´ Algebra. 2004-2005. Ingenieros Industriales. Departamento de Matem´ atica Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Tema 3.- N´ umeros Complejos. Los n´ umeros complejos. Operaciones. Las ra´ıces de un polinomio real. Aplicaciones geom´ etricas de los n´ umeros complejos: transformaciones en el plano. Hist´ oricamente los n´ umeros complejos fueron introducidos para tratar ecuaciones polinomiales, tales como x2 + 1 = 0, que no tienen soluci´ on real. En esta direcci´ on, el resultado principal de esta lecci´ on es el teorema ´ fundamental del Algebra que asegura que toda ecuaci´ on polinomial con coeficientes complejos tiene, al menos, una soluci´ on. Previamente habremos definido el n´ umero complejo, sus operaciones m´ as importantes y la interpretaci´ on geom´etrica de las mismas, cuyo manejo nos permite describir transformaciones sobre el plano complejo.

1.

Los n´ umeros complejos.

Definici´ on. Un n´ umero complejo es un n´ umero de la forma z = a + bi (o z = a + ib) donde i verifica que i2 = −1 y a y b son n´ umeros reales. A i se le llama unidad imaginaria. Los n´ umeros reales a y b se conocen, respectivamente, como parte real y parte imaginaria del n´ umero complejo z y se suele escribir Re (z) = a as´ı como

Im (z) = b.

Dos n´ umeros complejos z y w son iguales si, y s´ olo si, Re (z) = Re (w)

y

Im (z) = Im (w) .

Al conjunto de los n´ umeros complejos lo denotaremos por C, es decir, C = {z = a + bi : a, b ∈ R} . Sea z = a + bi. Si b = 0 escribiremos simplemente a para denotar a z, si a = 0 escribiremos bi para denotar a z. En este u ´ltimo caso diremos que z es un n´ umero imaginario puro. En lo que sigue identificaremos el n´ umero real a con el n´ umero complejo a + 0i. De esta forma se puede entender que el conjunto de los n´ umeros reales es un subconjunto de los n´ umeros complejos.

2.

Operaciones.

2.1.

Suma

Dados dos n´ umeros complejos z = a + bi y w = c + di definimos la suma z + w as´ı: z + w = (a + c) + (b + d) i. Propiedades de la suma. Si z, w, v ∈ C se verifica: 1. Conmutativa: z + w = w + z. 2. Asociativa: (z + w) + v = z + (w + v). 3. Existe un elemento nulo para la suma, el 0 = 0 + 0i tal que z + 0 = 0 + z = z para todo z ∈ C. 4. Cada n´ umero complejo z = a + bi tiene un elemento opuesto −z = −a + (−b) i tal que z + (−z) = 0. 1

2.2.

Producto

Dados dos n´ umeros complejos z = a + bi y w = c + di se define el producto zw as´ı: zw = (ac − bd) + (ad + bc) i. Propiedades del producto. Si z, w, v ∈ C se verifica: 1. Conmutativa: zw = wz. 2. Asociativa: (zw) v = z (wv). 3. Existe un elemento unidad para el producto, el 1 = 1 + 0i tal que z1 = 1z = z para todo z ∈ C. 4. Cada n´ umero complejo z = a + bi 6= 0 tiene un elemento inverso z −1 tal que zz −1 = z −1 z = 1. De hecho, si z = a + bi 6= 0 se tiene que a −b z −1 = 2 + 2 i. a + b2 a + b2 Tambi´en se verifica una propiedad que relaciona la suma y el producto: la propiedad distributiva del producto respecto de la suma z (w + v) = zw + zv. El inverso de z lo representaremos por z −1 y por 1/z y w = w (1/z) = wz −1 . z Para obtener la parte real y la imaginaria en una divisi´ on de n´ umeros complejos podemos hacer lo siguiente. Si z = a + bi 6= 0 y w = c + di   w c + di −b (c + di) (a − bi) a −1 = = (c + di) (a + bi) = (c + di) + i = . z a + bi a2 + b 2 a2 + b 2 a2 + b 2 De cualquier modo, tras estudiar la conjugaci´ on y el m´ odulo veremos otra t´ecnica m´ as eficiente para calcular el inverso de un n´ umero complejo o dividir n´ umeros complejos. Observaci´ on. No es posible establecer en el conjunto de los n´ umeros complejos una relaci´ on de orden que verifique las mismas propiedades que verifica la relaci´ on de orden que conocemos entre los n´ umeros reales.

2.3.

Conjugado de un n´ umero complejo

umero a − bi. Sea z = a + bi un n´ umero complejo. Se define el conjugado de z y se representa por z como el n´ Propiedades del conjugado de un n´ umero complejo. z1 + z2 = z1 + z2 . (En general: z1 + z2 + · · · + zn = z1 + z2 + · · · + zn ). z1 z2 = z1 z2 . (En general: z1 z2 · · · zn = z1 z2 · · · zn ). z + z = 2 Re (z) z − z = 2i Im (z) 2

2

z z = ( Re (z)) + ( Im (z)) . Por ello, si z 6= 0 entonces z z > 0. Demostraremos esta u ´ltima propiedad: Si z = a + bi, entonces z = a − bi y
z z = (a + bi) (a − bi) = a2 − b (−b) + (a (−b) + ba) i = a2 + b2 = ( Re (z))2 + ( Im (z))2 .

2

2.4.

M´ odulo de un n´ umero complejo

Se define el m´ odulo del n´ umero complejo z = a + bi y se representa por |z|, como el n´ umero real p |z| = a2 + b2 .

Observaciones.

1. N´ otese que |z| =

√

z z. De ah´ı se deduce ahora que z −1 =

z |z|

2.

2. Podemos observar tambi´en que para dividir dos n´ umeros complejos w/z, basta con multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador wz wz w = = 2. z zz |z| Propiedades del m´ odulo de un n´ umero complejo. |z| = 0 si, y s´ olo si, z = 0. |z| = |z|. |z1 z2 | = |z1 | |z2 |. (En general: |z1 z2 · · · zn | = |z1 | |z2 | · · · |zn |). | Re (z)| ≤ |z|,

| Im (z)| ≤ |z|.

|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. (En general: |z1 + z2 + · · · + zn | ≤ |z1 | + |z2 | + · · · + |zn |). Desigualdad triangular. Demostraremos esta u ´ltima propiedad: |z1 + z2 |

2

= (z1 + z2 ) (z1 + z2 ) = (z1 + z2 ) (z1 + z2 ) = z1 z1 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z2 = |z1 |2 + 2 Re (z1 z2 ) + |z2 |2

≤ |z1 |2 + 2 |Re (z1 z2 )| + |z2 |2 ≤ |z1 |2 + 2 |z1 z2 | + |z2 |2 2

2

2

= |z1 | + 2 |z1 | |z2 | + |z2 | = (|z1 | + |z2 |) ⇒ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | en la cuarta igualdad nos basamos en que z1 z2 = z1 z2 = z1 z2 y, por tanto, z1 z2 + z2 z1 = 2 Re (z1 z2 ).

2.5.

Representaci´ on de los n´ umeros complejos en el plano.

Hemos definido los n´ umeros complejos como n´ umeros de la forma z = x + yi para x, y ∈ R. Esto nos permite representar al n´ umero complejo z por el punto P del plano que tiene por coordenadas cartesianas (x, y). A veces tambi´en lo respresentaremos por el vector que tiene su origen en O, el origen de coordenadas del plano, y por extremo el punto P . Interpretado de esta manera, al plano cartesiano se le denomina tambi´en plano complejo. De esta forma la suma y la diferencia que hemos definido se puede interpretar en el plano complejo as´ı:

z2 PSfrag replacements

z1

z2

2 +z

z1

replacements zPSfrag 1 z1

−z

2

El producto que hemos definido no tiene una f´ acil interpretaci´ on, por ahora, pero m´ as adelante daremos una interpretaci´ on geom´etrica. Si el n´ umero complejo z = x + yi se representa por el punto P (x, y), su conjugado z = x − yi se representa 0 por el punto P (x, −y) que es el sim´etrico de P respecto del eje X de abscisas (ver la figura siguiente). 3

p El m´ odulo del n´ umero complejo z = x + yi, que hemos definido como |z| = x2 + y 2 , se representa por la longitud del segmento OP (ver figura). Por tanto, el m´ odulo nos puede ser u ´til para representar distancias, longitudes de segmento. As´ı, si los n´ umeros complejos z1 = x1 + y1 i y z2 = x2 + y2 i se representan en el plano por los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ), respectivamente, entonces z1 − z2 = (x1 + y1 i) − (x2 + y2 i) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) i y su m´ odulo |z1 − z2 | = +

q

2

(x1 − x2 ) + (y1 − y2 )

2

representa la distancia que existe entre los puntos P1 y P2 . z

z

|z |

PSfrag replacements

PSfrag replacements z

Teniendo en cuenta lo anterior, el conjunto de puntos P (x,py) del plano que equidistan del origen O una cantidad constante r, es decir, los puntos P (x, y) que verifican x2 + y 2 = r son los de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r. Usando los n´ umeros complejos dicho conjunto se puede representar por |z| = r (ver figura). De la misma forma, si el n´ umero complejo z0 = x0 + y0 i se representa en el plano por el punto C (x0 , y0 ), entonces el conjunto de puntos q P (x, y) del plano que equidistan de C una cantidad constante r, es decir, los puntos P (x, y) que verifican (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r, son los de una circunferencia con centro en C y radio ´ r. Esta, mediante los n´ umeros complejos, se escribe como |z − z0 | = r (ver figura).

z

z0

z−

z0 z

PSfrag replacements

2.6.

PSfrag replacements |z| = r

|z − z0 | = r

Forma polar o trigonom´ etrica de un n´ umero complejo.

Como acabamos de ver, al n´ umero complejo z = a + bi le corresponde el punto P del plano de coordenadas (a, b). Si representamos por r la longitud del segmento OP, que une el origen O de coordenadas y P , y por θ el a ´ngulo que forma OP con el semieje positivo de abscisas, se dice que (r, θ) son las coordenadas polares del punto P . Si r = 0, es decir, si P ≡ O, entonces el a ´ngulo θ no est´ a definido. Consideraremos, por tanto, que z 6= 0. Se entiende que θ es positivo si es medido en sentido antihorario, y negativo en caso contrario. Al n´ umero θ lo llamaremos argumento de z y lo representaremos por arg (z). Se sigue f´ acilmente que p y r = + a2 + b2 = |z| y que tg θ = . x 4

Como a = r cos θ y b = r senθ, entonces z se puede escribir as´ı z = a + ib = r (cos θ + i senθ) que denominaremos forma polar o trigonom´etrica de z. Los n´ umeros complejos z1 = r1 (cos θ1 + i senθ1 ) y z2 = r2 (cos θ2 + i senθ2 ) son iguales z1 = z 2

⇔

r1 = r2

y θ1 − θ2 = 2kπ

con k ∈ Z.

Interpretaci´ on geom´ etrica del producto de dos n´ umeros complejos. Si z 1 = r1 (cos θ1 + i senθ1 ) y z2 = r2 (cos θ2 + i senθ2 ), entonces z1 z2

= r1 (cos θ1 + i senθ1 ) r2 (cos θ2 + i senθ2 ) = r1 r2 [(cos θ1 cos θ2 − senθ1 senθ2 ) + i ( senθ1 cos θ2 + cos θ1 senθ2 )] = r1 r2 [cos (θ1 + θ2 ) + i sen (θ1 + θ2 )]

que nos permite dar una interpretaci´ on geom´etrica del producto de dos n´ umeros complejos: cuando se multiplican dos n´ umeros complejos, se obtiene otro que tiene por m´ odulo el producto de los m´ odulos y por argumento la suma de los argumentos. El inverso del n´ umero complejo z = r (cos θ + i senθ) se puede obtener en forma trigonom´etrica del siguiente modo: z −1

=

1 1 1 cos θ − i senθ cos θ − i senθ 1 = = = z r (cos θ + i senθ) r (cos θ + i senθ) (cos θ − i senθ) r (cos θ)2 + ( senθ)2

= r−1 (cos θ − i senθ) = r −1 (cos(−θ) + i sen(−θ)) . Del mismo modo podemos deducir que

r1 z1 = [cos (θ1 − θ2 ) + i sen (θ1 − θ2 )] . z2 r2

2.7.

La f´ ormula de Euler.

Observamos en los c´ alculos anteriores que el t´ermino f (θ) = cos θ + i senθ tiene las mismas propiedades que una funci´ on exponencial, pues f (θ1 + θ2 ) = f (θ1 ) + f (θ2 ) . Es posible mostrar, aunque est´ a fuera del alcance de este curso, que la funci´ on exponencial real e x puede extenderse de manera razonable al caso de exponentes complejos y que dicha extensi´ on es necesariamente eiθ = cos θ + i senθ. Con esto se puede representar z = r (cos θ + i senθ) = reiθ . Propiedades: eiθ = e−iθ iθ e = 1

eiθ1 eiθ2 = ei(θ1 +θ2 ) Se sigue que z −1 =

1 1 1 cos θ − i senθ 1 = = = e−iθ 2 2 z r (cos θ + i senθ) r cos θ + sen θ r

que coincide con el valor de z −1 obtenido antes. 5

2.8.

Potencias de n´ umeros complejos.

Si z = reiθ tenemos: z 0 = 1 (por convenio). z 1 = z = reiθ . z 2 = r2 ei2θ y, en general, z n = rn einθ para n = 1, 2, 3, ... Se observa que la interpretaci´ on geom´etrica de la potencia n-´esima de un n´ umero complejo es sencilla. Simplemente hay que elevar el m´ odulo a n y multiplicar el argumento por n. En la figura se observan dos ejemplos: para m´ odulos mayor y menor que 1. z3

z

z2

z2

z 1 PSfrag replacements

1

PSfrag replacements

z

3

Si n = −1, −2, −3, ... llamamos m = −n y definimos z n = z −1 Entonces tenemos


m

.

 m  m
m 1 1 −iθ z = e = = r−1 e−imθ = rn einθ . z r n

F´ ormula de De Moivre: De lo anterior se sigue que si z = eiθ , entonces n

(cos θ + i senθ) = cos (nθ) + i sen (nθ) ,

con n ∈ Z.

Potencias de la unidad imaginaria. Como caso particular de lo anterior tenemos que i0 i1 i2 i3

=1 =i = −1 = −i

i4 i5 i6 i7

=1 =i = −1 = −i

i8 = 1 i9 = i i10 = −1 i11 = −i

es decir, las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro. Por tanto, para calcular, por ejemplo, i1397 lo que har´ıamos ser´ıa dividir el exponente entre cuatro, hallar el resto, (en este caso se tendr´ıa 1397 = 4 · 349 + 1) y expresar:
349 1 i1397 = i4·349+1 = i4 · i = i.

6

2.9.

Ra´ıces n-´ esimas de un n´ umero complejo.

Se dice que el n´ umero complejo z = reiθ es ra´ız n-´esima de z0 = r0 eiθ0 6= 0 si, y s´ olo si, z n = z0 : √ n z0 = z ⇔ z 0 = z n . Veamos cu´ antas ra´ıces n-´esimas tiene un n´ umero complejo. Seg´ un la definici´ on dada deber´ a ser z0 = z n

⇔

r0 eiθ0 = reiθ


n

= rn einθ

y de acuerdo con la definici´ on de igualdad de n´ umeros complejos dados en forma polar,   √ r = n r0 r0 = r n ⇔ nθ = θ0 + 2kπ θ = θ0 +2kπ k = 0, ±1, ±2, . . . n Ahora bien, al dar valores a k obtenemos  Para k       Para k ···    Para k    Para k

θ0 √ = 0 obtenemos la ra´ız z1 = n r0 ei n θ0 +2π √ = 1 obtenemos la ra´ız z2 = n r0 ei n ··· ··· ··· θ0 +2(n−1)π √ n = n − 1 obtenemos la ra´ız zn = n r0 ei θ0 θ +2nπ √ √ i 0 n n = n r0 ei( n +2π) = n obtenemos la ra´ız zn+1 = r0 e

√ iθ0 y esta u ´ltima ra´ız zn+1 = n r0 e n = z1 . Por consiguiente todo n´ umero complejo no nulo tiene n ra´ıces n-´esimas. Representaci´ on gr´ afica de las ra´ıces. Observamos que todas las ra´ıces n-´esimas del n´ umero complejo √ z0 = r0 eiθ0 tienen el mismo m´ odulo n r0 , y los argumentos de dos ra´ıces obtenidas para k = p y k = p + 1, se diferencian en 2π θ0 + 2 (p + 1) π θ0 + 2pπ − = . n n n Por tanto, los puntos que representan a esas n ra´ıces son los v´ertices de un pol´ıgono regular de n lados √ inscrito en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio n r0 . En la siguiente figura hemos representado las ra´ıces cuartas, quintas y sextas de un n´ umero complejo z de m´ odulo mayor que 1 y argumento π/3. z

z

w2

z

w2

w1 PSfrag replacements

w3

PSfrag replacements

w2

w3

PSfrag replacements w1

w1 w4

w3 w4

w5

w5

w6

w4 Caso particular: Ra´ıces n-´ esimas de la unidad. El n´ umero z0 = 1 es un n´ umero complejo que tiene m´ odulo unidad y argumento cero, es decir, escrito en forma polar z0 = 1 = ei0 . Entonces  w1 = ei0 = cos 0 + i sen0 = 1    2π i2π/n  = cos 2π  w2 = e n + i sen n √ 0+2kπ 2kπ 2kπ n 4π w3 = ei4π/n = cos 4π 1 = ei n = cos +i sen , para k = 0, 1, 2, . . . , n−1 ⇒ n + i sen n  n n  ··· ··· ··· ···    + i sen 2(n−1)π wn = ei2(n−1)π/n = cos 2(n−1)π n n

que se denominan las ra´ıces n-´esimas de la unidad.

7

En las figuras siguientes se esquematizan las ra´ıces cuadradas, c´ ubicas y cuartas de 1 y de i.

1

3.

1

1

1

1

1

Las ra´ıces de un polinomio real.

´ El Teorema fundamental del Algebra. Todo polinomio P (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n

an 6= 0, con n ≥ 1

donde a0 , a1 , a2 , . . . , an son n´ umeros complejos, tiene n ra´ıces. Es decir, que dado cualquier polinomio como el anterior P (z), podemos asegurar que existen n n´ umeros complejos z1 , z2 , . . . , zn tales que P (z) = an (z − z1 ) (z − z2 ) · · · (z − zn ) . Adem´ as, se verifican las siguientes relaciones entre las ra´ıces y los coeficientes: z1 + z 2 + . . . + z n = −

an−1 , an

z1 z2 · · · zn = (−1)n

a0 . an

De acuerdo con el teorema fundamental del a ´lgebra, las ecuaciones polin´ omicas del tipo x 2 + 1 = 0, que justificaron la ampliaci´ on del conjunto de los n´ umeros reales porque esas ecuaciones no tienen soluci´ on real, poseen soluci´ on en el conjunto de los n´ umeros complejos. Concretamente esa ecuaci´ on tiene como ra´ıces z 1 = i y z2 = −i, de manera que x2 + 1 = (x − i) (x + i) . No es cierto que todo polinomio no constante con coeficientes reales tenga alguna ra´ız real; sin embargo se verifica que: Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene alguna ra´ız real. En los polinomios con coeficientes reales las ra´ıces complejas no reales aparecen por pares conjugados. Es decir, si z0 = x0 + iy0 ∈ C es una ra´ız de un polinomio con coeficientes reales, entonces su conjugada z0 = x0 − iy0 ∈ C tambi´en lo es.

4.

Aplicaciones geom´ etricas de los n´ umeros complejos: transformaciones en el plano.

Vamos a considerar aqu´ı expresiones complejas que pueden ser usadas para las transformaciones m´ as sencillas en el plano: traslaciones, homotecias, giros, simetr´ıas y proyecciones ortogonales.

4.1.

Traslaciones

Como conocemos del estudio de los vectores en el plano y del estudio de los n´ umeros complejos, la suma u+v de dos vectores o la suma z +w de dos n´ umeros complejos se obtiene geom´etricamente sin m´ as que hacer la traslaci´ on, seg´ un el vector v, del punto u (o viceversa). As´ı, la transformaci´ on del plano consistente en desplazar cada punto seg´ un un vector (a, b) (a unidades hacia la derecha y b hacia arriba) puede expresarse mediante R2 (x, y)

−→ R2 −→ (x0 , y 0 ) = (x, y) + (a, b);

8

C −→ z −→

C z + (a + bi).

4.2.

Homotecias

Una homotecia de centro el origen de coordenadas y raz´ on ρ > 0 es la transformaci´ on que a cada vector v con origen en el origen de coordenadas lo transforma en el vector w = ρv, con lo que tenemos las expresiones R2 (x, y)

4.3.

−→ R2 → (x0 , y 0 ) = ρ(x, y) = (ρx, ρy);

C −→ C z = x + yi −→ w = ρz = ρx + ρyi.

Giros

Si un punto P del plano tiene como coordenadas polares r > 0 (su distancia al origen) y θ (el a ´ngulo que forma su vector de posici´ on con el semieje positivo de abscisas), entonces sus coordenadas cartesianas son  x = r cos(θ) (∗) y = r sen(θ) y es f´ acil obtener las coordenadas cartesianas del punto que se obtiene al hacer un giro de centro el origen de coordenadas y a ´ngulo φ, pues es el punto cuya distancia al origen es r (coincide con la de P ) y cuyo vector de posici´ on forma con el semieje positivo de abscisas el a ´ngulo θ + φ, es decir, el punto cuyas coordenadas cartesianas son  0 x = r cos(θ + φ) = r [cos(θ) cos(φ) − sen(θ) sen(φ)] y 0 = r sen(θ + φ) = r [ sen(θ) cos(φ) + cos(θ) sen(φ)] y teniendo en cuenta las relaciones (*) se obtiene  0 x = x cos(φ) − y sen(φ), y 0 = y cos(φ) + x sen(φ). Las relaciones anteriores las podemos expresar en forma matricial/vectorial:  0     x cos(φ) − sen(φ) x = , y0 sen(φ) cos(φ) y donde la matriz G involucrada se denomina matriz del giro (de centro 0 y a ´ngulo φ). Hacer la transformaci´ on anterior sobre el vector de coordenadas (x, y) es lo mismo que multiplicar al n´ umero complejo z = x + iy por el n´ umero complejo de m´ odulo 1 y argumento φ, es decir por eiφ . As´ı, tenemos la expresi´ on del giro en forma compleja C −→ C z = x + yi −→ w = eiφ z Desde este punto geom´etrico, la multiplicaci´ on (de un n´ umero complejo gen´erico) por el n´ umero complejo de m´ odulo ρ y argumento φ, es decir ρeiφ , consiste en hacer un giro (de centro el origen y a ´ngulo φ) y una homotecia (de centro el origen y raz´ on ρ).

4.4.

Proyecciones ortogonales.

Sabemos que calcular la parte real de un n´ umero complejo consiste simplemente en proyectar el punto que lo representa sobre el eje OX y calcular la parte imaginaria consiste en proyectar sobre el eje OY . As´ı, tenemos representaciones con n´ umeros complejos para dichas transformaciones. R2 Proyecci´ on sobre OX

(x, y)

Proyecci´ on sobre OY

(x, y)

−→ R2

0

0

→

(x , y ) = (x, 0)

→

(x0 , y 0 ) = (0, y)

9

C −→ C z

→

z

→

1 (z + z) 2 1 w = Im (z) i = (z − z) . 2 w = Re (z) =

4.5.

Simetr´ıas

Podemos considerar dos tipos de simetr´ıa: simetr´ıa respecto a un punto o simetr´ıa respecto a una recta. Yendo a la situaci´ on m´ as simple, tenemos la simetr´ıa respecto al origen de coordenadas, (x, y) ∈ R2 → (−x, −y) ∈ R2 , que podemos expresar en forma compleja, respectivamente, como C −→ C z = x + yi −→ w = −z. La simetr´ıa respecto al eje OX tiene una expresi´ on simple compleja como: C −→ C z = x + yi −→ w = z.

4.6.

Ejemplos:

1. ¿Qu´e representa geom´etricamente la siguiente operaci´ on? z ∈ C −→ (1 + i)z − 2 ∈ C. √ π Puesto que 1 + i tiene m´ odulo 2 y argumento rad., tenemos que 4 √ (1 + i)z = 2 eiπ/4 z π es el n´ umero complejo que se obtiene al hacer un giro de a ´ngulo rad. (y centro el origen) y una homotecia 4 √ de raz´ on 2. Una vez hechas estas transformaciones, nos queda restar 2, es decir, hacer (sobre lo obtenido) la traslaci´ on de vector (−2, 0). √

Im

2ei π/4 z = (1 + i)z

(1 + i)z − 2

Im

(1 + i)z

ei π/4 z PSfrag replacements

PSfrag replacements

π 4

z

π 4

0

Re

0

z Re y luego trasladamos.

Primero giramos ...

Notemos que, si bien hacer primero el giro y despu´es la homotecia da el mismo resultado que hacer primero la homotecia y despu´es el giro, esto no sucede con la traslaci´ on; no es lo mismo hacer primero el giro (o la homotecia) y despu´es la traslaci´ on que hacerlo al rev´es. Si hicieramos primero la traslaci´ on y despu´es el giro y la homotecia el resultado ser´ıa (1 + i)(z − 2). PSfrag replacementsIm

Im

(1 + i)(z − 2) PSfrag replacements

π 4

z−2

π 4

π 4

z Re

0

eiπ/4 (z − 2) z−2

Re

0 y luego giramos.

Primero trasladamos ... 10

z

2. ¿C´ omo podemos expresar en t´erminos complejos la transformaci´ on del plano consistente en hacer una simetr´ıa respecto al eje OY ? En t´erminos de parte real y parte imaginaria tenemos: z = x + yi ∈ C → w = −x + yi 1 1 (z + z), y = Im(z) = (z − z), obtenemos 2 2i

y teniendo en cuenta que x = Re(z) =

1 1 w = − (z + z) + (z − z)i = −z. 2 2i O sea, que hacer una simetr´ıa respecto al eje OY es lo mismo que hacer la simetr´ıa respecto al eje OX seguida de la simetr´ıa respecto al origen.

5.

Ejercicios

Ejercicio 1. Efectuar las siguientes operaciones: 1+i , 1−i

(2 − i)2 3

(−3i)

,

(3 + 2i) (2 − i) +

2 − 3i , 4−i

1 i+

1 1 i+ i+1

− 1.

Ejercicio 2. Hallar b y c tales que (9 + bi) (c + 3i) = 3 + 29i. Ejercicio 3. Escribir en forma polar los siguientes n´ umeros complejos dados en la forma a + bi: √ 3 1 z1 = 1 + i, z2 = 1 − i, z3 = − i, z4 = −i, z5 = −2, z6 = 3. 2 2 Ejercicio 4. Escribir en la forma a + bi los siguientes n´ umeros complejos, evaluando las correspondientes razones trigonom´etricas:   √ 4π 11π 11π 4π + i sen , w2 = 2 cos + i sen , w3 = 2e−iπ/4 , w4 = 3eiπ , w5 = eiπ/2 . w1 = cos 3 3 3 3 Ejercicio 5. Dados los n´ umeros complejos z1 = 1 + i, z2 = 1 − i, z3 = 3 + 4i efectuar las siguientes operaciones: z1 z3 z1n z2 z1 z3 , , |2z1 − 3z3 | , 5z1 + 2z2 − z3 , z15 , z1 , (n ∈ N). z3 z2 z2 z2n−2

Ejercicio 6. Si z1 = 2 + i y z2 = 3 − 2i calcular |3z1 − 4z2 | ,

4

|z1 | ,



z1 z2 + i

2

,

(4 + 3i)4 . (7 + i)3

4 w Ejercicio 7. Siendo w1 = 3 (cos (π/3) + i sen (π/3)) y w2 = cos (π/4) + i sen (π/4), calcular |w1 w2 |, y 17 . w2

Ejercicio 8. Utilizando la f´ ormula de De Moivre, expresar sen (2θ), cos(2θ), sen (3θ) y cos(3θ) en funci´ on de sen(θ) y cos(θ). Ejercicio 9. Calcular

√ 3

−8i,

√ 5

1,

√ 2

3 + 4i,

√ 3 −27.

Ejercicio 10. Uno de los v´ertices de un hex´ agono regular inscrito en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas, tiene por coordenadas V1 (1, 1). Hallar las coordenadas de los otros cinco v´ertices. √ Ejercicio 11. Dados los n´ umeros complejos z1 = −2, z2 = −2i, z3 = 3 − 3i, y z4 = −2 + 2 3i: 1. Representarlos geom´etricamente y escribirlos en forma polar y exponencial. 11

z3 27 200 , z , z4 . z4 3 p √ √ √
2 √ 3. Calcular y representar geom´etricamente: 3 z1 , 5 z3 , 4 z4 , 4 z12 , 4 z1 .

2. Calcular y representar geom´etricamente: z1 + z3 , z2 z3 , z3 z4 ,

Ejercicio 12. Resolver las siguientes ecuaciones en C y factorizar el polinomio del primer miembro: √ z 2 − 2z + 1 = 0, z 2 − 2z + 2 = 0. Ejercicio 13. Resolver las siguientes ecuaciones polin´ omicas y factorizar los polinomios correspondientes: z 6 − 2z 3 + 2 = 0,

4

(−6 − z) − 81 = 0,

z 2 − 2z + 2 = 0,

z 2 + (i − 1)z − i = 0,

z 8 − z 2 = 0.

Ejercicio 14. Expresa mediante operaciones con n´ umeros complejos las siguientes transformaciones del plano: 1. Proyecci´ on ortogonal sobre el eje OY . 2. Giro con centro en el punto (1, 1) y a ´ngulo

π 3

rad (en sentido positivo).

3. Homotecia con centro en (1, 2) y raz´ on 3. 4. Simetr´ıa respecto de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (4, 5). ! √ 3 3 en el punto (0, 2). , 5. Giro con centro en el punto (0, 1) que transforma el punto 2 2 6. Proyecci´ on ortogonal sobre la recta que pasa por los puntos (2, 0) y (1, 1).

12