Ingeniería Industrial. Teoría Máquinas

qINTRODUCCION

TEORÍÍA DE MÁ TEOR MÁQUINAS

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q Hagaelclic parade modificar el estilo de subtítulo del patrón Objetivos: Introducir mundo los trenes de engranajes, analizando los diversos tipos que pueden encontrarse y facilitando los conocimientos básicos necesarios para llevar a cabo el cálculo de las relaciones de transmisión y potencia, así como de los pares transmitidos. Problemas: Los problemas irán orientados a la determinación de relaciones de transmisión y al cálculo de las potencias y pares transmitidos.

 J.M. Pintor Borobia

TEMA 7 Trenes de Engranajes

Indice

Ingeniería Industrial. Teoría Máquinas

q Introducción. q Clasificación. q Trenes ordinarios simples y compuestos.

ðRelación de transmisión. Criterio de signos. q Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón ðPotencias y pares transmitidos. Rendimiento. Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón

qINTRODUCCION

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ðRelación de velocidades. ðRelación de pares. Rendimiento.

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q Trenes epicicloidales simples

Introducción (I) q

Tren de engranajes:

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ð Mecanismo formado por varios pares de engrane acoplados de tal forma que el elemento conducido de uno de ellos es el conductor del siguiente. ð Cadena cinemática formada por varias ruedas que ruedan sin deslizar entre sí. ð Sistema de ejes y ruedas dentadas que incluye más de dos ruedas.

q

Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón

Se recurre a ellos porque:

ð No es posible establecer una determinada µ entre 2 ejes mediante un solo par de ruedas dentadas. ð Se desea un mecanismo con µ variable, lo que tampoco es posible con un solo par de ruedas. qINTRODUCCION

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q

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Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón

Introducción (II) q

La relación de transmisión µ es muy distinta de la unidad:

q

La relación de transmisión µ viene definida por una fracción irreductible:

ð µ = a/b dentro de los márgenes descritos en el punto anterior, pero a > zmáx y b > z máx. Por ejemplo, µ = 133/171.

clic para modificar estilo depor subtítulo del patrón La relaciónqdeHaga transmisión µ viene eldefinida un número racional que no puede establecerse con la suficiente aproximación mediante un único par de clic para subtítulo ruedas de dimensionesHaga limitadas. Pormodificar ejemplo, el µ =estilo π = de 3.14159 ... patrón La relación de transmisión µ ha de establecerse entre dos ejes excesivamente alejados como para establecer la transmisión mediante sólo dos ruedas de dimensiones normales: ð Cuando sucede este tipo de problemática, la solución puede estar en buscar otro tipo de transmisión: correas, cadenas, … qINTRODUCCION

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q

ð Nº mínimo de dientes a tallar sin interferencia de tallado: 2/sen2ϕ (eng. corregidos) y limitaciones constructivas que limitan el nº máximo de dientes (200, 100) ⇒ valor mínimo para la relación de transmisión es de orden de: µmín = 15/100 ÷ 15/200 ≅ 1/6 ÷ 1/12 ð Además, no interesa que la rueda de menos dientes resulte excesivamente pequeña en relación a la otra ⇒ el piñón se desgasta más que la rueda al entrar más veces en contacto sus dientes y sufrir con ello un mayor desgaste y un mayor número de ciclos de fatiga por unidad de tiempo (mejor material para el piñón).

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q

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Clasificación q

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A partir de consideraciones de índole cinemática, una posible clasificación puede ser: ð Trenes ordinarios. Las ruedas extremas del tren giran sobre los dos ejes entre los que ha de establecerse la relación de transmisión deseada. Todos los ejes de las ruedas (tanto extremas como intermedias) apoyan sobre un mismo soporte fijo. ù Trenes ordinarios simples. ù Trenes ordinarios compuestos: recurrentes o no recurrentes.

ð Trenes epicicloidales. Aquel tren de engranajes en el que alguna rueda gira en torno a un eje que no es fijo, sino que gira en el espacio. También cabe hablar de trenes recurrentes o no recurrentes, según que los ejes de entrada y salida sean o no coaxiales.

q

En los trenes epicicloidales existe algún eje que tiene movimiento relativo respecto de los demás; mientras que en los trenes ordinarios el único movimiento que pueden tener los ejes es el de giro sobre sí mismos. qINTRODUCCION

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ð Trenes mixtos: coexisten los dos tipos de trenes de engranajes anteriores.

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q epicicloidales Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón ù Trenes simples. ù Diferenciales. Haga para modificar el estilo de subtítulo patrón ù Trenes epicicloidales de clic balancín.

Trenes ordinarios simples q

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Un tren ordinario es simple cuando cada eje contiene únicamente una rueda.

ð En este caso, se cumple: ω 1·z1 = -ω 2·z2, ω 2·z2 = -ω 3·z3, … = …, ω n-1·zn-1 = -ω n·zn ð Todas las ruedas deben tener el mismo módulo. dulo ð La relación de transmisión es µ = ± ω n/ω 1. n −1

n

i=1

j= 2

∏ ωi ⋅ zi = ∏ − ω j ⋅ z j

⇒ ω1 ⋅ z1 = ±ωn ⋅ z n

µ=

ωn z n −1 z = ± 1 = (− 1) ⋅ 1 ω1 zn zn

ð EL nº de dientes de las ruedas intermedias (ruedas parásitas) no influye en el valor absoluto de la relación de transmisión (µ):

ù Invertir el sentido de giro final (el signo de la relación de transmisión. ù Modificar la distancia entre los ejes de entrada y salida. q Otra aplicacióqn: cuando separa desea tener más Haga clic modificar el estilo de subtítulo del patrón

qINTRODUCCION

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de un eje de salida de movimiento, para una sola entrada. Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón

Tren ordinario compuesto (I) Un tren ordinario es compuesto cuando, al menos, uno de los ejes es común a varias ruedas. ð ω 1·z1 = ω 2·z2 , ω 2 = ω 3 , ω 3·z3 = ω 4·z4 ð ωentrada = ω 1 = ω 2·z2/z1 , ω salida = ω 4 = ω 3·z3/z4 = ω 2·z3/z4 ð Es decir: ωsalida z1 ⋅ z3 µ=

ωentrada

=±

z2 ⋅ z4

ù ù ù ù

En A, el mov. “entra” por • y “sale” por ‚ (conductora y conducida). En B, el mov. “entra” por ƒ y “sale” por „. Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón Con más grupos, (C, D, …) ídem. ωsalida ∏ z conductoras o motrices = ± ∏ z M µ = = ± En tal caso, podemos deducir ⇒ ωentrada ∏ z conducidas ∏ zC

ð El signo ⇒ observación directa de la figura que representa esquemáticamente el tren. ð No es necesario que todas las ruedas tengan el mismo módulo:

ù R3 < R2, ⇒ (Pot=M i·ω=T·Ri·ω) ⇒ mayor T ⇒ TB > TA ⇒ los dientes de las ruedas del grupo B están más solicitados que las del grupo A y deberían ser construidas con un módulo mayor. qINTRODUCCION

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ð Esta relación hubiese sido la misma aun cuando entre • y ‚, o entre ƒ y „, existieran ruedas intermedias; ya que cada grupo se comporta como un tren ordinario simple ⇒ el módulo de µ depende de las ruedas extremas. q elHaga para de modificar estilo de subtítulo ð Separando tren enclic parejas ruedas, el habrá 2 grupos: A y B.del patrón

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q

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Potencias y pares (I) q

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Prescindiendo del rozamiento, todas las fuerzas que intervienen en un tren de engranajes son las mismas si el tren está quieto, si el tren se mueve con velocidades uniformes en un sentido o si se mueve en sentido contrario. Ello es una consecuencia de que todas las fuerzas de inercia quedan equilibradas. ð En la figura, los sentidos de giro son contrarios, pero las fuerzas son las mismas. ð En el primer caso M 1 actúa en el mismo sentido que ω 1 (es un par motor que introduce trabajo en el sistema) y M 2 es un par resistente que saca trabajo del sistema. ð En el segundo caso, M 1 es el resistente y M2 el motor. q

Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón

Fuerzas activas: activas aquéllas que introducen o sacan trabajo en el sistema.

ð Esto excluye las reacciones en los apoyos y los empujes mutuos entre dientes. ð Las únicas fuerzas activas que hay que considerar en un tren de engranajes son los pares exteriores que actúan sobre las piezas giratorias en su plano de giro. qINTRODUCCION

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q

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Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón

Potencias y pares (II) q

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Para analizar los pares activos aplicamos el teorema de las potencias virtuales: virtuales en un sistema en equilibrio, pero que puede moverse (o se mueve), en cualquier movimiento posible la suma de las potencias que entran al sistema es nula. ð Observando la figura, en la que los pares activos son M 1 y M2, ha de cumplirse: ð En la figura se observa que si ω 1 tiene realmente el sentido dibujado, ω 2 debe tener el sentido contrario ⇒ µ será negativo ⇒ M1 y M 2 tendrán el mismo signo (el dibujado o contrario).

q

En un tren de engranajes, activos sobre los ejes se transmiten Hagalos clicpares para modificar el estilo de subtítulo patrón de un eje al otro por medio de fuerzas tangenciales sobre los contornos de las ruedas (sobre las circunferencias primitivas de funcionamiento). La acción mutua entre dos ruedas es una fuerza (F) perpendicular a la superficie del diente. Esta fuerza tendrá una componente tangencial (T), otra axial (A) paralela al eje, y otra radial (R) perpendicular al eje. De todas ellas, la única que da momento respecto al eje es la tangencial (T). qINTRODUCCION

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q

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M1 ω2 = − = de −µ subtítulo del patrón M + M ⋅ ω = 0 q1 ⋅ ωHaga clic para modificar el estilo 1 2 2 M2 ω1

Potencias y pares (III) q q

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A y R quedan determinadas en función de T y la forma del diente. Las componentes tangenciales (T):

ð No dependen de la forma de los dientes. Quedan determinadas por el equilibrio de cada eje. ð Los momentos respecto al eje permiten determinar T1, T 2 y M2 en función de M 1: M 1–T1·R1=0 -T1·R2+T 2·R3=0 T2·R4–M2=0

ð Se trasladan las Ti al centro de las ruedas. ð Se añaden unos pares T·R.

q

M1 se transmite hasta M2 a lo largo de sucesivos trozos de eje que quedan sometidos a torsión. qINTRODUCCION

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Algunos trozos del eje quedan sometidos a flexión y torsión: Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón  J.M. Pintor Borobia

q

ð Equilibrio del eje ⇒ reacciones en los apoyos de q Haga sentido contrario a T. Tclic para modificar el estilo de subtítulo del patrón

Caja Cambios Ejemplo mas utilizado de trenes de engranajes

ð Sistema mas utilizado para cambiar de velocidades (no solo en automoción, sino también en maquina herramientas)

Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón qAñadir

qINTRODUCCION

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Z3

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q

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q

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Caja Cambios Ingeniería Industrial. Teoría Máquinas

Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón

qINTRODUCCION

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q

Trenes epicicloidales simples (I) q

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Tren epicicloidal es aquel tren de engranajes en el que alguna rueda gira en torno a un eje que no es fijo, sino que gira en el espacio.

En el caso de los trenes epicicloidales, también cabe hablar de trenes recurrentes o no recurrentes, según que los ejes de entrada y salida sean o no coaxiales. qINTRODUCCION

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q

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ð Al brazo ƒ que gira se le llama portasatélites. ð A la rueda „ que gira alrededor de dicho eje se la denomina satélite. ð El sistema, estaclicmanera, tiene doselgrados q de Haga para modificar estilo de subtítulo del patrón de libertad que se restringen a uno haciendo girar al satélite alrededor de una fija el o estilo de subtítulo patrón Haga clic pararueda modificar central ‚.

Trenes epicicloidales simples (I)

Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón

qINTRODUCCION

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q

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Trenes epicicloidales simples (II) Relación de velocidades:

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ð Tenemos un engranaje planetario como el de la figura ù ù ù

Sol (2) Brazo (3) Planetarios (4) y (5)

n23 = n2 − n3 n53 = n5 − n3 n53 n5 − n 3 = n23 n2 − n 3 relación transmisio n µ =

n53 n23

ð O descrito de forma genérica

q

Haga clic para modificar el estilo n −densubtítulo del patrón

µ=

l

a

ù ù ù

Nf = Velocidad primer engranaje (f:first) Na= Velocidad brazo (a:arm) Nl= Velocidad ultimo engranaje (l:last)

ð Formula Willis

nsatelites ( zcorona + zsol ) = ncorona zcorona + nsol zsol qINTRODUCCION

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nfel−estilo na de subtítulo patrón Haga clic para modificar  J.M. Pintor Borobia

q

Trenes epicicloidales simples (II)

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nf = n2 = −250 rpm nl = n6 = 0 rpm  20  16  µ =   = 0.3137  30  34  n − na 0 - na µ= l ; 0.3137 = ⇒ na = 114 rpm (sentido agujas reloj) nf − na − 250 − na q Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del

patrón

qINTRODUCCION

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Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón

Trenes epicicloidales simples (II) Ingeniería Industrial. Teoría Máquinas ð Consideramos primero el tren formado por las ruedas 2, 4 y 7 nsatelites( z corona + z planetario) = ncoronazcorona + n planetarioz planetario n2 ⋅ (76 + 20 ) = 0 ⋅ 20 + 2000 ⋅ 20 2000 ⋅ 20 = 416 .667 rpm (n a ) 96 − −− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − − − −− n2 =

nf = n 2 = 2000 rpm −

nl = n7 = 0

5  20  56  µ = -   = − 19  56  76 

5 0 − na = q Haga ⇒ nclic . 66modificar rpm a = 416 para 19 2000 − na

el estilo de subtítulo del patrón

ð Con la velocidad del brazo, ya conocida, analizamos el tren formado por 2, 4 ,5 y 6.

Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón

na = 416.7 rpm  20  24  µ = −   = −0.2448  56  35  n − na nl − 416.7 µ= l ; - 0.2448 = ⇒ nl = 28.91rpm nf − na 2000 − 416 . 7 qINTRODUCCION TEORÍÍA DE MÁ TEOR MÁQUINAS

ð El sistema tiene una relación de 2000:28,91. El eje 6 gira en el mismo sentido que el de entrada

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nl = n6

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nf = n2 = 2000 rpm