TEMA 3: PROGRESIONES 3.1 Sucesiones Ejemplo A partir de las sucesiones del libro de la página 60, escribir cuatro términos más: 1. 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vamos sumando cuatro siempre! Se trata de una progresión aritmética de diferencia d 4 2. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ten en cuenta que: 1º 1 2 1 2º 2 2 4 3º 3 2 9 4º 4 2 16 5º 5 2 25 6º 6 2 36 7º 7 2 49 8º 8 2 64 9º 9 2 81 Entonces el que está en lugar 1456º 1456 2 2119 936 3. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se pasa de un término a otro multiplicando por 2. Se trata de una progresión geométrica de rázon r 2. Ten en cuenta que: 1º 2 2º 4 2 2 2 2 3º 8 2 3 4º 16 2 4 5º 32 2 5 6º 64 2 6 Entonces el término que ocupa el lugar 245º 2 245 5. 653 9 10 73 4. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se pasa de un término a otro multiplicando por -3. Se trata de una progresión geométrica de razón r 3. Ten en cuenta que: 1º 1 3 0 2º 3 3 1 3º 9 3 2 4º 27 3 3 5º 81 3 4 6º 243 3 5 7º 729 3 6 Entonces el término que ocupa el lugar 156º 3 155 89 907 201 863 535 854 420 702 290 135 762 284 537 312 963 394 702 682 637 089 810 488 324 824 507 8. 990 7 10 73 5. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . . . . . . . . . . . . . Cada término se obtiene sumando los dos anteriores: se trata de una ley de recurrencia. Es la sucesión de Fibonacci. 6. 170, 120, 70, 20, 30, 80, 130, 180, 230. . . . . . . . . . . . . . De un término al siguiente se va restando 50, es decir, sumando -50. Se trata de una 1

progresión aritmética de diferencia d 50. 7. 1, 3, 6, 8, 16, 18, 36, 38, 76, 78, 156. . . . . . . . . . . . . Se va alternativamente sumando 2 al término anterior o multiplicando por 2 el término anterior. Tareas 13-11-2013: los ejercicios 2 y 4 de la página 60.

Ejemplo Calcula el término general de las sucesiones del apartado anterior siguientes: 2 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El término que ocupa el lugar 112º 112 2 12 544 El término que ocupa el lugar 235º 235 2 55 225 El término que ocupa el lugar nº n 2 Es decir, el término general de la sucesión es s n n 2 3 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se pasa de un término a otro multiplicando por 2. Se trata de una progresión geométrica de rázon r 2. El término que ocupa el lugar 24º 2 24 El término que ocupa el lugar nº 2 n Es decir, el término general de las sucesión es a n 2 n 4 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se pasa de un término a otro multiplicando por -3. Se trata de una progresión geométrica de razón r 3. El término que ocupa el lugar 19º 3 18 3. 874 2 10 8 El término que ocupa el lugar nº 3 n1 Es decir, el término general de la sucesión es b n 3 n1

Ejemplo Calcula los cinco primeros términos de las sucesiones dadas por los siguientes término generales: 1. a n 4n 3 1º a 1 4 1 3 1 2º a 2 4 2 3 5 3º a 3 4 3 3 9 4º a 4 4 4 3 13 5º a 5 4 5 3 17 2.

3.

4.

a1

1

a2

1

an

an

1º 2º 3º 4º 5º an 1º 2º 3º 4º 5º an 1º 2º 3º

a1 a2 a3 a4 a5 170 a1 a2 a3 a4 a5 n2 a1 a2 a3

2

an

1

1 1 a3 2 a3 1 a1 a2 a4 2 a4 1 a2 a3 a5 2 a5 1 a3 a4 50n 170 50 1 120 170 50 2 70 170 50 3 20 170 50 4 30 170 50 5 80 3n 12 3 1 2 2 2 3 2 2 32 3 3 0

1 1 2

1 2 3

2 3 5

2

4º a 4 4 2 3 4 4 5º a 5 5 2 3 5 10 Tareas 14-11-2013: todos los ejercicios de la página 61

3.2 Progresiones aritméticas Ejemplo Añade tres términos más a las siguientes sucesiones con ayuda de tu calculadora: 1. 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. . . . . . . . . . . . . . . . 2. 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260, 280, . . . . . . . . . . 3. 9, 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7, 9, 11. . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 5. 83, 5. 87, 5. 91, 5. 95, 5. 99, 6. 03, 6. 07, 6. 11, 6. 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejemplo Calcula los términos generales de todas las progresiones aritméticas del ejercicio anterior. Comprueba dicho término general (calculando los cinco primeros términos de la progresión) y calcula el término que ocupa el lugar 120º. 1.

Hemos de conocer d 3 a1 2 Entonces el término general es a n 2 3n 3 3n 1 1º a 1 3 1 1 2 2º a 2 3 2 1 5 3º a 3 3 3 1 8 4º a 4 3 4 1 11 5º a 5 3 5 1 14 120º a 120 3 120 1 359

2.

Hemos de conocer d c1

1 d

2

n

b1

n

1 d

120

c1

n

1 d

9

d1

n

1 d

5. 83

1 3

n

1 20

2 9

Entonces el término general es c n 9 2n 2 11 2n 1º c 1 11 2 1 9 2º c 2 11 2 2 7 3º c 3 11 2 3 5 4º c 4 11 2 4 3 5º c 5 11 2 5 1 120º c 120 11 2 120 229 4.

n

Hemos de conocer d 20 b 1 120 Entonces el término general es b n 120 20n 20 100 20n 1º b 1 100 20 1 120 2º b 2 100 20 2 140 3º b 3 100 20 3 160 4º b 4 100 20 4 180 5º b 5 100 20 5 200 120º b 120 100 20 120 2500

3.

a1

n

1

2

Hemos de conocer d 0. 04 d 1 5. 83 Entonces el término general es d n

n

1 0. 04 3

5. 83 0. 04n 0. 04 5. 79 0. 04n 1º d 1 5. 79 0. 04 1 5. 83 2º d 2 5. 79 0. 04 2 5. 87 3º d 3 5. 79 0. 04 3 5. 91 4º d 4 5. 79 0. 04 4 5. 95 5º d 5 5. 79 0. 04 5 5. 99 120º d 120 5. 79 0. 04 120 10. 59 Tareas 15-11-2013: todos los ejercicios de la página 62

Ejemplo Calcula para cada una de las sucesiones anteriores las sumas de los seis primeros términos y de los cien primeros términos. 1. 2, 5, 8, 11, 14, 17, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 3n 1 Suma de los seis primeros términos S 6 2 5 8 11 14 17 57 Otra forma de verlo: S6 2 17 5 14 8 11 19 19 19 19 3 57 2 17 6 6 S6 2 17 2 2 Suma de los cien primeros términos a 1 a 100 100 2 299 100 S 100 301 50 15 050 2 2 100º a 100 3 100 1 299 2. 120, 140, 160, 180, 200, 220, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b n 100 20n Suma de los seis primeros términos S 6 120 140 160 180 200 220 1020 Otra forma de verlo: S6 120 220 140 200 160 180 340 340 340 340 3 1020 120 220 6 6 S6 120 220 2 2 Suma de los cien primeros términos b 1 b 100 100 120 2100 100 S 100 2220 50 111 000 2 2 b 100 100 20 100 100 2000 2100 Tareas 15-11-2013: todos los ejercicios de la página 63

3.3 Progresiones geométricas Ejemplo Añade tres términos más a las siguientes sucesiones con ayuda de tu calculadora: 1. 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, . . . . . . . . . . . . Es una progresión geométrica de razón r 2, pues multiplicando cada miembro por 2 se obtiene el siguiente. 2. 3, 30, 300, 3000, 30000, 300000, 3000000, . . . . . . . . . . . . . Es una progresión geométrica de razón r 10, pues multiplicando cada miembro por 10 se obtiene el siguiente. 3. 80, 40, 20, 10, 5, 2. 5, 1. 25, 0. 625, 0, 3125, . . . . . . . . . . . . 1 , pues multiplicando cada miembro por 1 se Es una progresión geométrica de razón r 2 2 obtiene el siguiente. OJO: La división a b se convierte en multiplicación de la forma siguiente a 1 . El inverso de b b 4

4.

5.

es 1 . b 80, 8, 0. 8, 0. 08, 0. 008, 0. 0008, 0. 00008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 , pues multiplicando cada miembro por 1 se Es una progresión geométrica de razón r 10 10 obtiene el siguiente. 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, . . . . . . . . Es una progresión geométrica de razón r 2, pues multiplicando cada miembro por 2 se obtiene el siguiente.

Ejemplo Calcula los términos generales de todas las progresiones geométricas del ejercicio anterior. Comprueba dicho término general (calculando los cinco primeros términos de la progresión) y calcula el término que ocupa el lugar 37º. 1.

Hemos de conocer r 2 a1 3 Entonces el término general es a n a 1 r n 1 3 2 n 1 1º a 1 3 2 1 1 3 2 0 3 1 3 2º a 2 3 2 2 1 3 2 1 3 2 6 3º a 3 3 2 3 1 3 2 2 3 4 12 4º a 4 3 2 4 1 3 2 3 3 8 24 5º a 5 3 2 5 1 3 2 4 3 16 48 37º a 37 3 2 37 1 3 2 36 3 68 719 476 736 206 158 430 208 2. 061 6 10 11 2 36 68 719 476 736

2.

Hemos de conocer r 10 b1 3 Entonces el término general es b n b 1 r n 1 3 10 n 1 1º b 1 3 10 1 1 3 10 0 3 1 3 2º b 2 3 10 2 1 3 10 1 3 10 30 3º b 3 3 10 3 1 3 10 2 3 100 300 4º b 4 3 10 4 1 3 10 3 3 1000 3000 5º b 5 3 10 5 1 3 10 4 3 10000 30 000 37º b 37 3 10 37 1 3 10 36 3000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

3.

10 36

Hemos de conocer r 0. 5 c 1 80 Entonces el término general es c n c 1 r n 1 1º c 1 80 0. 5 1 1 80 0. 5 0 80. 0 2º c 2 80 0. 5 2 1 80 0. 5 1 40. 0 3º c 3 80 0. 5 3 1 80 0. 5 2 20. 0 4º c 4 80 0. 5 4 1 80 0. 5 3 10. 0 5º c 5 80 0. 5 5 1 80 0. 5 4 5. 0 37º c 37 80 0. 5 37 1 80 0. 5 36 1. 164 2

4.

3. 0

80 0. 5 n

10

1

9

Hemos de conocer r 0. 1 d 1 80 Entonces el término general es d n d 1 r n 1º d 1 80 0. 1 1 1 80 0. 1 0 80. 0 2º d 2 80 0. 1 2 1 80 0. 1 1 8. 0 3º d 3 80 0. 1 3 1 80 0. 1 2 0. 8 4º d 4 80 0. 1 4 1 80 0. 1 3 0. 08

1

80 0. 1 n

1

5

5º d 5 80 0. 1 5 1 80 0. 1 4 0. 008 37º d 37 80 0. 1 37 1 80 0. 1 36 8. 0 5.

Hemos de conocer r e1

10

35

2 3

Entonces el término general es e n e 1 r n 1 3 2 n1 1º e 1 3 2 11 3 2 0 3 2º e 2 3 2 21 3 2 1 6 3 1 2 3º e 3 3 2 3 2 12 4º e 4 3 2 41 3 2 3 24 5 1 4 2 3 2 48 5º e 5 3 37 1 36 37º e 37 3 2 3 2 206 158 430 208 2. 061 6 Tareas 21-11-2013: todos los ejercicios de la página 65

10 11

Ejemplo Calcula, para cada una de las sucesiones anteriores, la suma de los veinte primeros términos. 1. a n a 1 r n 1 3 2 n 1 a 1 r 20 1 a 1 3 2 19 3 1572 864 3 S 20 1572 861 r 1 2 1 1 3 2 19 1572 864 2. b n b 1 r n 1 3 10 n 1 b 1 r 20 1 b 1 30 000 000 000 000 000 000 3 3 10 19 3 S 20 r 1 9 10 1 3333 333 333 333 333 333 3. 333 3 10 18 3 10 19 30 000 000 000 000 000 000 3. c n c 1 r n 1 80 0. 5 n 1 c 1 r 20 1 c 1 80 0. 5 19 80 S 20 160. 00 r 1 0. 5 1 4. d n d 1 r n 1 80 0. 1 n 1 d 1 r 20 1 d 1 80 0. 1 19 80 S 20 88. 889 r 1 0. 1 1 n 1 n 1 5. e n e 1 r 3 2 20 1 3 2 19 3 e1 r e1 S 20 524 289 r 1 2 1 Tareas 21-11-2013: todos los ejercicios de la página 66

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA 1.

Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones. c El primero es 2; el segundo es 4, y los siguientes, la semisuma de los dos anteriores. 1º c 1 2 2º c 2 4 2 4 6 3º c 3 3 2 2 4 3 7 4º c 4 3. 5 2 2 6 7 13 3 7 2 2 2 13 2 13 3. 25 5º c 5 2 2 2 2 4 c1 2 Atención: la sucesión viene dada por la regla siguiente

c2 cn

4 cn

cn

1

2

2

Tareas 28-11-2013: todos los ejercicios que faltan del 1 2 Escribe el término a 10 y a 25 de las siguientes sucesiones.

6

d

dn

1

1 n 10

1 10 1 10 1 11 1 1. 1 10 10 10 10 1 25 1 10 1 9 d 25 1 1 0. 9 10 10 10 10 n 2 f fn n 2 10 2 8 2 f 10 10 2 12 3 25 2 23 f 25 25 2 27 Tareas 28-11-2013: todos los ejercicios que faltan del 2 3 Escribe los cinco primeros términos de la siguiente sucesión: a1 1 a n 2a n 1 3 a1 1 a 2 2a 2 1 3 2a 1 3 2 1 3 2 3 5 a 3 2a 3 1 3 2a 2 3 2 5 3 10 3 13 a 4 2a 4 1 3 2a 3 3 2 13 3 26 3 29 a 5 2a 5 1 3 2a 4 3 2 29 3 58 3 61 4 Averigua el criterio con el que se ha formado cada una de las siguientes sucesiones. d 1, 1 , 1 , 1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4 1 1º 1 1 2º 1 2 3º 1 3 4º 1 4 1 Claramente d n n f 0, 3, 8, 15, . . . . . . . . . . . . . . . . 1º 0 1 2 1 2º 3 2 2 1 3º 8 3 2 1 4º 15 4 2 1 5º 24 5 2 1 6º 35 6 2 1 7º 48 7 2 1 8º 63 8 2 1 9º 80 9 2 1 10º 99 10 2 1 fn n2 1 Tareas 28-11-2013: todos los que faltan del 4 5 Halla el término general de estas sucesiones. a. 12, 14, 16, 18, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se ve claramente que un término se obtiene del siguiente sumando 2. Entonces se trata de una progresión aritmética de diferencia d 2 Su término general es a n a 1 n 1 d 12 n 1 2 12 2n 2 2n 10 d 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1º 1 2 2º 2 3 3º 3 4 4º 4 5 d 10

1

7

5º 5 6 6º 6 7 dn n n 1 Tareas 28-11-2013: todos los ejercicios que faltan del 5 6 Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones. b 3, 2, 2 , 1 , 1 , . . . . . . . . . . . . . . 3 3 2 1º 3 2º 2 3º 2 2 3 3 2 2 4º 1 3 3 1 2 5º 1 2 3 3 3 1 1 6º 2 2 3 3 1 7º 3 2 2 bn bn 1 bn 2 Tareas 28-11-2013: todos los ejercicios que faltan del 6 7 Escribe los cinco primeros términos y a 20 de las siguientes progresiones aritméticas. d d1 3; d 4 Como se trata de una progresión aritmética, su término general es 3 n 1 4 dn d1 n 1 d 3 4n 4 1 4n d2 1 4 2 7 d3 1 4 3 11 d4 1 4 4 15 d5 1 4 5 19 d 20 1 4 20 79 Tareas 29-11-2013: todos los ejercicios que faltan del 7 8 Halla, en cada caso, el término general y calcula, después, a 50 . a. 25, 18, 11, 4, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se trata de una progresión aritmética de diferencia d 7, pues de un término al siguiente se pasa restando 7. Su término general es a n a 1 n 1 d 25 n 1 7 25 7n 7 32 7n a 50 32 7 50 318 Tareas 29-11-2013: todos los ejercicios que faltan del 8 9 Calcula la suma de los veinte primeros términos de las siguientes progresiones aritméticas. d Los múltiplos de 3 3, 6, 9, 12, 15, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se trata de una progresión aritmética, pues de un término al siguiente pasamos sumando 3. Su término general es d n d 1 n 1 d 3 n 1 3 3 3n 3 3n La suma de los veinte primeros término es d 1 d 20 20 3 60 20 S 20 63 10 630 2 2 d 20 20 3 60 Tareas 29-11-2013: todos los ejercicios que faltan del 9 10 Escribe los cinco primeros términos de las siguientes progresiones geométricas. 1 ;r 3 d d1 81 El término general de una progresión geométrica es 1 3n 1 dn d1 rn 1 81 1 31 1 1 30 1 1 1 1º d 1 81 81 81 81 8

1 32 1 1 31 1 3 1 81 81 81 27 1 33 1 1 32 1 9 1 3º d 3 81 81 81 9 1 34 1 1 33 1 27 1 4º d 4 81 81 81 3 1 1 1 5 1 4 5º d 5 3 3 81 1 81 81 81 Tareas 29-11-2013: todos los ejercicios que faltan del 10 11 Halla el término general de cada una de las siguientes sucesiones. a. 20, 8, 3. 2, 1. 28, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tenemos el primer término a 1 20 Nos hace falta encontrar la razón r ? La razón saldrá de las siguientes divisiones: 8 2 20 r 8 r 0. 4 5 20 3. 2 8 r 3. 2 r 0. 4 8 1. 28 3. 2 r 1. 28 r 0. 4 3. 2 La razón es r 0. 4 Así que, el término general es a n a 1 r n 1 20 0. 4 n 1 Tareas 29-11-2013: todos los ejercicios que faltan del 11 12 Calcula la suma de los diez primeros términos de las progresiones geométricas siguientes. 2º

b

d2

b1

5

r

2

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es bn r b1 b1 rn 1 b1 . Sn r 1 r 1 En nuestro caso, es la suma de los diez primeros términos. b 10 2 5 2560 2 5 b 10 r b 1 1705 S 10 3 r 1 2 1 El término general de una progresión geométrica es b n b 1 r n 1 Asi, b 10 5 2 10 1 5 2 9 2560 Tareas 04-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 12 14 Identifica las progresiones aritméticas, las geométricas y las que no son progresiones. Obtén el término general de cada una de ellas. b 1 , 2 , 3 , 4 ,................... 1º 1 2º 2 3º 3 4º 4 No es ningún tipo de progresión, no se da que un término se obtiene del anterior sumando o multiplicando por la misma cantidad. bn n Tareas 04-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 14 15 Halla el primer término y el término general de las siguientes progresiones aritméticas. b

b 11 d

17 2

El término general es b n b 1 n 1 d Aplicamos esto para el undécimo término. b 11 b 1 11 1 2 17 b 1 10 2 17 20 b 1 9

b1 3 Ahora el término general es bn 3 n 1 2 3 2n 2 5 2n Tareas 04-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 15 16 Halla la diferencia y el primer término de las progresiones aritméticas siguientes. a.

a2 a7

18 17

El término general de una progresión aritmética es an a1 n 1 d En particular: a2 a1 2 1 d 18 a 1 d a7 a1 7 1 d 17 a 1 6d Recapitulamos:

18 17

a1 a1

d 6d

Se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. 17 6d De la segunda sacamos que: a 1 Sustituimos este valor en la primera ecuación: 18 17 6d d 18 17 5d 35 d 7 5 Sustituimos este valor para hallar a 1 : 17 6 7 17 42 25 a1 ATENCIÓN: hemos resuelto el sistema por el método de sustitución. Tareas 04-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 16 17 ¿Qué lugar ocupa un término cuyo valor es 56 en la progresión aritmética definida por a 1 d 3? El término general de una progresión aritmética es: a n a 1 n 1 d 8 n 1 3 8 3n 3 5 3n Tendremos que: 56 5 3n 56 5 3n 51 n 17 3 Es el término que ocupa el lugar 17. 18 Calcula la razón y el primer término de las progresiones geométricas siguientes: 1 a5 81 a. 1 a3 9 El término general es a n a 1 r n 1 En particular es: 1 a5 81 1 a1 r5 1 81 1 a1 r4 81 1 a3 9 1 a1 r3 1 9 1 a1 r2 9

8y

10

Recapitulamos, tenemos dos condiciones para dos incógnitas: 1 a1 r2 9 1 a1 r4 81 1 Despejamos a 1 en la 2ª ecuación: a 1 81 r 4 Sustituimos este valor en la otra ecuación: 1 1 r2 9 81 r 4 r4 9 81 r2 1 r4 2 9 1 2 r 9 1 1 r 9 3 Sustituimos este valor de r para hallar a 1 . 1 1 1 a1 1 4 1 1 1 81 81 81 3 1 1 1 a1 1 4 1 1 1 81 81 81 3 Tenemos dos soluciones: 1 a 1 1; r 3 1 a 1 1; r 3 Tareas 05-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 18 19 Halla el primer término y escribe el término general de las siguientes progresiones geométricas. b

b4

20. 25 r

1. 5

El término general es b n b 1 r n 1 b 1 1. 5 n 1 En particular: 20. 25 b 4 20. 25 b 1 1. 5 4 1 20. 25 b 1 1. 5 3 20. 25 b1 6. 0 1. 5 3 Por último el término general es b n 6 1. 5 n 1 Tareas 05-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 19 20 Calcula la suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica en la que a 1 1000 y a 4 8 Hemos de hallar la razón r. El término general es a n a 1 r n 1 1000 r n 1 En particular: 8 a 4 8 1000 r 4 1 8 1000 r 3 8 r3 1000 1 1 r 3 8 3 5 1000 125 n 1 1 Así a n 1000 5 La suma de los cinco primeros términos es: 11

S5

8 5

a5 r a1 r 1

1 5 1 5

1000

8 25

1

8 25

1000 1 5

1

25000 25 5 1 5 5

24992 25 24992 4 24992 5 24992 1 12496 5 5 4 25 25 4 4 10 5 6248 5 1 5 1 1000 1 4 1000 1 8 Tenemos que calcular a 5 1000 5 5 5 625 Tareas 05-12-2013: todos los ejercicios que faltan del 21 22 En un teatro, la primera fila dista del escenario 4. 5 m, y la octava, 9. 75 m. a. ¿Cuál es la distancia entre dos filas? En los teatros la distancia entre las filas de butacas es siempre la misma, luego tenemos una progresión aritmética. Tenemos que

a1

4. 5

a8

9. 75

El término general de una progresión aritmética es a n a 1 n 1 d 4. 5 n 1 d Sabemos que 9. 75 a 8 9. 75 4. 5 8 1 d 9. 75 4. 5 7d 7d 9. 75 4. 5 5. 25 d 0. 75 m es la distancia entre dos filas 7 b ¿A qué distancia del escenario está la fila 17? a 17 4. 5 17 1 0. 75 4. 5 16 0. 75 16. 5 m separan la fila 17 del escenario. Tareas 11-12-2013:23,24,25 26 Un tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada cuarto de hora, ¿Cuántas bacterias habrá después de seis horas? En principio 6 h 6 60 360 min Tenemos 360 15 24 cuartos de hora en 6 h En el primer instante tengo a 1 1 bacterias Pasado el primer cuarto de hora, tenemos a 2 2 bacterias Pasado el segundo cuarto de hora, tenemos a 3 2 2 4 bacterias. Pasado el tercer cuarto de hora, tenemos a 4 4 2 8 bacterias. Se trata de una progresión geométrica

a1

1

r

2

El término general será a n a 1 r n 1 1 2 n 1 2 n 1 En el cuarto de hora veinticuatro habrá a 25 2 25 1 2 24 16 777 216 bacterias. Tareas 11-12-2013:27,28 29 Una bola que rueda por un plano inclinado recorre 1 metro durante el primer segundo, 4 metros durante el segundo, 7 metros durante el tercero, y así durante 10 segundos. ¿Qué distancia ha recorrido en total? En principio es una progresión aritmética pues de un término al siguiente se pasa sumando tres metros. 1s a1 1 m 2s a2 4 m 3s a3 7 m 4s a 4 10 m El término general es a n a 1 n 1 d 1 n 1 3 1 3n 3 3n 2 m 12

Ahora habría que calcular la suma de los diez primeros términos de una progresión aritmética. a 1 a 10 10 1 28 10 290 S 10 145 m 2 2 2 Nos falta a 10 3 10 2 28 m En total ha recorrido 145 metros. 30 Calcula el número de bloques necesarios para construir una torre como la de la figura de la página 60, pero que tenga 50 pisos. Vamos a ver cúantos bloques hay en cada piso empezando desde arriba: es decir, para nosotros el primer piso es el último y de ahí hacia abajo. 1º a 1 1 2º a 2 5 3º a 3 5 4 9 4º a 4 9 4 13 Esto claramente es una progresión aritmética de primer término 1 y de diferencia 4. El término general es a n a 1 n 1 d 1 n 1 4 1 4n 4 4n 3 Cálculamos la suma de los 50 primeros términos de una progresión aritmética. a 1 a 50 50 1 197 50 198 25 4950 S 50 2 2 Es a 50 4 50 3 197 Hacen falta 4950 bloques. 31 Una pelota cae desde una cierta altura y rebota ascendiendo los 3 de la altura anterior. 4 Después de dar en el suelo por tercera vez, alcanza 54 centímetros. ¿Desde qué altura se dejó caer? ¿Qué distancia recorre hasta el décimo bote? 3 Se trata de una progresión geométrica de primer término a 1 y de razón r 4 Sabemos que a 3 54 cm, que se corresponde con el tercer bote. Como en una progresión geométrica se pasa de un término a otro multiplicando por la razón es: 54 4 a 2 54 3 72 cm es el segundo rebote. 4 3 72 4 a 1 72 3 96 cm es primer rebote. 4 3 Cae desde 96 centímetros. Tenemos que calcular la suma de los diez primeros términos de una progresión geométrica. a 10 r a 1 a 1 r 10 a 1 96 0. 75 10 96 362. 38 S 10 0. 75 1 r 1 r 1 Teniendo en cuenta que la distancia en cada rebote la sube y la baja exceptuando el primer rebote y el último, la distancia recorrida hasta el décimo rebote es: 2S 10 a 1 a 10 2 362. 38 96 7. 2 621. 56 cm 10 1 9 Es a 10 a 1 r 96 0. 75 7. 208 1 7. 2 cm La pelota recorre 621.56 centímetros.

13