Estad´ıstica Tema 3: C´alculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias ´ Area de Estad´ıstica e Investigaci´on Operativa Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´on Noviembre 2010

Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Variables Aleatorias 3 Variable Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Funci´ on de Distribuci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Distribuci´ on Discreta de Probabilidad 6 Variable Aleatoria Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Distribuci´ on de Probabilidad Cont´ınua 8 Variable Aleatoria Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales Variables Aleatorias Bidimensionales. . . . . . . . . Bidimensional Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bidimensional Cont´ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribuciones Marginales . . . . . . . . . . . . . . . . Distribuciones Condicionadas . . . . . . . . . . . . . Independencia de Variables Aleatorias. . . . . . . .

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1

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Contenidos 

Variables Aleatorias. – Discretas y Cont´ınuas.



Distribuci´ on Discreta de Probabilidad.



Distribuci´ on de Probabilidad Cont´ınua.



Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales. – Distribuciones Marginales y Condicionadas. – Independencia.

El c´ alculo de probabilidades utiliza variables num´ ericas que se denominan aleatorias, porque sus valores vienen determinados por el azar. Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´ on

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Variables Aleatorias Variable Aleatoria

Definici´ on: Sea un experimento E y S el espacio muestral asociado con el experimento. Una funci´ on X que asigne a cada uno de los elementos s ∈ S, un n´ umero real X(s), es una Variable Aleatoria. X : S −→ R Si una Variable Aleatoria toma un n´ umero finito o numerable de valores, x1 , x2 , . . . , xn , . . . , se denomina Variable Aleatoria Discreta. En caso contrario, se denominar´ a Variable Aleatoria Continua. Propiedad: Para todo intervalo I ⊂ R, {X ∈ I} es un suceso, {X ∈ I} = {s ∈ S : X(s) ∈ I} = X −1 (I) Entonces, para las variables aleatorias tiene sentido el preguntarse por la probabilidad: P(X ∈ I). El intervalo I puede ser abierto, cerrado, semiabierto, ∅, reducido a un punto, acotado, ilimitado o todo R. Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´ on

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Funci´ on de Distribuci´ on Para cada Variable Aleatoria, podemos definir la funci´ on, F (x) = P(X ≤ x), con x ∈ R. Esta funci´ on se conoce como Funci´ on de Distribuci´ on, de la variable aleatoria X. Algunas propiedades inmediatas de la Funci´ on de Distribuci´ on son: 

F (−∞) = 0 y F (+∞) = 1.



La funci´ on de distribuci´ on es creciente: Si x1 ≤ x2 , entonces F (x1 ) ≤ F (x2 ).



P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a).



F es continua por la derecha.

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Distribuci´ on Discreta de Probabilidad Variable Aleatoria Discreta

Una Variable Aleatoria, se dir´ a Discreta, cuando toma un n´ umero finito o numerable de valores, x1 , x2 , . . . , xn , . . . , cada uno de ellos con probabilidades p1 , p2 , . . . , pn , . . . . Entonces se tendr´ a: n X

pi = 1,

i=1

∞ X

n X

pi = lim

n→∞

i=1

pi = 1,

i=1

seg´ un se tome un n´ umero finito o infinito numerable de valores distintos. El conjunto de valores de X junto con sus probabilidades se llamar´ a Funci´ on de Probabilidad, de X, f , y se puede representar gr´ aficamente mediante un diagrama de barras. f (xi ) = P(X = xi ) = pi X f (xi ∈ I) = P(X ∈ I) = pi xi ∈I

0.10 0.00

0.05

Probabildad

0.15

Variable Aleatoria Discreta

0

2

4

6

8

10

12

14

X

La Funci´ on de Distribuci´ on de la variable aleatoria X es: X X P(X = xi ) = pi , F (x) = P(X ≤ x) = xi ≤x

xi ≤x

y su representaci´ on gr´ afica es mediante un diagrama de frecuencias acumuladas.

0.6 0.4 0.0

0.2

Probabilidad

0.8

1.0

Función de Distribución V. A. Discreta

0

2

4

6

8

10

12

14

X

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Distribuci´ on de Probabilidad Cont´ınua Variable Aleatoria Continua

Se dice que X es una Variable Aleatoria Cont´ınua si existe una funci´ on, f , denominada Funci´ on de Densidad, que satisface las siguientes condiciones: f (x) ≥ 0 para todo x. R∞  −∞ f (x)dx = 1. 



Para a y b, tales que −∞ < a ≤ b < ∞, P(a ≤ X ≤ b) =

Z

b

f (x)dx. a

Una consecuencia de lo anterior implica que: P(X = xi ) =

Z

xi

f (x)dx = 0. xi

Y por lo tanto las siguientes probabilidades son todas iguales: P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) Siendo X una Variable Aleatoria Cont´ınua, la Funci´ on de Distribuci´ on de la variable X ser´ a, Z x F (x) = P(X ≤ x) = f (s)ds, para − ∞ < x < ∞. −∞

Como consecuencia de esta definici´ on, tendremos: 

P(a < X < b) = F (b) − F (a).



f (x) = dFdx(x) , siendo f (x) la Funci´ on de Densidad, e interpret´ andose f (x) como la probabilidad por unidad de “longitud”. Distribución Normal: µ = 0, σ = 1

0.0

0.6 0.0

0.2

0.4

Probabilidad Acumulada

0.2 0.1

Función de Densidad

0.3

0.8

1.0

0.4

Distribución Normal: µ = 0, σ = 1

−3

−2

−1

0

1

2

3

−3

x

−2

−1

0

1

2

3

x

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Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales Variables Aleatorias Bidimensionales Una Variable Aleatoria Bidimensional, (X, Y ), es una par de variables aleatorias, las cuales constituyen una funci´ on de S en R2 . Seg´ un X e Y sean cont´ınuas o discretas, la variable bidimensional, ser´ a cont´ınua o discreta.

Recordemos una tabla de frecuencias relativas en el caso de una variable bidimensional discreta. X \Y x1 .. .

y1 f11 .. .

... ...

yj f1j .. .

... ...

yl f1l .. .

Totales f1· .. .

xi .. .

fi1 .. .

...

fij .. .

...

fil .. .

fi· .. .

xm Totales

fm1 f·1

... ...

fmj f·j

... ...

fml f·l

fm· 1

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Bidimensional Discreta El par X, Y ) constituye una Variable Aleatoria Bidimensional Discreta, si el n´ umero de posibles valores de (X, Y ) es una cantidad finita o finita numerable. (xi , yj ) i = 1, . . . , m;

j = 1, . . . , l

Para cada valor posible (xi , yj ) podemos asociar un n´ umero pi,j = P(X = xi , Y = yj ), Funci´ on de Probabilidad Conjunta, que satisface: pi,j ≥ 0, ∀(xi , yj ). P P  i j pi,j = 1. 

PP PP P((X, Y ) ∈ I × J) = P(X ∈ I, Y ∈ J) = pi,j , ∀xi ∈ I, yj ∈ J. P P  F (x, y) = on de Distribuci´ on. xi ≤x yj ≤y pi,j , Funci´ 

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Bidimensional Cont´ınua Para una Variable Bidimensional Cont´ınua, se define la Funci´ on de Densidad Conjunta, f (x, y), satisfaciendo las siguientes propiedades: f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ R2 . RR  R2 f (x, y)dxdy = 1. R R  P((X, Y ) ∈ I × J) = I J f (x, y)dxdy, ∀ I × J ∈ R2 . 

Para la Variable Aleatoria bidimensional (X, Y ) se define su Funci´ on de Distribuci´ on: Z x Z y F (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = f (u, v)dudv, −∞

−∞

donde f resulta ser la Funci´ on de Densidad, si la Funci´ on de Distribuci´ on tiene derivadas segundas se cumplir´ a que: ∂ 2 F (x, y) = f (x, y) ∂x∂y Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´ on

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Distribuciones Marginales Las Distribuciones Marginales de X e Y , est´ an dadas por: 

Caso discreto: f (x, ·) = g(x) =

X

f (x, y);

f (·, y) = h(y) =

y



X

f (x, y).

x

Caso cont´ınuo: f (x, ·) = g(x) = f (·, y) = h(y) =

Z

∞

−∞ Z ∞

f (x, y)dy. f (x, y)dx.

−∞

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Distribuciones Condicionadas 

La distribuci´ on condicional de la variable aleatoria Y , cuando X = x, viene dada por: h(y|x) =



f (x, y) , para g(x) > 0. g(x)

La distribuci´ on condicional de la variable aleatoria X, cuando Y = y, viene dada por: g(x|y) =

f (x, y) , para h(y) > 0. h(y)

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Independencia de Variables Aleatorias Siendo X e Y dos variables aleatorias, discretas o cont´ınuas, con Distribuci´ on de Probabilidades f (x, y) y Distribuciones marginales g(x), h(y), diremos que X e Y son estad´ısticamente independientes si y s´ olo si, f (x, y) = g(x) · h(y), para todo (x, y) en su dominio de definici´ on. En caso contrario ser´ an dependientes. Este concepto se puede generalizar para el caso de n variables aleatorias. Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´ on

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