Tema 7: Acciones del campo magnético sobre cargas móviles Los fenómenos magnéticos son conocidos desde la Antigüedad; hace más de dos mil años, los griegos descubrieron que un mineral, actualmente denominado magnetita, atraía trozos de hierro; la magnetita es un imán natural. También hay constancia de que desde antes del siglo XII se utilizaba la propiedad de una aguja imantada de señalar siempre al norte para fabricar brújulas con las que orientarse en la navegación. Se denominan sustancias magnéticas las que son atraídas por la magnetita, como el hierro, el acero, el cobalto o el níquel. Las sustancias magnéticas, a su vez, pueden convertirse en imanes mediante diferentes formas de imantación: • Si las sustancias se frotan con magnetita, se convierten en imanes artificiales que pueden ser temporales o permanentes. En este último caso conservan durante mucho tiempo su poder magnético. • Si se someten a una corriente eléctrica, también se comportan como imanes; si esto sucede, mientras dura el paso de la corriente se denominan imanes artificiales temporales, o electroimanes. La imantación también puede ser permanente Los imanes manifiestan sus propiedades magnéticas sin necesidad de que exista contacto con las sustancias con las que interaccionan. Las interacciones magnéticas, por tanto, se manifiestan a distancia. Es posible visualizar las líneas magnéticas de un imán espolvoreando limaduras de hierro o situando pequeñas agujas imantadas sobre una cartulina situada encima de un imán. Se observa claramente la distribución de las limaduras o de las agujas en unas líneas que se denominan líneas de fuerza magnéticas Las agujas imantadas de cada brújula se orientan tangencialmente a las líneas de fuerza magnéticas.

LA TIERRA: UN GIGANTESCO IMÁN William Gilbert (1544-1603) señaló que la propiedad de una aguja imantada de orientarse hacia el Norte geográfico muestra que la Tierra es un gigantesco imán permanente: su polo sur magnético está en las proximidades del polo Norte geográfico. Convencionalmente se denomina polo norte de un imán al que se orienta hacia el Norte geográfico.

En las zonas donde las líneas están más juntas, el efecto del imán es más intenso. Estas zonas se localizan en los extremos del imán y se denominan polos, que convencionalmente se llaman polo norte y polo sur. Es fácil comprobar experimentalmente que polos de diferente nombre se atraen y polos de igual nombre se repelen. Cuando se acerca el polo de un imán a una sustancia magnética, en el extremo cercano al imán se induce un polo momentáneo contrario al del imán; el imán y la sustancia se atraen aunque esta no sea un imán. Cuando se retira el imán, desaparece el magnetismo que manifestaba la sustancia. Si se rompe un imán en dos trozos, cada uno de ellos se comporta como un nuevo imán que presenta sus propios polos norte y sur: es imposible separar los polos de un imán. Este comportamiento sugiere que el magnetismo se debe a la estructura interna de la materia.

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2. EL CAMPO MAGNÉTICO Y LA FUERZA DE LORENTZ

REPRESENTACIÓN DE LAFUERZA MAGNÉTICA

Trozos de hierro o pequeñas agujas imantadas son atraídos por un imán, que en ausencia del mismo permanecen inmóviles: se dice entonces que ha producido un campo magnético en el espacio que lo rodea. Si se sitúa una carga eléctrica en reposo en un campo magnético, no se observa ninguna interacción entre ambos. Pero, si la carga eléctrica se mueve, se manifiesta una fuerza sobre ella; experimentalmente se comprueba que esta fuerza ejercida por el campo es proporcional al valor de la carga y a su velocidad: la dirección de la fuerza es perpendicular a la velocidad de la carga. Se define un vector , denominado inducción magnética, en cada punto del mediante la relación, y se mide en T(Teslas):

donde es la fuerza que actúa sobre una carga eléctrica en movimiento que se introduce en el campo, q es el valor de dicha carga, es su velocidad y vector inducción magnética, que representa matemáticamente al campo magnético Si α es el ángulo que forman en un punto del espacio los vectores que el módulo de la fuerza que actúa sobre la carga en ese punto es:

y

,se tiene

F = qvB sen α La expresión anterior justifica el hecho de que, si la carga se introduce paralela al vector , no aparece ninguna fuerza sobre ella, ya que entonces α = 0º lo que implica que sen α = 0. Si la intensidad del vector inducción magnética es la misma en todos le el campo se denomina campo magnético uniforme. Las líneas que en cada pto son tangentes al vector se denominan líneas de inducción magnética o líneas de fuerza del campo y constituyen una representación gráfica del campo magnético. REPRESENTACIÓN DE LAS LINEAS DE FUERZA DEL CAMPO

REGLA DE LA MANO DERECHA (I) Para determinar el sentido de la fuerza magnética, puede recurrirse a la llamada «regla de la mano derecha». Cuando el dedo índice de la mano derecha apunta en la dirección de v y el dedo corazón en la de B, el pulgar apunta en la dirección y sentido de F para una carga positiva. Cuando la carga es negativa, el sentido de F es el contrario.

REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA

Hacia fuera del papel ●

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●

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Hacia dentro del papel

x x x x x x

x x x x x x

Fuerza de Lorentz Si una carga eléctrica q se encuentra en una región del espacio en la que coexisten un campo eléctrico de intensidad y un campo magnético , actuarán sobre la carga una fuerza eléctrica q y una fuerza debida al campo magnético la fuerza total sobre la carga será la suma de ambas y se llama fuerza de Lorentz

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3.

MOVIMIENTOS DE CARGAS ELÉCTRICAS BAJO CAMPOS MAGNÉTICOS UNIFORMES

Las cargas eléctricas que se mueven dentro de campos magnéticos experimentan la fuerza de Lorentz. Según la posición relativa de los vectores velocidad e inducción magnética , pueden presentarse los siguientes casos: • Si es paralela a . Cuando una partícula cargada penetra en un campo magnético con velocidad paralela a la inducción magnética , no aparece sobre ella ninguna fuerza (F = qvB sen 0° = 0) y, por tanto, se moverá con movimiento rectilíneo uniforme de velocidad . • Si es perpendicular a . Cuando una partícula con una carga eléctrica q y una masa m se introduce perpendicularmente a la dirección de un campo magnético uniforme, actuará sobre ella una fuerza cuyo módulo constante es F=qvBsen90°= qvB, y cuya dirección es perpendicular al vector y al vector en todo momento. La partícula efectuará un movimiento circular uniforme en el que la fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta necesaria; por tanto, si R es el radio de la trayectoria, la fuerza centrípeta será: de donde El período T que tarda en recorrer la circunferencia es: Se trata de un MCU entonces su velocidad angular será • Si forma un ángulo α cualquiera con . En este caso actúa sobre la partícula una fuerza de módulo F = qvB sen α. La partícula seguirá una trayectoria helicoidal que se proyecta en un plano perpendicular a según una circunferencia de radio:

El movimiento de cargas eléctricas bajo campos magnéticos uniformes tiene importantes aplicaciones prácticas, como el control de trayectorias de partículas cargadas en los aceleradores de partículas que se utilizan en las investigaciones de física de altas energías. En los espectrógrafos de masas se utiliza un campo magnético para medir las masas de los distintos isótopos de un elemento químico. Los iones de los isótopos tienen la misma carga eléctrica pero distinta masa, por lo que, si se introducen estos iones perpendicularmente en un campo magnético uniforme con velocidades iguales, describirán trayectorias circulares de radio diferente en función de su masa, de acuerdo con la expresión R = mv/qB. CARGA CON MOVIMIENTO PERPENDICULAR AL CAMPO

CARGA CON MOVIMIENTO BAJO UN ÁNGULO CUALQUIERA

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4.

FUERZAS MAGNÉTICAS SOBRE CORRIENTES ELÉCTRICAS

Puesto que el campo magnético ejerce una fuerza sobre las cargas en movimiento, y la corriente eléctrica es un movimiento ordenado de cargas, puede concluirse que sobre un conductor inmerso en el interior de un campo magnético actuará también una fuerza. Los campos magnéticos ejercen fuerzas sobre las corrientes eléctricas.

4.1 Fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo El caso más sencillo para calcular el valor de la fuerza magnética ejercida por el campo sobre una corriente eléctrica es el de un conductor rectilíneo. SEGMENTO DE CONDUCTOR RECTILÍNEO DE LONGITUD L

Se tiene, como se muestra en la figura, un segmento de longitud L de un conductor rectilíneo de sección S por el que circula una intensidad de corriente I. Si se considera el cilindro de base S y longitud L = vΔt, siendo v la velocidad media de las cargas en el conductor y Δt un intervalo de tiempo, las cargas contenidas en ese cilindro se desplazan una longitud L en el tiempo Δt y, por tanto, todas ellas pasarán por la sección S en dicho tiempo.

Si se denomina Δq a la carga total que atraviesa S en el tiempo Δt, la intensidad de corriente es:

La fuerza de Lorentz sobre la carga Δq será: Por tanto: Esta es la fuerza magnética sobre el conductor de longitud L por el que circula la corriente I y que forma un ángulo α con el vector . También puede escribirse esta expresión en su forma vectorial.

La fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo de longitud L por el que circula una corriente I situado en un campo magnético B es:

El sentido del vector L es el de la corriente. La fuerza es perpendicular al conductor y al campo magnético.

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4.2 Momento sobre una espira El comportamiento de una espira en un campo magnético tiene una gran importancia práctica. Se considera el caso de una espira rectangular como la que se muestra en la figura inferior, de dimensiones L1 y L2, por la que circula una corriente eléctrica I. Las fuerzas magnéticas sobre los lados L2 de la espira, son ¡guales en módulo y de sentidos opuestos, por lo que se anulan entre sí al coincidir sus líneas de acción. En cambio, las fuerzas sobre los lados L1 de la espira son iguales en módulo (F1 = IL1B) y dirección, aunque de sentidos contrarios, pero su línea de acción no es la misma, por lo que constituyen un par de fuerzas que producirá un movimiento de giro en la espira. PAR DE FUERZAS SOBRE UNA ESPIRA RECTANGULAR

El momento del par de fuerzas sobre la espira es M = F1d, siendo d el brazo del par (d = L2 sen α), por lo que el módulo del momento será: M = F1d = (IL1B)(L2 sen α) = IL1L2B sen α Denominando S al área de la espira (S = L1L2): M = ISB sen α Aunque este resultado se ha obtenido para una espira rectangular, es válido para espiras planas de otras formas geométricas. La expresión anterior puede escribirse , en su forma vectorial. El par de fuerzas sobre una espira de área S por la que circula una corriente I situada en un campo magnético de inducción B es:

Se denomina momento magnético de la espira al producto ; en consecuencia, el momento del par ejercido sobre una espira es el producto vectorial del momento magnético de la espira por el vector inducción magnética:

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5.-. CAMPOS MAGNÉTICOS DEBIDOS A CARGAS EN MOVIMIENTO Las investigaciones de Oersted (1777-1851) mostraron en 1820 que una corriente eléctrica desvía una aguja imantada de la misma forma que lo hace un imán; se ponía así de manifiesto, como había sugerido Ampére (1775-1836), que las corrientes eléctricas producen campos magnéticos.

5.1 Campo magnético debido a un conductor rectilíneo. Ley de Biot y Savart Biot (1774-1862) y Savart (1791-1841) midieron el valor de la inducción magnética B debida a un conductor rectilíneo largo por el que circula una corriente I en un punto situado a una distancia r del mismo. Llegaron a la conclusión de que el campo es directamente proporcional a la intensidad de la corriente e REGLA DE LA MANO DCHA inversamente proporcional a la distancia r: Cuando el dedo pulgar apunta en la dirección de la corriente, el sentido de las líneas de campo magnético que rodean al conductor viene determinado por el que indican los otros dedos de la mano.

La constante de proporcionalidad k, que depende del medio, en el vacío suele escribirse como:

Con ello: que es la expresión del campo magnético debido a un conductor rectilíneo, donde | es una constante denominada permeabilidad magnética del vacío y cuyo valor es 4π·10-7 N /A2. Si el medio no es el vacío, habría que sustituir en la expresión anterior por la permeabilidad magnética del medio en que se encuentre el conductor. El vector es tangente en cada punto a una circunferencia centrada en el conductor; el sentido de depende del sentido de la corriente I. A partir del resultado anterior, Biot y Savart supusieron que el campo magnético debido al conductor era la suma de los campos magnéticos creados por cada uno de los elementos de corriente en los que podía dividirse el conductor original, llegando a establecer así la ley que lleva su nombre. El valor de la inducción magnética ΔB debida a un elemento de conductor de longitud ΔL por el que circula una corriente I en un punto P a una distancia r del mismo es: Siendo α el ángulo que forman los vectores La dirección de producto vectorial forma vectorial:

y

es perpendicular a y a , es decir, tiene la dirección del . Por ello, la ley de Biot y Savart puede expresarse en 6

5.2 Campo magnético debido a una corriente circular La ley de Biot y Savart permite calcular fácilmente el campo magnético en el centro de una espira circular de radio R por la que circula una corriente eléctrica I. Dado que el campo es perpendicular a todos los elementos de corriente en que puede descomponerse la espira, es perpendicular al plano que la contiene; el ángulo α vale 90° para todos los elementos. Por tanto:

de donde:

y, dado que la suma de las longitudes de todos los elementos de corriente es igual a la longitud de la circunferencia (2πR), resulta:

El módulo del campo magnético en el centro de una espira circular es directamente proporcional a la intensidad de la corriente e inversamente proporcional a su radio. La dirección de es perpendicular al plano de la espira, y su sentido está determinado por el avance de un sacacorchos que gire en el mismo sentido de la corriente o por el que indiquen los dedos de la mano derecha salvo el pulgar, que indica el sentido de la intensidad (tal y como se indicó en el caso del conductor rectilíneo).

6. FUERZAS MAGNÉTICAS ENTRE DOS CONDUCTORES RECTILÍNEOS Si se tienen dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan, en el mismo sentido, las corrientes eléctricas I1 e I2, respectivamente, separados por una distancia r, el primer conductor genera un campo cuya inducción magnética en un punto cualquiera del segundo conductor es, de acuerdo con la ley de Biot y Savart:

El campo magnético B1 es perpendicular al segundo conductor (α = 90°) y al plano que este forma con el primero. Dicho campo ejerce sobre un segmento de longitud L del segundo conductor, por el que circula la corriente I2, una fuerza cuyo módulo, según la expresión de la fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo, es: Como α=90º: Sustituyendo el valor de B1, se obtiene:

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Del mismo modo se calcula la fuerza F1-2 que ejerce el segundo conductor sobre un segmento de longitud L del primero, y se obtiene el mismo valor de la expresión anterior. Estas fuerzas, de módulos iguales, están contenidas en el mismo plano que los conductores y su dirección es perpendicular a ellos. Si ambas corrientes tienen el mismo sentido, las fuerzas atraen entre sí a los conductores; si son de sentido contrario, los repelen entre sí. La expresión anterior se utiliza para definir el amperio (A), que es la unidad de intensidad de la corriente eléctrica en el Sistema Internacional. Si en la expresión de la fuerza se considera r = 1 m, I 1 = I 2 = 1 A, y teniendo en cuenta que = 4π·10-7 N /A2 resulta:

Dos conductores rectilíneos paralelos situados en el vacío a un metro de distancia están recorridos en el mismo sentido por corrientes de un amperio, si se atraen con una fuerza de 2·10-7 N por metro de longitud.

7.- LEY DE AMPERE La expresión del campo magnético creado por un conductor rectilíneo puede escribirse de la forma: El primer miembro se denomina circulación del vector a lo largo de la circunferencia. Ampére demostró que esta expresión es válida para cualquier línea cerrada que englobe una o más corrientes. La circulación del vector es la suma a lo largo de la línea de los productos , en donde son los elementos diferenciales de longitud de la línea cerrada. En este caso, la suma se extiende a un conjunto infinito de elementos diferenciales y se transforma en una integral. Circulación de :

Ley de Ampére: La circulación de a lo largo de una línea cerrada es igual a la intensidad de la corriente o corrientes encerradas por ella:

veces

El término Σ I se interpreta tomando como positivas las corrientes encerradas por la línea con sentido de avance del sacacorchos que gira en el sentido de la circulación, y negativas, las corrientes con sentido contrario. La ley de Ampére permite calcular el campo magnético debido a conductores eléctricos en determinados casos, siempre que la geometría permita calcular fácilmente la circulación a lo largo de una línea cerrada. Sin embargo, no es válida cuando las corrientes no son constantes.

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8.- APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE AL CÁLCULO DE CAMPOS MAGNÉTICOS 8.1 Campo magnético debido a un solenoide Un solenoide es un conjunto de espiras circulares paralelas que pueden ser recorridas por la misma corriente. Puede comprobarse experimentalmente que el campo magnético debido a un solenoide es muy intenso en su interior, paralelo a su eje y prácticamente uniforme. En puntos exteriores y alejados del eje del solenoide, el campo es muy débil. Para calcular el campo magnético puede partirse del estudio de un solenoide como el de la figura, de longitud L, por el que circula una corriente I y formado por N espiras. Si se considera el rectángulo OPQR señalado, la circulación a lo largo de él es: La corriente encerrada por este rectángulo es NI. Por tanto, aplicando la ley de Ampére, se tiene: Como el campo exterior puede considerarse prácticamente nulo (B• RQ = 0), y los vectores QP y OR son perpendiculares al campo (B • QP = B • OR = 0), resulta: B • PO = B • L = BL cos 0° = BL =

NI

Si se denomina n al número de espiras por unidad de longitud (N/L), resulta la expresión para el campo magnético en un solenoide: B=µ0nI El campo magnético en el interior del solenoide no depende de su diámetro ni de su longitud, sino de la concentración de espiras a lo largo del mismo (de lo apretadas que estén). Si en el interior del solenoide se introduce un núcleo de hierro, el valor de la inducción magnética puede ser hasta mil veces mayor (µHIERRO ~ 1 000 µ) Electroimanes Un electroimán es un imán artificial que produce un campo magnético cuando circula por él la corriente eléctrica y solo mientras dura el paso de la misma. Suelen estar constituidos por un solenoide en cuyo interior se ha introducido un núcleo de hierro dulce para incrementar el campo magnético. El electroimán presenta ventajas respecto a un imán: • Permite obtener campos magnéticos más intensos. • Facilita invertir el sentido del campo magnético invirtiendo el sentido de la corriente. • Posibilita controlar el valor del campo magnético controlando el valor de la corriente eléctrica. Los electroimanes tienen importantes aplicaciones técnicas. Se utilizan en timbres eléctricos, altavoces, grúas para transporte de hierro, relés, receptores telefónicos, etc.

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8.2 Campo magnético debido a un toroide Un toroide es un conjunto de espiras circulares arrolladas en torno a un núcleo de hierro en forma de anillo (anillo toroidal). Para calcular el campo magnético en el interior, se considera un toroide de radio medio R por el que circula una corriente eléctrica I, como se muestra en la figura. El toroide puede tratarse de manera equivalente a un solenoide de longitud L = 2πR; por tanto, el campo magnético en el interior del toroide es: B=µ0nI= donde N es el número de espiras arrolladas en el toroide. Las líneas de fuerza del campo magnético son circulares, y el valor de la inducción magnética es prácticamente igual en todos los puntos interiores del toroide. En puntos exteriores del toroide, el campo magnético es prácticamente nulo.

9.- MAGNETISMO NATURAL La explicación del comportamiento magnético de las sustancias hay que buscarla en la estructura interna de la materia, teniendo en cuenta que, como ya sugirió Ampére, el origen del magnetismo son las corrientes eléctricas. Los electrones tienen en los átomos un movimiento orbital alrededor del núcleo y un movimiento de giro sobre sí mismos o espín. Por ello, actúan como pequeñas espiras de corriente que generan un campo magnético; es decir, se comportan como pequeños imanes. Los efectos de estos pequeños imanes atómicos pueden acumularse o anularse entre sí. Además, los imanes atómicos pueden agruparse en conjuntos de átomos, denominados dominios, que actúan como si se tratase de un solo átomo. MEDIDA DE LA FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA SUSTANCIA

Dinamómetro Escala

Sustancia analizada

Electroimán

Debido a ello, no todas las sustancias se comportan del mismo modo cuando se encuentran en presencia de un campo magnético. Para comprobarlo, basta con introducirlas por uno de los extremos de un electroimán y medir la fuerza que ejerce el campo magnético sobre ellas. Cuando esta experiencia se realiza con diversos tipos de sustancias, algunas se mueven hacia el interior del electroimán, o lo que es lo mismo, hacia la zona donde el campo magnético se intensifica. Otro pequeño grupo de sustancias, como por ejemplo compuestos de hierro y níquel, manifiestan este comportamiento de manera muy acentuada experimentando una intensa fuerza magnética. En otros casos, la muestra se aleja del electroimán moviéndose hacia la zona de menor intensidad de campo magnético.

Según el comportamiento de las sustancias ante los efectos de un campo magnético externo,10 puede establecerse una clasificación en tres grandes grupos: sustancias diamagnéticas, sustancias paramagnéticas y sustancias ferromagnéticas

Sustancias diamagnéticas En las sustancias diamagnéticas, el momento magnético de cada átomo, resultante de los momentos magnéticos de sus electrones (debidos a los movimientos orbitales y espín), es cero; por ello, este tipo de sustancias no presenta efectos magnéticos observables. Si la sustancia se sitúa en un campo externo, se induce un campo magnético momentáneo muy débil de sentido opuesto al externo, que tiende a alejar la sustancia del imán. Se trata, por tanto, de sustancias que son repelidas ligeramente por los imanes. Compuestos químicos como el agua, el cloruro sódico y el alcohol, así como elementos químicos como el oro, la plata, el cobre o el plomo, son sustancias diamagnéticas. El valor de la permeabilidad magnética de estas sustancias es siempre inferior al de la permeabilidad magnética del vacío (µ 0 ).

COMPORTAMIENTO DE UNA SUSTANCIA DIAMAGNÉTICA

Sustancias paramagnéticas En las sustancias paramagnéticas, los átomos presentan de forma individual un momento magnético no nulo debido al movimiento orbital de sus electrones y a su espín Al aplicar un campo magnético externo, los momentos magnéticos tienden a alinearse con él, si bien no se consigue una alineación total debido a la agitación térmica. No obstante, se genera un campo magnético resultante (que es la causa de la atracción) hacia las zonas más intensas del campo, que es el que experimenta la sustancia en presencia del campo magnético externo.

COMPORTAMIENTO DE UNA SUSTANCIA PARAMAGNETICA

La permeabilidad magnética de estas sustancias es superior a la permeabilidad magnética del vacío (µ 0 ).Son sustancias paramagnéticas el estaño, el platino, el oxígeno y el aluminio, todas ellas débilmente atraídas por los imanes. El paramagnetismo aumenta al descender la temperatura, de modo que los mayores efectos paramagnéticos se observan cerca del cero absoluto

Sustancias ferromagnéticas Son sustancias atraídas muy intensamente por los imanes, con una intensidad hasta 100000 veces mayor que una sustancia paramagnética: por ejemplo, el hierro, el cobalto o el níquel. Los efectos ferromagnéticos desaparecen por encima de una temperatura, característica de cada sustancia, llamada punto de Curie. El hierro, por ejemplo, deja de ser ferromagnético por encima de 1 042 K; sin embargo, el níquel lo hace por encima de 631 K.

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COMPORTAMIENTO DE UNA SUSTANCIA FERROMAGNÉTICA

En las sustancias ferromagnéticas, los átomos están agrupados en grandes dominios, en cada uno de los cuales los momentos magnéticos de todos sus átomos presentan una misma orientación debido a la interacción entre ellos. Cada dominio se comporta como si fuese un solo átomo, con un momento magnético resultante. La orientación de este momento magnético resultante varía de un dominio a otro, por lo que, al contrarrestarse entre sí, la sustancia no presenta efectos magnéticos apreciables; pero, en presencia de un campo externo, todos los momentos magnéticos se alinean en la dirección de este campo, generando un campo interno muy intenso que es la causa de la fuerte atracción que experimentan.

En las sustancias ferromagnéticas, la contribución del espín al magnetismo total es aproximadamente del 90 %, frente a un 10 % del movimiento orbital de los electrones. Por encima de una temperatura crítica (punto de Curie) la agitación térmica desalinea los dominios, y la sustancia pierde su ferromagnetismo y pasa a comportarse como una sustancia paramagnética.

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