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I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas
TEMA 3. TRIGONOMETRÍA Definiciones:
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
Seno
0
1
0
-1
0
Coseno
1
0
-1
0
1
Tangente
0
1
Teorema del seno:
Teorema del coseno:
FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS. Fórmulas elementales:
Tema 3. Trigonometría
0
0
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Suma y resta de ángulos:
Fórmulas del arco doble:
Fórmulas del arco mitad:
Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:
1. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41°. Resolver el triángulo. (El ángulo recto es C) 2. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54°. Resolver el triángulo. (El ángulo recto es C) 3. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo. (El ángulo recto es C) 4. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo. (El ángulo recto es C) 5. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54°. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.
Tema 3. Trigonometría
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6. Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60°. ¿Cuánto mide la altura del paralelogramo? ¿Y su área? 7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos. 8. Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos. 9. Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40°. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable? 10. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60°. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80°. Halla la altura de la torre. 11. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento. 12. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla? 13. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70° 14. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°. 15. La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita 16. Halla la altura de la montaña:
17. Sabiendo que HC = 650 m., A = 24° y B = 36°, halla AB.
Tema 3. Trigonometría
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Halla los ángulos que cumplen las siguientes condiciones: 1. Si sen ( ) = 0,35, y 90 , halla tg( ). 2. Si cos ( ) = 0,25 y 270 360 , halla . 3. Si tg ( ) = -1,4 y 90 180 , halla sec ( ). 4. Si sen ( ) = 0,43 y 90 180 , halla sec ( ). 5. tg ( ) = 2 y 180 270 , halla . 6. tg( ) = -3 y 270 360 , halla cos ( ). 7. sec( ) = -2 y 180 270 , halla sen ( ). 8. ctg( ) = 0,222 y 0 90 , halla cosec( ). 9. Si sen ( ) = -0,21 y 3er cuadrante, halla tg ( ). 10. Si ctg( ) = 0,38 y 3er cuadrante, halla sec ( ).
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Resuelve los siguientes triángulos no rectángulos:
1. En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65° y el ángulo en C es de 80°. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio? 2. Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspondiente al vértice en el que está Sara es de 25° y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 140°. ¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo? 3. Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 20 m y 15 m, respectivamente. El ángulo comprendido entre estos dos lados es de 70°.Si deseáramos vallar la finca, ¿cuántos metros de valla necesitaríamos? 4. Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110°. Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro? 5. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°. 6. Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50°, y el ángulo en A es de 75°. ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ? 7. Una rampa de 40 m. de longitud y 10° de inclinación conduce al pie de una estatua. Calcula la altura de ésta sabiendo que en el inicio de la rampa el ángulo de elevación del punto más alto de la estatua es de 15°.
8. Halla la distancia ente X e Y:
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9. ¿A qué altura se encuentra el OVNI?
10. ¿Cuál será la altura máxima del puente?
11. Entre los puntos A y B de la figura hay un barranco. Se sabe que AP=114 m , BP=100m y APB=50°. Halla la distancia entre A y B
12. Si AB=700 m, halla la distancia entre el pico I y el pico II.
13. ACD=80°, BCD=43°, BDC=32° y ADC=23°. Halla AB.
Tema 3. Trigonometría
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14. Halla la altura de la torre si OPA=67°, OQA=70°, OQB=66° y PQ=12,5 m.
15. La torre de Pisa forma un ángulo de 8,3° con la vertical. El ángulo de elevación desde el punto A hasta la parte superior de la torre es de 42° cuando la sombra proyectada es de 28 m. Halla al altura de la torre y la distancia BC, que es su longitud.
16. Las diagonales de un rectángulo se cortan formando un ángulo de 60°. Uno de sus lados mide 6 cm. Halla la longitud del otro. 17. Una milla náutica es la longitud del arco de meridiano terrestre correspondiente a un ángulo de 1’. ¿Cuántos kilómetros mide aproximadamente? 18. Calcula la distancia de la Tierra a la Luna sabiendo que el radio de la Luna es de 1789 km y el ángulo bajo el que se la ve desde la Tierra es de 32’. 19. Halla la longitud de una circunferencia de latitud 41°N. (Radio de la Tierra = 6370 km)
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Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas: 1.
sen( ) sen(2 ) tg( ) 1 cos( ) cos(2 )
2.
cosec( ) sen( ) 1 ctg²( )
3.
2 sec²( ) cos(2 ) sec²( )
4.
2ctg( ) sen(2 ) 1 ctg²( )
5.
1 cos(2 ) tg²( ) 1 cos(2 )
6.
sen( )·sen( ) sen2 ( ) sen2 ( )
7.
cos( )·cos( ) cos2 ( ) sen2 ( )
8.
cos( ) cos( ) tg( ) sen( ) sen( )
9.
2tg 1 tg 2 sen2
10.
1 2 cos2 4sen2 ( ) 1
11.
1 cos( ) sen( ) sen( ) 1 cos( )
12.
sec2 ( ) cos2 ( ) tg 2 ( ) sen2 ( )
13.
sen( ) tg( ) tg( ) cos( )·cos( )
14.
sec( ) cos( ) tg³( ) cosec( ) sen( )
15.
cos( ) tg( ) ctg( ) sec( ) cos( )·tg( )
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sen( ) tg( ) 1 cos( ) 2
16.
17.
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
13. 14.
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Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: 1.
2.
3.
4.
5.
Otros ejercicios
1. Halla la altura del “Árbol Gordo”
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2. En la fuente de “La Plazuela” halla la distancia d:
3. Halla la distancia ”d” entre el “Árbol gordo” y el extremo del poste de las cámaras.
4. En el Castillo halla la altura de la torre superior:
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5. Calcula la altura, h, de la figura :
6. Calcula la distancia que separa el punto A del punto inaccesible B.
7. Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.
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8. Halla la altura de la capilla de Cerralbo:
9. Halla la altura h:
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10. Halla la superficie del triángulo formado prolongando los lados de la Glorieta:
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