TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Luis compró 5 cuadernos y 4 plumones y gastó en total $ 84.00. Si la diferencia en el costo del cuaderno y del plumón es de $ 6.00. ¿Cuánto le costó cada cuaderno y cada plumón? ¿Qué harías para resolver este problema? 2

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Si leíste con atención el problema, sabrás que hay 2 incógnitas: el costo de cada cuaderno y el costo de cada plumón. Si representamos con:

c

costo de un cuaderno

p

costo de un plumón 3

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Esta información la podemos traducir al lenguaje de las ecuaciones. 5c + 4p = 84 (5 cuadernos + 4 plumones = 84.00)

c - p = 6 (diferencia entre el costo del cuaderno y del plumón)

El resultado es: un Sistema de Ecuaciones 4

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Un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 consiste en dos ecuaciones de primer grado con dos variables cada una.

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Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las variables que satisfacen simultáneamente dichas ecuaciones.

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Para resolverlo existen varios métodos:  De sustitución De igualación

De suma y resta o Reducción Gráfico Con calculadora  Por determinantes 7

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Veamos cómo resolver el problema anterior utilizando algunos de ellos.  De sustitución  De igualación  De suma y resta o Reducción  Gráfico

 Salir 8

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MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Como su nombre lo indica, consiste en despejar una variable de una ecuación y sustituir en la otra. Escribimos el sistema de ecuaciones 5c + 4p = 84 .......... ecuación 1 c - p = 6 .......... ecuación 2 9

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a) Despejamos la variable “c” (incógnita) de la ecuación 2 utilizando las propiedades de la igualdad. (Se puede despejar cualquier variable de cualquiera de las 2 ecuaciones). c–p=6 c = 6 + p ...... ecuación 3

b) Sustituimos la ecuación 3 en la ecuación 1 5 (6 + p) + 4p = 84 10

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c) Resolvemos la ecuación resultante. 5 (6 + p) + 4p = 84 30 + 5p + 4p = 84 30 + 9p = 84 9p = 84 – 30 9p = 54 p = 54 9

Simplificamos Reducimos Despejamos

p=6 11

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d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación 3. c=6+p c=6+6

c = 12

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e) Comprobamos ambas soluciones, sustituyendo los valores encontrados por las variables en las ecuaciones 1 y 2. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son los correctos. Ecuación 1 5c + 4p = 84 5(12) + 4(6) = 84 60 + 24 = 84 84 84 Nota Idéntico a

Ecuación 2 c+p=6 12 + 6 = 6 6 6 13

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Esto quiere decir que a Luis le costó $ 12.00 cada cuaderno y $ 6.00 cada plumón. De manera general: Para resolver un sistemas de ecuaciones por el método de sustitución se hace lo siguiente. 1) Se despeja cualquiera de las variables en cualquiera de las ecuaciones, generalmente la más sencilla. 14

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2) Se sustituye la variable despejada en la otra ecuación. 3) Se resuelve la ecuación que se obtuvo para encontrar el valor de una variable.

4) Una vez encontrado ese valor se sustituye en la ecuación despejada y se encuentra el valor de la otra variable. 5) Se comprueba el resultado obtenido sustituyendo los valores en las ecuaciones originales. 15

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MÉTODO DE IGUALACIÓN

Consiste en despejar una misma variable de las dos ecuaciones, igualar ambas para obtener una ecuación con una sola variable y resolverla. Tomaremos como referencia el problema de Luis.

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a) Escribimos las dos ecuaciones. 5c + 4p = 84 ....... ecuación 1 c - p = 6 ........ ecuación 2

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b) Despejamos la variable (incógnita) “c” en las 2 ecuaciones. ecuación 1 5c + 4p = 84 5c = 84 – 4p c = 84 – 4p ............. ecuación 3 5 ecuación 2 c-p=6 c = 6 + p ............... ecuación 4 18

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c) Se igualan las 2 expresiones. 84 – 4p = 6 + p 5

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d) Resolvemos la ecuación. 84 – 4p = 6 + p 5 84 – 4p = 5(6 + p) 84 – 4p = 30 + 5p -4p – 5p = 30 – 84 -9p = -54 p = -54 -9 p=6 20

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e) Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones despejadas (inciso b). Generalmente la más sencilla.

c=6+p c=6+6 c = 12

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f) Comprobamos ambas soluciones, sustituyendo en las ecuaciones originales estos valores. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son los correctos. Ecuación 1

Ecuación 2

5c + 4p = 84 5(12) + 4(6) = 84 60 + 24 = 84 84 84

c+4=6 12 + 6 = 6 6 6

Nota

Idéntico a

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Esto quiere decir que a Luis le costó $12.00 cada cuaderno y $6.00 cada plumón. De manera general:

Para resolver un sistema 2x2 de ecuaciones lineales por el método de igualación seguimos estos pasos. 1) Despejamos la misma variable en cada ecuación. 23

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2) Igualamos las expresiones que resultan. 3) Se resuelve la ecuación para obtener el valor de una variable. 4) Se sustituye el valor anterior en cualquiera de las 2 ecuaciones que se despejaron para encontrar el valor de la otra variable. 5) Se comprueban los resultados sustituyéndolos en las ecuaciones originales. 24

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MÉTODO DE SUMA Y RESTA O DE REDUCCIÓN. Se suman o se restan ambas ecuaciones de modo que la expresión resultante tenga una sola variable, se resuelve y se comprueba. Tomando como referencia el problema de Luis, tenemos: 25

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a) Escribimos el sistema de ecuaciones. 5c + 4p = 84 ....... ecuación 1 c – p = 6 ....... ecuación 2

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b) Analizamos las 2 ecuaciones para buscar qué variable es más fácil eliminar, por suma o por resta. Como en este caso la variable “p” tiene signos opuestos, multiplicamos la ecuación 2 por 4 para obtener un sistema equivalente al original en el que se pueda sumar ambas ecuaciones:

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4 (c – p = 6) 4c – 4p = 24

ecuación 2 por 4

Entonces: 5c + 4p = 84 4c - 4p = 24

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c) Cancelamos “p” al sumar miembro a miembro las 2 ecuaciones. 5c + 4p = 84 4c - 4p = 24 9c = 108 d) Resolvemos la ecuación resultante para obtener el valor de la incógnita “c” 9c = 108 c = 12 c = 108 9

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e) Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales (generalmente la más sencilla) y resolvemos. sustituimos en la ecuación 2 c-p=6 resolvemos 12 - p = 6 - p = 6 - 12 -p=-6 -1 (-p = - 6)

p=6 30

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f) Comprobamos las 2 soluciones sustituyéndolas en las ecuaciones originales. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son correctos. Ecuación 1 5c + 4p = 84 5(12) + 4(6) = 84 60 + 24 = 84 84 84 Nota

Idéntico a

Ecuación 2 c-p=6 12 - 6 = 6 6 6

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Esto quiere decir que a Luis le costó $12.00 cada cuaderno y $6.00 cada plumón.

De manera general: En el siguiente diagrama se señalan los pasos para resolver un sistema de 2 ecuaciones por el método de suma y resta o reducción. 32

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¡Es muy fácil! Sólo sigue las flechas y encontrarás la solución

Observa los coeficientes de las variables.

¿Alguna variable tiene coeficientes simétricos?

NO

¿Alguna variable tiene coeficientes iguales?

SÍ Suma las ecuaciones. Resuelve la ecuación que resulte para encontrar el valor de una variable.

SÍ

Resta las ecuaciones.

NO Multiplica una o ambas ecuaciones por un número para obtener coeficientes simétricos en alguna de las variables.

Sustituye la variable conocida por su valor en una de las ecuaciones originales y encuentra el valor de la otra variable.

FIN

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MÉTODO GRÁFICO Resolver gráficamente un ecuaciones lineales con significa encontrar el punto cual se intersectan las 2 punto (x, y) es la solución.

sistema de 2 variables (x, y) en el rectas. Ese

** El método

gráfico se utiliza generalmente para sistemas con soluciones enteras, por motivos de precisión. 34

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Para ver este método recordaremos el problema de Luis:

Compró 5 cuadernos y 4 plumones pagando $84.00. La diferencia de costos entre un cuaderno y un plumón es de $6.00. ¿Cuánto costó cada artículo? 35

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a) Traducimos a lenguaje algebraico esta información. (en este caso x = costo de un cuaderno, y = costo de un plumón). 5x + 4y = 84 ...... ecuación 1 x - y = 6 ...... ecuación 2

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b) Despejamos “y” en las 2ecuaciones Ecuación 1

Ecuación 2

5x + 4y = 84 4y = 84 – 5x y = 84 – 5x 4

x-y=6 -y = 6 – x (-y = 6 – x) (-1) y = -6 + x

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c) Asignamos valores a la “x” en ambas ecuaciones y tabulamos. Se construye una tabla para cada ecuación.

Ecuación 1 y = 84 – 5x 4

Ecuación 2 y=-6+x

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Ecuación 1

y = 84 – 5x 4

x

y

6

13.5

8

11

y = 84 – 5(8)/4 = 84 – 40/4 = 44/4 = 11

10

8.5

y = 84 – 5(10)/4 = 84 – 50/4 = 34/4 = 8.5

12

6

14

3.5

16

1

y = 84 – 5(6)/4 = 84 – 30/4 = 54/4 = 13.5

y = 84 – 5(12)/4 = 84 – 60/4 = 24/4 = 6 y = 84 – 5(14)/4 = 84 – 70/4 = 14/4 = 3.5

y = 84 – 5(16)/4 = 84 – 80/4 = 4/4 = 1 39

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Ecuación 2

y=-6+x

x

y

6

0

y=-6+6=0

8

2

y = -6 + 8 = 2

10

4

y = -6 + 10 = 4

12

6

y = -6 + 12 = 6

14

8

y = -6 + 14 = 8

16

10

y = -6 + 16 = 10 40

TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 16 15 14 13

y

d) Situamos las parejas de cada ecuación en el mismo plano cartesiano.

12 11 10

Ecuación 1

9 8 7

Intersección Punto (12, 6)

6 5 4 3

Ecuación 2

2 1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

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El punto de intersección es (12, 6), esto significa que x=12 y y=6; por lo tanto el costo de un cuaderno (x) es $ 12.00 y el costo de un plumón (y) es $ 6.00.

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Los sistemas pueden ser:

de

ecuaciones

lineales

1) Determinado o compatible: La solución es un punto (x, y), en que las rectas se cortan. Como el caso anterior.

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y

2) Incompatible: No tiene solución, es decir, no hay intersección porque las rectas son paralelas. Ecuación 2

Ecuación 1

x + y = 4 ec. 1 x + y = 6 ec. 2 x 44

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3) Indeterminado o dependiente: Tiene infinitas soluciones, pues las rectas coinciden y en todos los puntos. 3

x -y=3

2 1

x -1

1

2

3

4

5

-1

2x - 2y = 6

-2 -3

x -y=3

2x - 2y = 6 45