TEMA 4

Ejercicios / 1

TEMA 4: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES. 1. Tenemos un sistema homogéneo de 5 ecuaciones y 3 incógnitas: a. ¿Es posible que sea incompatible?. ¿Por qué? b. ¿Es posible que sea compatible determinado?. ¿Por qué? c. ¿Es posible que sea compatible indeterminado con grado de indeterminación dos?. ¿Por qué?

SOLUCIÓN: a. No es posible, porque un sistema homogéneo siempre es compatible. b. Si, porque el rango de la matriz de coeficientes , puede ser 3. c. Si, porque el rango de la matriz de coeficientes puede ser 1 (todas las filas proporcionales), y en tal caso el sistema sería compatible indeterminado, con grado de indeterminación 2.

2. Discute según el valor de a y resuelve en los casos de compatibilidad el sistema siguiente: −8x − 2y + 4z = −4 x − 5y − 2z = −9 4x + y − 2z = a

SOLUCIÓN: −8 −2 4 La matriz del sistema será:

−5 −2

1

−4 −9

4 1 −2 a Si calculamos el determinante de la matriz de coeficientes, tendremos: −8 −2 4 1

−5 −2

4

1

= −80 + 4 + 16 + 80 − 16 − 4 = 0

−2

Como hay menores 2x2 distintos de cero, el ranA = 2 (Independientemente del valor del parámetro a) En cuanto al rango de la matriz ampliada: −8 −2 Partiendo del menor ≠ 0 y orlando, tenemos los menores de orden tres siguientes: 1 −5

Isabel Rodríguez Fernández

TEMA 4

Ejercicios / 2

−8 −2 4 1

−5 −2

4

1

=0

−2

−8 −2 −4 1

−5 −9

= 42a − 84 = 0  a = 2

4 1 a Luego los casos a discutir serán: • Si a ≠ 2  • Si a = 2 

ranA|b = 3 ranA = 2 ranA|b = 2 ranA = 2

SISTEMA INCOMPATIBLE (SI) SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (SCI) −8 −2

= 42 ≠ 0, 1 −5 eliminamos en el sistema la última ecuación, por ser combinación lineal de las dos primeras, y a ”z” lo tomamos como parámetro en las soluciones. Tenemos: −8x − 2y = −4 − 4λ −8x − 2y + 4z = −4 z=λ x − 5y = −9 + 2λ x − 5y − 2z = −9 Resolvemos utilizando la regla de Cramer: −4 − 4λ −2

Para resolver el sistema en este último caso, como tenemos el menor

x=

y= z=λ

−9 + 2λ −5 42 −8 −4 − 4λ 1

−9 + 2λ 42

= 2 + 24λ = 1 + 4 λ 7 42 21 = 76 − 12λ = 38 − 2 λ 7 42 21

3. Discute e indica cómo se resuelve, en los casos en que sea posible, el sistema siguiente según los valores de a x+y−z = a−2 ax − 3y + z = 3a + 1 3x − ay + z = 3a + 1

SOLUCIÓN:

Isabel Rodríguez Fernández

TEMA 4

Ejercicios / 3

1 1 La matriz del sistema es A|b =

−1

a−2

a −3 1

3a + 1

3 −a 1 3a + 1 Empezamos calculando el determinante de la matriz A: |A| = −3 + a 2 + 3 − 9 + a − a = a 2 − 9 = 0  a = ±3 Los casos que se presentan son: • Si a ≠ ±3  |A| ≠ 0 

ranA = 3 ranA|b = 3

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

(SCD). Para resolver utilizamos la regla de Cramer: a − 2 1 −1 3a + 1 −3 1 x=

3a + 1 −a 1

2 = −13a +2 4a + 3 = 4a − 1 a+3 a −9

a −9 1 a − 2 −1 2

a 3a + 1 1 y=

3 3a + 1 1

2 = −4a +2 13a − 3 = − 4a − 1 a+3 a −9

a −9 1 1 a−2 2

a −3 3a + 1 z=

3 −a 3a + 1

2 3 = 9a − 182+ 2a − a = −a + 2 a −9

a −9 2

• Si a = 3

1 1 La matriz ampliada es A|b =

−1

3 −3 1

1 10

3 −3 1 10 Como podemos crompobar las dos últimas filas son iguales luego a efectos del rango podemos suprimir la tercera fila y comprobamos que: ranA = 2 SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (SCI). ranA|b = 2 Para resolverlo, nos quedamos con las dos primeras ecuaciones del sistema (la tercera es igual a la segunda), y tomamos a ”z” como parámetro. x+y = 1+λ x+y−z = 1 z=λ 3x − 3y = 10 + λ 3x − 3y + z = 10 Según la regla de Cramer: 1+λ 1 x=

10 + λ −3 −6

= −13 − 4λ = 13 + 2 λ −6 6 3

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TEMA 4

Ejercicios / 4

1 1+λ 3 10 + λ y= −6 z=λ • Si a = −3

= 7 − 2λ = − 7 + 1 λ −6 6 3 1

La matriz ampliada es: A|b =

1

−1

−3 −3 1

−5 −8

3 3 1 −8 Como en la matriz A hay dos columnas iguales (la primera y la segunda), el rango de A es menor de 3. 1 −1 ≠ 0, tenemos que el ranA = 2 Como por otro lado el menor −3 1 En cuanto a la matriz ampliada, si analizamos el menor de orden 3 1 −1 −5 −3 1 −8 = 78 ≠ 0, luego ranA|b = 3 3 1 −8 Por tanto al ser ranA ≠ ranA|b, el sistema es INCOMPATIBLE.

4. En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, det (M)=0. ¿Puede tener solución el sistema?. ¿Se puede aplicar la regla de Cramer?. Razona las respuestas.

SOLUCIÓN: Si |M| = 0, entonces el rango de la matriz M (matriz de coeficientes), no será el máximo, pero el sistema puede ser COMPATIBLE, ya que el rango de la matriz ampliada puede ser igual al rango de la matriz de coeficientes. Si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, pero menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo podemos utilizar la regla de Cramer: Si el valor de los rangos de M y M|b es r, entonces existirá en la matriz M, un menor de orden r distinto de cero. Las ecuaciones que no intervienen en este menor, las eliminamos (son combinación lineal de las r ecuaciones del menor), y las incógnitas cuyos coeficientes no estén en el menor de orden r distinto de cero, las tomamos como parámetros. De esta forma el menor de orden r será la matriz de coeficientes, del sistema equivalente al inicial, obtenido por el procedimiento que acabamos de exponer, dicho sistema será de Cramer y por tanto podremos utilizar la regla de Cramer para resolverlo.

5. Discute las soluciones de los siguientes sistemas aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius y resuelve mediante la regla de Cramer cuando sean compatibles:

Isabel Rodríguez Fernández

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Ejercicios / 5

x + 2y − 4z = 1 a.

2x − y − 5z = −1 x − y − z = −2 2x + 10y − 8z + 6t = 2

b.

x−y+z−t = 2 x + 15y − 12z + 9t = 0 x − 5y + z = 4 2x + y − z = 1

c.

x + 6y − 2z = −3 4x − 9y + z = 9 x − 16y + 4z = 8

SOLUCIÓN: a. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. Solución: x = −3, y = 0, z = −1 b. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO Solución: x = 3 , y = 2λ + 3 , z = 2λ + 2, t = λ 2 2 c. SISTEMA INCOMPATIBLE

6. Dado el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas x + 2y + z = 3 ax + a + 3y + 3z = 1 donde a es un parámetro, se pide: a. Estudia si para algún valor de a el sistema es incompatible b. Para cada valor del parámetro a, para el que el sistema sea compatible, escribe la expresión general de todas sus soluciones.

SOLUCIÓN: La matriz ampliada es: A|b = Si los menores

1 2

1

3

a a+3 3

1

1 1

se anulan a la vez, el rango de la matriz A será 1. Si a a+3 a 3 alguno de los menores es distinto de cero el rango será 2. Como: 1 2 = −a + 3 = 0  a = 3 a a+3

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y

1 2

TEMA 4

Ejercicios / 6

1 1 a 3 Luego:

= 3−a = 0  a = 3

• Si a ≠ 3 existirán menores de orden dos no nulos, luego el rango de la matriz A será dos y el de la matriz ampliada también (el número de incógnitas 3). El sistema será COMPATIBLE INDETERMINADO y la solución será: x + 2y = 3 − λ x + 2y + z = 3 z=λ ax + a + 3y = 1 − 3λ ax + a + 3y + 3z = 1 3−λ x=

2

1 − 3λ a + 3 −a + 3 1 3−λ

3a + 7 + λ−a + 3 = 3a + 7 − λa + 3λ = = 3a + 7 + λ −a + 3 −a + 3 −a + 3

a 1 − 3λ 1 − 3a − λ−a + 3 = 1 − 3λ − 3a + λa = = 1 − 3a − λ y= −a + 3 −a + 3 −a + 3 −a + 3 z=λ • Si a = 3 los dos menores de orden dos son nulos, luego el rango de la matriz A es 1. En cuanto a la matriz ampliada el menor formado por las columnas tercera y cuarta es 1 3 = −8 ≠ 0 distinto de cero 3 1 Luego el rango de la matriz ampliada es 2. Como ranA ≠ ranA|b el sistema es INCOMPATIBLE

7. Discute y resuelve, en los casos en que sea posible, el sistema: x + my + z = m + 2 x + y + mz = −2m + 1 mx + y + z = m

SOLUCIÓN: La matriz ampliada es A|b =

1 m 1

m+2

1 1 m

−2m + 1

m 1 1 m Si calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: |A| = 1 + 1 + m 3 − m − m − m = m 3 − 3m + 2 = 0 Para resolver esta ecuación descomponemos en factores el polinomio pm = m 3 − 3m + 2 y obtenemos m 3 − 3m + 2 = m + 2m − 1 2

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Ejercicios / 7

Las soluciones de la ecuación m + 2m − 1 2 = 0, son m = −2 y m = 1 • Si m ≠ −2 y m ≠ 1  |A| ≠ 0 

ranA = 3 ranA|b = 3

SISTEMA COMPATIBLE

DETERMINADO La solución del sistema en este caso será: m+2 m 1 −2m + 1 1 m x=

m

1 1

m + 2m − 1 2 1 m+2 1

2 3 mm + 2m − 1 = −2m + m + m 2 = = m 2 m−1 m + 2m − 1 m + 2m − 1

1 −2m + 1 m y=

m m

1

m + 2m − 1 2 1 m m+2

2 3 m − 1m + 2 2 = −4 + 3m + m 2 = = m+2 2 m−1 m + 2m − 1 m + 2m − 1

1 1 −2m + 1 z=

m 1 m

m + 2m − 1 • Si m = −2 La matriz ampliada es:

2

2 3 −2m − 1m + 2m + 1 −2m + 1 = 2m + 4 − 4m − 2m = = 2 2 m−1 m + 2m − 1 m + 2m − 1

A|b =

1

−2 1

1

1

−2 1

0

−2

2

1

−2

El rango de la matriz A tiene que ser menor de 3 (|A| = 0). Como el menor 1 −2 = 3 ≠ 0, podemos afirmar que ranA = 2. 1 1 En cuanto al rango de la matriz ampliada, como

1

−2 0

1

1

−2 1

2

= 0, tendremos que

−2

ranA|b = 2 ranA = 2

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO ranA|b = 2 Para encontrar la solución en este caso, trabajamos con el sistema equivalente:

Por tanto

x − 2y + z = 0 x + y − 2z = 2 Tomando a z como parámetro de la solución z = λ

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Ejercicios / 8

x − 2y = −λ x + y = 2 + 2λ La solución del sistema es: −λ −2 x=

2 + 2λ 1 3 1 −λ

= 3λ + 4 = 4 + λ 3 3

1 2 + 2λ = 2 + 3λ = 2 + λ y= 3 3 3 z=λ • Si m = 1 La matriz ampliada es: A|b =

1 1 1

3

1 1 1

−4

1 1 1

1

Como las tres filas de la matriz A son proporcionales el ranA = 1. Como en la matriz ampliada hay dos columnas no proporcionales el ranA|b = 2 Por tanto el sistema es INCOMPATIBLE.

8. Discute el siguiente sistema según los valores de m y n x + my − z = m 2x − y + nz = n

SOLUCIÓN: La matriz del sistema es 1 m

A|b =

−1

2 −1 n

Si en la matriz A|b se anulan los menores

1 m

m n

y

1 −1

2 −1 2 n alguno de ellos es distinto de cero, el rango de A será 2. Como 1 m 2 −1 1 −1 2 n

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el rango de A será 1, y si

= −1 − 2m = 0  m = − 1 2 = n + 2 = 0  n = −2

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Ejercicios / 9

Tendremos: • Si m = − 1 y n = −2 2 La matriz ampliada será A|b =

1 −1 2 2 −1

−1 −2

−1 2 −2

El ranA = 1 (las dos filas de A son proporcionales) El ranA|b = 2 (las dos filas de la ampliada no son proporcionales, el menor −1 − 1 2 ≠ 0) −2 −2 Luego SISTEMA INCOMPATIBLE • Si m ≠ − 1 2 En este caso, tanto si n = −2 como si n ≠ −2, tendremos que el ranA = 2 El rango de la ampliada será por tanto también ranA|b = 2 Luego SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO • Si n ≠ −2 En este caso, tanto si m = − 1 como si m ≠ − 1 , tendremos que el ranA = 2 2 2 El rango de la ampliada será por tanto también ranA|b = 2 Luego SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

9. Dado el sistema homogéneo 2x − my + 4z = 0 x + y + 7z = 0 mx − y + 13z = 0 Calcula m para que tenga solución distinta de la trivial. Resuelve el sistema para estos valores de m. SOLUCIÓN:

10. Halla m para que el sistema lineal homogéneo y + 2z = 0 3y + z = 0 my + z = 0 tenga soluciones distintas de la trivial y resuelve el sistema en ese caso.

SOLUCIÓN: La matriz ampliada es

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Ejercicios / 10

A|b =

1 2

0

3 1

0

m 1

0

1 2

≠ 0) independientemente del valor de m 3 1 Por tanto, independientemente del valor del parámetro m, el sistema es siempre compatible determinado y la única solución es y = z = 0

El rango de A es 2 (

11. Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema: 2y − z = a 3x − 2z = 11 y+z = 6 2x + y − 4z = a

SOLUCIÓN: La matriz ampliada es

A|b =

0 2 −1

a

3 0 −2

11

0 1 1

6

2 1 −4

a

0 2 −1 Como

3 0 −2

= −9 ≠ 0  ranA = 3

0 1 1 El rango de la ampliada depende de su determinante 0 2 −1 a 3 0 −2 11 0 1 1

6

= 2a − 12 = 0  a = 6

2 1 −4 a Luego: • Si a = 6  ranA|b = 3 = ranA SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Resolvemos en tal caso el sistema equivalente al inicial

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Ejercicios / 11

2y − z = 6 3x − 2z = 11 y+z = 6 La solución es: 6 2 −1 11 0 −2 x=

6

1 1

−9 0 6 −1

= −45 = 5 −9

3 11 −2 y=

0 6

1

−9 0 2 6

= −36 = 4 −9

3 0 11 0 1 6

= −18 = 2 −9 ranA|b = 4 • Si a ≠ 6  SISTEMA INCOMPATIBLE ranA = 3 z=

−9

12. Estudia, según los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones: ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1 SOLUCIÓN:

13. Dado el sistema siguiente: kx + 2z = 0 ky − z = k x + 3y + z = 5 Halla los valores de k: • Para que el sistema sea incompatible. • Para que el sistema sea compatible indeterminado. SOLUCIÓN:

14. Calcula el valor de a, para que el sistema homogéneo que sigue admita otras soluciones distintas de la trivial:

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Ejercicios / 12

x + ay − z = 0 a.

x − 2y + z = 0 12x − 3y − 2z = 0 2x − 5y + 3z = 0

b.

x−y+z = 0

3x + ay + z = 0 SOLUCIÓN:

15. Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: x+y+z = 1 a. x − 2y + 3z = 2 x+z = 5 x+y = 2 b.

x + 3y = 4 2x + 4y = 7 x+y = 1 x+z = 2

c.

x+y+z+t = 4 x + 2t = 1 4x + 2y + 2z + 3t = 8

d.

x+y+z = 1 x + 3y = 2 x+y+z = 0

e.

x−y = 0 x + 3y + 2z = 0

SOLUCIÓN: a. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. La solución es x = 21 , y = −4, z = − 11 2 2 b. SISTEMA INCOMPATIBLE c. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO La solución es x = − 1 , y = 4 , z = 7 , t = 2 3 3 3 3 d. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO La solución es x = 1 − 3λ , y = 1 + λ , z = λ 2 2 e. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

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Ejercicios / 13

La solución es x = −λ , y = −λ , z = λ 2 2

16. Discute en función de k y resuelve en los casos en que sea posible: x − y + 2z = 3 a. kx + 5y − 4z = 1 3x + 2y − z = 1 x + 2y + z = k + 2 b.

x + y + kz = −2k + 1 kx + y + z = k kx + y + z = 1

c.

x + ky + z = k

x + y + kz = k 2 SOLUCIÓN:

17. Determina los valores de a y b que hacen compatible el sistema y calcula la solución x − by + z = 0 x+y−z = 0 2x + y + z = 0 ax − 2y − 5z = 0

SOLUCIÓN: Como el sistema es homogéneo, independientemente de a y de b es siempre compatible La matriz del sistema es 1 −b 1 A|b =

1 1

−1

0

2 1

1

0

a −2 −5 1 1

0

0

= −1 ≠ 0, el rango de A|b dependerá de los dos menores 3x3 que 2 1 podemos formar orlando el menor anterior 1 −b 1 1 1 −1 = 1 + 1 + 2b − 2 + 1 + b = 3b + 1 = 0  b = − 1 3 2 1 1

Como el menor

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Ejercicios / 14

1 1

−1

2 1

1

a −2 −5

= −5 + 4 + a + a + 2 + 10 = 2a + 11 = 0  a = − 11 2

• Si a = − 11 y b = − 1  ranA = 2 = ranA|b SISTEMA COMPATIBLE 2 3 INDETERMINADO Resolvemos el sistema equivalente formado por la 2 a y 3 a ecuación x+y−z = 0 2x + y + z = 0

z=λ

x+y = λ 2x + y = −λ

La solución es: λ 1 x=

−λ 1 −1 1 λ

= 2λ = −2λ −1

2 −λ = −3λ = 3λ y= −1 −1 z=λ • Si a ≠ − 11 ó b ≠ − 1  ranA = 3 = ranA|b SISTEMA COMPATIBLE 3 2 DETERMINADO La solución es x = y = z = 0

1. Determina a para que el sistema sea compatible y calcula la solución 2y − z = a 3x − 2z = 11 y+z = 6 2x + y − 4z = a SOLUCIÓN:

2. Determina si el siguiente sistema es compatible o incompatible: x+y = 5 x+z = 6 y+z = 7 x + y + 2z = 13 2x + y + z = 13 2x + y + z = 11

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Ejercicios / 15

SOLUCIÓN: La matriz ampliada es

A|b =

1 1 0

5

1 0 1

6

0 1 1

7

1 1 2

13

2 1 1

13

2 1 1

11

1 1 0 ≠ 0)

El rango de la matriz A es 3 ( 1 0 1

0 1 1 Para calcular el rango de la matriz ampliada, orlamos sucesivamente este menor con la 4 a columna y las filas 4 a , 5 a y 6 a , hasta obtener un menor 4x4 distinto de cero: 1 1 0 5 1 0 1 6 0 1 1 7

=0

1 1 2 13 1 1 0 5 1 0 1 6 0 1 1 7

= −4 ≠ 0

2 1 1 13 Como existe un menor 4x4 distinto de cero el rango de la matriz ampliada es 4. Por tanto el sistema es INCOMPATIBLE.

3. Discute y resuelve el sistema según los valores de los parámetros x+y = a 3x − y = a − b x−y = 4

SOLUCIÓN: La matriz ampliada es 1 1 A|b =

a

3 −1 a − b 1 −1 4

El rango de A es 2 ya que sus dos columnas son linealmente independientes.

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Ejercicios / 16

El rango de la matriz ampliada puede ser 3, depende del valor de su determinante |A|b| = −4 − 3a + a − b + a + a − b − 12 = −2b − 16 = 0  b = −8 • Si b ≠ −8  ranA|b = 3 Como el rango de A es 2 el sistema será INCOMPATIBLE • Si b = −8  ranA|b = 2 Como el rango de A es 2 el sistema será COMPATIBLE DETERMINADO Resolvemos el sistema equivalente x+y = a



x−y = 4 y = a −2 2 x = a−y = a− La solución es:

a −2 2

x+y = a 2y = a − 4

= a +2 2 x = a +2 2 a −2 y= 2

4. Dado el sistema de ecuaciones lineales x+y = 1 ty + z = 0 x + 1 + ty + tz = t + 1 Determina t de modo que: a. El sistema tenga solución única b. El sistema tenga infinitas soluciones c. El sistema no tenga solución SOLUCIÓN:

λx + λy = 1 5. Discute en función de los parámetros λ, μ, v, el sistema de ecuaciones μy + μz = 1 vx + vz = 1

SOLUCIÓN: La matriz ampliada es A|b =

λ λ 0

1

0 μ μ

1

ν 0 ν

1

Si calculamos el determinante de A tendremos:

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Ejercicios / 17

|A| = λμν + λμν = 2λμν • Si λ ≠ 0 y μ ≠ 0 y ν ≠ 0  |A| ≠ 0  ranA = 3 En tal caso será también ranA|b = 3 Luego SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO • Si alguno de los parámetros vale 0, tendremos una ecuación del tipo 0 = 1 luego SISTEMA INCOMPATIBLE

ax − y + z = 2 6. Discute y resuelve cuando sea posible el sistema x + ay − z = 1 x−z = 0 SOLUCIÓN:

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