 10 3 cm − 3

EC EF Ei EV

0.403 eV E g= 1.12eV

E g/2 = 0.56 eV

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Hoja de datos 2.1 En semiconductores intrínsecos:

En fermiones:

1

f (E ) = e

E − EF kT

⎛ mn∗ ⎞ 3 − kT ln⎜⎜ ∗ ⎟⎟ E i = EV + 2 4 ⎝ mp ⎠ Eg

+1

n ⋅ p = ni2

Densidades efectivas de estado semiconductor Si Ge GaAs

N C (cm -3)

N V (cm -3)

3.22×10 19 1.03×10 19 4.21×10 17

1.83×10 19 5.35×10 18 9.52×10 18

E g (eV) 1.12 0.66 1.42

ni(Si,300K)=1.45×1010cm-3

En semiconductores extrínsecos:

n0 ⋅ p0 = ni2 semiconduc tor tipo n n N EF − E i = kT ln 0 ≅ kT ln D ni ni ni2 n0 ≅ ND y p0 ≅ ND Tema 2: Semiconductores intrínsecos y extrínsecos

semiconduc tor tipo p p N E i − EF = kT ln 0 ≅ kT ln A ni ni ni2 p0 ≅ N A y n0 ≅ NA 12/13

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Tema 3: Técnicas de dopado Bibliografía diversa

Varias técnicas: – Durante el crecimiento – Difusión – Implantación iónica

Estudiaremos: – – – –

Aplicaciones Sistemas/métodos/tecnologías Teoría Ejemplos

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