Tema 3. Números Índice 3.0. Introducción. Aplicación Existe un gran número de fenómenos económicos cuyo significado y estudio alcanza distintos niveles de complejidad (son los que se conocen como coyuntura económica, nivel de inflación, nivel de desarrollo, etc.). Los números índice constituyen el instrumental más adecuado para estudiar la evolución de una serie de magnitudes económicas que nos den respuesta a cuestiones tales como: ¿Es la coyuntura económica positiva o negativa? ¿Es el nivel de inflación el adecuado o no? etc. Definición: Un número índice es una medida estadística que sirve para caracterizar la evolución de una variable (fenómeno económico) entre dos momentos de tiempo diferentes. Se define como el cociente del valor de la magnitud en una situación (o instante) cualquiera y el valor de la magnitud en una situación de referencia. Por tanto, un número índice es siempre una cantidad adimensional. Al instante de tiempo de la variable que tomamos como referencia se le llama período base (0) y el instante con el que se compara se denomina período actual (t). Clasificación de los números índices Vamos a clasificar los números índices según el número de magnitudes que mida el índice y, además, según se tenga o no en cuenta la importancia de estas magnitudes que intervienen en el número índice. Así tenemos: • •

Índices simples: Cuando sólo interviene un concepto o magnitud. Índices compuestos: Cuando intervienen varias magnitudes. Dentro de este grupo tenemos los índices ponderados (las magnitudes tienen distinta importancia) y sin ponderar (todas las magnitudes presentan igual importancia)

Simples / Elementales Sin _ ponderar Números Índice

Sauerbeck Bradstreet _ Dudot

Laspeyres

Compuestos Ponderados

Paasche Edgeworth Fisher

Esquema 1: Clasificación y tipos de números índice

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3.1. Tasas de variación. Supongamos una serie de observaciones ordenadas en el tiempo, obtenidas en periodos temporales de la misma duración, de una variable X:

t

xt

0

x0

1

x1

t

xt

• Variación absoluta entre el periodo 0 y el periodo t. • Tasa de variación relativa entre el periodo 0 y el periodo t. • Tasa de variación anual media entre el periodo 0 y el periodo t.

EJEMPLO 3.1: Las siguientes tablas recogen los beneficios de dos empresas distintas en el periodo 2006-2010. Obtenga las distintas tasas de variación y comente los resultados.

Año Beneficios Empresa A Beneficios Empresa B 2006 19.16 204.47 2007 20.14 205.21 2008 21.94 207.72 23.64 209.13 2009 2010 25.05 210.36

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PRACTICA 3.1: Consultar el IPC en el INE y en IECA.

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3.2. Índice elemental. Índice sintético. • Índices elementales o simples Estudian la evolución en el tiempo de una magnitud que sólo tiene un componente (sin desagregación). Se emplean con gran difusión en el mundo de la empresa a la hora de estudiar las producciones y ventas de los distintos artículos que fabrican y lanzan al mercado. Los índices simples están referidos a una única magnitud. Nos proporcionan la variación de una magnitud entre dos periodos que desean compararse (por lo general se refiere al tiempo). Sea una magnitud X, que toma los valores: x0, x1, …xt, en los instantes sucesivos 0, 1,…t Definición: Se define el índice elemental de la magnitud simple X en el instante t, respecto al período 0 como el cociente

Verifican la siguiente Propiedad circular (válida para índices expresados en tantos por uno): It/0(X) =It/t’(X)It’/0(X) EJEMPLO 3.2: El año pasado el precio de la gasolina ha experimentado entre los meses de enero y junio una subida, según el índice elemental, de 1,185 y entre los meses de enero y diciembre una subida, según el mismo índice, de 1,225. ¿Qué subida ha experimentado el precio de la gasolina entre los meses de junio y diciembre? Solución: Etiquetamos por comodidad como 0, 1 y 2 a los tres meses de enero, junio y diciembre respectivamente.

I 2 /1 ( X ) =

I 2 / 0 ( X ) 1,225 = = 1,0338 I 1 / 0 ( X ) 1,185

De junio a diciembre ha aumentado un 3,38%.

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• Índices compuestos En este caso consideremos una magnitud X compleja constituida por n magnitudes simples, es decir, X1, X2; Xi , …, Xn (por ejemplo, los precios de un conjunto de productos alimenticios). Los índices elementales o simples de las componentes Xi están definidos por:

siendo xit el valor de la magnitud Xi en el instante t. Por simplicidad, notaremos mediante Ii t/0, en lugar de It/0(Xi), el índice simple de la magnitud Xi.

Se utilizarán promedios ponderados cuando la importancia de las magnitudes simples Xi no sea la misma, dando lugar a los índices compuestos ponderados. En caso contrario, utilizaremos promedios sin ponderar, con lo que tendremos los índices compuestos sin ponderar. Para explicar los índices compuestos utilizaremos como magnitudes precios y cantidades, las cuales denominaremos P y Q, respectivamente.

3.3. Índices de precios, de cantidades y de valor. • Índices de precios Índices simples de precios

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EJEMPLO 3.3: Los precios, expresados en unidades monetarias corrientes, de los autobuses urbanos de una determinada ciudad en el periodo 2005-2010 han sido: 85, 87, 95, 99, 107,112. Obtener la serie de números índices simples tomando como periodo base el año 2005.

t

Año

Precios( p t )

0 2005

85

1 2006

87

2 2007

95

3 2008

99

4 2009

107

5 2010

112

Pt / 0

Para los índices compuestos, suponemos que disponemos de n componentes de precios, P1 , , Pi , Pn cuyos índices simples vendrán dados por:

Índices compuestos sin ponderar -

Índice de Sauerbeck. Es la media aritmética de los índices elementales

-

Índice de Bradstreet-Dudot. Se define como la media agregativa

EJEMPLO 3.4: Los precios, en unidades monetarias corrientes, de la leche, queso y mantequilla que ha pagado una familia en el periodo 2008-2010 han sido los siguientes:

Años Leche Queso Mantequilla 2008

85

2100

900

2009

89

2300

1200

2010

97

2400

1400

Tomando como periodo base 2008, obtener la serie de números índice complejos sin ponderar de Sauerbeck y Bradstreet-Dudot.

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En el caso en que NO todas las magnitudes X1, …, Xn que intervienen en un índice, tengan la misma importancia se consideran índices compuestos ponderados.

Índices compuestos ponderados Los índices compuestos ponderados también se determinan promediando los índices elementales de cada una de las variables que intervienen en la magnitud compleja, pero utilizando promedios ponderados. De este modo, se tiene en cuenta la importancia de cada una de las magnitudes, mediante la asignación de un peso que denotaremos por wi. Ejemplo de ponderación:

Para ponderar se utiliza la expresión:

En función del tipo de media y de la ponderación utilizada, tenemos los siguientes tipos de índices compuestos ponderados: a) Laspeyres. Considera las ponderaciones: wi = pi 0 qi 0

b) Paasche. Considera las ponderaciones: wi = pi 0 qit

c) Edgeworth. Considera como ponderaciones la suma de las ponderaciones anteriores, es decir:

d) Fisher. Es la media geométrica de los índices de Laspeyres y Paasche.

La ventaja práctica del índice de Laspeyres es la de exigir para su cálculo una información menos actualizada (porque utiliza coeficientes de ponderación en el período base), mientras que el de Paasche necesita actualizar las ponderaciones en cada nuevo período t. Por este motivo se utiliza más el de Laspeyres. NOTA: Ninguno de los índices compuestos ponderados verifica la propiedad circular.

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• Índices de cantidades En esta sección se consideran los índices estudiados en los apartados anteriores aplicados a cantidades (compradas, vendidas, exportadas,…). -

Índices simples de cantidades (para la componente i en el periodo t, tomando como base el periodo 0) :

qit qi 0

Qt / 0 (i ) = - Índices complejos de cantidades a) Sin ponderar -

Índice de Sauerbeck

QtS/ 0 = -

1 n

1 n

n

Qt / 0 (i ) = i =1

n i =1

qit qi 0

Índice de Bradstreet-Dudot n

qit BD t/0

Q

i =1 n

=

qi 0 i =1

b) Ponderados -

Índice cuántico de Laspeyres ( wi = qi 0 pi 0 ) n

qit p i 0 L t/0

Q

i =1 n

=

qi 0 p i 0 i =1

-

Índice cuántico de Paasche ( wi = qi 0 p it ) n

q it p it P t/0

Q

=

i =1 n

q i 0 p it i =1

-

Índice cuántico de Edgeworth ( wi = qi 0 p i 0 + q i 0 p it ) n

n

q it pi 0 + E t/0

Q

=

i =1 n

q it pit i =1 n

q i 0 pi 0 + i =1

-

q i 0 pit i =1

Índice cuántico de Fisher: QtF/ 0 = QtL/ 0 QtP/ 0

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EJEMPLO 3.5. Dados los siguientes datos, calcular los índices compuestos ponderados de precios y cantidades con base en el 2006. Artículo 1

Artículo 2

Artículo 3

Año

Precio

Cantidad

Precio

Cantidad

Precio

Cantidad

2006

2

6

8

4

1

7

2007

3

7

8

9

2

8

2008

4

8

10

5

2

10

2009

4

10

11

4

2

10

2010

5

9

10

5

1

8

-

Tablas para realizar los cálculos

i

pi 0

qi 0

pi1

q i1

pi 2

qi 2

pi 3

qi3

pi 4

qi 4

1 2 3

SUMAS i

pi 0 q i 0

1 2 3

SUMAS

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-

Año

Tabla con las soluciones Pt L/ 0

Pt P/ 0

Pt E/ 0

Pt F/ 0

PtV/ 0

2006 2007 2008 2009 2010

• Índices de valor Supongamos un fenómeno caracterizado por un conjunto de cantidades y precios que varían a lo largo del tiempo (p.e. la producción). Nos planteamos estudiar la variación en el valor agregado de dicho fenómeno. n

En el año base V0 =

n

pi 0 qi 0 , y en el año actual Vt = i =1

pit qit . i =1

Denominamos índice de valor agregado al cociente n

Vt / 0

V = t = V0

pit qit i =1 n

pi 0 qi 0 i =1

Se puede demostrar que el índice anterior puede obtenerse como el producto de un índice de precios por un índice de cantidades, según: Vt / 0 = Pt L/ 0 QtP/ 0 = QtL/ 0 Pt P/ 0 . EJEMPLO 3.6. Para los datos del EJEMPLO 3.5, obtener la serie de índices de valor con base en el año 2006.

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3.4. Enlace de series de números índices con distinta base. La elaboración de un índice conlleva una serie de decisiones como son: - Selección de artículos que deben ser elegidos como los más representativos, así como sus ponderaciones. - Seleccionar el período base. - Seleccionar la fórmula más adecuada. Además necesitaremos las siguientes técnicas: -

Cambio de base:

Se utilizará cuando queramos expresar los números índices, calculados con base a un período determinado, en otra base. El cambio de base se obtiene directamente de la propiedad circular, teniendo en cuenta que no todos los índices la verifican, por lo que los resultados que obtendremos serán aproximados. -

Renovación

La renovación de un índice puede venir exigida por un cambio de las ponderaciones, o bien porque haya que elegir otros artículos, etc. Esto implica empezar desde el principio: selección de artículos, del período base, de las ponderaciones. Dando lugar, a partir del período de renovación a una nueva serie de índices referidos a una nueva base. -

Enlace

Al tener que modificar el período base en el proceso de renovación, nos encontramos con dos series de índices referidos al mismo fenómeno, pero con distintos períodos base. Desde el punto de vista económico interesa enlazar ambas series para obtener una única serie en la que todos los números índices estén construidos con el mismo período base, para facilitar posibles comparaciones. Este procedimiento se llama enlace o empalme. El problema es, nuevamente, que los índices compuestos más usuales no verifican la propiedad circular. A pesar de ello, el procedimiento práctico para enlazar dos series de índices consiste en actuar como si se verificase dicha propiedad. EJEMPLO 3.7. Dadas las siguientes series de números índices de precios al consumo obtenga: a) Una sola serie para todo el periodo con base 2001 (Enlace de series). b) Otra serie con base en 2003 (Cambio de base).

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I t / 1990 Año 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

IPC (base 1990) 115 123 129 132 135

IPC (base 2001)

100 103 107 113

IPC (base2004)

100 110 120 123

Solución: Año 1997 1998

a) IPC (base 2001)

1,15 × 100 = 85,18 1,35 1,23 × 100 = 91,11 1,35

b) IPC (base 2003)

0,8518 × 100 = 79,61 1,07 0,9111 × 100 = 85,15 1,07

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

1,10 × 1,13 × 100 = 124,3

2006 2007

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3.5. Deflación de series económicas. Un problema frecuente consiste en el análisis del crecimiento o decrecimiento de una sucesión de valores expresados en unidades monetarias corrientes de cada año. Para poder comparar tales cantidades, es necesario homogeneizarlas, es decir, expresar todos los valores en unidades monetarias de un mismo año. El procedimiento utilizado para conseguir esta homogeneización se denomina deflación y consiste en dividir los valores de la serie económica entre un índice de precios adecuado, denominado deflactor. Definición: Se llama serie a precios corrientes de cada año o serie de valores nominales a una serie de valores de una variable a lo largo del tiempo V0, V1, …, Vt. El valor viene dado en las mismas unidades monetarias que el precio, pero debido a la inflación y deflación de estos no podemos comparar los valores de un año a otro, sino que habrá que realizar una traducción del valor nominal, al valor que se obtendría si los precios fueran los del año que se toma como base. Definición: A la serie ajustada, según las variaciones de la unidad monetaria se le denomina serie a precios constantes del año tomado como base o serie de valores reales. Por tanto, deflactar una serie consiste en pasar de unidades monetarias corrientes a unidades monetarias constantes. Como ya hemos indicado, lo que se hace es dividir la serie de valores nominales por un índice de precios adecuado(llamado deflactor) con el fin de obtener una valoración de las cantidades a los precios (constantes) del año base. Los índices de Laspeyres y Paasche son los que más se utilizan como deflactores de series. El procedimiento más correcto para deflactar una serie de valores nominales, sería tomar como deflactor el índice de precios de Paasche referido al año base. En la práctica, si no se dispone del índice de Paasche (recordemos que requería una información más actualizada que el de Laspeyres), se utilizará como deflactor el índice de Laspeyres. Según sea la serie económica que se desea deflactar, así habrá que elegir el índice de precios más adecuado: • Para deflactar la renta disponible de una familia en euros constantes de un determinado año, el deflactor adecuado será el IPC (Indice de Precios de Consumo) • Para deflactar una serie del valor de un conjunto de productos industriales, su deflactor adecuado será el IPI (Indice de Precios Industriales)

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EJEMPLO 3.8. En los últimos siete años el gasto en enseñanza, en millones de euros corrientes, y los índices de precios al consumo han sido Año 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Gastos en millones € 150 230 240 290 300 330 400

IPC (base 2001) 100 115 135 180

IPC (base 2004)

100 105 120 150

Calcúlese el porcentaje, en términos reales, en que ha variado el gasto en enseñanza durante los siete años considerados. Solución: Para obtener los gastos en enseñanza en términos reales hemos de deflactar los valores corrientes, transformando los euros corrientes de cada año en euros constantes del año base. En este ejemplo los IPC son tales que si procedemos a deflactar directamente tendríamos hasta el 2004 los gastos expresados en euros de 2001 y a partir de 2004 en euros de este año por lo que las cantidades no serían comparables. Por ello en primer lugar vamos a expresar todos lo índices en la misma base, usando I t / 2001 = I t / 2004 I 2004 / 2001 (índices expresados en tanto por uno) IPC (base 2001) 100 115 135 180 189=1,05x1,80x100 216=1,20x1,80x100 270=1,50x1,80x100 O bien, usando I t / 2004 =

I t / 2001 I 2004 / 2001

(índices expresados en tanto por uno)

IPC (base 2004)

1 100 1,80 1,15 63,89 = 100 1,80 1, 35 75 = 100 1,80

55,55 =

100 105 120 150

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Si expresamos los gastos en términos reales, en euros de 2001, tenemos: Gastos en euros de 2001 150/1 = 150,00 230/1,15 = 200,00 240/1,35 = 177,78 290/1,80 = 161,11 300/1,89 = 158,73 330/2,16 = 152,77 400/2,70 = 148,15

148,15 − 150 = −1,85 Ha habido una disminución absoluta en términos reales de 1,85 millones de euros de 2001 lo que supone una disminución relativa (porcentual) de

−1,85 100 = −1, 23% 150 Si deflactamos tomando como referencia los euros de 2004, se tiene Gastos en euros de 2004 150/0,5555 = 270,00 230/0,6389 = 359,94 240/0,75 = 320,00 290/1 = 290,00 300/1,05 = 285,71 330/1,20 = 275,00 400/1,50 = 266,67

266, 67 − 270 = −3, 33 Ha habido una disminución absoluta del gasto en enseñanza durante el período 2001-2007 de 3,33 millones de euros de 2004, por tanto una disminución relativa de

− 3,33 100 = −1,23% 270 Obsérvese que se llega al mismo incremento porcentual en términos reales tanto si se toma un año base como otro.

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EJEMPLO 3.9. El salario medio en los últimos cinco años en una empresa siderometalúrgica y los índices de precio al consumo han sido Años Salarios IPC 2003 1760 107 2004 1830 113 2005 1950 124,3 2006 2100 135,6 2007 2200 139 Estudie el valor real de los salarios en euros constantes del 2007. Calcule la tasa de crecimiento medio anual de los salarios en términos reales. Solución: Años 2003 2004 2005 2006 2007

4

Salarios corrientes 1760 1830 1950 2100 2200

IPC (base 2007) 107/1,39=76,98 113/1,39=81,29 124,3/1,39=89,42 135,6/1,39=97,55 139/1,39=100

Salarios constantes (euros 2007) 1760/0,7698=2286,3 1830/0,8129=2251,2 1950/0,8942=2180,7 2100/0,9755=2152,7 2200/1=2200

S4 2200 −1 = 4 − 1 = 0,99 − 1 = −0, 01 S0 2286,3

Hay una disminución media anual del 1% ( −0, 01× 100 = −1% ).

EJEMPLO 3.10. El propietario de una vivienda alquiló esta en 500€ mensuales a cuatro estudiantes de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales en Octubre de 2006. Este había pactado revisar el precio del alquiler en Enero de cada año de acuerdo al incremento de precios al consumo (se recogen en la siguiente tabla) Años IPC 2005 113 2006 124,3 2007 135,6 2008 139 ¿A cuánto ascenderá el precio del alquiler a partir de Enero de 2009?

Solución: Años

IPC

2005 2006 2007 2008 2008

113 124,3 135,6 139

IPC (base 2005) 113/1,13=100 124,3/1,13=110 135,6/1,13=120 139/1,13=123

Alquiler 500 500 × 1,10=550 500 × 1,20=600 500 × 1,23=615

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O bien Años

IPC

Alquiler

∆ IPC

2005 113 2006 124,3 124,3/1,13=110 500 2007 135,6 135,6/1,243=109,09 500 × 1,10=550 2008 139 139/1,356=102,51 550 × 1,0909=599,99 2009 600 × 1,0251=615,06 (las diferencias entre ambos procedimientos son debidas a errores de redondeo)

3.6. Dependencia de un índice general de un grupo de productos.

Vamos a analizar cómo afecta a un índice general la variación en uno de los productos (artículos) o grupo de productos considerados en su construcción. Muchos índices, entre ellos el IPC español, están basados en el índice de Laspeyres. Los índices de Laspeyres y Paasche poseen la propiedad de agregación: El índice de Laspeyres sobre un conjunto de productos es igual al índice de Laspeyres calculado sobre los índices de Laspeyres de cada subconjunto de productos. Lo mismo ocurre con el índice de Paasche. Escribiremos la propiedad de agregación con la siguiente notación general (donde el índice I t / 0 representa a Lt / 0 en el caso del IPC) n

It / 0 ( X ) =

I t / 0 ( X i ) ui 0 i =1

La variación absoluta del índice entre dos períodos t y t’ será n

∆I ( X ) = I t '/ 0 ( X ) − I t / 0 ( X ) =

n

( It '/ 0 ( X i ) − It / 0 ( X i ) ) ui 0 = i =1

∆I ( X i ) u i 0 i =1

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EJEMPLO 3.11. Las ponderaciones de los siguientes grupos en el IPC para el año base son Grupo Alimentos Vestido Vivienda Menaje y hogar Salud Transporte Ocio Enseñanza Otros Total

Ponderación en % 35 9 17 7 3 12 5 8 4 100

Si el IPC de este año ha sido 115,96, calcule el IPC para el próximo año en los siguientes casos: A. El índice de la vivienda se incrementa un 15% permaneciendo igual el resto de los índices. B. Los índices de vivienda y transporte se incrementan en un 10% y 5% respectivamente, los índices de vestido y enseñanza disminuyen un 2% y 1% respectivamente, no variando el resto de los índices. Solución: n

A. ∆I ( X ) =

∆I ( X i ) ui = 0,15 × 0,17 = 0, 0255 i =1

IPC(próx. año)=IPC(año actual)+ IPC=115,96+2,55=118,51 n

B. ∆I ( X ) =

∆I ( X i ) ui = ( 0,10 × 0,17 ) + ( 0, 05 × 0,12 ) + ( −0, 02 × 0, 09 ) + ( −0, 01× 0, 08 ) = 0, 0204 i =1

IPC(próx. año)=IPC(año actual)+ IPC=115,96+2,04=118,00

Preguntas de teoría del Tema 3

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