TEMA 3. SERIES NUMÉRICAS 3.1 DEFINICIÓN DE SERIE DE NÚMEROS REALES Definición: Dada una sucesión de números reales x n  , se considera una nueva sucesión s n  de la forma : s1  x1 s2  x1  x2 s3  x1  x2  x3 . . s k  s k−1  x k Al par ordenado (x n , s n  se le llama serie infinita o simplemente serie y la 

escribiremos como ∑ x n . n1

- A la sucesión s n  se le denomina sucesión de sumas parciales. - A los x k términos de la sucesión .

- En ocasiones no empezaremos la serie por n  1, sino que será conveniente empezar por n  5, n  0, . . . Aún cuando por lo general los subíndices de los elementos de una serie son los números naturales. Carácter de una serie - Si s n  es convergente, lim s n  s ∈  , n→

diremos que la serie es convergente y s 

será la suma de la serie: ∑ x n  s. n1

- Si s n  es divergente, diremos que −la serie es divergente y su suma será  : 

−

∑ x n   . n1

- Si s n  no tiene límite , diremos que la serie es oscilante. Nota: El carácter de una serie no se altera si se suprime un número finito de sumandos

3.2 SERIES CONVERGENTES. PROPIEDADES Teorema: i Si las series ∑ x n y ∑ y n convergen, entonces la serie ∑x n  y n  converge y su suma será :

∑x n  y n   ∑ x n  ∑ y n ii Si la serie ∑ x n converge y c ∈ , entonces la serie ∑ cx n converge y su suma será :

∑ cx n  c ∑ x n Teorema:(condición necesaria de convergencia) 

Si ∑ x n es convergente lim x n  0 n1

n→

3.3 SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. 

Definición: Se dice que ∑ x n es de n1

términos positivos (o no negativos) si x n ≥ 0, ∀n ∈ ℕ. - Las series de términos negativos se tratan de forma análoga a la de terminos positivos. - Se pueden considerar y tratar como serie de términos positivos aquellas para las que x n ≥ 0, ∀n  N 0. Teorema: Una serie de términos positivos, o es convergente o divergente, no puede ser oscilante. Criterios de convergencia Definición: Dadas dos series de términos 



n1

n1

positivos ∑ x n y ∑ y n , diremos que 



∑ x n es mayorante de ∑ y n , si ∃n 0 ∈ ℕ n1

n1

tal que x n ≥ y n , ∀n ≥ n 0 . 



n1

n1

∑ x n es minorante de ∑ y n , si ∃n 0 ∈ ℕ tal que x n ≤ y n , ∀n ≥ n 0 .

3.3.1 Criterios de comparación Criterio de comparación de la mayorante. 



n1

n1

Sean ∑ x n y ∑ y n series de términos positivos. 





n1

n1

i Si ∑ x n es mayorante de ∑ y n y ∑ x n n1



es convergente ∑ y n es convergente. n1







n1

n1

ii Si ∑ x n es minorante de ∑ y n y ∑ x n n1



es divergente ∑ y n es divergente. n1

Comparación con paso al límite





n1

n1

Sean ∑ x n y ∑ y n dos series de términos positivos con lim yx nn l ∈ 0, . n→ i Si l ≠ 0 y l ≠ , las dos series tienen el mismo carácter, es decir, convergen o divergen simultáneamente. 

ii Si l  0 y ∑ y n es convergente  n1



∑ x n es convergente. n1





n1

n1

Si l  0 y ∑ x n es divergente  ∑ y n es divergente. 



n1

n1

iii Si l   y ∑ y n es divergente∑ x n es divergente. 



n1

n1

Si l   y ∑ x n es convergente∑ y n es convergente.

Serie armónica Definición: Llamamos serie armónica generalizada de orden  ∈  a la serie  ∑ n1 n1

Teorema: (Convergencia de la serie armónica generalizada). 

La serie ∑ 1 converge si   1 y n n1

diverge si  ≤ 1. 3.3.3 Criterio de la raíz 

Sea ∑ x n una serie de términos n1

positivos con n x n  l ∈ 0,  lim n→

Entonces se cumple:



i) Si l  1 ∑ x n es convergente. n1 

ii) Si l  1 ∑ x n es divergente. n1

iii) Si l  1 no se sabe. 3.3.4 Criterio del cociente 

Sea ∑ x n una serie de términos n1

positivos con x n1  l ∈ 0,  lim n→ x n Entonces se cumple: 

i Si l  1 ∑ x n es convergente. n1 

ii Si l  1 ∑ x n es divergente. n1

iii Si l  1 no se sabe.

3.3.4 Criterio de Raabe 

Sea ∑ x n una serie de términos n1

positivos con x n1   l n1 − lim xn n→ Entonces se cumple: 

i Si l  1 ∑ x n es convergente. n1 

ii Si l  1 ∑ x n es divergente. n1

iii Si l  1 no se sabe. 3.4 Series alternadas Definición: Diremos que una serie de términos reales es alternada si sus sumandos son alternativamente positivos y negativos . Es decir si x n  x n1  0 ∀n ∈ ℕ. Nota 1: La forma más común de

presentar una serie alternada es ∑−1 n1 x n ó ∑−1 n x n con x n  0. Nota 2: La serie ∑ x n también puede considerarse alternada si x n  x n1  0, ∀n  n 0 . Criterio de Leibnitz 

Sea ∑ −1 n1 x n una serie alternada. Si n1

la sucesión de términos positivos x n  verifica: i lim x n  0 n→

ii x n1 ≤ x n ∀n (monótona decreciente). Entonces la serie alternada es convergente. Nota1: Observar que las condiciones para aplicar el criterio son dos, no hay que olvidar la monotonia. 1 . . Ej: 1 − 1  1 − 12 . . . . . . .  1 − n 5 5n 1 2 5

Esta serie es divergente aunque su término general tienda a cero. Falla la monotonía. Nota 2: El criterio de Leibnitz es una condicion suficiente pero no es necesaria. 1 1 − Ej: 13 − 12  13 − 12 . . .  2 3 4 2n − 1 3 2n 2 1 Esta serie es convergente , aunque no sea monótona. 3.5 SERIES DE TÉRMINOS ARBITRARIOS.CONVERGENCIA ABSOLUTA Definición: Una serie de términos arbitrarios, es aquella que no es necesariamente ni de términos positivos ni alternada. Definición: Diremos que una serie ∑ x n es absolutamente convergente si ∑|x n |

es convergente. Teorema: Si una serie ∑ x n es absolutamente convergente, entonces es convergente. Nota: El teorema anterior es una estrategia a seguir cuando intentamos estudiar el carácter de una serie de términos arbitrarios. Estudiamos previamente ∑|x n | que es de términos positivos y que por tanto tenemos los criterios para deducir su carácter. Definición: Una serie es condicionalmente convergente cuando es convergente pero no absolutamente convergente. 1. Criterio de Dirichlet. 

La serie ∑ x n y n es convergente si se n1

cumple:

i La sucesión de sumas parciales



de ∑ x n está acotada. n1

ii) y n  es una sucesión monótona decreciente con lim y n  0 n→

2. Criterio de Abel. 

La serie ∑ x n y n esconvergente si se n1

cumple: 

iLa serie ∑ x n es convergente. n1

ii y n  es una sucesión monótona y acotada. 3.6 SUMA DE SERIES 3.6.1 Series aritmético -geométricas Son de la forma:



∑ Pnr n n0

Donde Pn es un polinomio de grado mayor o igual que 1 y r es la razón. Será convergente cuando ∣ r ∣ 1. La suma se obtiene de forma similar a las geométricas. 3.6.2 Series hipergeométricas an  b Son la que cumplen xxn1  an  c n donde a, b, c ∈ , a ≠ 0. Son convergentes cuando c − b  a. x1c Su suma vale S  c−a−b 3.3.3 Series cuyo término general es Pn . de la forma n  k! Se hace la descomposición en fracciones simples del término general (en p  1) y

entonces a partir de la fórmula 

∑

1  1  1  1  1 . . . .  1 . .  e n! 1! 2! 3! n!

n0

se suman todas las series. 3.3.4 Series telescópicas. 

La serie∑ x n es telescópica si su n0

término general se puede poner de la forma. x n  y n − y n1 donde y n es otra sucesión. La serie será convergente cuando lim y n  l n→



En este caso ∑ x n  x 1 − l. n0

3.3.5 Series de Stirling Son aquellas cuyo término general es el cociente de dos polinomios de la forma:

Pn xn  Qn donde Pn es un polinomio de grado p y Qn es un polinomio de grado m ≥ p  2. Pn xn  n  b 1 n  b 1  b 2  . . . n  b 1  b m  donde b 1 ∈ , b 2 , b 3,........., b m ∈ ℤ. Se hace la descomposición en fracciones simples y al identificar coeficientes llegamos a que: a 0  a 1 . . . . . . . . a m  0. Una vez hecho esto se suman las series de las fracciones.