TEMA 7: LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán 1. INTRODUCCIÓN ..........................................................................................1 2. DEFINICIONES BÁSICAS EN POLÍGONOS CONVEXOS............................1 3. CUADRILÁTEROS ........................................................................................2 4. POLÍGONOS REGULARES ..........................................................................3 5. TESELACIONES ...........................................................................................7 6. PERÍMETROS Y ÁREAS...............................................................................8

1. INTRODUCCIÓN En este capítulo se hará un breve estudio de los polígonos de más de tres lados, se describirán los elementos integrantes de los polígonos y las relaciones fundamentales de los mismos, dedicando un especial interés a los cuadriláteros, sobre los que se hará una clasificación de los diferentes tipos. Se enunciará el teorema de Gauss sobre polígonos regulares construibles con regla y compás y se describirán procedimientos gráficos para construirlos de forma exacta. Finalmente se estudiará el perímetro y la superficie de los mismos y, por, ende de la circunferencia y del círculo, de donde surge el número pi.

2. DEFINICIONES BÁSICAS EN POLÍGONOS CONVEXOS. Un polígono es la zona del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los segmentos de la poligonal constituyen los lados del polígono. Los extremos de dichos segmentos son los vértices del polígono En un polígono convexo se distinguen dos tipos de ángulos: o

Ángulo interior: el formado por las semirrectas que contienen a dos lados y cuyo origen está en el vértice común de los mismos.

o

Ángulo exterior: el formado por las semirrectas que contienen a un lado y a la prolongación del siguiente con origen en el vértice común.

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Un polígono tiene el mismo número de lados que de vértices y de ángulos, tanto interiores como exteriores. Los segmentos que unen vértices no consecutivos son las diagonales del polígono. Si desde un vértice se trazan todas las diagonales se obtienen n-2 triángulos siendo n el número de lados del polígono. Como los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, los ángulos interiores de un polígono de n lados sumarán (n-2)·180º. Los ángulos exteriores son suplementarios de los interiores correspondientes, por lo que su suma es n.180º-(n-2)·180º = 2·180º = 360º Tarea 1: Deduce la siguiente fórmula para calcular el número de diagonales de un polígono de n lados: n(n − 3) n(n − 1) = −n 2 2

3. CUADRILÁTEROS Son polígonos de cuatro lados y cuatro

ángulos.

Pueden

ser

cóncavos y convexos. Son los polígonos con menor número de lados que tienen diagonales (2 diagonales). Sus ángulos interiores suman

360º,

al

igual

que

los

exteriores. Los cuadriláteros reciben nombres diferentes según sean sus lados y sus ángulos: Paralelogramos. Son los cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos: o

Cuadrado. Es el paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos iguales (son rectos). Sus diagonales son iguales y perpendiculares.

o

Rectángulo. Sus lados son iguales dos a dos y sus cuatro ángulos son iguales (son rectos). Sus diagonales son iguales.

o

Rombo. Sus cuatro lados son iguales y sus ángulos son iguales dos a dos. Las diagonales son perpendiculares.

o

Romboide. Los lados son iguales dos a dos y los ángulos son iguales dos a dos.

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Trapecios. Son los cuadriláteros que tienen sólo dos de sus lados paralelos: o

Trapecio rectángulo. Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos ángulos rectos.

o

Trapecio isósceles. Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos lados iguales.

o

Existen otros trapecios que no son ni isósceles ni rectángulos.

Trapezoides. Son los cuadriláteros que no tienen ninguno de sus cuatro lados paralelos. Un tipo de trapezoide con nombre específico son los cometas, que tienen los lados iguales consecutivos dos a dos y los ángulos que forman los lados consecutivos desiguales son iguales. Se puede probar que las diagonales son perpendiculares. Tarea 2. Representa en un geoplano de nueve puntos todos los polígonos descritos en el texto anterior y dibújalos. Tarea 3. Construye con el mecano las diagonales de los cuadriláteros y coloca gomas para formar los lados. Observa las figuras resultantes según los diferentes criterios (se cortan o no en el punto medio; se cortan o no perpendicularmente; tienen la misma longitud o diferente longitud) y elabora un mural en A3, dibujando los cuadriláteros y clasificando atendiendo a los criterios anteriores.

4. POLÍGONOS REGULARES. A los polígonos que tienen sus lados y sus ángulos iguales se les denomina regulares. Atendiendo al número de lados, los primeros polígonos regulares son: el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular y el hexágono regular (exágono). Todos los polígonos regulares son inscribibles en una circunferencia (la circunferencia que pasa por todos sus vértices) como muestra el hexágono de la figura. Un polígono regular contiene tantos triángulos isósceles iguales como lados tenga y tienen en el centro de la circunferencia, O, un vértice común a todos los triángulos. Al ángulo α se le denomina ángulo central y su valor es 360º/n, siendo n el número de lados del polígono regular. Esto proporciona un método para construir polígonos regulares inscritos en una circunferencia; tan solo hay que marcar los vértices correspondientes después de medir con el transportador los ángulos correspondientes.

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El segmento OM que es la altura del triángulo isósceles BCO se denomina apotema. Es evidente que un polígono regular tiene tantas apotemas como lados. Construcciones exactas de polígonos regulares De todos los polígonos regulares, el triángulo equilátero y el cuadrado son muy fáciles de construir. Pero no todos los polígonos se construyen tan fácilmente, incluso hay muchos que no se pueden construir con regla y compás de forma exacta, como pone de manifiesto el teorema de Gauss. Teorema de Gauss. Los únicos polígonos regulares con un número primo de lados que se pueden construir inscribiéndoles en una circunferencia dada son aquellos en que

Obsérvese que los polígonos de 7, 9, 11, 13,… lados no se pueden construir. En el caso del hexágono regular, el lado del hexágono y el radio de la circunferencia circunscrita son iguales y, por tanto,

con

el

compás

se

obtienen

los

vértices

inmediatamente como aparece en la figura del margen a partir de un diámetro de la circunferencia. A partir de este hexágono se puede construir el triángulo inscrito como se indica en la misma figura. El cuadrado también considerando

dos

se construye de forma sencilla diámetros

perpendiculares.

Éstos

determinan los vértices A, B, C y D . A partir del cuadrado regular es fácil obtener los polígonos regulares de 8, 16, 32, 64,… lados y, para ello, sólo hay que trazar las mediatrices a sus lados (o bisectrices de sus ángulos centrales). Análogamente, por el mismo procedimiento, a partir del hexágono regular se pueden obtener los polígonos regulares de 12, 24, 48,… lados. La construcción de otros polígonos regulares es un poco más complicada y en cada caso hay que utilizar un método diferente. En la figura siguiente se muestra la construcción del pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio, r, dado. En este caso la longitud del lado es la longitud de la hipotenusa del triángulo NOA de catetos r y

5 −1 r 2

(no se demuestra) y para dibujar este segmento se procede

como se indica en la figura adjunta: 4 de 16

o

Partiendo de la circunferencia de centro O y radio OR, se traza el punto medio de OR, M. Este punto determina con A, punto de la circunferencia situado en un radio perpendicular a OR, y con O un triángulo rectángulo en O cuya hipotenusa AM mide

o

5 r 2 5 −1 5 r r (pues a NM = AM = r se le resta ) y OA=r, se obtiene 2 2 2

Como NO =

que el lado del pentágono es la hipotenusa de NOA. o

Los vértices B y E se obtienen mediante la intersección de la circunferencia de partida y la de radio AN centrada en A y los vértices C y D como intersección de la circunferencia de partida y la de radio AN centrada en B y en E.

Otra construcción se basa en que la proyección del radio OE sobre el diámetro que pasa por A es

= OM2 =

5 −1 r . La figura adjunta se ha construido dibujando el segmento OP 4

5 −1 r. 4

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o

Para ello en primer lugar se construye OS= 5r como hipotenusa de un triángulo rectángulo ORS de lados r y 2r. Se toma T tal que ST = SR = r y, por tanto, OT= ( 5 − 1) r .

o

Se halla el punto medio de OT, M1, de donde OM1=

OM1, M2, de donde OM2=

o

Se toma P sobre OA

5 −1 r y el punto medio de 2

5 −1 r. 4 tal que OP=OM2. La perpendicular al diámetro por P

determina los vértices B y E. Como en los casos anteriores, los polígonos de 10, 20, 40,… lados se construyen duplicando este número de lados con las mediatrices. El polígono de 15 lados tiene un ángulo central de 24º y este ángulo se consigue duplicando la diferencia 72-60, que son los ángulos centrales del pentágono y del hexágono. Por tanto su construcción, una vez que se ha dibujado el pentágono es muy sencilla. A partir del vértice A del pentágono se dibuja la circunferencia centrada en A y radio el de la circunferencia de partida AO. Ésta corta a la circunferencia de partida en D y la diferencia entre los ángulos 6 de 16

AOB (ángulo central del pentágono) y AOD (ángulo central del hexágono)

es el

semiángulo central del pentadecágono. Ya sólo queda duplicarle con una circunferencia auxiliar y llevar esta cuerda 14 veces sobre la circunferencia. Tarea 4. Construye con regla y compás un cuadrado, un hexágono, un octógono y un polígono regular de 12 lados. Polígonos estrellados Otro tipo interesante de polígonos está formado por los polígonos estrellados. Estos se construyen a partir de los polígonos regulares al unir consecutivamente los vértices separados por un número fijo de vértices (salto) hasta llegar al primero. Se denotan por n/m siendo n el número de vértices del polígono regular convexo y m el salto entre vértices. Estos polígonos tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales, pero son cóncavos. En la dirección http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/polirestrellado.htm, aparecen las características de estos polígonos y un applet para generarlos y comprobar sus propiedades.

En la figura adjunta están representados los tres pentadecágonos estrellados que existen: 15/2, 15/4 y 15/7. El polígono estrellado 15/3 no existe porque las diagonales, saltando de tres en tres vértices, generan el pentágono regular, 15/5 tampoco porque genera el triángulo equilátero y 15/6=5/3

tampoco porque genera el pentágono

estrellado. Finalmente, si el salto está comprendido entre n/2 y n, los polígonos que se generan son los mismos (por ejemplo, el polígono 15/2 es el mismo que 15/13), y en lo único que se diferencian es en el sentido de la generación (dextrógiro, sentido horario, o levógiro, sentido antihorario). De hecho, se verifica el siguiente resultado: Teorema. A partir de un polígono regular de n lados se generan tantos polígonos regulares como fracciones irreducibles n/p se puedan obtener, siendo p, el salto, un número entero mayor o igual que 2 y menor o igual que n/2.

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Tarea 5: Localiza, si es posible, un polígono estrellado en las siguientes imágenes de La Alhambra.

5. TESELACIONES Por teselar (recubrir, embaldosar, enlosar, alicatar) el plano se entiende recubrir todo el plano por medio de polígonos sin que queden fisuras ni haya solapamientos. Los únicos polígonos regulares que teselan el plano son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. Esto es así porque, como se indican en las figuras, se forman nudos, N, (vértices de varios polígonos) de manera que los ángulos con el mismo vértice suman 360º. Con el resto de polígonos regulares o no llegan o se exceden.

Todos los cuadriláteros teselan el plano y, por consiguiente,

también

le

teselan

todos

los

triángulos. La figura es un ejemplo de esta afirmación. Otra forma de teselar el plano consiste en intercambiar polígonos. Por ejemplo, la figura siguiente inserta entre cada dos pentágones triángulos isósceles tales que el lado desigual mide 12º. Lógicamente, se harán piezas en forma de rombo con 8 de 16

ángulos de 12º y de 168º para que puedan ser encajadas entre cuatro pentágonos regulares. Tarea 6. Diseña un mosaico en el que se utilicen tres polígonos distintos. Tarea 7: Señala qué polígonos teselan el plano en el siguiente mosaico de la Alambra.

6. PERÍMETROS Y ÁREAS Perímetros Todo polígono está limitado por una línea poligonal cerrada. Si se considera un segmento de longitud unidad, el perímetro de un polígono es el número de veces que la poligonal contiene a dicho segmento y equivale a la suma de las longitudes de los lados del polígono. En el caso de los polígonos regulares, como todos los lados tienen la misma longitud, el perímetro P, se obtiene multiplicando el número de lados por la longitud del lado. El perímetro de los polígonos regulares también se puede calcular en función del radio de la circunferencia circunscrita, r, y de una constante, Cn, que depende del número de lados, n, mediante la siguiente fórmula P=2·Cn·r, ya que la mitad del lado y el radio están siempre en la misma proporción Kn (únicamente depende del ángulo central y, por tanto, del número de lados), así que lado=2·Kn·radio y el perímetro se obtiene multiplicando por n la expresión anterior, de donde se deduce, si se hace Cn=nKn la fórmula Pn=2·Cn·r. Tarea 8: Partimos de una circunferencia de radio r donde se construye un triángulo equilátero, un cuadrado y un hexágono. Calcula el valor de C3, C4 y C6. hallando la relación entre la mitad del lado y el radio, y multiplicando por el número de lados. Comprueba que C3