Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato

1

TEMA 8 – LIMITES CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 1 : Da una definición para estas expresiones y represéntalas gráficamente: a) lím

3x 2

x1 x 2  1

 

d) lím  f x    x 2

x2  9 6 x 3 x  3

b) lím

e) lím

5x 2  1

x   x 2  2x

c) lím

2x 2  2

x   x 2  1

2

5

Solución: a) Cuando x se aproxima a “1”, la función se hace muy grande

b) Cuando x se aproxima a “3”, la función se aproxima a “6”

c) Cuando x toma valores muy grandes negativos la función se aproxima a 2.

d) Cuando x se aproxima a 2, con valores menores que 2, la función toma valores muy grandes negativos.

e) Cuando x toma valores muy grandes positivos, la función se aproxima a 5.

Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato

2

EJERCICIO 2 : Calcula: a)

x 

e)

i)





lím e x  x 2  1

b)

3x 2  2 x   log x lím

f)

x 4  3x

x  log x 2

lím

x1

x   2



lím x 3  log x x 

lím



j)

lím

x

c)

g)

  lím  3x 2  x 9  1   x   



lím 2 x  x 2 x  



d)

ex x  x  1

h)

ln x 2  1 x x 

lím

lím

3x

x   x 2  1

Solución:





a) lím e x  x 2  1   x  

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia. x 4  3x x 4  3x  lím   x   log x 2 x   log x 2

b) lím

Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.  9  2  9 c) lím 3x  x  1   lím  x 2     x    x     d)

ex e x 0  lím  0 x  1  x  1   x  x 

e)

3x 2  2   x  log x

lím

lím

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logartimos. f) g)

x 1

lím

x  2 x x

 lím



lím 2  x

x 

x  1

x  2  x 2

 

 

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia. h)

 

 

ln x 2  1 ln x 2  1  lím 0 x x x  x  lím

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos. i)





lím x 3  log x   x 

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos. j)

lím x  x

3x 2

1

 lím

3x 2

x  x  1



0 0 

 

Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato

3

EJERCICIO 3 : Halla los límites:   lím  5x 2  2x  3x   x  

a)

 3x 2 x3   lím   x   x  1 x 2  1 

i)

lím

3  2 x4  1

x 

2x 4  1

d)

 x2  1 x3   lím   x    x  2 x 2  1  3

f)

5x 2  3x  1

x  

c)

x 6  2x

x  

3x  2

lím

e)

x 2  3x  1

lím

b)

2x 5  1     lím  x 2  3x  2x g) lím  3x 2  1  2x h) lím   x    x    x   x 4  2 2x  3

lím

j)

3x 2  1

x 

Solución:  5 x 2  2 x  3 x   5 x 2  2 x  3 x    2   a) lím 5 x  2 x  3 x  lím   x  x    2  5 x  2x  3x

 lím

5x 2  2x  9x 2

 4 x 2  2x

 lím

x  

5 x 2  2 x  3 x x  5 x 2  2 x  3 x x 2  3x  1 x 2  3x  1 b) lím  lím 0 x   x   x 6  2x x 6  2x

3  2 x 4 1

lím

c)

2x 4  1

x 

3  2 x 4 1

 lím x 



2

2x 4  1

 

 2

2

 x 2 1 ( x 2  1) ( x 2  1)  x 3 (x  2) x3  x 4  1  x 4  2x 3 lím     lím  lím  x   x  2 x  x 3  x  2 x 2  2 x 2  1 x  ( x  2) ( x 2  1)  2x 3  1  lím 3  2 x  x  2 x 2  x  2

d)

3x  2

lím

e)



3

5 x 2  3x  1

x 



5

3 5 5

 2  2   x  3x  2 x   x  3x  2 x   2   2     f) lím  x  3x  2x   lím  x  3x  2x   lím  x    x    x  x 2  3x  2 x  lím

x 2  3x  4x 2

x  

x 2  3 x  2x

 3x 2  3x

 lím

x  

x 2  3 x  2x

 

   2 2  3x  1  2 x   3x  1  2 x  3x 2  1  4 x 2       g) lím  3x 2  1  2x   lím  lím  x    x  x  3x 2  1  2 x 3x 2  1  2 x  lím

x  

 x2 1 3 x 2  1  2x 3

h)

lím x 

i)

2x 5  1 x4  2

  3

 lím x 

 2x 5  1

0

x4  2

 3x 2 ( x 2  1)  x 3 (x  1)   3x 2 x3  3x 4  3x 2  x 4  x 3   lím lím     lím   x   x  1 x 2  1  x    x  ( x  1) ( x 2  1) x 3  x  x 2 1 2x 4  x 3  3 x 2   x   x 3  x 2  x  1

 lím

j)

lím x 

2x  3 3x 2  1

 lím x 

 2x  3 3x 2  1



2 3



2 3 3

Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato

4

EJERCICIO 4 : Calcula: a) lím

2x 3  3x 2  1

3

3 x 3  8x 2  7 x  2

x 1

 2x

d) lím 

x 3 x2  9



2x  4  2

b) lím x 0

x  1  x  3

e) lím

3x2  x  2

c) lím

x  1 x 3  x 2  x  1

x1 1

2x 2  x  10

x 2 x3  3x2  4

Solución: a) lím

2 x 3  3x 2  1

3

x 1

3

2

x 1

3x  8 x  7 x  2

2x  4  2

b) lím

x  1 1

x 0

 lím

 lím 3

 lím

2x  1 3  lím 3  3 x 1 3x  2

( 2x  4  2) ( 2 x  4  2) ( x  1  1) 2( x  1  1)

 lím

x 0 x ( 2x  4  2)

2x  4  2

x 0

2

3x  x  2

x  1 x 3  x 2  x  1

 lím



x  13x  2  

x 1 x  12 x  1

2



x 3  x  9

3x  2

lím





5 (0 )

3x  2    x 1 x  1x  1 lím



No existe





x 1 2x  x  1 x  3 2x  x 2  4x  3  x 2  2x  3  18  lím   lím    lím x  3  x 3 x  3 x  3 x 3 x  3 x  3 x 3 x  3 x  3 (0)

 x 2  2x  3   ; x 3 x  3x  3

 x 2  2x  3    No existe x 3 x  3x  3

Hallamos los límites laterales: lím  e) lím

x 0 ( x  1  1) ( 2x  4  2)

x 1 x  1x  1

3x  2   ; x 1 x  1x  1

 2x

(2x  4  4) ( x  1  1)

4 1 4

Hallamos los límites laterales: lím  d) lím 

 lím

x 0 ( x  1  1) ( x  1  1) ( 2x  4  2)

2 x( x  1  1)

c) lím

2x  1 x  12 3x  2 x  12

2x 2  x  10

x  2 x 3  3x 2  4

 lím

2x  5x  2 

x 2 x  1x  2 2

2x  5

lím

x 2 x  1x  2 

2x  5   ; x 2 x  1x  2 

Hallamos los límites laterales: lím 

lím 



9 (0 ) 2x  5    x 2 x  1x  2  lím



No existe

EJERCICIO 5 : Calcula los límites: 3x

a)

x

 2 x  4  x 1  lím   x 1  x 2  x  6 

b)

 3x  2  x 2  lím  x 2  x2  2x  4 

3

2x

 2x 2  x  1  x  3  c) lím  x  3 4 x  4 

1

 x2  3x  1  x  d) lím  x 0 5x  1 

 x 2  2 x  3  x 1  e) lím  x1  x 1  

Solución: 

2x  4

3x  x 1

 a) lím  x 1  x 2  x  6  lím

e

x 1

3 x ( x  2 ) ( x 1) ( x 2  x  6 ) ( x 1)

 2 x  4 x 2  x  6  3x (  x 2 3x  2) (3x )  2x  4  3x  · lím  lím lím  2 1 · 2 x 1 x  1 x 1 x  x 6 ( x 2  x 6) ( x 1)  x  x  6  x 1  e   x 1  e e 

lím

e

x 1

 3x ( x  2) x 2  x 6

x

b)





3 e6

3x  2

 

1 e2

 3x  2 x 2  2 x  4  x   · x 2 2x 4  x 2

x

lím  lím  2 1 ·  3x  2  x  2 x 2  x 2x 4  x 2  e x 2   lím   e x 2  x 2  2 x  4  lím

e

x 2

 x ( x  3) ( x  2) ( x 2  2x  4) ( x  2)

lím

e

x 2

 x ( x  3) ( x 2  2 x  4)



2 e4



1 e2

lím

e

x 2

(  x 2  5 x  6) x ( x 2  2 x  4) ( x  2)



Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato 2x

 2 x 2  x 1 

5

 2 x 2  x 14 x  4  2 x  · 4x  4  x 3

2x

lím  1 · lím   2 x 2  x  1  x 3 x 3 4x  4   x 3  e x  3  c) lím  e  x 3  4 x  4  lím

e

x 3

3

e

x0

 x 2 3x 1  3

 x 2 3x 15 x 1  3  · 5 x 1  x

1

e

x 1

lím

e

x0

3x x 8  x 2 8 x 3 lím · x  0 x 5 x 1 5 x 1 x  e 

3x 8  5 x 1  e  24  x 2 2x 3  1 1 · x 1  x 1

 x 2  2 x  3 x 1  1 x 2  3x  2 1  · lím  lím · x 1 x 1   x 1  e x 1 x 1 x 1  e

lím   x 2  2x  3  x 1 x 1   e) lím  e x 1  x 1   lím

 e x 3

2 x 2 5 x 3 2 x · 4 x 4 x 3 

2x 1x 32x  lím 2x 12x  42 21 4x 4x 3  e x 3 4x 4   e 16  e 8

lím  1 · lím   x 2  3x  1  x   e x 0  5x 1  x  e x 0  d) lím  x 0  5 x  1 

lím

lím

x 2· x 1 x 2 1 x 1· x 1  e lím x 1 x 1 e 2

EJERCICIO 6 : Calcula estos límites: x

 2  3x  2 a) lím   x   2x  1 

 1  2x  b) lím   x   2x  5 

2 x 2 1

2x

 5x  2  3 c) lím   x  4  5x 

x 1

1  e) lím  2   x x 

2x 3

 2x  1  i) lím   x   3x  2 

 x2  1   g) lím  x   x 2  2 

 3x 2  2  f) lím  x   2  3x 2 

x2

j)

 2x  2  lím   x   3  2x 

 4x  2  d) lím   x   3x  5 

2x

x 2 1

 4x 2  7   h) lím  x   3x 2  9x 

x

x1

Solución:  2  3x  a) lím   x    2 x  1    1 2x  b) lím   x   2 x  5  

x 2

x

 2  3x  2  3   lím     x   2 x  1    2

2 x 2 1





 1 2 x  lím  1 · 2 x 2 1 

 e x    2 x  5 2x



 





 1 2 x  2 x  5  lím   · 2 x 2 1 2 x 5 

 e x  

lím

 e x 

8 x 2  4 2 x 5

 e   0

 5x 2  2x  5 x  2  4 5x  2 x 12 x 12 4 lím  1 · lím  · lím x   x   3 4  5 x 3    12 15x  e 15  e 5 e e

x   4 5 x  5x  2  3  c) lím  e  4  5 x x  

 4x  2  d) lím   x  3x  5 

e)

1  lím  2   x x 

x 2 1

2 x 3

1   lím  2   x x 

x 1

 3x 2 f) lím  x  2  3x 2

  4x  2   lím   x   3x  5 

 3x 2

x 2 1

2 x 3

4   3



 

 2   0  3x 2 2 3x 2   x 1  ·  2 3x 2   2 

  x 1 

lím  1 ·  lím    2 x   2 3x 2 x   2       e e  

 x2 1   g) lím  x  x 2  2 

2x

lím

e

x  

2x 2 4 6 x 2  e 0  1

 x 2 1   x 2 1 x 2  2  6x  · 2x lím  2 1 · 2 x lím  lím x   x 2 x   x 2  2  x   x 2  2    e e e  e0  1 x

2  4x 2  7      lím  4 x  7  h) lím  x  3x 2  9 x  x  3x 2  9 x 

x

4   3



3   4



0

Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato x2

 2x  1  i) lím   x   3x  2 

 2x  2  j) lím   x  3  2x 

  2x  1   lím   x    3x  2 

x2

2   3

6



0

 2x 2   2 x  23 2 x  5 x 5 5 lím  1 · x 1 lím   · x 1 lím x   x   3 2 x 3  2 x 3  2 x     e e e e 2

x 1

x  

EJERCICIO 7 : Halla los límites: a) lím  x 2  3x  x 2  1    x  

5

g) lím

x2  2

x  

x 2

x 3  3x

x2  x  6 x2  x  2

c) lím

x 3  5x 2  3x  9

 3x  2  e) lím   x   4  3x 

x 2  2x  1

x 1

j) lím

x 3

x3  x

d) lím

x3

b) lím

x0

x 1

x sen x

f) lím x 0

x1  3x h) lím  2   x 2  x  4 x  2 

i ) lím

k) lím  x 2  x  x    x   

l) lím

x 0

4  4 cos x x2

x 0

 x  3  x 1 n) lím   x 1  2 x  2 

x 3  3x 2 2x  2 sen x x  sen x

1

 3x 2 3x 3  m) lím   2 x   x  1 x  1   

ex  1 x  sen x

ñ) lím x 0

x3 x cos x  sen x

Solución:  x 2  3 x  x 2  1   x 2  3 x  x 2  1    2 2   a) lím x  3 x  x  1  lím  x      x  x 2  3x  x 2  1

 lím

x  





x 2  3x  x 2  1 2

2

 lím

x  

x 2  3x  x 2  1 2

 lím

x  

2

 3x  1 2

x  3x  x  1 x  3x  x  1 x  3x  x 2  1 3 x 3  lím  x   x  x 2 x 3 x 3 1 1 b) lím 3  lím  lím  x 3 x  5 x 2  3 x  9 x 3 ( x  3 ) 2 ( x  1) x  3 ( x  3) ( x  1) (0)



Hallamos los límites laterales: 1 1   ; lím     x 3 ( x  3) ( x  1) x 3 (x  3) ( x  1) lím



Como son distintos  No existe el límite

0 (Factorizar y simplificar (no podemos), aplicar equivalencias (no podemos porque no se 0 pueden aplicar en sumas) Lo veremos en el tema 10 (Regla de L´Hôpital) x3  x x x  1x  1 x x  1 2 d) lím 2  lím  lím  2 x 1 x  2 x  1 x 1 x 1 x  1 ( 0) ( x  1) Hallamos los límites laterales:

c)

lím

x 1

x x  1 x x  1   ; lím   x 1 x 1 x 1  x 1

Como son distintos  No existe el límite

 3x 2



3x  2  4 3 x

6 x  6

lím  1  · x 1 lím · x 1 lím e  x    3x  2   4 3 x  e) lím   1  e  e x  43x  e x  3x  4   x   4  3x  x sen x x2 x2 1 1 1 f) lím 3  lím  lím  lím   2 3 2 2 x 0 x  3x Aplicando _ equivalenc ias x 0 x  3x x 0 x ( x  3) x 0 ( x  3) 03 3

 

2

1 e2

Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato 5

g) lím

x 3  3x 2

x 

5

 lím

 x 3  3x 2

x 

x 2

x 2

7 3

x  lím x  x

5

0 2

x 1  3x  x  1x  2 3x  x  3x  2  3x h) lím  2   lím    lím 2 x  2  x  4 x  2  x 2 x2 x 4 x2  4 lím

 x2  2   ; x2  4

lím

 lím

x 2

 x2  2  6  ( 0) x2  4

 x2  2   x2  4 

x 2 Hallamos los límites laterales: x 2 No existe el límite 0 i) No podemos factorizar ni aplicar equivalencias.( Lo veremos en el tema 10) 0 x2  x  6 ( x  2) ( x  3) x3 5 j) lím 2  lím  lím  x 2 x  x  2 x 2 ( x  2) ( x  1) x 2 x  1 3

 x 2  x  .x   x 2  x  x    2 2     k) lím x  x  x  lím x  x  x  lím       x   x  x   x2  x  x  lím

x2  x  x2

x  

l) lím

2

 lím

x  

x x x

4  4 cos x

x 0

x

2

x

 lím

2

x x x

x  

x  x 1  lím  x  x x   2 x 2

4 (1  cos x ) 0     lím  lím x 0  0  x 0 x2

x2 2 2  lím 2 x  2 x 0 x 2 x2

4.

 3x 2 3x 3  3x 2 x  1 3x 3 3x 3  3x 2  3x 3  3x 2  m) lím   lím  lím  lím  3 x   x  1 x 2  1  x  x  x  x 2  1 x 2 1 x2 1   1

 x 3



1

x  3 2 x  2

1

 x 1

lím lím  1  · lím · lím x 1  x  3  x 1 x 1  e x 1 ( 2 x  2) ( x 1)  e x 1 n) lím   1  e  2 x  2  x 1  e x 1 2x 2  x 1  2 x  2  0 ñ) (No podemos factorizar, ni aplicar equivalencias  No veremos en el tema 10) 0



1 2 x 2



CONTINUIDAD EJERCICIO 8 : Dada la función f x 

3x 3  15x 2  x  5 x 2  3x  10

, estudia su continuida d. Indica el tipo de

discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua. Solución: f x 

3x 3  15x 2  x  5 2

x  3x  10







x  5 3x 2  1 x  5 x  2

Dominio  R  {5, 2} f (x) es continua en R  {5, 2}. Veamos que tipo de discontinuidad que presenta en x  5 y en x  2: 3x 2  1 76  76   7 7 x 5 x  2

lím f x   lím

x 5

 Discontinuidad evitable en x  5.

3x 2  1 13  . Hallamos los límites laterales: lím f x    ; (0) x 2 x  2 x 2 

lím f x   lím

x 2

Discontinuidad de salto infinito en x  2.

lím f x   

x  2

1 e4

Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato

8

 ex si x0  2 EJERCICIO 9 : Estudia la continuidad de la función: f x    3x  1 si 0  x  1 4  ln x si x1 

Solución: Dominio  R Si x  0 y x  1  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. lím  f x   lím  e x  1

    0: lím  f x   lím  3x 2  1  1 f x  es continua en x  0. x 0 x 0   f 0  1   lím  f x   lím  3x 2  1  4  x 1 x 1  1: lím f x   lím 4  ln x   1 f x  es continua en x  1. x 1 x 1    f 1  4 x 0

En x 

En x 

x 0









Por tanto, f (x) es continua en R. EJERCICIO 10 : Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta: f x  

Solución: f x 

3x 2  2 x  8 2

x  3x  10



3x 2  2x  8 x 2  3x  10

3x  4 x  2 x  5 x  2

Dominio  R  {5, 2} f (x) es continua en R  {5, 2}. Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x  5 y en x  2: lím f x  lím

x  5

x  5

3 x  4 11  . Hallamos los límites laterales: lím f x    ; x 5 (0 ) x  5 

lím f x   

x   5

Discontinuidad de salto infinito en x  5. 3x  4 10   Discontinuidad evitable en x  2. 7 x2 x  5

lím f x   lím

x2

 2x  3 si x  1  x  EJERCICIO 11 : Estudia la continuidad de la siguiente función: f x    x 2  2 si  1  x  2   3x  1 si x2 

Solución: Dominio  R Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones que son continuas en los intervalos correspondientes.

Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato 2x  3   1  x x  1 x  1  2 1: lím  f x   lím  x  2  1 f x  es continua en x  1. x  1 x 1   f  1  1  lím  f x   lím  x 2  2  2  f x  es discontinua en x  2. Hay una discontinuidad de x x 2 2: 2  lím  f x  lím  3x  1 7  salto finito. x 2 x 2  lím

En x 

En x 

9



f x   lím



 

 

EJERCICIO 12 : Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad que hay: f x  

x 3  x 2  5x  3 x2  1

Solución: Dominio  R  {1, 1}. f(x) es continua en R  {1, 1}. Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x  1 y en x  1:

x  1 x  3   lím x  1x  3   0  0 x 3  x 2  5x  3  lím 2 x   1 x  1x  1 x 1 x 1 2 x 1 Discontinuidad 2

lím

x  1

lím f x   lím x 1

x 1

x  1x  3   4 . Hallamos los límites laterales: x 1

(0 )

lím f x    ;

x 1

evitable en x 1.

lím f x   

x 1

Discontinuidad de salto infinito en x  1. EJERCICIO 13 : Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea contínua: 2 x 3  x 2  a   f x    x 2  bx  1  ax

si

x  1

si

1 x  1

si

x 1

Solución: - Si x  1 y x  1  f (x) es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.  lím f x   lím 2 x 3  x 2  a  a  3 x 1 x 1   - En x  1:  lím  f x   lím  x 2  bx  1  2  b  x  1 x 1 f  1  2  b  Para que sea continua en x  1, ha de ser a  3  2  b.  lím f x   lím x 2  bx  1  b  2 x 1 x 1  - En x  1:  lím f x   lím ax   a x 1 x 1 f 1  a  Para que sea continua en x  1, ha de ser a  b  2.













Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato

a  3  2  b Uniendo las dos condiciones anteriores, f (x) será continua si:  a  b  2

10 7  a  2    3 b   2

3x 2  2 x si x  0   EJERCICIO 14 : Estudia la continuidad de la función: f x   x 2  x  1 si 0  x  1  si x  1 1  ln x 

Solución: - Si x  0 y x  1  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. lím  f x   lím  3x 2  2 x  1 x 0 x 0   f x  es continua  - En x  0: lím  f x   lím  x 2  x  1  1  x 0 x 0  en x  0  f 0  1   lím f x   lím x 2  x  1  1 x 1 x 1  - En x  1:  lím f x   lím 1  ln x   1  Hay una discontinuidad de salto finito en x  1. x 1 x 1 f 1  1 













EJERCICIO 15 : Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:  x 2  bx  1 si x  1  f x  3 x  a si 1  x  2 2 x  log x si x  2 2 

Solución: - Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.  lím f x   lím  x 2  bx  1  b  2 x 1 x 1  - En x  1:  lím f x   lím 3x  a   3  a Para que sea continua en x  1, ha de ser b  2  3  a. x 1 x 1 f 1  3  a   lím  f x   lím  3x  a   6  a x 2 x  2  - En x  2:  lím  f x   lím  2 x  log 2 x  5 Para que sea continua en x2, ha de ser 6a  5, es decir a  1. x 2 x  2 f 2  5   Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que, para que f (x) sea continua, ha de ser:









Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato

11

b  2  3  a a  1  a 1  b4

EJERCICIO 16 : Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es x 3  2x 2  3 x continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta: f x   x2  x  6 Solución: f x  

x 3  2 x 2  3 x x ( x  3 ) ( x  1)  ( x  3) ( x  2) x2  x  6

Dominio  R  {2, 3} f (x) es continua en R  {2, 3}. Veamos el tipo de discontinuidad que hay en x  2 y en x  3: - En x  2: lím  f x    ; lím  f x    Hay una discontinuidad infinita en x  2. x  2

x  2

- En x  3: lím f x   lím x 3

x 3

x x  1 12  Hay una discontinuidad evitable en x  3. x2 5

EJERCICIO 17 : Estudia la continuidad de la siguiente función:  2x 2  1 si x  1  3   2 f x   e x 1 si  1  x  1  1 si x  1 x  Solución: - Si x  1 y x  1  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas en los intervalos en los que están definidas. 2x 2  1 1  lím  f x   lím    x  1 x  1 3 3 2  Hay una discontinu idad - En x  1: lím  f x   lím  e x 1  1  x  1 x 1  de salto finito en x  1.  f  1  1   2  lím f x   lím e x 1  1 x 1 x 1  f x  es continua 1 - En x  1: lím f x   lím  1  x 1 x 1 x  en x  1.  f 1  1  EJERCICIO 18 : Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:  3x  a  f x   2 x 2  bx  a  3x  1 

Solución: Dominio  R

si x 1 si 1  x  2 si x 2

Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato

12

Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. lím f x   lím  3x  a   3  a

    1: lím f x   lím 2x 2  bx  a  2  b  a  x 1 x 1    f 1  2  b  a  x 1

En x 

x 1





Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser:3  a  2  b  a  2a  b  1





lím f x   lím 2x 2  bx  a  8  2b  a  x 2   En x  2: lím f x   lím 3 x  1  7  x 2 x 2    f 2  7 x 2 

Para que f (x) sea continua en x  2, ha de ser: 8  2b  a  7  a  2b  1 Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que: 2a  b  1  b  1  2a  a  2b  1 a  21  2a   1  a  2  4a  1  3a  3  a  1 ;

b  1

EJERCICIO 19 : Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua: ax 2  2 x  1 si f x    si  3a  ln x

x 1 x 1

Solución: Dominio  R Si x  1  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.  lím f x   lím ax 2  2x  1  a  1  x 1 x 1   En x  1: lím f x   lím 3a  ln x   3a  x 1 x 1    f 1  a  1  





Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser: a  1  3a  2a  1  a  

1 2

EJERCICIO 20 : Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en x  2:  3 x 3  11x 2  8 x  4  3 2 f x    4 x  14 x  8 x  8  k 

si

x 2

si

x 2

Solución: Para que f (x) sea continua en x  2, ha de tenerse que: lím f x  f 2 x 2

lím f x   lím x 2

x 2

3 x  11x  8 x  4 x  2 3 x  1  lím 3 x  1  7  lím 3 2 x  2 4 x  14 x  8 x  8 x  22 4 x  2 x 2 4 x  2 10 3

2

f (2)  k  Por tanto, ha de ser : k 

7 10

2

Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato

13

EJERCICIO 21 : Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:  ax 2  2 x  f x   4 x 2  ax  b  3x  b 

si x 1 si 1  x  2 si x 2

Solución: Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.





    1: lím f x   lím 4 x 2  ax  b  4  a  b x 1 x 1    f 1  4  a  b  lím f x   lím ax 2  2 x  a  2

x 1

En x 

x 1





Para que f (x) sea continua x  1, ha de ser: a  2  4  a  b  b  6







lím f x   lím 4x 2  ax  6  10  2a   x 2 x 2

En x  2: lím  f x   lím  3x  6   0 x 2

x 2

f 2  0

       

Para que f (x) sea continua en x  2, ha de ser: 10  2a  0  2a  10  a  5 Por tanto, f (x) será continua si a  5 y b  6. EJERCICIO 22 : Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:  2x  a f x    2  x  3a  5

si

x 1

si

x 1

Solución: Si x  1  la función es continua, pues está formada por funciones continuas.

  x 1

  x 1   1: lím f x   lím x 2  3a  5  6  3a  x 1 x 1    f 1  2  a  lím f x   lím 2 x  a  2  a 

En x 







Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser: 2  a  6  3a  4a  4  a  1 TEOREMAS EJERCICIO 23 : Dada la función f (x)  x3  2x  1, encuentra un intervalo de amplitud menor que 2 en el que f (x) corta al eje OX. Solución: f (x) es continua en R, pues es una función polinómica. Tanteando, encontramos que f (1)  2, f (0)  1. Es decir:

f x  es continua en  1, 0   signo de f  1 signo de f 0 

Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato

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Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c  (1, 0) tal que f (c)  0. f (x) cortará al eje OX en x  c. EJERCICIO 24 : Halla un intervalo de amplitud menor que 2 en el que la siguiente ecuación tenga, al menos, una raíz real: 3x3  2x  7  0 Solución: Consideramos la función f (x)  3x3  2x  7, continua por ser polinómica. Tanteando, encontramos que f (1)  2; f (2)  21. Es decir:

f x  es continua en 1, 2   signo de f 1 signo de f 2

Por el teorema de Bolzano, sabemos que existe, al menos, un c  (1, 2) tal que f (c)  0. La raíz de la ecuación es c. EJERCICIO 25 : Prueba que la función f (x)  3x  cos x  1 corta al eje OX en el intervalo [1, 0]. Solución: f (x) es una función continua en R, pues es suma de funciones continuas. En particular, será continua en [1, 0]. Por otra parte:

f  1  3  0  signo de f  1 signo de f 0 f 0   2  0 

Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c  (1, 0) tal que f (c)  0. f (x) cortará al eje OX en x  c. EJERCICIO 26 : Demuestra que la ecuación: x 7  3 x 2  2 x  1  0 tiene, al menos, una solución real. Determina un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz. Solución: Consideramos la función f (x)  x7  3x2  2x  1, que es continua por ser polinómica. Tanteando, encontramos que f (2)  111; f (1)  5. Es decir:

f x  es continua en  2,1   signo de f  2  signo de f  1

Por el teorema de Bolzano, sabemos que existe, al menos, un c  (2, 1) tal que f (c)  0. La raíz de la ecuación es c. EJERCICIO 27 : Demuestra que la ecuación e3x  4x 2  0 tiene, al menos, una solución real en el intervalo [0, 1]. Solución: Consideramos la función f (x)  e3x  4x 2, continua en R, pues es suma de funciones continuas. En particular, será continua en [0, 1]. Por otra parte, tenemos que:

f 0   1  0   signo de f 0  signo de f 1 f 1  e  3  2  0 

Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c(1, 0) tal que f (c)0. La raíz de la ecuación es c.