ESTADÍSTICA II

TEMA II: DISTRIBUCIONES RELACIONADAS CON LA NORMAL

II.1.- Distribución chi-cuadrado. II.1.1.-

Definición.

II.1.2.-

Función de densidad. Representación gráfica.

II.1.3.-

Media y varianza.

II.1.4.-

Función de distribución. Uso de tablas.

II.2.- Distribución F de Fisher-Snedecor. II.2.1.-

Definición.

II.2.2.-

Función de densidad. Representación gráfica.

II.2.3.-

Media y varianza.

II.2.4.-

Función de distribución. Uso de tablas.

II.3.- Distribución t-student. II.3.1.-

Definición.

II.3.2.-

Función de densidad. Representación gráfica.

II.3.3.-

Media y varianza.

II.3.4.-

Función de distribución. Uso de las tablas.

II.4.- Tablas.

1

Tema II

ESTADÍSTICA II

II.1.- Distribución chi-cuadrado (ji-cuadrado). II.1.1.- Definición.

Sean x1, x2, ..., xn variables independientes que siguen una distribución N(0,1).

Sea X una nueva variable definida según:

n

X = x21 + x 22 + ...+ x 2n = ∑ x 2i i =1

en este caso, se dice que X se distribuye como una CHICUADRADO, con n grados de libertad, que representamos como: X → χ2n

II.1.2.- Función de densidad. Representación gráfica.

La obtenemos a partir de la función de densidad de la distribución GAMMA:

 λα α -1 λ x si x > 0  Γ( α ) X e  f(x)=   0 si x ≤ 0  

G(t)= (

λ α ) λ- t

397

      

para λ > t

Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal

398

Tema II

ESTADÍSTICA II α=

sustituyendo los valores de

n 1 y λ= 2 2

en la función de

densidad y generatriz de momentos de la GAMMA, obtenemos las funciones correspondientes de la distribución CHICUADRADO.  1 n2  ( )  1  2 X n2 -1 e - 2 X si x > 0   Γ( n )    2   f(x)=    0 si x ≤ 0           

La

representación

gráfica

de

la

función

de

densidad,

depende de los grados de libertad. Para valores pequeños de n la función de densidad de χ2n tiene una larga cola a la derecha. Al crecer n, el centro de la distribución se desplaza hacia la derecha y la forma de la función de densidad se hace más simétrica; para n grande (n>30) la función

χ2n se puede aproximar por una N(n, 2n).

II.1.3.- Media y varianza.

Se puede demostrar fácilmente con el uso de la función generatriz e momentos y de la relación de la chi-cuadrado con la distribución Gamma que la media de una distribución chi-cuadrado de n grados de libertad vale n y su varianza 2n.

II.1.4.- Función de distribución. Uso de las tablas.

La

función

de

distribución 399

de

una

distribución

chi-

Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal cuadrado se obtiene mediante la integral de la función de densidad.

F(x)= P(X ≤ x) = ∫ x0 f(X) dx

para X > 0

Llegando al siguiente resultado 1 n )2 n 1 -1 - x F(x)= ∫ 0x 2 2 dx n X2 e Γ( ) 2 (

que como se puede observar no es nada manejable. Es por ello que en vez de trabajar con esta expresión, y tal y como se hizo con la distribución normal, trabajaremos con tablas. Estas tablas pueden informarnos bien del propio valor

de

la

función

complementario

de

la

de

distribución,

función

de

o

bien,

distribución.

En

el el

apartado II.4 de este tema tenemos las tablas de la chicuadrado en la cual se nos da el complementario de la función de distribución. Como se puede observar, la tabla de la chi-cuadrado se encuentra dividida en dos partes. Centrándonos en la primera parte de la tabla (la segunda es totalmente similar en cuanto a interpretación), la primera columna no da los grados de libertad y la primera fila la probabilidad que deja a su derecha el punto que nos indica la parte central de la tabla.

Esto significa que, por ejemplo, el valor de la variable 2.55821 correspondiente a una chi-cuadrado de 10 grados de libertad deja a su derecha una probabilidad igual a 0.99. Obsérvese que a partir de esta tabla calcular la función de distribución es inmediato. De esta manera, la función de

distribución

de

una

chi-cuadrado

de

15

grados

de

libertad en el punto 7.26094 es iagual a 1-0.95=0.05

400

Tema II

ESTADÍSTICA II EJEMPLO: La variable aleatoria U sigue una distribución Chi-cuadrado. Calcular "a" tal que:

P(U>a) = 0,05

a)

Para 18 grados de libertad.

b)

Para 55 grados de libertad.

SOLUCION: a)

P(U>28,9) = 0,05

b)

P(U>73,3) = 0,05

En

este

entre

caso

hemos

interpolado

50 y 60 grados de libertad.

II.2.- Distribución F de Fisher-Snedecor. II.2.1.- Definición.

Sean U y V dos variables aleatorias independientes, tal que:

U → χ2m y V → χ2n

Sea una variable X definida como:

X=

X

así

definida,

sigue

una

U/m V/n

distribución

F

DE

FISHER-

SNEDECOR de m y n grados de libertad, que representamos como: x → F m,n

II.2.2.- Función de densidad. Representación gráfica.

La función de densidad de una F se obtiene a partir de la 401

Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal función

de

densidad

conjunta

de

U

y

V,

y

tiene

la

siguiente expresión.

m+ n ) m n m m +n m 2 f(x)= ( ) 2 x 2 -1 (1 + x )- 2 m n n Γ( ) Γ( ) n 2 2 Γ(

para todo valor de x>0. Es evidente, por su construcción, que

solo

puede

tomar

valores

positivos,

como

la

chi-

cuadrado.

La

forma

de

la

representación

gráfica

depende

de

los

valores m y n, de tal forma que si m y n tienden a infinitos, dicha distribución se asemeja a la distribución normal.

II.2.3.- Media y varianza.

La media

existe si "n" es mayor o igual que 3, y la

varianza existe si "n" es mayor o igual que 5 y sus valores son:

µ = α1 =

2 2 σ = α2 - α1 =

n n -2

2 n2 (m + n - 2) m(n - 2 )2 (n - 4)

II.2.4.- Función de distribución. Uso de tablas.

La

función

de

distribución

la

tendremos

que

calcular

mediante la expresión general.

402

Tema II

ESTADÍSTICA II F(x)= ∫0x f(x) dx

que dada la forma de la función de densidad se hace muy poco manejable por lo cual tendremos que recurrir de nuevo al uso de las tablas.

En

el

epígrafe

II.4

se

muestran

las

tablas

de

la

distribución F de Fisher-Snedecor.

En este epígrafe se puede observar que las tablas de la distribución F se han dividido en 10 partes. Vamos a explicar la parte 1 solamente puesto que el resto tienen una lectura similar.

En la tabla de la F de Fisher-Snedecor se presentan: en la primera columna, los grados de libertad del denominador, esto es el valor de n. En la primera fila se muestra primero el valor de α, que como puede verse en la gráfica de la tabla es la probabilidad que queda a la derecha del punto seleccionado. A continuación aparecen los grados de libertad del numerador, es decir, el valor de m. En el interior de la tabla se muestran los valores que dejan a su derecha una probabilidad α para los grados de libertad m y n seleccionados.

Por ejemplo, el valor 9.12 de una distribución F de 4 y 3 grados de libertad deja a su derecha una probabilidad igual a 0.05. Obsérvese que el cálculo de la función de distribución es inmediato. De esta manera, la función de distribución de una distribución F de 4 y 3 grados de libertad en el punto 9.12 es 1-0.05=0.95

Una PROPIEDAD de esta distribución es que la inversa de una variable aleatoria con distribución Fm,n sigue también 403

Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal una distribución F con n y m grados de libertad. Es decir, Si X → F m,n ⇒ X -1 → F n,m

Y como consecuencia de esta propiedad se cumple:

P( F m,n ≥ C) = P(

1 1 1 ≤ ) = P( F n,m ≤ ) c F m,n c

Con este resultado podemos obtener los valores de Fm,n correspondientes al 0.9, 0.95, 0.975, 0.99 y 0.995 tomando los valores inversos de los valores de Fn,m correspondientes al 0.1, 0.05, 0.025 y 0.005 que son los que se muestran en las tablas de la F que se presentan en el epígrafe II.4.

EJEMPLO: Las tablas nos dan, para m = 10 y n = 6, el percentil 90 =2,94; el percentil 95 = 4,06. Calcular los valores de la distribución F de 6 y 10 grados de libertad que dejan a su izquierda una masa de probabilidad de 0.1 y 0.05 respectivamente.

SOLUCION: P( F 10,6 ≤ 2,94) = 0,9 P( F 10,6 ≤ 4,06) = 0,95 1 = 0,34 2,94

1 = 0,25 4,06

P( F 6,10 ≤ 0,34) = 0,1 P( F 6,10 ≤ 0,25) = 0,05

II.3.- Distribución t-Student. 404

Tema II

ESTADÍSTICA II II.3.1.- Definición.

Sea "U" una variable aleatoria que sigue una distribución N(0,1).

Sea "V" una variable aleatoria que sigue una distribución Chi-cuadrado con "n" grados de libertad. Ambas variables, U y V, son independientes.

La nueva variable formada como:

X=

U V/n

sigue una distribución t-STUDENT con n grados de libertad.

II.3.2.- La función de densidad. Representación gráfica.

Esta variable toma valores en todo el conjunto de los números reales y su función de densidad es de la forma:

2   f(x)= K n 1 + x  n 

-

n+1 2

-∞ ≤ X ≤∞

Kn es el valor necesario para que sea una función de densidad, es decir, que la integral extendida a todo el campo de dicha función sea igual a la unidad.

Propiedades de la función de distribución t-Student:

405

Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal a)

Es simétrica con respecto al origen.

F(-x) = 1 - F(x)

b)

Su forma es muy parecida a la N(0, 1), aunque menos

apuntada.

c)

La recta Y = 0 es una asíntota horizontal:

Lim f(x)= Lim f(x)= 0 x →∞

x→ - ∞

II.3.4.- Media y varianza.

La MEDIA Y VARIANZA de esta distribución son: µ = E[x] = 0 σ2 =

n n -2

II.3.4.- La función de distribución. Uso de las tablas .

Tal y como hicimos con las distribuciones chi-cuadrado y F de Fisher-Snedecor, para el cálculo de probabilidades en la distribución t-Student utilizaremos tablas. La tabla correspondiente se muestra en el epígrafe II.4 En la primera fila se muestran los valores de α, es decir, la probabilidad de que la variable tome un valor mayor que el

considerado.

En

la

última

columna

se

muestran

los

grados de libertad y en el centro de la tabla nos da los valores de la probabilidad. De esta manera, una t-Student de 10 grados de libertad deja a la derecha del punto 2.764 una probabilidad igual a 0.01. Con lo cual, la función de distribución en el punto 2.764 para una t-Student de 10 grados de libertad vale 1-0.01=0.99 406

Tema II

ESTADÍSTICA II

EJEMPLO:

Calcular

la

probabilidad

de

que

"t"

esté

comprendida entre 0,260 y 1,812 con 10 grados de libertad.

SOLUCION: P[0,260 ≤ t 10 = 1,812] = = F(1,812) - F(0,260) = = 0,95 - 0,60 = 0,35

407

Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal

II.4.- Tablas. Tabla de la t de Student

408

Tema II

ESTADÍSTICA II

Tabla de la ji-cuadrado. Parte 1

409

Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal

Tabla de la ji-cuadrado. Parte 2

410

Tema II

ESTADÍSTICA II

Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 1

411

Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal

Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 2

412

Tema II

ESTADÍSTICA II

Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 3

413

Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal

Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 4

414

Tema II

ESTADÍSTICA II

Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 5

415

Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal

Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 6

416

Tema II

ESTADÍSTICA II

Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 7

417

Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal

Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 8

418

Tema II

ESTADÍSTICA II

Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte 9

419

Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal

Tabla de la F de Fisher-Snedecor. Parte10

420

Tema II