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TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. 6.1.1. Rentas temporales. 6.1.1.1. Rentas inmediatas. 6.1.1.2. Rentas diferidas. 6.1.1.3. Rentas anticipadas. 6.1.1.4. Rentas fraccionadas. 6.1.2. Rentas perpetuas. 6.1.2.1. Rentas inmediatas. 6.1.2.2. Rentas diferidas. 6.1.2.3. Rentas fraccionadas.
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. 6.2.1. Rentas temporales. 6.2.1.1. Rentas inmediatas. 6.2.1.2. Rentas diferidas. 6.2.1.3. Rentas anticipadas. 6.2.1.4. Rentas fraccionadas. 6.2.2. Rentas perpetuas. 6.2.2.1. Rentas inmediatas. 6.2.2.2. Rentas diferidas. 6.2.2.3. Rentas fraccionadas. 6.3. Rentas variables en general.
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables
0
a1
a2
a3 ............................... an
1
2
3 ............................... n
a1 a 2 a1 d a 3 a 2 d a1 2 d .... ak ak 1 d a1 (k 1) d .... an an 1 d a1 (n 1) d
d 0 Progresión aritmética creciente d 0 Progresión aritmética decreciente
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables
0
Valor actual =
a1
a2
a3 ............................... an
1
2
3 ............................... n
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables a1 a1 a1 .................... a1 0
a1 a2 a3 ................ an 0
1 2
3 ................. n
0
1
1
2 d 2
3 ..................... n d ................... d
1
2
3 ..................... n
.................... 0
i
1 / d an 1
i
2 / d an 2
i
3 ..................... n d ................... d
0
a1 a n
1 2 ……….
d n-1
n
........
n 1 / d a1
i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables a1 a2 an .... 2 n n i 1 i (1 i) (1 i) a1 an i 1 / d an 1 i 2 / d an 2 i ... n 1 / d a1 i A (a1 ,d)
a1 an i d an 1 i (1 i)1 an 2 i (1 i)2 ... a1 i (1 i) (n 1) 1 (1 i) (n 1) 1 (1 i) (n 2) 1 a1 a n i d (1 i) (1 i)2 ... i i 1 (1 i)1 d (n 1) 1 2 a a (1 i) (1 i) (1 i) ... 1 n i i i d (1 i)1 (1 i)2 ... i d (1 i) (n 1) (1 i) n n (1 i) n a1 an i an i n (1 i) n i
(1 i) (n 1) (n 1) (1 i) n a1 an i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables
A (a1 ,d)
A (a1 ,d)
n i
n i
n d d n (1 i) a1 a n i i i
n d d n (1 i) dn dn a1 a n i i i i i
d 1 (1 i) n d n a1 a n i d n i i i d dn d dn a1 a n i d n a n i a1 d n a n i i i i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables
0
a1
a2
a3 ............................... an
1
2
3 ............................... n
Valor actual =
A (a1 ,d)
n i
d dn a1 d n a n i i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables
= Valor final
0
a1
a2
a3 …........................ an
1
2
3 ............................... n
S(a1 ,d) A (a1 ,d) ni
ni
d dn n (1 i) a1 d n an i (1 i) i i n
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros y se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
1
51.000 …..... 61.000 2 .................. 12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros y se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%.
d dn A (50.000,1.000) A (a1 ,d) a1 d n an i n i 12 0 ,015 i i 1.000 1.000 12 50.000 1.000 12 a12 0,015 0, 015 0, 015 603.432, 34 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 2: Calcular el valor final de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros y se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. = Valor final 50.000
0
1
51.000
..........61.000
2 …................. 12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 2: Calcular el valor final de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros y se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%.
S(a1 ,d)
n i
d dn n (1 i) a1 d n a n i S(50.000,1.000) 12 0 ,015 i i
1.000 50.000 1.000 12 a12 0, 015 721.474, 67 €
1.000 12 12 (1 0, 015) 0,015 0, 015
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables a1
a2
a3 ............................. an
0
1
2 ............................ n-1
n
Valor actual =
..
A (a1 ,d)n i A (a1 ,d)
ni
d dn (1 i) a1 d n an i (1 i) i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables
= Valor final a1
a2
a3 ….......................... an
0
1
2 ............................. n-1
..
S(a1 ,d)n i S(a1 ,d)
ni
n
d dn n 1 (1 i) (1 i) a1 d n an i i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable, con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros y se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
51.000 …... 61.000 1 …..….
11
12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable, con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros y se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. .. d dn A (a1 ,d) n i a1 d n an i (1 i) A (50.000,1.000) 12 0 ,015 i i 1.000 1.000 12 50.000 1.000 12 a12 0,015 (1 0, 015) 0, 015 0, 015 ..
612.483, 82 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable, con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros y se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. = Valor final 50.000 0
51.000
.......... 61.000
1…….…. 11 ................... 12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable, con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros y se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. ..
S(a1 ,d) n i
.. d dn n 1 a1 d n a n i (1 i) S(50.000,1.000) 12 0 ,015 i i
1.000 50.000 1.000 12 a12 0, 015 732.296, 79 €
1.000 12 13 (1 0, 015) 0,015 0, 015
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables
d
0
a1
a2 ............................. an-1
an
1
2 ............................ n-1
n
Valor actual =
d / A (a1 ,d)
n i
d dn d a1 d n a n i (1 i) i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables
= Valor final
0
d
d / S(a1 ,d)
n i
S(a1 ,d)
a1
a2
a3 ............................. an
1
2
3 ............................... n
n i
d dn n a1 d n a n i (1 i) i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
3
51.000 …… 59.000 4 ................... 12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%.
d / A (a1 ,d)
n i
A (a1 ,d) (1 i) d 2 / A (50.000,1.000) n i
1.000 50.000 1.000 10 a10 0, 015 486.764, 26 €
10 0 ,015
1.000 10 2 (1 0, 015) 0,015 0, 015
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 6: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. = Valor final 50.000 0
3
51.000
.......... 59.000
4 ................... 12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 6: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%.
d / S(a1 ,d)
n i
S(a1 ,d)
n i
S(50.000,1.000)
10 0 ,015
1.000 50.000 1.000 10 a10 0, 015 581.984,19 €
1.000 10 10 (1 0, 015) 0,015 0, 015
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables
d
a1
a2 ........................................ an
0
1 ....................................... n-1
n
Valor actual =
..
..
d / A (a1 ,d)n i A (a1 ,d)n i (1 i)
d
d dn d (1 i) (1 i) a1 d n a n i i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables
= Valor final
d ..
a1
a2
a3
….................. an
0
1
2
….................. n-1
..
d / S(a1 ,d)n i S(a1 ,d)n i
n
d dn n 1 (1 i) a1 d n a n i i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 7: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
2
51.000
59.000
3 ................... 11
12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 7: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. ..
..
d / A ( a1 ,d ) n i A ( a1 ,d ) n i (1 i)
d
..
2 / A (50.000,1.000) 10 0 ,015
1.000 50.000 1.000 10 a10 0, 015 494.065, 72 €
1.000 10 1 (1 0, 015) 0,015 0, 015
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 8: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. = Valor final 51.000 0
2
52.000
.......... 59.000
3 ..................... 11
12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 8: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. ..
..
..
..
d / S ( a1 ,d ) n i S ( a1 ,d ) n i 2 / S(50.000,1.000) 10 0 ,015 S (50.000,1.000) 10 0 ,015 1.000 50.000 1.000 10 a10 0, 015 590.713, 96 €
1.000 10 11 (1 0, 015) 0,015 0, 015
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables
0
a1
a2 ........................................ an
1
2 ....................................... n
n+p
Valor actual =
p / A (a1 ,d)
n i
A (a1 ,d)
n i
d dn a1 d n a n i i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables
= Valor final
0
p / S(a1 ,d)
n i
S(a1 ,d)
a1
a2 … …................. an
1
2 …….................... n
d dn np (1 i) (1 i) a1 d n an i i i p
n i
n+p
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 9: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
0,5
51.000
61.000
1,5 .............. 11,5
12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 9: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%.
p / A (a1 ,d)
n i
0, 5 / A (50.000,1.000)
12 0 ,015
A (50.000,1.000)
1.000 50.000 1.000 12 a12 0, 015 607.941, 23 €
(1 0, 015)0,5 12 0 ,015
1.000 12 0,5 (1 0, 015) 0,015 0, 015
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 10: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. = Valor final 50.000 0
0,5
51.000
......... 61.000
1,5 ................. 11,5
12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 10: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%.
p / A (a1 ,d)
n i
0, 5 / S(50.000,1.000)
12 0 ,015
S(50.000,1.000)
1.000 50.000 1.000 12 a12 0, 015 732.296, 79 €
(1 0, 015)0,5 12 0 ,015
1.000 12 12 (1 0, 015) 0,015 0, 015
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables a1
a2
a3 ............................. an
0
1
2 .......................... n-1
n
n+p
Valor actual =
..
..
p / A (a1 ,d)n i A (a1 ,d)n i
d dn a1 d n a n i (1 i) i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables
= Valor final
..
p / S(a1 ,d)n i
a1
a2
a3 … ….................. an
0
1
2 ……..................... n
n+p
d dn n 1 p (1 i) (1 i) S(a1 ,d)n i (1 i) a1 d n an i i i ..
p
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables Ejemplo 11: Calcular el valor actual de una renta anual de 10 términos, prepagable, anticipada seis meses, si su primer término es de cuantía 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. ..
..
..
p / A ( a1 ,d ) n i A ( a1 ,d ) n i A (50.000,1.000) 10 0 ,015 1.000 50.000 1.000 10 a10 0, 015 508.998, 86 €
1.000 10 (1 0, 015) 0,015 0, 015
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables Ejemplo 12: Calcular el valor final de una renta anual de 10 términos, prepagable, anticipada seis meses, si su primer término es de cuantía 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. ..
..
..
p / S ( a1 ,d ) n i S ( a1 ,d ) n i (1 i) S(50.000,1.000) 10 0 ,015 (1 0, 015)0,5 p
1.000 50.000 1.000 10 a10 0, 015 586.332, 83 €
1.000 10 10,5 (1 0, 015) 0,015 0, 015
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. g) Rentas temporales y fraccionadas
A ..
(m ) (a1 ,d)n i
(m)
A (a1 ,d)n i S ..
(m ) (a1 ,d)n i
(m)
S(a1 ,d)n i
i J (m)
i J (m ) i J (m )
i J (m )
A (a1 ,d)
ni
A (a1 ,d) (1 i m ) ni
S(a1 ,d)
ni
S(a1 ,d) (1 i m ) ni
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. g) Rentas temporales y fraccionadas Ejemplo 13: Calcular el valor actual de una renta mensual de 10 años, si los términos del primer año son de cuantía 50.000 euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. 12
12
J (12) J (12) 1 i 1 1 0, 015 1 12 12 1 12 J (12) (1 0, 015) 1 12 0, 014897853
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. g) Rentas temporales y fraccionadas Ejemplo 13: Calcular el valor actual de una renta mensual de 10 años, si los términos del primer año son de cuantía 50.000 euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. A
(12) (50.00012,1.00012)10 0 ,015
0, 015 A (600.000,12.000) 10 0 ,015 J (12)
0, 015 12.000 12.000 10 600.000 12.000 10 a10 0,015 0, 014897853 0, 015 0, 015 6.058.981,16 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. g) Rentas temporales y fraccionadas Ejemplo 14: Calcular el valor final de una renta mensual de 10 años, si los términos del primer año son de cuantía 50.000 euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%.
S(12) (50.00012,1.00012)
10 0,015
A (12) (50.00012,1.00012)
(1 0, 015)10
10 0 ,015
6.058.981,16 (1 0, 015)10 7.031.695 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables
0
Valor actual =
a1
a2
a3 ...............................
1
2
3 ............................... ∞
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables
A (a1 ,d)
i
lim A (a1 ,d) n
n i
d d n (1 i) n lim a1 an i n i i
A (a1 ,d)
i
d 1 a1 i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual, perpetua, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
1
51.000 …..... 2 ................... ∞
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual, perpetua, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%.
d 1 1.000 1 A (a1 ,d) a1 50.000 i i i 0, 015 0, 015 7.777.777, 78 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables
Valor actual =
a1
a2
a3 .............................
0
1
2 ....................................... ∞
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables ..
..
A ( a1 ,d ) i lim A ( a1 ,d ) n i n
n d d n (1 i) lim a1 an i (1 i) n i i
..
A ( a1 ,d ) i
d 1 a1 (1 i) A (a1 ,d) (1 i) i i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables Ejemplo 2: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%.
Valor actual =
50.000
51.000
0
1
52.000 ……… 2
∞
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables Ejemplo 2: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%.
d 1 A ( a1 ,d ) i a1 (1 i) i i 1.000 1 50.000 (1 0, 015) 0, 015 0, 015 ..
7.894.444, 44 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables
d
0
a1
a2 .............................
1
2 ...................................... ∞
Valor actual =
d / A (a1 ,d)
i
A (a1 ,d)
i
(1 i)
d
d 1 a1 (1 i) d i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
3
51.000 …… 4 ................... ∞
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.
d / A (a1 ,d)
i
A (a1 ,d)
i
(1 i) d 2 / A (50.000,1.000)
1.000 1 2 50.000 (1 0, 015) 0, 015 0, 015 7.549.591, 38 €
0 ,015
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables
d
a1
a2 ........................................
0
1 .................................................. ∞
Valor actual =
..
..
d / A (a1 ,d) i A (a1 ,d) i (1 i)
d
d 1 a1 (1 i) (1 i) d i i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés el 1,5%. 51.000 0 Valor actual =
2
50.000 3 ...................
∞
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa cada año 1.000 euros y el tipo de interés el 1,5%. ..
..
d / A ( a1 ,d ) i A ( a1 ,d ) i (1 i)
d
..
2 / A ( 50.000 ,1.000 ) 0 ,015
1.000 1 2 50.000 (1 0, 015) (1 0, 015) 0, 015 0, 015 7.662.835, 25 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas perpetuas y fraccionadas
A ..
(m ) (a1 ,d) i
(m)
A (a1 ,d) i
i J (m )
i J (m)
A (a1 ,d)
i
A (a1 ,d) (1 i m ) i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta mensual y perpetua, si los términos del primer año son de cuantía 50.000 euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. 12
12
J (12) J (12) 1 i 1 1 0, 015 1 12 12 1 12 J (12) (1 0, 015) 1 12 0, 014897853
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta mensual y perpetua, si los términos del primer año son de cuantía 50.000 euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%.
A
(12) (50.00012,1.00012) 0 ,015
0, 015 A (600.000,12.000) 0 ,015 J (12)
0, 015 12.000 1 600.000 0, 014897853 0, 015 0, 015 93.973.275, 55 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 6: Calcular el valor actual de una renta mensual, perpetua y prepagable, si los términos del primer año son de cuantía 50.000 euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. 12
J (12) 12 1 i 1 1 0, 015 1 i12 12 1 12
i12 (1 0, 015) 1 0, 001241488 J (12) i12 12 0, 001241488 12 0, 014897853
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.1. Rentas variables en progresión aritmética. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 6: Calcular el valor actual de una renta mensual, perpetua y prepagable, si los términos del primer año son de cuantía 50.000 euros, se incrementan cada año1.000 euros y el tipo de interés es el 1,5%. ..
(12 )
A ( 50.00012 ,1.00012 ) 0 ,015
0, 015 A (600.000,12.000) (1 i12 ) 0 ,015 J (12)
0, 015 12.000 1 600.000 (1 0, 001241488) 0, 014897853 0, 015 0, 015 94.089.942, 24 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables
0
a1
a2
a3 ............................... an
1
2
3 ............................... n
a1 a 2 a1 q a 3 a 2 q a1 q 2 .... a k a k 1 q a1 q k 1 .... a n a n 1 q a1 q n 1
0 q 1 Progresión geométrica decreciente q 1 Progresión geométrica creciente
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables
0
Valor actual =
a1
a2
a3 ............................... an
1
2
3 ............................... n
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables A (a1 ,q)
n i
a1 a2 an a1 a1 q a1 q n 1 .... .... 2 n 2 n 1 i (1 i) (1 i) 1 i (1 i) (1 i)
1 q n 1 q n 1 n 1 q q 1 i (1 i) 1 i a1 .... a1 2 n q (1 i) 1 i (1 i) 1 1 i 1 qn 1 i (1 i)n 1 a1 1 i q 1 i
A (a1 ,q)
n i
1 qn (1 i) n a1 1 i q
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables
= Valor final
0 S(a1 ,q) A (a1 ,q) ni
ni
a1
a2
a3 …........................ an
1
2
3 ............................... n
n n 1 q (1 i) (1 i)n a1 1 i q
n n (1 i) q n (1 i) a1 1 i q
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
1
55.000 .... 142.655,84 2 ................. 12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%.
A (a1 ,q)
n i
1 qn (1 i) n a1 1 i q
1 1,1012 (1 0, 015)12 50.000 955.848, 25 € 1 0, 015 1,10
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 2: Calcular el valor final de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. = Valor final 50.000
0
1
55.000
....... 142.655,84
2 …............... 12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables Ejemplo 2: Calcular el valor final de una renta anual, con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%.
S(a1 ,q)
n i
S (50.000;1,10)
12 0 ,015
(1 i)n qn a1 1 i q
(1 0, 015)12 1,1012 50.000 1.142.829, 53 € 1 0, 015 1,10
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables a1
a2
a3 ............................. an
0
1
2 ............................ n-1
n
Valor actual =
..
A ( a1 ,q ) n i
1 qn (1 i) n A ( a1 ,q ) n i (1 i) a1 1 i q
(1 i)
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables
= Valor final
..
S ( a1 ,q ) n i
a1
a2
a3 ….......................... an
0
1
2 ............................. n-1
n
(1 i)n qn S ( a1 ,q ) n i (1 i) a1 1 i q
(1 i)
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
55.000 ... 142.655,84 1 …..….
11
12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. ..
A ( a1 ,q ) n i A ( 50.000;1,10 ) 12 0 ,015 (1 0, 015) 1 1,1012 (1 0, 015)12 50.000 (1 0, 015) 1 0, 015 1,10 970.185, 97 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable y con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. = Valor final 50.000 0
55.000
...... 142.655,84
1…….…. 11 ................... 12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable y con una duración de 12 años, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. ..
S ( a1 ,q ) n i S ( 50.000;1,10 ) 12 0 ,015 (1 0, 015) (1 0, 015)12 1,1012 50.000 (1 0, 015) 1 0, 015 1,10 1.159.971, 98 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables
d
0
a1
a2 ............................. an-1
an
1
2 ............................ n-1
n
Valor actual =
d / A (a1 ,q)
n i
1 qn (1 i) n a1 1 i q
d (1 i)
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables
= Valor final
d
0
a1
a2
a3 ............................. an
1
2
3 ............................... n
d / S(a1 ,q)
n i
S(a1 ,q)
(1 i) q a1 1 i q n
n i
n
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
3
55.000 … 117.897,38 4 .................. 12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%.
d / A (a1 ,q)
n i
A (a1 ,q) (1 i) d A (50.000;1,10) n i
(1 0, 015)2 10 0 ,015
1 1,1010 (1 0, 015)10 2 (1 0, 015) 50.000 1 0, 015 1,10 705.124, 60 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 6: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. = Valor final 50.000 0
3
55.000
....... 117.897,38
4 .................... 12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas temporales, diferidas y pospagables Ejemplo 6: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%.
2 / S(a1 ,q)
n i
S(50.000;1,10)
10 0 ,015
(1 i)n qn a1 1 i q
(1 0, 015)10 1,1010 50.000 843.059, 79 € 1 0, 015 1,10
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables
d
a1
a2 ........................................ an
0
1 ....................................... n-1
n
Valor actual =
..
..
d / A (a1 ,q)n i A (a1 ,d)n i (1 i)
d
1 qn (1 i) n a1 1 i q
d (1 i) (1 i)
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables
= Valor final
d
a1
a2
a3
….................. an
0
1
2
….................. n-1
..
..
d / S(a1 ,d)n i S(a1 ,d)n i
n
(1 i)n qn a1 (1 i) 1 i q
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 7: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
2
55.000 … 117.897,38 3 ................... 11
12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 7: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. ..
..
d / A ( a1 ,q ) n i A ( a1 ,q ) n i (1 i)
d
..
2 / A (50.000;1,10) 10 0 ,015
1 1,1010 (1 0, 015)10 2 50.000 (1 0, 015) (1 0, 015) 1 0, 015 1,1 715.701, 47 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 8: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. = Valor final 50.000 0
2
55.000
....... 117.897,38
3 ..................... 11
12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas temporales, diferidas y prepagables Ejemplo 8: Calcular el valor final de una renta anual, prepagable, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años, su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. ..
..
..
..
d / S ( a1 ,q ) n i S ( a1 ,q ) n i 2 / S(50.000;1,10) 10 0 ,015 S(50.000;1,10) 10 0 ,015 (1 0, 015)10 1,1010 50.000 (1 0, 015) 1 0, 015 1,10 855.705, 69 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables
0
a1
a2 ........................................ an
1
2 ....................................... n
n+p
Valor actual =
p / A (a1 ,q)
n i
A (a1 ,q)
1 q (1 i) a1 1 i q n
n i
n
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables
= Valor final
0
p / S(a1 ,q)
n i
S(a1 ,q)
a1
a2 … …................. an
1
2 …….................... n
n i
n+p
n n (1 i) q (1 i)p a1 1 i q
p (1 i)
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 9: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%.
0 Valor actual =
50.000
55.000 …. 142.655,84
0,5
1,5 ............... 11,5
12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 9: Calcular el valor actual de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%.
p / A (a1 ,d)
n i
0, 5 / A (50.000;1,10)
12 0 ,015
A (50.000;1,10)
(1 0, 015)0,5 12 0 ,015
1 (1,10)12 (1 0, 015)12 0,5 50.000 (1 0, 015) 1 0, 015 1,10 962.990, 42 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 10: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%. = Valor final 50.000 0
0,5
51.000
....... 142.655,84
1,5 ................. 11,5
12
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables Ejemplo 10: Calcular el valor final de una renta anual, si su primer término comienza a ser efectivo a los seis meses y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10%, su duración es de 12 años y el tipo de interés el 1,5%.
d / S(a1 ,d)
n i
0, 5 / S(50.000,1.000)
12 0 ,015
S (50.000,1.000)
(1 0, 015)0,5 12 0 ,015
(1 0, 015)12 1,110 0,5 50.000 (1 0, 015) 1 0, 015 1,10 1.151.368, 85 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables a1
a2
a3 ............................. an
0
1
2 .......................... n-1
n
n+p
Valor actual =
..
..
p / A (a1 ,q)n i A (a1 ,q)n i
1 qn (1 i) n a1 1 i q
(1 i)
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables
= Valor final
..
p / S(a1 ,q)n i
a1
a2
a3 … ….................. an
0
1
2 ……..................... n
n n (1 i) q S(a1 ,q)n i (1 i)p a1 1 i q ..
n+p
p (1 i) (1 i)
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables Ejemplo 11: Calcular el valor actual de una renta anual de 10 términos, prepagable, anticipada seis meses, si su primer término es de cuantía 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. ..
..
..
p / A ( a1 ,q ) n i A ( a1 ,q ) n i A (50.000;1,10) 10 0 ,015 1 (1,10)10 (1 0, 015)10 50.000 (1 0, 015) 1 0, 015 1,10 737.333, 55 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables Ejemplo 12: Calcular el valor final de una renta anual de 10 términos, prepagable, anticipada seis meses, si su primer término es de cuantía 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. ..
..
..
p / S ( a1 ,q ) n i S ( a1 ,q ) n i (1 i) 0, 5 / S ( 50.000;1,10 ) 10 0 ,015 p
..
S ( 50.000;1,10 ) 10 0 ,015 (1 0, 015)0,5 (1 0, 015)10 (1,10)10 1,5 50.000 (1 0, 015) 862.099, 59 € 1 0, 015 1,10
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. g) Rentas temporales y fraccionadas
A ..
(m ) (a1 ,q)n i
(m)
A (a1 ,q)n i S ..
(m ) (a1 ,q)n i
(m)
S(a1 ,q)n i
i J (m)
i J (m) i J (m )
i J (m)
A (a1 ,q)
ni
A (a1 ,q) (1 i m ) ni
S(a1 ,q)
ni
S(a1 ,q) (1 i m ) ni
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. g) Rentas temporales y fraccionadas Ejemplo 13: Calcular el valor actual de una renta mensual de 10 años, si los términos del primer año son de cuantía 5.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%. 12
12
J (12) J (12) 1 i 1 1 0, 015 1 12 12 1 12 J (12) (1 0, 015) 1 12 0, 014897853
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. g) Rentas temporales y fraccionadas Ejemplo 13: Calcular el valor actual de una renta mensual de 10 años, si los términos del primer año son de cuantía 5.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%.
A
(12) (5.00012;1,10)10 0 ,015
0, 015 A (60.000;1,10) 10 0 ,015 J (12)
1 (1 0, 015)10 (1,10)10 0, 015 60.000 0, 014897853 1 0, 015 1,10 877.701, 36 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. g) Rentas temporales y fraccionadas Ejemplo 14: Calcular el valor final de una renta mensual de 10 años, si los términos del primer año son de cuantía 5.000 euros, se incrementa acumulativamente un 10% y el tipo de interés es el 1,5%.
S
(12) (5.00012;1,10)10 0 ,015
0, 015 S(60.000;1,10) 10 0 ,015 J (12)
(1 0, 015)10 (1,10)10 0, 015 60.000 0, 014897853 1 0, 015 1,10 1.018.608, 26 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables
0
Valor actual =
a1
a2
a3 ...............................
1
2
3 ............................... ∞
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables
Caso a)
q 1 i
A ( a1 ,q1i ) i lim A ( a1 ,q1i ) i n
a1 a1 (1 i) a1 (1 i)2 a1 (1 i)n 1 lim ... 2 3 n n 1 i (1 i) (1 i) (1 i) a1 lim n n 1 i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables
Caso b)
q 1 i
A ( a1 ,q ) i lim A ( a1 ,q ) i n
qn 1 n (1 i) lim a1 n 1 i q
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables
Caso c)
q 1 i
A ( a1 ,q ) i lim A ( a1 ,q ) i n
qn 1 n (1 i) lim a1 n 1 i q
A (a1 ,q)
i
1 a1 1 i q
1 a1 1 i q
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual y perpetua, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
1
50.500 …..... 2 ................... ∞
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta anual y perpetua, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5%.
A (a1 ,q)
i
A (50.000;1,01)
10.000.000 €
0 ,015
1 50.000 1 0, 015 1, 01
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables
Valor actual =
a1
a2
a3 .............................
0
1
2 ....................................... ∞
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables ..
..
A ( a1 ,q ) i lim A ( a1 ,q ) i n
1 (1 i) n qn lim a1 n 1 i q ..
A ( a1 ,q ) i
1 (1 i) (1 i) a1 1 i q
1 a1 (1 i) 1 i q
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables Ejemplo 2: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5%.
Valor actual =
50.000
50.500
0
1
51.005 ……… 2
∞
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables Ejemplo 2: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término es 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5%.
1 (1 0, 015) A ( 50.000;1,01) 0 ,015 50.000 1 0, 015 1,10 10.150.000 € ..
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables
d
0
a1
a2 .............................
1
2 ...................................... ∞
Valor actual =
d / A (a1 ,q)
i
A (a1 ,q)
i
(1 i)
d
1 a1 (1 i) d 1 i q
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
3
50.500 …… 4 ................... ∞
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables Ejemplo 3: Calcular el valor actual de una renta anual y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés el 1,5%.
d / A (a1 ,q)
i
A (a1 ,q)
2 / A (50.000;1,01)
i
i
(1 i) d
A (50.000;1,01)
2
i
(1 0, 015)
1 50.000 (1 0, 015)2 9.706.617, 49 € 1 0, 015 1, 01
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables
d
a1
a2 ........................................
0
1 .................................................. ∞
Valor actual =
..
..
d / A (a1 ,q) i A (a1 ,q) i (1 i)
d
1 a1 (1 i) (1 i) d 1 i q
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés el 1,5%. 50.000 0 Valor actual =
2
50.500 3 ...................
∞
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables Ejemplo 4: Calcular el valor actual de una renta anual, prepagable y perpetua, si su primer término comienza a ser efectivo a los tres años y su cuantía es de 50.000 euros, se incrementa acumulativamente un 1% y el tipo de interés el 1,5%. ..
..
2 / A (50.000;1,01) i A (50.000;1,01) i (1 0, 015)2 1 2 50.000 (1 0, 015) (1 0, 015) 1 0, 015 1, 01 9.852.216, 75
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas perpetuas y fraccionadas
A ..
(m ) (a1 ,q) i
(m)
A (a1 ,q) i
i J (m ) i
J (m )
A (a1 ,q)
i
A (a1 ,q) (1 i m ) i
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta mensual y perpetua, si los términos del primer año son de cuantía 5.000 euros, se incrementan acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5%. 12
12
J (12) J (12) 1 i 1 1 0, 015 1 12 12 1 12 J (12) (1 0, 015) 1 12 0, 014897853
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 5: Calcular el valor actual de una renta mensual y perpetua, si los términos del primer año son de cuantía 5.000 euros, se incrementan acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5%.
A
(12) (5.00012;1,01) 0 ,015
0, 015 A (60.000;1,01) 0 ,015 J (12)
0, 015 1 60.000 0, 014897853 1 0, 015 1, 01 12.082.277, 89 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 6: Calcular el valor actual de una renta mensual, perpetua y prepagable, si los términos del primer año son de cuantía 5.000 euros, se incrementan acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5%. 12
J (12) 12 1 i 1 1 0, 015 1 i12 12 1 12
i12 (1 0, 015) 1 0, 001241488 J (12) i12 12 0, 001241488 12 0, 014897853
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.2. Rentas variables en progresión geométrica. e) Rentas perpetuas y fraccionadas Ejemplo 6: Calcular el valor actual de una renta mensual, perpetua y prepagable, si los términos del primer año son de cuantía 5.000 euros, se incrementan acumulativamente un 1% y el tipo de interés es el 1,5%. ..
(12 )
A ( 5.00012;1,01) 0 ,015
0, 015 A (60.000;1,01) (1 0, 001241488) 0 ,015 J (12)
0, 015 1 60.000 (1 0, 001241488) 0, 014897853 1 0, 015 1,10 12.097.277, 89 €
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.3. Rentas variables en general. Ejemplo 1: Calcular los términos amortizativos de una renta si su valor actual es 1.000.000 de euros y los dos primeros años son de cuantía “a”; los dos segundos, el doble; y los dos últimos, el triple. El tipo de interés es el 2% los tres primeros años y el 3% los tres últimos.
0
a
a
2· a
1
2
3
i = 0,02
2· a 3· a 4
5
i = 0,03
3· a 6
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.3. Rentas variables en general. Ejemplo 1: Calcular los términos amortizativos de una renta si su valor actual es 1.000.000 de euros y los dos primeros años son de cuantía “a”; los dos segundos, el doble; y los dos últimos, el triple. El tipo de interés es el 2% los tres primeros años y el 3% los tres últimos.
3 a a 2 0,03 2a 2a 1.000.000 a a 2 0,02 3 3 3 (1, 02) 1, 03 (1, 02) 1, 03 (1, 02) 3 a 2 0,03 2 2 a a 2 0,02 3 3 1, 02 1, 03 (1, 02) 1, 03 (1, 02)
TEMA 6: RENTAS VARIABLES 6.3. Rentas variables en general. Ejemplo 1: Calcular los términos amortizativos de una renta si su valor actual es 1.000.000 de euros y los dos primeros años son de cuantía “a”; los dos segundos, el doble; y los dos últimos, el triple. El tipo de interés es el 2% los tres primeros años y el 3% los tres últimos. Cuantía de los términos:
a1 a 2 a 91.678,18 € a 3 a 4 2 a 183.356, 37 € a 5 a 6 3 a 275.034, 55 €