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TEMA 5: PROBABILIDAD La probabilidad y la estadística son, sin duda, las ramas de las Matemáticas que están en mayor auge en este siglo, y tienen una tremenda aplicabilidad en todos los aspectos y ciencias, especialmente en las Ciencias Sociales, puesto que aquellas variables que influyen en dichas ciencias, económicas, demográficas, suelen tener carácter aleatorio, es decir, no son deterministas, y se fundamentan en predicciones a partir de datos conocidos. Todo aquello que implique predicción nos lleva al terreno de la probabilidad. 1.1. Experimentos aleatorios En todos los aspectos de la vida a veces nos encontramos con acontecimientos predeterminados, es decir, tales que podemos decir el resultado de dichos acontecimientos antes de que finalice o incluso de que comience. Tal es el caso de: − Tirar una piedra desde un edificio (sabemos que caerá y la trayectoria que seguirá) − Calentar agua (sabemos que la temperatura del agua subirá e incluso llegará un momento en que podría hervir) − Disparar un cañón (sabemos que la trayectoria del proyectil será una parábola, e incluso podemos conocer dónde caerá el proyectil) Tales acontecimientos o experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen se denominan experimentos deterministas. Sin embargo, analicemos otro tipo de experimentos, mucho más interesantes desde el punto de vista matemático. Imaginemos que lanzamos un dado al aire (normal, de 6 caras y no trucado). ¿Podemos predecir el resultado que vamos a obtener? Evidentemente no. Este es un experimento que no es determinista. A este tipo de experimentos, en los cuales no se puede predecir el resultado antes de realizar el experimento se les denomina experimentos aleatorios. Otros ejemplos de experimentos aleatorios pueden ser: tirar una moneda al aire y observar qué lado cae hacia arriba, rellenar una quiniela de fútbol, jugar una partida de póquer y, en general, cualquier juego en el que intervenga el azar. 1.2. Definiciones básicas La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro o relaciones parecidas. Con este fin, introduciremos algunas definiciones. Si realizamos un experimento aleatorio, debemos determinar el conjunto de resultados posibles. A cada uno de ellos se le llama suceso elemental. Llamaremos espacio muestral del experimento al conjunto de todos los posibles resultados de dicho experimento. Al espacio muestral lo representaremos por Ω (o bien por la letra E) Ejemplos: 1. ¿Cuál es el espacio muestral asociado al experimento de lanzar un dado normal al aire y observar la cara que queda arriba? Evidentemente, en este caso hay 6 posibles resultados (6 sucesos elementales) y el espacio muestral estará formado por: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1 /24

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2. ¿Y en el caso del lanzamiento de una moneda? Entonces Ω = {C, X} Ejercicio 1: Escribir el espacio muestral asociado al experimento de sacar una carta de entre las diez del palo de copas de una baraja española. Ejercicio 2: Escribir el espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos dados de diferentes colores y observar la pareja de números que se obtiene. Ejercicio 3: Escribir el espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos dados de diferentes colores y sumar los números que se obtienen. Llamaremos suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral, es decir, a cualquier subconjunto de resultados posibles. Los sucesos se representan mediante letras mayúsculas. El concepto de suceso es fundamental en probabilidad. Dicho de forma simple, un suceso de un experimento aleatorio es cualquier cosa que se nos ocurra afirmar sobre dicho experimento. Así, si tiramos una moneda dos veces, serían sucesos todos los siguientes: − Sale al menos una cara. − Salen más caras que cruces. − No sale ninguna cruz. Decimos que un suceso se verifica al realizar un experimento aleatorio si el resultado obtenido forma parte de dicho suceso. En caso contrario, diremos que no se verifica. Llamaremos suceso imposible a aquel que nunca ocurre. No tiene ningún elemento del espacio muestral y se representa por Ø. Llamaremos suceso seguro al formado por todos los posibles resultados (es decir, al espacio muestral) Llamaremos espacio de sucesos y lo representaremos por S, al conjunto de todos los sucesos asociados a un experimento aleatorio. Ejemplos: 1. En el caso del lanzamiento de la moneda en el que el espacio muestral es Ω = {C, X}, analicemos quién es el espacio de sucesos: − Sucesos con 0 elementos: Ø − Sucesos con 1 elemento: {C}, {X} − Sucesos con 2 elementos: {C, X} = Ω De modo que el espacio de sucesos es: S = {Ø, {C}, {X}, Ω} 2. En el caso del lanzamiento de dos monedas, si haces el diagrama de árbol obtienes el siguiente espacio muestral: Ω = {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)} El espacio de sucesos tiene ahora 16 elementos, que puedes intentar escribir, siguiendo el esquema anterior, desde los sucesos con 0 elementos hasta aquellos que tienen 4 elementos. Si describimos los sucesos que poníamos antes como ejemplos, obtenemos: a) Sale al menos una cara: {(C, C), (C, X), (X, C)} b) Salen más caras que cruces: {(C, C)} c) La moneda cae de canto: Ø d) No sale ninguna cruz: {(C, C)} 2 /24

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3. En el caso del lanzamiento del dado el espacio de sucesos es mucho más amplio (64 elementos. Sería interesante que intentases escribirlos todos o al menos te dieses cuenta de cómo son, aunque no los escribas todos) En este mismo ejemplo, se puede considerar el suceso A = “sacar un número par”. ¿De qué sucesos elementales consta el suceso A? Evidentemente, A = {2, 4, 6}; Otros sucesos pueden ser: B = “Sacar un número mayor que 5” ⇒ B = {6}; C = “Sacar un número par y menor que 5” ⇒ C = {2, 4}. Ejercicio 4: Una urna contiene dentro 4 bolas de las cuales 2 son blancas, 1 roja y otra azul. Se saca una bola de la urna. a) Escribir el espacio muestral. b) Escribir los sucesos “no sacar bola azul” y “sacar bola roja o blanca”. c) Escribir el espacio de sucesos. Propiedad: Si el espacio muestral tiene n elementos, el espacio de sucesos tiene 2n elementos. Ejemplo: En el caso del dado, el espacio muestral tenía 6 elementos y el espacio de sucesos tiene 26 = 64 elementos. En el caso de la moneda, el espacio muestral tenía dos elementos y el espacio de sucesos tiene 22 = 4 elementos. 1.3. Operaciones con sucesos Si realizamos un experimento aleatorio y consideramos varios sucesos A, B, C, etc, asociados a dicho experimento, podemos realizar varias operaciones entre ellos. Los más importantes son: •

Igualdad de sucesos: Dos sucesos A y B son iguales si están compuestos por los mismos elementos. Lo expresaremos por A = B.

•

Intersección de sucesos: Llamaremos suceso intersección de los sucesos A y B, y lo representaremos por A ∩ B, al suceso que ocurre precisamente si ocurren A y B a la vez. El suceso A ∩ B son los elementos comunes a los conjuntos A y B (elementos que están en los dos conjuntos). Ejemplo: Si tiramos un dado, el espacio muestral asociado es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sean los sucesos A = “sacar un nº par”= {2, 4, 6}, y B = “sacar un número entre 2 y 4 (ambos incluidos)” = {2, 3, 4}. El suceso A ∩ B es tal que ocurren A y B a la vez, es decir: A ∩ B = “sacar un nº par y que esté entre 2 y 4 (ambos incluidos)” = {2, 4}. Representado en diagramas de Venn:

Intersección de sucesos: A ∩ B

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•

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Unión de sucesos: Llamaremos suceso unión de los sucesos A y B y lo representaremos por A ∪ B al suceso en el que ocurre A o bien ocurre B o bien ocurren ambos a la vez (también podemos decir que “ocurre alguno de los dos”). Es decir A ∪ B son los elementos que están en ambos conjuntos (aunque no necesariamente en los dos a la vez). Ejemplo: En el caso anterior: A ∪ B = “sacar un nº par o un nº que esté entre 2 y 4 (ambos incluidos)” = {2, 3, 4, 6}. Nota: Observemos que la intersección de dos conjuntos siempre es “menor”que la unión, de hecho es “menor” que el propio conjunto. Escrito matemáticamente: A∩B⊂A∪B ; A∩B⊂A ; A∩B⊂B ; A⊂A∪B ; B⊂A∪B (El símbolo ⊂ significa “contenido”, o que el primer conjunto es un subconjunto del segundo) Representado en diagrama de Venn:

Unión de sucesos: A ∪ B •

Suceso contrario de otro: Dado un suceso A, denominaremos suceso contrario de A y se representará por A (o bien A’ o bien AC) al suceso que tiene por elementos a todos aquellos que no pertenecen a A. Ejemplo: Si tiramos un dado, el espacio muestral asociado es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como antes, los sucesos A = “sacar un nº par” = {2, 4, 6}, por tanto A = {1, 3, 5} y B = “sacar un nº entre 2 y 4 (ambos incluidos)” = {2, 3, 4}, de modo que B ={1, 5, 6}. En un diagrama de Venn:

La parte sombreada es A (Todo lo que no está incluido en A) •

Diferencia de sucesos: Si A y B son dos sucesos, se define el suceso diferencia B − A, como el suceso que consta de los sucesos elementales que están en B pero no están en A. Se cumple que B − A = B − (A ∩ B), y también que B − A = A ∩ B. Ejemplo, si A = {2, 4, 6} y B = {2, 3, 4}, tenemos que B − A = {3}. Representado en un diagrama de Venn:

La parte sombreada es B − A, todos los elementos de B que no estén en A 4 /24

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De todas formas, hemos de ser cuidadosos con esta operación: No se debe confundir con una simple resta como operación numérica, sino que es una diferencia conjuntista, quitar los elementos comunes a dos conjuntos. En ocasiones podremos encontrarnos con sucesos que NO tengan elementos en común. Dos o más sucesos son incompatibles si no pueden verificarse simultáneamente. En caso contrario diremos que son compatibles. Si los sucesos A y B son incompatibles, su intersección se representa con el conjunto vacío: A y B son incompatibles ⇔ A ∩ B = Ø Tres o más sucesos son incompatibles dos a dos si es incompatible cualquier pareja que se pueda formar entre ellos. Ejercicio 5: En una urna tenemos 9 bolas numeradas del 1 al 9. Sacamos una y anotamos su número. Sean los sucesos: A = “sacar un nº primo” y B = “sacar un nº cuadrado perfecto” (por ejemplo 4). Se pide: a) Describir el espacio muestral. b) ¿Cuántos elementos tiene el espacio de sucesos? c) Calcula A ∩ B y A ∪ B. d) ¿Son A y B compatibles o incompatibles? e) Calcula A y B . f) Si C = “sale un número impar”, calcula A ∩ C, B ∩ C, C , A ∪ C, A ∩ C . Propiedades de las operaciones con sucesos: Las operaciones con sucesos tienen las siguientes propiedades, la mayoría de ellas bien conocidas:

Conmutativa Asociativa Idempotente Simplificativa Distributiva Elemento neutro Absorción Complementación Involución

Intersección A∩B=A∩B (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) A∩A=A A ∩ (A ∪ B) = A A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A∩Ω=A A∩Ø=Ø A∩ A =Ø

Unión A∪B=A∪B (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) A∪A=A A ∪ (A ∩ B) = A A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A∪Ø=A A∪Ω=Ω A∪ A =Ω

A =A

Además de estas sencillas propiedades (que se demuestran fácilmente mediante un diagrama de Venn), las operaciones con sucesos tienen otras dos propiedades muy importantes: Leyes de De Morgan: Si A y B son dos sucesos, se verifican: A∩ B = A∪ B y A∪ B = A∩ B Ejercicio 6: Utilizando diagramas de Venn, demostrar las leyes de De Morgan. Ejercicio 7: Luisa y María interviene en un torneo de ajedrez. La primera que gane dos partidas seguidas o tres alternas gana el torneo. Encuentra el espacio muestral con todos los resultados posibles, suponiendo que nunca hacen tablas (Indicación: Utiliza un diagrama de árbol). 5 /24

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Ejercicio 8: Consideramos el fenómeno aleatorio extraer una carta de una baraja de 40 y anotarla. Sean los sucesos A = “sacar oro”, B = “sacar rey”, C = “sacar el rey de bastos”. Determina los sucesos: A ∩ C , A ∩ B ∩ C, A ∪ B ∪ C , A ∪ B Si Ω es el espacio muestral de un experimento aleatorio, los sucesos A1, A2, ..., An forman un sistema completo de sucesos si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: • A1 ∪ A2 ∪... ∪ An = Ω • A1, A2, ..., An son incompatibles dos a dos. Ejemplo: Consideremos el experimento lanzar un dado, y los sucesos A = {1, 3, 5}, B = (2, 4} y C = {6}. − A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω − A∩B=Ø ; A∩C=Ø ; B∩C=Ø

Por tanto los sucesos A, B y C forman un sistema completo de sucesos. 1.4 Concepto de probabilidad 1.4.1 Concepto clásico de probabilidad. Regla de Laplace Hasta el momento hemos descrito lo que es un experimento aleatorio y hemos definido los conceptos básicos asociados a este experimento. Nos falta responder a esta pregunta: ¿cómo asignar probabilidades a cada uno de los sucesos de un experimento aleatorio? Hay muchas maneras de asignar probabilidades. La más sencilla e intuitiva la dio el matemático francés Pierre Simon Laplace (1749-1827), quién enunció la regla que lleva su nombre: Regla de Laplace: Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es: P (A) =

Número de casos favorables al suceso A Número de casos posibles

Ejemplo: Lanzamos un dado normal al aire. Consideramos el suceso A = “sale par”. Calcular P (A). Casos posibles hay 6, pues Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Casos favorables al suceso A = {2, 4, 6}. Por tanto 3 P (A) = = 0,5 6 Nota: La probabilidad siempre es un número positivo y menor, o a lo sumo igual a 1. Es muy común el multiplicar la probabilidad por 100 y expresarla en tanto por ciento. Ejemplo: Al lanzar una moneda equilibrada la probabilidad del suceso A = “salir cara” es 1/2 = 0,5, esto es, un 50 %. Bajo la concepción clásica, las probabilidades tienen las siguientes propiedades: a) La probabilidad de cualquier suceso es un número racional comprendido entre 0 y 1. b) La probabilidad del suceso imposible es 0 y la del suceso seguro es 1. c) Si A y B son dos sucesos incompatibles, entonces la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades. d) La probabilidad de cada resultado es 1/n, siendo n el número de casos posibles.

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El inconveniente que plantea la definición de Laplace es que necesariamente los sucesos elementales tienen que tener la misma probabilidad de ocurrir. Observemos un caso tan sencillo como el siguiente: De una urna que contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea: a) roja b) verde c) amarilla El espacio muestral en este caso sería: Ω = {R, V, A}, que consta sólo de tres elementos, pero sería un poco ingenuo asignar las probabilidades mediante la regla de Laplace, 1 P (R) = P (V) = P (A) = 3 porque ya intuitivamente se ve que hay más posibilidades, por ejemplo, de que salga una bola roja que de que salga una bola amarilla, de modo que ¿cómo asignar probabilidades?

1.4.2 Frecuencias relativas. Ley del azar Consideremos un experimento aleatorio del que realizamos n pruebas independientes (los resultados de una prueba no influyen sobre los resultados de las demás y todas las pruebas se realizan en las mismas condiciones); fijado un suceso A, se denomina frecuencia relativa de A al cociente:

fr (A) =

ν ( A) n

donde ν (A) es el número de veces que ocurre A en esas n pruebas y que recibe el nombre de frecuencia absoluta de A. Empíricamente se suele observar que la frecuencia relativa de un suceso presenta una cierta estabilidad, esto es, oscila alrededor de un valor fijo y las oscilaciones se van haciendo, en general, tanto más pequeñas cuanto más grande es el número n de pruebas. La siguiente figura muestra un ejemplo sobre la variación de la frecuencia relativa del suceso A = “obtener cara” en una sucesión de 500 lanzamientos de una moneda; como se observa, la frecuencia relativa oscila rápidamente principio, pero poco a poco se va haciendo menor la amplitud de las oscilaciones y el gráfico parece sugerir que, si se continuara indefinidamente, la frecuencia relativa alcanzaría un valor límite de 1/2. Este resultado empírico se conoce como ley de la estabilidad de las frecuencias o ley del azar. Desde luego que la experimentación no puede aprobar ni desaprobar una hipótesis de este tipo, puesto que en la práctica no podemos repetir el experimento un número ilimitado de veces, pero la experiencia apoya fuertemente la hipótesis menos precisa de que a cada suceso A relacionado con un experimento aleatorio se le puede asociar un número P (A) de modo que en una larga serie de repeticiones realizadas en condiciones uniformes se tendrá fr (A) ≈ P (A). Desde este punto de vista la probabilidad de un suceso A se considera que es el límite de las frecuencias relativas cuando el número de pruebas tiende a infinito.

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Bajo la concepción frecuentista, las probabilidades tienen las siguientes propiedades: a) La probabilidad de cualquier suceso es un número racional comprendido entre 0 y 1. b) La probabilidad del suceso imposible es 0 y la del suceso seguro es 1. c) Si A y B son dos sucesos incompatibles, entonces la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades. 1.4.3 Definición axiomática de probabilidad. Propiedades Fue el matemático ruso Kolmogorov quién precisó este término: definición axiomática de probabilidad. Una probabilidad P es una función que asocia a cada suceso A del espacio de sucesos S , un número real P (A), es decir: →ℝ P : S  A  → P (A) que cumple las propiedades: 1. P (A) ≥ 0, es decir, cualquier suceso tiene probabilidad positiva o cero. 2. P (Ω) = 1 , es decir, la probabilidad del suceso seguro es 1. 3. Si A y B son incompatibles, es decir A ∩ B = Ø, entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B), es decir, la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades. Sin embargo, comprobar las propiedades de la definición de Kolmogorov es una labor larga y engorrosa, puesto que hay que verificar que se cumple para todos aquellos sucesos del espacio de sucesos S, que es ciertamente amplio en muchas ocasiones. El siguiente resultado simpli.ca la tarea de decidir cuándo una función P sobre el espacio de sucesos es una probabilidad, basándose sólo en los sucesos elementales, es decir, aquellos que forman parte del espacio muestral. Lo enunciaremos sin demostración. Propiedad Si n1, n2, ..., nr son los n sucesos elementales de un suceso aleatorio cualquiera, P una función P : S  → ℝ de modo que cumple las propiedades: • 0 ≤ P (ni) ≤1 ∀ i ∈ {1, 2, ..., n} • P (n1) + P (n2) + . . .+ P (nr) = 1 Entonces P es una probabilidad. Ejemplo: Comprobar si las siguientes funciones definidas para los sucesos elementales son probabilidad, siendo Ω = {a, b, c, d} el espacio muestral del experimento aleatorio: 1 1 1 1 a) P (a) = , P (b) = , P (c) = , P (d) = 2 3 4 5 1 1 1 b) P (a) = , P (b) = , P (c) =0 , P (d) = 4 2 2 a) Es obvio que la primera propiedad se cumple, puesto que las 4 probabilidades son números positivos menores que 1. Para ver si se cumple la segunda, basta realizar la suma: 1 1 1 1 77 P (a) + P (b) + P (c) + P (d) = + + + = 2 3 4 5 60 que evidentemente NO es 1, luego P, NO es probabilidad.

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b) Es obvio que la primera propiedad se cumple, puesto que las 4 probabilidades son números positivos o cero menores que 1. Para ver si se cumple la segunda, basta realizar la suma: 1 1 1 P (a) + P (b) + P (c) + P (d) = + + = 1 4 2 4 luego P sí es probabilidad. Consecuencias de los axiomas a) P (Ø) = 0

Demostración: Puesto que: 1 = P (Ω) = P (Ω ∪ Ø) = P (Ω) + P (Ø) = 1 + P (Ø) entonces P (Ø) = 1 –1 = 0. b) P ( A ) = 1 – P (A) Demostración: Como:

1 = P (Ω) = P (A ∪ A ) = P (A) + P ( A ) entonces P ( A ) = 1 – P (A). Ejemplo: Al lanzar dos monedas equilibradas la probabilidad del suceso A = “obtener al menos una cara” podemos calcularla por el suceso A = “no sacar ninguna cara”, cuya probabilidad es P ( A ) = 174, luego P (A) = 1 – P ( A ) = 1 – 1/4 = 3/4

c) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) Demostración:

Observando el diagrama de la izquierda, por un lado se tiene que: A ∪ B = (A – B ) ∪ B P (A ∪ B) = P (A – B ) ∪ P (B) Por otro lado tenemos que: A = (A – B ) ∪ (A ∩ B) P (A) = P (A – B ) + P (A ∩ B) En consecuencia: P (A ∪ B) = [P (A) – P (A ∩ B)] + P (B) = = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) Ejemplo: Al extraer una carta de una baraja española de 40 cartas, la probabilidad de extraer “un as o una espada” es: 4 10 1 13 P (“as o espada”) = P (“as”) + P (“espada”) – P (“as de espadas”) = + − = 40 40 40 40

En el caso de tres sucesos A, B y C podemos extender esta propiedad de la siguiente manera: P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) – P (A ∩ B) – P (A ∩ C) – P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)

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Ejemplo: Dada una baraja española de 40 cartas, sean A =”sacar una carta de oros”, B =”sacaruna figura” y C = “sacar un as”. Entonces la probabilidad de “sacar una carta de oros, o una figura o un as” es: P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) – P (A ∩ B) – P (A ∩ C) – P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) = 10 12 4 3 1 0 0 22 11 = + + − − − + = = 40 40 40 40 40 40 40 40 20 d) Si A ⊂ B, entonces P (A) ≤ P (B)

Demostración: Observando el diagrama de la izquierda se ve que B se puede poner como la unión disjunta de A y (B – A), esto es: B = A ∪ (B – A). Por tanto: P (B) =P (A) + P (B – A) Ya que la probabilidad de cualquier suceso es siempre mayor o igual que cero, se tendrá que: P (B) =P (A) + P (B – A) ≥ P (A)

Ejemplo: En una baraja española de 48 cartas, el suceso A = “sacar una figura” implica el suceso B = “sacar más de un 6”, pues como las figuras son sota (nº 10), caballo (nº 11) y rey (nº 12) siempre que se saque una figura se saca una carta mayor que 6. Así pues A ⊂ B, y en consecuencia P (A) ≤ P (B). 4·3 1 4·6 1 Efectivamente se cumple que: P (A) = = ≤ P (B) = = 48 4 48 2 e) Regla de Laplace: Si el espacio muestral Ω consta de n resultados que sean sucesos equiprobables, entonces cada uno de ellos tiene una probabilidad de 1/n y la probabilidad de un suceso A, con k resultados favorables, es k/n.

Ejercicio 9: Calcular la probabilidad de obtener al menos un seis si se lanza 4 veces un dado. Ejercicio 10: Se ha encargado la impresión de una encuesta a una imprenta, que imprime 12 folios defectuosos de cada 1000. Hallar la probabilidad de que elegido un folio de la encuesta al azar: a) Esté mal impreso. b) Esté correctamente impreso. Ejercicio 11: Una bolsa contiene 8 bolas numeradas. Se extrae una bola y anota su número. Sean los sucesos A = “salir par”, B = “salir impar”, C = “salir múltiplo de 4”. Calcular las probabilidades de A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C y A ∪ B ∪ C. Ejercicio 12: Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Calcula: a) La probabilidad de que sea un rey o un as. b) La probabilidad de que sea un rey o una copa. c) La probabilidad de que sea un rey y una copa. Ejercicio 13: En el banquete posterior a una boda se sientan en la presidencia 10 personas, entre los cuales se encuentran los novios. Calcular la probabilidad de que los novios estén juntos en el centro de la mesa.

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1.5. Probabilidad condicionada Hasta ahora nos hemos limitado a calcular probabilidades únicamente partiendo de un experimento aleatorio, sin tener más información. Pero, ¿qué ocurre si conocemos alguna información adicional? Supongamos que estamos realizando el experimento aleatorio de lanzar un dado y observar el 1 número que sale. Consideremos el suceso A = “sale un 4”. Evidentemente, P (A) = . 6 Ahora bien, ¿variaría esta probabilidad si al lanzar el dado alguien pasa por allí y nos dice que ha salido un número par? Disponemos entonces de una información adicional, B = {2, 4, 6}. Hemos reducido nuestro espacio muestral, que ahora sólo consta de 3 elementos y tenemos que cambiar las probabilidades asignadas. 1 . 3 Esta es la idea de la probabilidad condicionada. La información adicional, B, modifica la 1 probabilidad de A. Lo expresaremos así: P (A / B) = y se lee “probabilidad de A condicionada a 3 B” o “probabilidad de A conociendo B”.

Ahora el suceso A no tiene una posibilidad entre 6 de ocurrir, sino una entre 3, es decir, P (A) =

El caso anterior es muy sencillo, pues directamente podemos calcular P (A / B), pero si el espacio muestral se amplía, el problema es más complicado. La fórmula siguiente simplifica el problema.

Definición: Sean A un suceso aleatorio asociado a un experimento aleatorio, y sea B otro suceso, de probabilidad no nula, P (B) > 0, que sabemos que se ha realizado. Llamaremos probabilidad de A condicionada por B y la representaremos por P (A / B) al cociente entre la probabilidad de la intersección y la probabilidad de la condición: P (A / B) =

P ( A ∩ B) P ( B)

Ejemplo: Para el caso anterior, A = {4}

;

B ={2, 4, 6} ⇒ P (B) =

3 1 = 6 2

;

A ∩ B = {4} ⇒ P (A ∩ B) =

1 6

Luego: 1 P ( A ∩ B) 2 1 P (A / B) = = 6= = 1 6 3 P ( B) 2 que es el mismo resultado que obteníamos antes directamente. Ejemplo: Supongamos que en una reunión hay 100 personas entre hombres (H) y mujeres (M) que son, a su vez, fumadoras (F) y no fumadoras (NF), según se expresa en la tabla siguiente: F H 10 M 25 Total 35

NF Total 15 25 50 75 65 100

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Seleccionamos al azar una de esas 100 personas, que resulta ser mujer y nos preguntamos por la probabilidad de que sea fumadora. Es claro que fijada la condición de ser mujer (M) los casos posibles son 75 y los favorables 25, por tanto: P (F / M) =

25 25 /100 P ( M ∩ F ) = = 75 75 /100 P (M )

Donde hemos dividido por 100 que es el total de personas.

Ejercicio 14: Calcula la probabilidad de que la suma de las caras de dos dados sea mayor a igual que 10 sabiendo que en el primer dado ha salido un seis. Ejercicio 15: Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a siete? Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un 3? 1.6. Dependencia e independencia de sucesos Si bien el conocer cierta información adicional modifica la probabilidad de algunos sucesos, puede ocurrir que otros mantengan su probabilidad, pese a conocer dicha información. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, consideremos los sucesos: A = “sacar un número par” y B = “sacar un número menor o igual que 2” Es claro que A = {2, 4, 6} y B = {1, 2}. Calculemos la probabilidad de A conociendo que se ha realizado el suceso B, es decir, P (A / B). Utilizando la fórmula: 1 P ( A ∩ B) 3 P (A / B) = = 6 = = 0,5 1 6 P ( B) 3 1 1 puesto que P (A ∩ B) = P (“sacar par y menor o igual que 2”) = y P (B)= . 6 3 Pero si no conociésemos la información B, ¿cuál sería la probabilidad de A? 3 P (A) = P (“sacar par”) = = 0,5, es decir que P (A / B) = P (A), y por tanto el conocer la 6 información B no modifica la probabilidad de A. Cuando esto ocurre es decir, cuando P (A / B) = P (A), diremos que los sucesos A y B son independientes (el hecho de que ocurra B no modifica la probabilidad de A).

Propiedad: A y B son sucesos independientes ⇔ P (A ∩ B) = P (A) · P (B) Demostración: ⇒) Si A y B son independientes, P (A / B) = P (A), y por la fórmula de la P ( A ∩ B) probabilidad condicionada, P (A / B) = = P (A), luego P (A ∩ B) = P (A) · P (B). P ( B) ⇐) Partiendo de P (A ∩ B) = P (A) · P (B), entonces P ( A ∩ B) P ( A)· P ( B ) P (A / B) = = = P (A) P ( B) P ( B) luego P (A / B) = P (A) y por tanto A y B son independientes.

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Ejemplo: 1 1 1 , y por otra parte P (A) = y P (B) = , luego se cumple que: 6 2 3 1 1 1 P (A ∩ B) = = · = P (A) · P (B) 6 2 3 luego A y B son independientes.

En el caso anterior, P (A ∩ B) =

2 1 y P (A) = , calcula P (A ∩ B) y 3 5 P (B) para que A y B sean independientes. (Indicación: Utilizar la fórmula de la unión de dos sucesos y la de la independencia de sucesos)

Ejercicio 16: De dos sucesos conocemos que P (A ∪ B) =

NOTA IMPORTANTE: No se deben confundir los conceptos de sucesos incompatibles y sucesos independientes. • Dos sucesos son incompatibles cuando no tienen elementos en común, es decir, A ∩ B = Ø. • Dos sucesos son independientes si P (A ∩ B) = P (A) · P (B). Son conceptos totalmente distintos. Uno se refiere a conjuntos y otro se refiere a probabilidades. Obsérvese el ejemplo inicial de este apartado: En el lanzamiento de un dado, consideremos los sucesos: A = “sacar un número par” y B = “sacar un número menor o igual que 2” Es claro que A = {2, 4, 6} y B = {1, 2}. Por tanto: A ∩ B = {2} ⇒ A y B no son incompatibles 1 3 1 Por otra parte, puesto que P (A ∩ B) = P (“sacar par y menor o igual que 2”) = , P (A) = = y 6 6 2 1 P (B)= , entonces: 3 1 1 1 P (A ∩ B) = = · = P (A) · P (B) ⇒ A y B son independientes 6 2 3 Luego en este caso, A y B son independientes, pero no son incompatibles.

Propiedad: Si A y B son sucesos independientes, entonces también lo son A y B , A y B, así como A y B . Demostración: Demostraremos que si A y B son sucesos independientes, entonces también lo son A y B . Por ser A y B independientes se cumple que P (A ∩ B) = P (A) · P (B). Debemos demostrar que: P (A ∩ B ) = P (A) · P ( B ) Para ello, observemos el siguiente diagrama:

Se tiene que: P (A ∩ B ) = P (A – B) = P (A) – P (A ∩ B) = = P (A) – P (A) · P (B) = P (A) [1 – P (B)] = = P (A) · P ( B ) ya que P ( B ) = 1 – P (B).

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Ejercicio 17: Demuestra las otras implicaciones que faltan de la propiedad anterior. Ejercicio 18:. En el lanzamiento de un dado considera los sucesos A = “salir par” y B = “obtener múltiplo de tres”. Comprueba que A y B son sucesos independientes. Ejercicio 19: En una oficina trabajan 21 personas, de las que 9 son mujeres y 12 hombres. De las mujeres hay 3 que tienen más de 50 años y de los hombres hay 4 con más de 50 años. Comprueba que en esa oficina los sucesos A = “ser mujer” y B = “tener más de 50 años” son sucesos independientes. Ejercicio 20: Calcula P (A ∪ B) sabiendo que P (A) = 1/2 y P (B) = 1/3 y que los sucesos A y B son independientes. 1.7. Experimentos compuestos. Teorema de la probabilidad total Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples. Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto. Propiedad: De la fórmula para calcular la probabilidad condicionada se deduce inmediatamente que: P (A ∩ B) = P (B) · P (A / B) y P (A ∩ B) = P (A) · P (B / A) Ejemplo: Se extraen 2 cartas, sucesivamente, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de extraer 2 sotas. Sean A = “sacar sota en la 1ª” y B = “sacar sota en la 2ª”. Nos piden P (A ∩ B). Según la fórmula anterior, P (A ∩ B) = P (B) · P (A / B). 4 1 3 1 1 1 1 = y P (B / A) = = , por lo que P (A ∩ B) = · = . Ahora bien, P (A) = 40 10 39 13 10 13 130 La forma más sencilla de calcular probabilidades en experimentos compuestos es un diagrama de árbol, donde en cada rama situamos la probabilidad que le corresponde al suceso del final de dicha rama. Estas probabilidades que se van poniendo en el árbol son probabilidades condicionadas, porque dependen de los resultados anteriores. En el caso del ejercicio anterior, el diagrama sería: 3 / 39 4 / 40

S 36 / 39 4 / 39

36 / 40

S

S S

S

S 35 / 39 Diagrama de árbol para la extracción de sota (S) u otra carta ( S ).

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Nota: Este mismo resultado se podría haber obtenido sin usar la probabilidad condicionada, del modo:  40  Formas de elegir 2 cartas de entre 40=   2  4 Formas de elegir 2 sotas entre 4 =    2  4   Casos favorables  2  6 1 Por la regla de Laplace, P (obtener 2 sotas)= = = = Casos posibles  40  780 130   2 Ejercicio 21: Una urna contiene 9 bolas rojas y 5 negras. Se extraen sucesivamente 2 bolas. Calcula la probabilidad de que: a) la primera bola sea roja y la segunda negra. b) una sea roja y la otra negra. Ejercicio 22: En una bolsa hay 4 canicas rojas, 4 azules y 2 verdes. Se extraen 3 canicas que resultan ser 2 rojas y una azul. Sin devolverlas a la bolsa se saca otra canica, ¿de qué color es más probable que salga? Ejemplo: Tenemos dos urnas, una con 7 bolas rojas y 2 azules, y otra con 3 bolas rojas y 8 azules. Tiramos un dado. Si nos sale un 3 o un 5, sacamos una bola de la primera urna y en caso contrario, sacamos una bola de la segunda urna. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea azul? Evidentemente estamos realizando un experimento compuesto. En primer lugar, se trata de elegir una urna, para lo cuál lanzamos un dado. Si U1 = “elegir la urna 1” y U2 = “elegir la urna 2”, es claro que:

P (U1) =

2 1 = 6 3

y P (U2) =

4 2 = 6 3

Por otra parte, luego realizamos otro experimento consistente en sacar una bola de la urna elegida. Si A = “sacar una bola azul” y R = “sacar una bola roja”, las probabilidades que conocemos son:

P (A / U1) =

2 9

y P (A / U2) =

8 11

Lo que nos piden es P (A). Para calcular dicha probabilidad, si representamos el diagrama de árbol: 7/9 2/6

U1 2/9 3 / 11

4/6

R A R

U2

A 8 / 11 Diagrama de árbol para la extracción de bolas 15 /24

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Como la probabilidad de A depende de la urna en la que estemos, basta multiplicar las probabilidades de cada rama que llegue a la bola azul y luego sumar los 2 resultados, es decir: P (A) =

2 2 4 8 4 32 166 · + · = + = = 0,559 6 9 6 11 54 66 297

La justificación teórica para proceder así la da el teorema de la probabilidad total.

Teorema de la probabilidad total Si tenemos varios sucesos A1, A2, ..., An que sean incompatibles 2 a 2, de probabilidades no nulas y cuya unión sea el suceso seguro (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω), entonces la probabilidad de cualquier otro suceso B se puede calcular mediante: P (B) = P (A1) · P (B / A1) + P (A2) · P (B / A2) + ⋯ + P (An) · P (B / An) Demostración: Como la unión de los sucesos Ai es el suceso seguro Ω y son incompatibles 2 a 2 podemos establecer las siguientes igualdades: P (B) = P (B ∩ Ω) = P {B ∩ (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An)} = = P {(B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ ⋯ ∪ (B ∩ An)} = = P (B ∩ A1) + P (B ∩ A2) + ⋯ + P (B ∩ An) = = P (A1) · P (B / A1) + P (A2) · P (B / A2) + ⋯ + P (An) · P (B / An) Ejemplo: Para el caso anterior, sean A1 = “sacar la bola de la urna 1” , A2 = “sacar la bola de la urna 2” y B = “sacar bola azul”. Aplicando el teorema:

P (B) = P (A1) · P (B / A1) + P (A2) · P (B / A2) =

2 2 4 8 4 32 166 · + · = + = = 0,559 6 9 6 11 54 66 297

Ejemplo: En un colegio se imparten sólo los idiomas inglés y francés. El 80 % de los alumnos estudian inglés y el resto francés. El 30 % de los alumnos de inglés son socios del club musical del colegio y de los que estudian francés son socios de dicho club el 40 %. Se elige un alumno al azar. Calcular la probabilidad de que pertenezca al club musical. En estos problemas es importante elegir los sucesos de modo que sean incompatibles 2 a 2 y que su unión sea el suceso seguro. En este caso: A1 = “estudiar inglés” y A2 = “estudiar francés”. Sea también B = “ser del club musical”. Consideremos el siguiente diagrama de árbol:

P (A)

P (B / A) 20 / 100

80 / 100

20 / 100

B

A1 80 / 100 40 / 100

B

60 / 100

B

B

A2

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Nos piden P (B). Por el teorema anterior: P (B) = P (A1) · P (B / A1) + P (A2) · P (B / A2) =

80 30 20 40 8 · + · = = 0,32 100 100 100 100 25

Ejercicio 23: Se tienen dos urnas, la primera de las cuales tiene 6 bolas blancas, 4 negras y 2 rojas y la segunda urna tiene 3 bolas blancas y 7 negras. Se lanza un dado al aire, y si sale múltiplo de 3 se saca de la primera urna y en otro caso se saca una bola de la segunda urna. Calcular la probabilidad de que sea: a) bola blanca b) bola negra c) bola roja. Ejercicio 24: En un colectivo hay un 60 % de hombres y un 40 % de mujeres. El 30 % de los hombres son fumadores así como el 25 % de las mujeres. Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que fume? Ejercicio 25: En un concurso de televisión presentan 3 cajas iguales y cada una contiene unos sobres cerrados e iguales dentro de los cuales figuran los siguientes premios: A: Coche, 6000 euros y nada. B: Coche, coche y nada. C: 6000 euros, nada y coche. Si el concursante elige al azar una caja y luego saca un sobre de la misma, ¿qué probabilidad tiene de llevarse un coche? 1.8. Tablas de contingencia Las tablas de contingencia están referidas a 2 características que presentan cada una dos o más sucesos.

Ejemplo: En un taller se sabe que acuden, por la mañana 3 automóviles con problemas de eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa. Por la tarde hay 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa. a) Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde. b) Calcular el porcentaje de los que acuden con problemas mecánicos. c) Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana. Resumiendo los datos en una tabla de contingencia:

Mañana Tarde Total

Pr. Eléctricos Pr. Mecánicos Pr. Chapa Total 3 8 3 14 2 3 1 6 5 11 4 20

a) En total acuden 20 y por la tarde acuden 6, luego: 6 P (acudir por la tarde)= = 0,3, es decir, el 30%. 20 b) En total acuden 20 y con problemas mecánicos hay 11, luego: 11 P (problemas mecánicos)= = 0,55, es decir, el 55%. 20

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c) Aquí tenemos una información adicional (es un coche que tiene problemas eléctricos), luego se trata de una probabilidad condicionada. Con problemas eléctricos hay 5 y de ellos 3 por la mañana, luego: 3 P (acudir por la mañana / problemas eléctricos) = = 0,6, es decir, el 60%. 5 En una tabla de contingencia puede que nos falten datos, pero se pueden hallar fácilmente con los datos que son conocidos. Ejemplo: Para tratar de curar una enfermedad se aplica un tratamiento nuevo a 81 pacientes de un hospital, mientras que en el mismo hospital hay otros 79 pacientes que siguen un tratamiento antiguo contra la misma enfermedad. En total, con ambos tratamientos los curados son 103, de los cuales 60 lo son gracias al tratamiento nuevo. Si se elige un individuo al azar, calcula la probabilidad de que: a) Se haya curado. b) No se haya curado. c) Se haya curado con el nuevo tratamiento. d) No se haya curado con el nuevo tratamiento. e) Se haya curado con el tratamiento antiguo. f) No se haya curado con el tratamiento antiguo. Si tratamos de construir la tabla, con los datos del problema se obtiene: Tratamiento antiguo Tratamiento nuevo Total Curarse 60 103 No curarse Total 79 81 Completemos la tabla y respondamos a las cuestiones: Tratamiento antiguo Tratamiento nuevo Curarse 103 – 60 = 43 60 No curarse 79 – 43 = 36 81 – 60 = 21 Total a) P (Curarse) =

79

81

Total 103 36 + 21 = 57 103 + 57 = 160 o 79 + 81 = 160

103 160

b) P (No curarse) =

57 160

60 81 43 d) P (Curarse / Tratamiento antiguo) = 79

c) P (Curarse / Tratamiento nuevo) =

e) P (No curarse / Tratamiento antiguo) =

36 79

1.9. El teorema de Bayes Como consecuencia del teorema de la probabilidad total y de las propiedades de la probabilidad condicionada, resulta este importante teorema que permite calcular probabilidades condicionadas.

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Teorema de Bayes: Si tenemos varios sucesos A1, A2, ..., An que sean incompatibles 2 a 2, de probabilidades no nulas y cuya unión sea el suceso seguro (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω), entonces si sabemos que ha ocurrido un suceso B (de probabilidad no nula) se puede calcular la probabilidad de cada Ai por medio de la siguiente fórmula: P (Ai / B) =

P ( B / Ai )· P ( Ai ) n

∑ P ( B / A )· P ( A ) j =1

j

=

P ( B / Ai )· P ( Ai ) P ( B / A1 )· P ( A1 ) + P ( B / A2 )· P ( A2 ) + ⋯ + P ( B / An )· P ( An )

j

Demostración: Teniendo en cuenta la definición de probabilidad condicionada y el teorema de la probabilidad total se deduce inmediatamente que: P (Ai / B) =

P ( Ai ∩ B ) = P ( B)

P ( B / Ai )· P ( Ai ) n

∑ P ( B / A )· P ( A ) j =1

j

j

Nota: Las probabilidades P (Ai) se denominan probabilidades a priori. Las probabilidades P (Ai / B) se denominan probabilidades a posteriori. Las probabilidades P (B / Ai) se denominan verosimilitudes. Ejemplo: Dos clases de 2º de Bachillerato, una de 28 alumnos y otra de 35 alumnos hacen conjuntamente un examen de Matemáticas. La probabilidad de aprobar de los alumnos de la primera clase es de 0,68 y los de la segunda del 0,73. Se toma un examen al azar y resulta que está aprobado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de un alumno de la 1ª clase? Sean A1 = “el examen es de un alumno de la primera clase”, A2 = “el examen es de un alumno de la segunda clase” y B = “el examen está aprobado”. Nos piden P (A1 / B). Hagamos antes que nada un diagrama de árbol: P (Ai)

P (B / Ai) 0,68

28 / 63

35 / 63

B

A1 0,32 0,73

B

0,27

B

B

A2

Diagrama de árbol para el problema del examen Por el teorema de Bayes: 28 ·0, 68 P ( B / A1 )· P ( A1 ) 0,302 63 P (A1 / B) = = = = 0,427 28 35 P ( B / A1 )· P ( A1 ) + P ( B / A2 )· P ( A2 ) 0, 708 ·0, 68 + ·0, 73 63 63

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P (A1) es la probabilidad “a priori”, es decir , antes de realizar el experimento y careciendo de información. P (A1 / B) es la probabilidad “a posteriori”, después de realizarlo y conocer más información. Ejercicio 26: Se tienen dos urnas. En la primera hay 10 bolas blancas, 7 negras y 5 rojas. En la segunda 24 blancas, 4 negras y 9 rojas. Se elige una urna al azar y se saca una bola. Calcular: a) Probabilidad de sacar bola blanca. b) Sabiendo que la bola extraída es blanca, probabilidad de que provenga de la segunda urna. Ejercicio 27: En una determinada población se sabe que el 70 % de las personas mayores de 18 años no son fumadoras. Se conoce también que el 60 % de las fumadores padece algún tipo de defecto respiratorio así como el 10 % de las no fumadoras. Se elige al azar una persona mayor de 18 años y resulta que padece algún defecto respiratorio. ¿Qué probabilidad hay de que sea fumadora?

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EJERCICIOS 1. Consideremos el experimento de lanzar dos dados tetraédricos, es decir, de 4 caras triangulares, y anotar la suma de los puntos de las caras inferiores. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Obtener suma par. b) Obtener suma igual a 7. c) Obtener suma mayor o igual a 5. d) Obtener suma menor a 5. e) Obtener suma par o mayor o igual a 5. Solución: a) 1/2; b) 1/8; c) 5/8; d) 3/8; e) 7/8

2. Se ha trucado un dado de manera que la probabilidad de que salga 5 ó 6 es doble que la de las demás caras. Calcula la probabilidad de cada una de las caras. Solución: P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = 1/8; P (5) = P (6) = 1/4

3. Sean A y B dos sucesos de los que se conocen las probabilidades P (A) = 0,6; P (B) = 0,4 y P (A ∩ B) = 0,2. Calcula las probabilidades de: a) P (A ∪ B) b) P (AC) y P (BC) c) P [(A ∪ B)C] d) P (A – B) Solución: a) 0,8; b) 0,6; c) 0,2; d) 0,2

4. En la escuela de estudios empresariales de una universidad los alumnos de segundo curso que suspenden las tres asignaturas, Matemáticas, Contabilidad y Estadística, repiten curso. El último año, los resultados fueron: 6 % aprobaron las tres asignaturas; 22 % aprobaron matemáticas y Contabilidad; 16 % aprobaron Matemáticas y Estadística; 28 % aprobaron Contabilidad y Estadística; 37 % aprobaron Matemáticas; 56 % aprobaron Contabilidad y el 41 % aprobaron Estadística. a) ¿Qué porcentaje de alumnos repitió curso? b) ¿Qué porcentaje aprobó sólo una signatura? Solución: a) 74 %; b) 20 %.

5. En una empresa hay 45 empleados, 29 hombres (H) y 16 mujeres (M); de ellos, 7 hombres y 5 mujeres son fumadores (F). Calcula las siguientes probabilidades: P (H) P (M) P (H/F) P (M/F) P (H ∩ F) P (M ∩ F) P (F) P (F/H) P (F/M) Solución: P (H) = 29/45 P (M) = 16/45 P (H/F) =7/12 P (F) =12/45 P (F/H) =7/29 P (F/M) =5/16

P (M/F) =5/12

P (H ∩ F) =7/45

P (M ∩ F) =5/45

6. Las probabilidades de que un hombre y una mujer de 40 años vivan hasta los 75 años son 0,49 y 0,53, respectivamente. Halla la probabilidad de que: a) Los dos cumplan 75 años. b) Alguno de los dos llegue a los 75 años. c) Ninguno llegue a los 75 años. d) Sólo la mujer llegue a cumplir los 75 años. Solución: a) 0,2597; b) 0,7603; c) 0,2397; d) 0,2703

7. En un avión viajan 240 personas. De ellas 110 hablan inglés, 66 francés, 58 alemán, 42 francés e inglés, 36 francés y alemán, 30 alemán e inglés y 14 los tres idiomas. Se pide: a) ¿Cuántos no hablan ninguno de los tres idiomas? b) ¿Cuántos hablan sólo alemán e inglés? c) ¿Cuántos hablan sólo francés? Solución: a) 100; b) 16; c) 2.

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8. En una ciudad se publican 3 revistas, La Luna, El Sol y La Tierra. Se realiza una encuesta entre sus habitantes y se obtiene el siguiente resultado: 20 % lee La Luna; 15 % lee El Sol; 17 % lee La Tierra; 6 % lee La Luna y El Sol; 7 % lee La Luna y La Tierra; % lee El Sol y La Tierra; 2 % lee las tres. Calcula: a) Probabilidad de ser lector de alguna de estas revistas. b) Probabilidad de no leer ninguna de ellas. c) Probabilidad de leer sólo La Tierra. d) Probabilidad de leer sólo una de las tres revistas. Solución: a) 0,37; b) 0,63; c) 0,08; d) 0,24.

9. En una ciudad el 35 % de los censados vota al partido A (PA), el 45 % al partido B (PB) y el 20 % se abstiene (A). Se sabe, además, que el 20 % de los votantes del PA, el 30 % de los votantes del PB y el 15 % de los que se abstienen son mayores de 60 años (M). Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un ciudadano censado, elegido al azar, sea mayor de 60 años? b) Si dicho ciudadano es mayor de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que se haya abstenido en las elecciones? Solución: a) 0,235; b) 0,1277

10. En un montón hay 10 rifles, 4 con visor telescópico y 6 sin él. La probabilidad de que un tirador haga blanco con un rifle con visor es de 0,95, mientras para el rifle sin visor es de 0,65. a) Halla la probabilidad de hacer blanco cogiendo un rifle al azar. b) Si el tirador ha hecho blanco, ¿qué es más probable, que haya disparado con rifle con visor o sin él? Solución: a) 0,77; b) Sin visor.

11. En una clase hay 7 calculadoras tipo A y 3 calculadoras tipo B. La probabilidad de que durante una sesión de trabajo se agoten las pilas es con la del tipo A de 0,05 y con las del tipo B, 0,09. Un estudiante coge una calculadora al azar. ¿Qué probabilidad tiene de que se le gaste la pila antes de finalizar la sesión de trabajo? Solución: 0,062

12. Tres arqueros lanzan, a la vez, cada uno una flecha a un único blanco; dos flechas le alcanzan. Halla la probabilidad de que el primer arquero haya hecho blanco, si las probabilidades de acertar de cada uno de los arqueros es 0,4; 0,3 y 0,5. Solución: 20/29

13. Tres hospitales H1, H2 y H3 atienden 500, 400 y 200 urgencias semanales. En H1 un 35 % de los casos son dados de alta tras una primera cura de urgencia; en H2 y H3 las altas inmediatas son del 30 y el 20 % respectivamente. Si se elige un enfermo de urgencia al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba el alta inmediata? b) ¿Qué probabilidad existe de que haya sido dado de alta en el hospital H1? Solución: a) 335/1100; b) 175/335

14. Tenemos un dado irregular de manera que las probabilidades de cada una de las caras es la siguiente: P (1) = 0,25 P (2) = 0,15 P (3) = 0,10 P (4) = 0,20 P (5) = 0,25 P (6) = 0,05 Calcula las probabilidades de: a) Obtener múltiplo de 2. b) Lanzándolo dos veces obtener una suma par. Solución: a= 0,4; b) 0,52

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15. La probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura A es 0,8, y la probabilidad de que apruebe la asignatura B es 0,9. Calcula la probabilidad de que apruebe: a) Las dos asignaturas. b) Al menos una asignatura. c) Exactamente una asignatura. d) Ninguna. Solución: a) 0,72; b) 0,98; c) 0,26; d) 0,02

16. Un profesor examina preguntando 4 cuestiones a cada alumno, de las que éste debe contestar bien, al menos, a dos para aprobar. Si Antonio sabe 20 de las 25 cuestiones del programa, ¿cuál es la probabilidad que tiene de aprobar? Solución: 2489/2530

17. Hallar la probabilidad de al tirar tres dados aparezca: a) El uno triple. b) Exactamente 2 unos. c) Exactamente un uno. Solución: a) 1/216; b) 15/216; c) 75/216

18. En una clase hay 20 alumnas y 15 alumnos. Si formamos un grupo de trabajo de 10 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya en él 7 alumnas? Solución: 1425/106981

19. Se lanzan tres dados. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos: a) La suma de que los puntos obtenidos sea 12. b) La suma de los puntos sea menor o igual a 10. c) La suma sea igual a 14 y el producto 96. Solución: a) 25/216; b) 1/2; c) 1/72

20. En una urna hay 10 bolas; 6 están marcadas con un número positivo y 4 con un número negativo. Si tomamos dos al azar halla la probabilidad de que el producto de los números que aparecen en las dos bolas sea positivo. Solución: 7/15

21. Una urna contiene 16 bolas rojas y 8 azules. Se sacan tres al azar y sin reemplazamiento. Halla la probabilidad de que: a) Las dos primeras sean azules y roja la tercera. b) Una de las tres sea roja. c) Calcula las mismas probabilidades cuando las bolas se extraen con reemplazamiento. Solución: a) 56/759; b) 246/253; c) 2/27 y 26/27

22. En un viaje hay 120 chinos, de los cuales 80 hablan chino mandarín, 48 chino cantonés y 24 los dos idiomas. Se elige uno al azar y llamamos A al suceso “habla chino mandarín” y B “habla chino cantones”. Calcula las probabilidades: a) P (A / B) b) P (B / A) c) P (A / A ∪ B) Solución: a) 1/2; b) 3/10; c) 10/13

23. A una muestra de 10000 personas se les hizo las preguntas siguientes: l. Si eran drogadictos. 2. Si eran seropositivos. Las respuestas se tabularon y dieron los siguientes resultados: drogadictos, 340; seropositivos, 23; drogadicto y seropositivo, 16. Con estos datos, indica si son independientes estos sucesos. Solución: Los sucesos son dependientes pues P (S / D) = 4/85 ≠ 1/625 = P (S)

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24. Tenemos seis tarjetas numeradas del 1 al 6. Si tomamos dos tarjetas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de sus números sea: a) par; b) impar? Solución: a) 2/5; b) 3/5

25. Una empresa de electrodomésticos tiene tres talleres que fabrican el 50, el 25 y el 25 % de la producción total de la empresa. La probabilidad de que un electrodoméstico sea defectuoso es, para las distintas fábricas la siguiente: 0,05, 0,02 y 0,04. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un electrodoméstico sea defectuoso? b) Si compramos un electrodoméstico y es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda del segundo taller? Solución: a) 0,04; b) 0,125

26. El número de camiones que circulan por una carretera donde hay una estación de servicio guarda con respecto a los demás vehículos una relación de 1 a 5. La probabilidad de que un vehículo no camión necesite gasolina es de 0,2 y la de que la necesite un camión de 0,1. En la estación entra un vehículo que necesita gasolina. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un camión? Solución: 1/11

27. Una bolsa contiene 40 naranjas de las que 8 están heladas. Pasamos una de ellas a otra bolsa con la misma cantidad de naranjas, en las que hay 12 heladas. Extraemos una naranja de la segunda bolsa y descubrimos que está helada. Halla la probabilidad de que la naranja que cambiamos de bolsa estuviese helada. Solución: 13/61

28. Las probabilidades de que tres trenes se retrasen son 0,3, 0,2 y 0,1, respectivamente. El retraso o no de un tren no depende de los otros. Calcula las probabilidades siguientes: a) Los tres trenes lleguen a su hora. b) Sólo dos trenes lleguen a su hora. c) Sabiendo que sólo uno ha llegado a su hora, que haya sido el primero. Solución: a) 0,994; b) 0,398; c) 7/46

29. En un determinado centro de bachillerato hay 1200 alumnos que se distribuyen por modalidad de estudios y por sexo de acuerdo con la siguiente tabla: Modalidad Alumnos Alumnas Total Ciencias 340 340 680 Humanidades 240 280 520 Total 580 620 1200 Calcula las probabilidades: a) De ser de Ciencias, P (C). e) P (A / C). b) De ser de Humanidades, P (H). f) P (B / C). c) De ser alumno, P (A). g) P (H / A). d) De ser alumna, P (B). h) P (C / A). Solución: a) 17/30; b) 13/30; c) 29/60; d) 31/60; e) 1/2; f) 1/2; g) 12/29; h) 17/29

30. Un trabajador tiene que coger un determinado autobús para ir a su trabajo. Lo coge en el 80 % de los casos y en esa situación la probabilidad de llegar puntual al trabajo es 0,9. Si no lo coge, llega tarde el 50 % de las veces. Calcula: a) Si llega puntual, ¿cuál es la probabilidad de que haya cogido el autobús? b) Si llega tarde, ¿cuál es la probabilidad de que haya perdido el autobús? Solución: a) 36/41; b) 5/9

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