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Tema II: Régimen transitorio
Regímenes permanente y transitorio ................................................................ Notación del régimen transitorio........................................................................ Elementos pasivos en régimen transitorio ....................................................... Cálculo de condiciones iniciales y finales.......................................................... Ejemplo 1 de cálculo de condiciones iniciales y finales...................................... Ejemplo 2 de cálculo de condiciones iniciales y finales...................................... Ejemplo 3 de cálculo de condiciones iniciales y finales...................................... Ejemplo 4 de cálculo de condiciones iniciales y finales...................................... Ejemplo 5 de cálculo de condiciones iniciales y finales...................................... Ejemplo 6 de cálculo de condiciones iniciales y finales...................................... Ejemplo 7 de cálculo de condiciones iniciales y finales...................................... Ejemplo 8 de cálculo de condiciones iniciales y finales...................................... Ejemplo 9 de cálculo de condiciones iniciales y finales...................................... Ejemplo 10 de cálculo de condiciones iniciales y finales.................................... Ejercicios de repaso............................................................................................... Condiciones iniciales y finales / 1 ...................................................................... Condiciones iniciales y finales / 2 ...................................................................... Análisis en régimen transitorio ........................................................................... Respuesta natural de un circuito RL ................................................................. Significado de la constante de tiempo ................................................................ Ejemplo de respuesta natural en un circuito RL ................................................. Respuesta natural de un circuito RC ................................................................. Respuesta forzada en circuitos RL y RC ......................................................... Respuesta en régimen transitorio de circuitos con un solo elemento reactivo ................................................................... Ejemplos de respuesta forzada ........................................................................... Ejemplo de respuesta forzada en un circuito RC ................................................ Ejemplo de respuesta forzada en un circuito RL ................................................
35 36 37 38 39 41 43 44 46 47 49 51 53 54 55 55 56 57 58 60 61 62 64 65 66 66 67
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Respuesta de un circuito con dos elementos reactivos no agrupables............................................ Solución de las ecuaciones diferenciales ............................................................ Solución de la ecuación homogénea................................................................... Obtención de las expresiones temporales........................................................... Ejemplo 1 de respuesta de circuito con dos elementos ....................................... Observaciones.................................................................................................... Ejemplo 2 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... Ejemplo 3 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... Ejemplo 4 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... Ejemplo 5 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... Ejemplo 6 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... Ejemplo 7 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... Ejemplo 8 de respuesta en circuito con dos elementos ....................................... Ejercicios de repaso............................................................................................... Respuesta en transitorio / 1 ................................................................................ Respuesta en transitorio / 2 ................................................................................ Circuitos con elementos desacoplados .............................................................. Observaciones.................................................................................................... Ejemplo 1 de circuito con elementos desacoplados ............................................ Ejemplo 2 de circuito con elementos desacoplados ............................................ Ejemplo 3 de circuito con elementos desacoplados ............................................ Circuitos con cambios sucesivos ........................................................................ Ejemplo 1 de circuito con cambios sucesivos..................................................... Ejemplo 2 de circuito con cambios sucesivos..................................................... Ejemplo 3 de circuito con cambios sucesivos.....................................................
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68 69 70 71 72 74 75 77 79 81 83 84 85 87 87 88 89 90 91 93 95 96 91 99 101
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Regímenes permanente y transitorio
Régimen permanente
Las excitaciones (fuentes) llevan mucho tiempo aplicadas. Las características de las fuentes no cambian con el tiempo.
Condiciones de estudio Régimen permanente continuo. Régimen permanente sinusoidal.
Régimen transitorio Condiciones de estudio Régimen transitorio entre dos regímenes permanentes de continua. Análisis integro-diferencial.
La respuesta del circuito (corrientes y tensiones) es de la misma naturaleza que las excitaciones
Algunas excitaciones (fuentes) se aplican o se suprimen bruscamente (instantáneamente; en un tiempo nulo) La respuesta del circuito (corrientes y tensiones) es de distinta naturaleza que las excitaciones debido a la presencia de elementos reactivos
En un circuito cuyos elementos pasivos son únicamente resistencias no hay régimen transitorio aunque cambien las excitaciones; el circuito se adapta instantáneamente a las nuevas condiciones de excitación.
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Notación del régimen transitorio Abierto Circuito abierto
Interruptor ideal Cerrado
t=-∞
Régimen permanente continuo inicial Respuesta continua
Cortocircuito
Otros elementos
Excitaciones continuas iniciales
Una o más excitaciones
Circuito
t = t0
t = t -0
t = t+0
Excitaciones continuas finales
t= ∞
t = tT
Régimen transitorio t -0 = t0 = t +0
Régimen permanente continuo final Respuesta continua
Respuesta variable con el tiempo
t = t -0: final del régimen permanente continuo inicial t = t +0 : inicio del régimen transitorio t = tT: final del régimen transitorio; comienzo del permanente continuo final t = ∞: final del régimen permanente continuo final Salvo que se indique explícitamente lo contrario, se supondrá t0 = 0 s.
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Elementos pasivos en régimen transitorio Representación gráfica
+ vR -
+ vL -
+ vC -
iR(t) R
iL(t) L
iC(t) C
Relación funcional Resistencia vR(t) = RiR(t) pR(t) = vR(t)iR(t)
Representación gráfica
+ vR -
Inductancia di (t) v L(t) = L L dt pL(t) = vL(t)iL(t)
+ vL -
Capacidad dv (t) iC(t) = C C dt pC(t) = vC(t)iC(t)
+ vC -
iR(t) R
iL(t) L
iC(t) C
Relación funcional Resistencia vR(t) = - RiR(t) pR(t) = - vR(t)iR(t) Inductancia di (t) v L(t) = - L L dt pL(t) = - vL(t)iL(t) Capacidad dv (t) iC(t) = - C C dt pC(t) = - vC(t)iC(t)
Consecuencias
Inductancia La corriente no varía bruscamente (daría origen a tensión infinita) iL(t +0 ) = iL(t -0)
Continua
La tensión puede variar bruscamente v L(t +0 ) = v L(t -0) ≠
Circuito abierto iC = 0 A vC cualquiera
Cortocircuito vL = 0 V i L cualquiera
Capacidad
Resistencia
La tensión no varía bruscamente (daría origen a corriente infinita)
La corriente y la tensión pueden variar bruscamente iR(t +0 ) = iR(t -0) ≠
v C(t +0 ) = v C(t -0) La corriente puede variar bruscamente iC(t +0 ) = iC(t -0) ≠
v R(t +0 ) = vR(t -0) ≠
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Cálculo de condiciones iniciales y finales Condiciones en t = t -0
Condiciones en t = t +0
Condiciones en t = ∞
Situación del circuito correspondiente a - ∞ ≤ t ≤ t -0 Continua
Situación del circuito correspondiente a t0 ≤ t ≤ ∞ Transitorio
Situación del circuito correspondiente a t0 ≤ t ≤ ∞ Continua
Para todos t, L y C
Para todas L y C iL(t +0 ) = iL(t -0)
Para todos t, L y C
vL(t) = 0 V iC (t) = 0 A
v C (t +0 )
=
v C(t -0)
vL(t) = 0 V iC (t) = 0 A
Para todos t, L y C, hallar
Para todas L y C, hallar
Para todos t, L y C, hallar
iL(t), vC (t)
v L(t +0 ), iC (t +0 )
iL(t), vC (t)
y otras magnitudes (Kirchhoff, mallas, nudos)
y otras magnitudes (Kirchhoff, mallas, nudos)
y otras magnitudes (Kirchhoff, mallas, nudos)
A iL y vC se les denomina magnitudes fundamentales porque definen el comportamiento de inductancias y capacidades.
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Ejemplo 1 de cálculo de condiciones iniciales y finales
R
t=0 C
IG
R
L
Se suponen conocidos los valores de todos los elementos del circuito.
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductancia y la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = ∞.
iC IG
C
+ vC -
R R
+ vL iL L -
Se asignan arbitrariamente los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones. La capacidad es un circuito abierto en continua (corriente nula). La corriente de la fuente ha de circular por la resistencia en paralelo con la capacidad, ya que ésta es un circuito abierto. Las tensiones en ambos elementos son iguales por estar en paralelo.
La figura adjunta muestra la situación del circuito para todo t tal que - ∞ ≤ t ≤ 0, y, en particular, para t = 0-. El circuito se halla en régimen permanente continuo, ya que la fuente es continua. iC(0-) = 0 A
IG = i C +
vC ⇒ v C(0 -) = RI G R
La inductancia es un cortocircuito en continua (tensión nula).
vL(0-) = 0 V
No hay corriente en la inductancia porque no está conectada a la excitación.
iL(0-) = 0 A
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iC IG
C
+ vC -
R R
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La figura adjunta muestra + la situación del circuito vL para todo t tal que 0 ≤ t ≤ ∞, iL L - y, en particular, para t = 0+. El circuito entra en transitorio porque han cambiado las condiciones de excitación en algunos elementos.
Se mantienen los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones elegidos anteriormente. La tensión en la capacidad y la corriente en la inductancia no pueden variar bruscamente.
vC(0+) = vC(0-) = RIG iL(0+) = iL(0-) = 0 A
Ecuación de nudo.
IG = i C +
v C = Ri L + v L ⇒ v L(0 +) = RI G
Ecuación de malla.
iC IG
C
+ vC -
vC + i L ⇒ i C(0 +) = 0 A R
R R
La figura adjunta muestra + la situación del circuito vL para todo t tal que 0 ≤ t ≤ ∞, iL L - y, en particular, para t = ∞.
Se mantienen los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones elegidos anteriormente.
El transitorio ha finalizado y el circuito se encuentra en régimen permanente continuo.
La capacidad es un circuito abierto en continua (corriente nula).
iC(∞) = 0 A
La inductancia es un cortocircuito en continua (tensión nula). v IG = i C + C + i L R
vL(∞) = 0 V iL(∞) = ⇒
v C = Ri L + v L
v C(∞) =
IG 2 RI G 2
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Ejemplo 2 de cálculo de condiciones iniciales y finales L VG
t=0
R
R
C
Se suponen conocidos los valores de todos los elementos del circuito.
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductancia y la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = ∞.
+ vL iL VG
L R
iC R
C
+ vC -
Se asignan arbitrariamente los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones.
La figura adjunta muestra la situación del circuito para todo t tal que - ∞ ≤ t ≤ 0, y, en particular, para t = 0-. El circuito se halla en régimen permanente continuo, ya que la fuente es continua.
La capacidad es un circuito abierto en continua (corriente nula).
iC(0-) = 0 A
La inductancia es un cortocircuito en continua (tensión nula).
vL(0-) = 0 V
Ecuación de malla.
VG = v L + v C ⇒ v C(0 -) = V G
Ecuación de nudo.
2V G iL = v C 1 + 1 + i C = R R R
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La figura adjunta muestra la situación del circuito para todo t tal que 0 ≤ t ≤ ∞, y, en particular, para t = 0+.
+ vL iL VG
L R
iC R
C
+ vC -
El circuito entra en transitorio porque han cambiado las condiciones de excitación en algunos elementos.
Se mantienen los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones elegidos anteriormente. La tensión en la capacidad y la corriente en la inductancia no pueden variar bruscamente.
vC(0+) = vC(0-) = VG iL(0 +) = i L(0 -) =
2V G R
Ecuación de nudo.
vC V + i C = 0 ⇒ i C(0 +) = - G R R
Ecuación de malla.
VG = v L + Ri L ⇒ v L(0 +) = - V G
+ vL iL VG
L R
iC R
C
+ vC -
Se mantienen los sentidos de las corrientes y las polaridades de las tensiones elegidos anteriormente. La capacidad es un circuito abierto en continua (corriente nula). La inductancia es un cortocircuito en continua (tensión nula). Ecuación de nudo. Ecuación de malla.
La figura adjunta muestra la situación del circuito para todo t tal que 0 ≤ t ≤ ∞, y, en particular, para t = ∞. El transitorio ha finalizado y el circuito se encuentra en régimen permanente continuo.
iC(∞) = 0 A vL(∞) = 0 V vC + i C = 0 ⇒ v C(∞) = 0 V R VG = v L + Ri L ⇒ i L(∞) =
VG R
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Ejemplo 3 de cálculo de condiciones iniciales y finales avL
t=0 R
iC C
IG
+ vC -
R
+ vL -
iL L
Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductancia y la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = ∞, y la variación de energía en la inductancia entre t = 0 y t = ∞.
t = 0- Continua Ecuación de nudo Ecuación de malla t = 0+ No hay cambios Ecuación de nudo
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se suponen conocidos los valores de IG, R, L, C y a.
vL(0-) = 0 V, iC(0-) = 0 A iC(0 -) + i L(0 -) = 0 ⇒ i L(0 -) = 0 A v C(0 -) = av L(0 -) + Ri L(0 -) + v L(0 -) = 0 V vC(0+) = vC(0-) = 0 V, iL(0+) = iL(0-) = 0 A v (0 +) + i C(0 +) + i L(0 +) ⇒ i C(0 +) = I G IG = C R
Ecuación de malla v (0+ ) = av (0 + ) + Ri (0+ ) + v (0 + ) ⇒ v (0+ ) = 0 V C L L L L t = ∞ Continua Ecuación de nudo
vL(∞) = 0 V, iC(∞) = 0 A v (∞) + i C(∞) + i L(∞) IG = C R
Ecuación de malla
v C(∞) = av L(∞) + Ri L(∞) + v L(∞) iL(∞) =
∞
wL =
∞
p L(t)dt = 0
∞
v L(t)i L(t)dt = 0
0
IG RI , v C(∞) = G 2 2
di (t) LI 2 L L iL(t)dt = L i2L(∞) - i 2L(0) = G dt 8 2
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Ejemplo 4 de cálculo de condiciones iniciales y finales avC
t=0 R
iC C
IG
+ vC - R
R i L
+ Se suponen conocidos vL los valores L - de IG, R, L, C y a.
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductancia y la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = ∞, y la variación de energía en la capacidad entre t = 0 y t = ∞.
t = 0- Continua Ecuación de nudo Ecuación de malla
vL(0-) = 0 V, iC(0-) = 0 A v (0 -) v (0 -) + i C(0 -) + C + i L(0 -) IG = C R R v C(0 -) = av C(0 -) + Ri L(0 -) + v L(0 -) RI iL(0 − ) = 1 - a IG, v C(0 − ) = G 3-a 3-a
t = 0+ No hay cambios
Ecuación de nudo Ecuación de malla
RI iL(0 +) = i L(0 − ) = 1 - a IG, v C(0 +) = v C(0 − ) = G 3-a 3-a IG =
v C(0 +) + i C(0 +) ⇒ i C(0 +) = 2 - a IG R 3-a
0 = Ri L(0 +) + av C(0 +) + Ri L(0 +) + v L(0 +) ⇒ ⇒ v L(0 +) = a - 2 RI G 3-a
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t = ∞ Continua Ecuación de nudo
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vL(∞) = 0 V, iC(∞) = 0 A v (∞) + i C(∞) ⇒ v C(∞) = RI G IG = C R
Ecuación de malla
0 = Ri L(∞) + av C(∞) + Ri L(∞) + v L(∞) ⇒ i L(∞) = -
∞
wC =
∞
p C(t)dt = 0
∞
v C(t)i C(t)dt = 0
0
dv (t) v C(t)C C dt = dt
RI G 2 = C v 2C(∞) - v 2C(0) = C (8 - 6a + a 2) 2 2 3-a
aI G 2
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Ejemplo 5 de cálculo de condiciones iniciales y finales + v1 R
t=0
R
iL L
VG
+ v2 + vL -
R RiL
iC C
+ Se suponen conocidos vC los valores - de VG, R, L y C.
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea hallar los valores de las tensiones v1 y v2 en t = 0-, t = 0+ y t = ∞. v1(0-) = RiL(0-) = 0 V
No hay excitación en la inductancia; iL(0-) = 0 A
v2(0-) = RiC(0-) = 0 V
En continua iC(0-) = 0 A
v1(0+) = RiL(0+) = RiL(0-) = 0 V
Ecuación de malla iL(0+) = iL(0-) v2(0+) = RiL(0+) - vC(0+) = RiL(0-) - vC(0-) ⇒ v 2(0 +) = 0 V vC(0+) = vC(0-) RiL(0 -) = RiC(0 -) + v C(0 -) ⇒ v C(0 -) = 0 V
VG = Ri L(∞) + Ri L(∞) + v L(∞) ⇒ i L(∞) = v 1(∞) = Ri L(∞) =
VG 2
v 2(∞) = Ri C(∞) = 0 V
VG 2R
En continua iC(∞) = 0 A vL(∞) = 0 V
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RG
t=0
Ejemplo 6 de cálculo de condiciones iniciales y finales
i1
VG
+ v1 -
i2
+ v2 -
i3 R3
+ v3 -
t=0 i4 gVG R4
+ v4 -
i5
+ v5 -
i6 R6
+ v6 -
i7
Se suponen conocidos los valores de todos los elementos del circuito.
+ v7 -
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea hallar los valores de v3(0+), i1(0+), i2(0+), i7(0+), v7(0+), i6(0+), i5(0+), v7(∞), e i7(∞). Elementos en paralelo. Continuidad de la tensión en la capacidad. La inductancia es un cortocircuito en continua. Continuidad de la corriente V - v (0 ) v (0 ) V G en la inductancia. i1(0 +) = i 1(0 -) = G 1 - i 2(0 -) - 1 = Ecuación de nudo. RG R3 R G La capacidad es un circuito abierto en continua.
v3(0+) = v2(0+) = v2(0-) = v1(0-) = 0 V
i2(0 +) = - i 1(0 +) -
v 3(0 +) V =- G R3 RG
Ecuación de nudo.
Continuidad de la corriente en la inductancia. Ausencia de excitación en la inductancia para t < 0. Elementos en paralelo. Continuidad de la tensión en la capacidad. v7(0+) = v5(0+) = v5(0-) = [gVG - i5(0-)]R4 = gVG R4 Ecuación de nudo. La capacidad es un circuito abierto en continua.
i7(0+) = i7(0-) = 0 A
i6(0 +)
v 6(0 +) v 7(0 +) gV GR 4 = = = R6 R6 R6
Elementos en paralelo.
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v 4(0 +) - i 6(0 +) - i 7(0 +) = R4 v (0 +) gV R = gV G - 5 - i 6(0 +) - i 7(0 +) = - G 4 R4 R6
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i5(0 +) = gV G -
v7(∞) = 0 V v 4(∞) v (∞) - i 5(∞) - 6 = R4 R6 v (∞) v (∞) = gV G - 7 - i 5(∞) - 7 = gV G R4 R6 i7(∞) = gV G -
Ecuación de nudo. Elementos en paralelo.
La inductancia es un cortocircuito en continua. Ecuación de nudo. Elementos en paralelo. La capacidad es un circuito abierto en continua.
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Ejemplo 7 de cálculo de condiciones iniciales y finales - vC +
t=0 + v1 -
i1 gvC Ra
L1
i2 L2
+ C v2 -
iC
Rb IG
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se suponen conocidos los valores de todos los elementos del circuito. Además, se sabe que i1(0+) = gRbIG, i2(0+) = 0 A (el cálculo de estos valores se efectúa como se indicó en ejemplos anteriores). Se desea hallar los valores de las corrientes en las inductancias para t = ∞. Solución aparente Las corrientes son nulas porque se verifica 0 A = iC(∞) = i1(∞) + i2(∞). Sin embargo, que la suma sea nula no implica que lo sean las corrientes. De hecho, no lo son (como se ve a continuación) porque las inductancias parten de condiciones iniciales distintas (lo confirma el dato de que las corrientes al inicio del transitorio son distintas). Para todo t ≥ 0 se verifica di 1(t) di (t) = L2 2 dt dt
v 1(t) = v 2(t) ⇒ L 1
Integrando esta expresión se obtiene L1
di 1(t) dt = dt
di 2(t) dt ⇒ L 1i 1(t) = L2i 2(t) + K dt
L2
(1)
Dado que (1) se verifica para todo t ≥ 0, también lo hará para t = 0+, con lo que, utilizando los datos del enunciado, L1i 1(0 +) = L 2i 2(0 +) + K ⇒ K = L 1gR bI G
(2)
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Dado que (1) se verifica para todo t ≥ 0, también lo hará para t = ∞; es decir, L1i 1(∞) = L 2i 2(∞) + K
(3)
Además, dado que la capacidad es un circuito abierto en continua, 0 A = iC(∞) = i1(∞) + i2(∞) Resolviendo el sistema (3-4) se llega a i1(∞) =
gR bI GL 1 = - i 2(∞) L 1 + L2
(4)
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Ejemplo 8 de cálculo de condiciones iniciales y finales + v1 R i L VG
L
+ C1 vL -
+ v2 C2
i1
i2
t=0
R RiL
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se suponen conocidos los valores de VG, R, L, C1 y C2. Además, se sabe que v1(0+) = 0 V, v2(0+) = - VG (el cálculo de estos valores se efectúa como se indicó en ejemplos anteriores). Se desea hallar los valores de las tensiones en las capacidades para t = ∞. Solución aparente Las tensiones son nulas porque se verifica 0 V = v1(∞) + v2(∞) (las capacidades están entre los cortocircuitos de la inductancia y un interruptor). Sin embargo, que la suma sea nula no implica que lo sean las tensiones. De hecho, no lo son (como se ve a continuación) porque las capacidades parten de condiciones iniciales distintas (lo confirma el dato de que las tensiones al inicio del transitorio son distintas). Para todo t ≥ 0 se verifica dv 1(t) dv (t) =C2 2 dt dt
i1(t) = i 2(t) ⇒ C 1
Integrando esta expresión se obtiene dv 1(t) dt = dt
C1
dv 2(t) dt ⇒ C 1v 1(t) = C 2v 2(t) + K dt
C2
(1)
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Dado que (1) se verifica para todo t ≥ 0, también lo hará para t = 0+, con lo que, utilizando los datos del enunciado, C 1v 1(0 +) = C 2v 2(0 +) + K ⇒ K = C 2V G
(2)
Dado que (1) se verifica para todo t ≥ 0, también lo hará para t = ∞; es decir, C 1v 1(∞) = C 2v 2(∞) + K
(3)
Además, como se indicó más arriba, 0 V = v1(∞) + v2(∞) Resolviendo el sistema (3-4) se llega a v 1(∞) =
C 2V G = - v 2(∞) C1 + C 2
(4)
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Ejemplo 9 de cálculo de condiciones iniciales y finales + vL R IG
L
iL R
RiL t=0
iC R
C
+ vC -
Son datos los valores de IG, R, L y C. Además, iL(0 +) =
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios.
Ecuación de malla
Se desea hallar las derivadas con relación al tiempo de la tensión en la capacidad y la corriente en la inductancia en el instante t = 0+.
0 = Ri C(0 +) + Ri L(0 +) + v C(0 +) ⇒ i C(0 +) = dv C(t) dt
Ecuación de nudo
2I G RI , v C(0 +) = - G 3 3
IG =
= 0+
IG 3
i C(0 +) I =- G C 3C
v L(0 +) + Ri L(0 +) RI + i L(0 +) ⇒ v L(0 +) = - G R 3 di L(t) dt
= 0+
v L(0 +) RI =- G L 3L
La derivada con relación al tiempo de cualquier variable en régimen permanente continuo es nula.
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Ejemplo 10 de cálculo de condiciones iniciales y finales + v1 -
t=0
1
i1 VG
+ i2 2 v2 + i 3 3 v3 -
+ i 4 4 v4 -
+ i 5 5 v5 -
i6
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio + de posición de los interruptores. 6 v6 Una vez producido éste, - ya no experimenta más cambios. Se conocen los datos indicados en la tabla adjunta.
Se desea averiguar la naturaleza (R, L o C) de los elementos numerados. t
i1 1A 1A
00+
v1 1V 1V
i2 1A 1A
v2 0V 0V
i3 1A 1A
v3 1V 1V
i4 0A -1A
v4 1V 1V
i5 0A 1A
v5 0V 1V
i6 0A 0A
v6 0V 1V
Elemento
Naturaleza
Razonamiento
1
Resistencia
La corriente no es nula en 0-; no puede ser capacidad. La tensión no es nula en 0-; no puede ser inductancia.
2
Inductancia
La corriente no es nula en 0-; no puede ser capacidad. La tensión es nula en 0-; no puede ser resistencia.
3
Resistencia
La corriente no es nula en 0-; no puede ser capacidad. La tensión no es nula en 0-; no puede ser inductancia.
4
Capacidad
La tensión no es nula en 0-; no puede ser inductancia. La corriente es nula en 0-; no puede ser resistencia.
5
Resistencia
Cambia bruscamente la tensión; no puede ser capacidad. Cambia bruscamente la corriente; no puede ser inductancia.
6
Inductancia
Cambia bruscamente la tensión; no puede ser capacidad. En 0+ hay tensión sin corriente; no puede ser resistencia.
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55
Ejercicios de repaso Condiciones iniciales y finales / 1 + vD -
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente iC + + es continua, ha permanecido iL R aiC vC vL mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición C L - del interruptor. Una vez IG R R producido éste, ya no experimenta más cambios. Son datos los valores de IG, R, L, C y a. t=0
Se desea calcular vD en t = 0-, t = 0+ y t = ∞. Soluciones v D(0 -) =
RI G , v D(0 +) = - aRI G, v D(∞) = 0 V 2
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56
Condiciones iniciales y finales / 2
R VG
L iL R
+ vC t=0
+ vL -
C iC avL
R
Se desea calcular la potencia en la resistencia marcada con un círculo en los instantes t = 0-, t = 0+ y t = ∞.
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Son datos los valores de VG, R, L, C y a.
Soluciones p R(0 -)
aV G 2 V 2G + 1 , p = (0 ) = , p R(∞) = 0 W 4R R R 2(1 + a)
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57
Análisis en régimen transitorio
Objeto
Respuesta única
Todas las expresiones temporales son de la misma forma
Determinar la respuesta (evolución temporal)
Cálculo de las expresiones temporales de corrientes y tensiones durante el transitorio
Tipos de respuestas
Natural
Forzada
La excitación se suprime bruscamente en uno o más elementos
La excitación se aplica bruscamente a uno o más elementos
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58
Respuesta natural de un circuito RL t=0 RG iL IG
L
+ vL - R
Son datos los valores de todos los elementos del circuito.
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de la apertura del interruptor. Una vez producida ésta, ya no experimenta más cambios. Se pretende encontrar la respuesta del circuito para t > 0.
El régimen transitorio sólo se manifiesta en la parte del circuito que incluye la inductancia. Es a esa parte a la que se refiere la pregunta sobre la respuesta. La respuesta es natural porque se suprime la excitación de la inductancia. Como la respuesta es única, se calculará la expresión temporal de la magnitud fundamental correspondiente al elemento reactivo considerado (iL). La expresión temporal correspondiente a cualquier otra magnitud puede obtenerse una vez hallada aquélla. Para t > 0 se tiene vL + RiL = 0
Ecuación de malla / nudo
Sustituyendo en esta expresión la relación funcional de la inductancia, se tiene di L L + Ri L = 0 dt
Ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal de iL para t > 0
La solución de una ecuación diferencial de primer orden en una sola variable con coeficientes constantes y segundo miembro nulo es de la forma iL(t) = Ae - τt τ=L R
Expresión temporal (instantánea) que caracteriza la evolución de iL para t > 0 Constante de tiempo
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59
Para que la respuesta esté completamente determinada, hay que hallar la constante que aparece en la expresión temporal. Para ello se compara la condición inicial del transitorio que puede deducirse directamente de la observación del circuito con el valor que proporciona la expresión temporal. Así, Por la observación del circuito (el cálculo se hace como se indicó en secciones anteriores) Por la expresión temporal Expresión temporal de iL para t > 0
iL(0 +) = i L(0 -) = I G
⇒ A = IG
iL(0) = A R
iL(t) = I Ge - L t
Conocida la expresión temporal (instantánea), puede obtenerse el valor de la variable en cualquier instante de tiempo.
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60
Significado de la constante de tiempo iL(t) IG
respuesta para ritmo de descenso constante
Respuesta natural de un circuito RL
respuesta natural
0.37I G
iL(t) = I Ge - τt
0.007IG τ
t T = 5τ
t
La constante de tiempo es una medida de lo rápido que desaparece (o de cuanto dura) el régimen transitorio. Puede decirse que el régimen permanente continuo final se establece cuando ha transcurrido un tiempo igual a cinco constantes de tiempo (pasado ese intervalo, las variaciones en la respuesta son inapreciables). Esto permite suponer que el circuito está en régimen permanente continuo cuando se produce el cambio de posición en el interruptor. Si la excitación correspondiente se ha aplicado en t = - ∞ (hace mucho tiempo), es evidente que desde entonces ya transcurrieron cinco constantes de tiempo.
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61
Ejemplo de respuesta natural en un circuito RL t=0
R2 + v1 -
RG VG
iL R1
L
+ vL - R3
VG = 24 V, L = 5 mH RG = 12 Ω, R1 = 6 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 10 Ω
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de la apertura del interruptor. Una vez producida ésta, ya no experimenta más cambios. Se desea obtener la expresión temporal de v1(t > 0), y la variación de energía en R3 entre t = 0 y t = ∞.
Para t > 0 se tiene
L
vL v + iL + L = 0 R1 + R 2 R3
Ecuación de nudo
di 1 + 1 L + iL = 0 R 1 + R 2 R 3 dt
Ecuación diferencial
iL(t) = Ae - τt τ=L
Expresión temporal
1 + 1 = 1 ms R1 + R 2 R3
Constante de tiempo
iL(0 +) = i L(0 -) = VGR 1 = =1A R GR 1 + R GR 2 + R 1R 2
Por el circuito
⇒A=1A
iL(0) = A
Por la expresión temporal
di (t) v L(t) = L L = - LA e - τt = - 5e - t V (t en ms) τ dt R1 Divisor de tensión v 1(t) = v L(t) = - 3e - t V (t en ms) R1 + R 2 ∞
w3 =
∞
p 3(t)dt = 0
0
v 2L(t) dt = R3
∞
0
(- 5e - t) 2 dt = 1.25 mJ 10
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62
RG
t=0
Respuesta natural de un circuito RC
VG
i1
C1
+ vC i2 R - C2
Son datos los valores de todos los elementos del circuito.
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de la apertura del interruptor. Una vez producida ésta, ya no experimenta más cambios. Se pretende encontrar la respuesta del circuito para t > 0.
El régimen transitorio sólo se manifiesta en la parte del circuito que incluye las capacidades. Es a esa parte a la que se refiere la pregunta sobre la respuesta. La respuesta es natural porque se suprime la excitación de las capacidades. Aunque hay dos capacidades, el circuito puede ser tratado como si tuviera una porque ambas pueden ser agrupadas en paralelo. Como la respuesta es única, se calculará la expresión temporal de la magnitud fundamental correspondiente al elemento reactivo considerado (vC). La expresión temporal correspondiente a cualquier otra magnitud puede obtenerse una vez hallada aquélla. Para t > 0 se tiene i1 +
vC + i2 = 0 R
Ecuación de nudo
Sustituyendo en esta expresión la relación funcional de la capacidad, se tiene dv v (C 1 + C 2) C + C = 0 dt R
Ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal de vC para t > 0
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63
La solución de una ecuación diferencial de primer orden en una sola variable con coeficientes constantes y segundo miembro nulo es de la forma v C(t) = Ae - τt τ = R(C 1 + C 2)
Expresión temporal (instantánea) que caracteriza la evolución de vC para t > 0 Constante de tiempo
Para que la respuesta esté completamente determinada, hay que hallar la constante que aparece en la expresión temporal. Para ello se compara la condición inicial del transitorio que puede deducirse directamente de la observación del circuito con el valor que proporciona la expresión temporal. Así, Por la observación del circuito (el cálculo se hace como se indicó en secciones anteriores)
v C(0 +) = v C(0 -) =
Por la expresión temporal Expresión temporal de vC para t > 0
VGR RG + R
⇒A=
VGR RG + R
v C(0) = A v C(t) =
VGR -t/R(C1 + C2) e RG + R
Conocida la expresión temporal (instantánea), puede obtenerse el valor de la variable en cualquier instante de tiempo.
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64
R
iL L
VG
La respuesta es forzada porque se aplica la excitación
L descargada para t < 0
RG
t=0
RG
t=0
Respuesta forzada en circuitos RL y RC
R
VG
C + vC -
C descargada para t < 0 Para t > 0 se tiene
di L L + (R G + R)i L = V G dt
Ecuación diferencial (obtenida combinando una ecuación de circuito y relación funcional)
dv (R G + R)C C + v C = V G dt
La solución de una ecuación diferencial de primer orden en una sola variable con coeficientes constantes y segundo miembro no nulo está dada por las matemáticas. iL(t) = B + (A - B)e - τt τ=
L RG + R
Expresión temporal (instantánea)
v C(t) = B + (A - B)e - τt
Constante de tiempo
τ = (R G + R)C
Hay que hallar las constantes que aparecen en la expresión temporal. Se comparan las condiciones inicial y final del transitorio, que pueden deducirse de la observación del circuito, con los valores que proporciona la expresión temporal.
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65
Por el circuito
Por el circuito
iL(0 +) = i L(0 -) = 0 A
v C(0 +) = v C(0 -) = 0 V
Por la expresión temporal
⇒A=0A
iL(0) = A
v C(0) = A
Por el circuito
Por el circuito
iL(∞) =
VG RG + R
⇒A=0V
Por la expresión temporal
v C(∞) = V G ⇒B=
Por la expresión temporal
VG RG + R
⇒ B = VG
Por la expresión temporal
v C(∞) = B
iL(∞) = B
Respuesta en régimen transitorio de circuitos con un solo elemento reactivo Ecuaciones del circuito
iL Relación funcional
x= vC
Ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal
dx + x = K ⇔ τdx + x = K τ = x f dt dt τ
Expresión temporal (expresión instantánea)
x(t) = x f + (x o - x f)e - τ
Respuesta natural xf = x(t = ∞) = K = 0
t
xo = x(t = 0) xf = x(t = ∞)
El procedimiento también es aplicable si hay varios elementos reactivos de la misma naturaleza que puedan ser agrupados en uno solo.
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66
Ejemplos de respuesta forzada Ejemplo de respuesta forzada en un circuito RC t=0 R1
iC C
VA
+ vC - R 3
R2 iB VB
VA = 2 V, VB = 2 V, C = 1 µF R1 = 2 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 2 Ω
El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea obtener la expresión temporal (t > 0) de la potencia en la fuente VB.
Para t > 0 se tiene VB - v C v dv = iC + C , iC = C C R2 R3 dt
Ecuación de nudo y relación funcional
CR 2R 3 dv C R3 + vC = V Ecuación diferencial (R 2 + R 3) dt R2 + R 3 B τ=
CR 2R 3 = 1 µs R2 + R 3
v Co = v C(0) = V A = 2 V
Constante de tiempo
Por el circuito
R3 v Cf = v C(∞) = V =1V R2 + R 3 B v C(t) = v Cf + (v Co - v Cf)e - τt = 1 + e - t V (t en µs) Expresión temporal V - v (t) p B(t) = - V Bi B(t) = - V B B C = - 1 + e - t W (t en µs) R2 Es respuesta forzada porque en t = 0 la capacidad es sometida bruscamente a una excitación no nula distinta de la que soportaba anteriormente.
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Ejemplo de respuesta forzada en un circuito RL t=0 R1
i1 L1
IG
R2
+ vL -
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cierre del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios.
i2 L2
Son datos los valores de todos los elementos del circuito.
R
iL
IG
L
IG =
+ vL -
Se desea obtener la expresión temporal (t > 0) de la corriente i1. Para t > 0 se tiene R=
R 1R 2 L 1L 2 ,L= R1 + R 2 L 1 + L2
vL di + i L, v L = L L R dt
Ecuación de nudo y relación funcional
di L R + i =I dt L L G
Ecuación diferencial
τ=L R
Constante de tiempo
iLo = i L(0) = 0 A
Por el circuito
iLf = i L(∞) = I G iL(t) = i Lf + (i Lo - i Lf)e - τt = I G(1 - e - τt ) di 1 di di = L2 2 = L L dt dt dt di di L 1 1 dt = L L dt ⇒ L 1i 1 = Li L + K dt dt L1
t = 0 ⇒ i 1 = 0 A = i L ⇒ K = 0 Vs
Expresión temporal ⇒ i 1(t) = L iL(t) = L1 L 2I G = (1 - e - τt ) L 1 + L2
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Respuesta de un circuito con dos elementos reactivos no agrupables + vL R
t=0
L
iL i C
VG
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cierre del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios.
+ vC C -
Son datos los valores de todos los elementos del circuito.
Se desea obtener la respuesta para t > 0.
Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito
VG = Ri L + v L + v C
(1)
iL = i C
(2)
di L dt
(3)
dv C dt
(4)
vL = L Relaciones funcionales iC = C Combinando (1-4) se llega a Ecuaciones diferenciales que caracterizan la evolución de iL y vC para t > 0
d 2v C dv + RC C + v C = V G dt dt 2 d 2i di LC L + RC L + i L = 0 dt dt 2
LC
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69
Solución de las ecuaciones diferenciales Para cada magnitud fundamental hay una ecuación diferencial
2 ad x + b dx + cx = K dt dt 2
Solución x(t) = x f + x h (t)
a, b y c son iguales para todas las magnitudes fundamentales K puede ser distinto para distintas magnitudes fundamentales x f = x(t = ∞)
x f = 0 si K = 0
x h(t) Solución de la ecuación homogénea
Ecuación homogénea 2 ad x + b dx + cx = 0 dt dt 2
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70
Solución de la ecuación homogénea Ecuación homogénea 2 ad x + b dx + cx = 0 dt dt 2
Ecuación característica as 2 + bs + c = 0
Coeficiente de amortiguamiento
Raíces de la ecuación característica s 1, 2 =
α 1 = b s 2a
- b ± b 2 - 4ac = 2a
=-α±
Frecuencia angular de resonancia ω 0 rad = 1 = s s
α 2 − ω 20
Respuesta supercrítica
Respuesta crítica
Respuesta subcrítica
(sobreamortiguada) s 1 y s 2 reales s1 < 0 > s2 s1 ≠ s2
(amortiguada)
(subamortiguada) s 1 y s 2 complejas
ω 20 < α 2
ω 20 = α 2
x h (t) = Ae s 1 t + Be s 2 t
s 1 y s 2 reales s1 < 0 > s2 s1 = s2 x h (t) = Ate
− αt
t → ∞ ⇒ x h(t) → 0
c a
+
Be − α t
s 1 = s *2 ω 20 > α 2 ωd = +
ω 20 − α 2
ω dt) + x h (t) = Ae − α t cos(ω α − t ω dt) sen(ω + Be
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Obtención de las expresiones temporales Dos ecuaciones de circuito (mallas, nudos) Ecuaciones adicionales Relaciones funcionales Ecuación diferencial de una magnitud fundamental
Expresión temporal de la magnitud fundamental (constantes: xf , A, B)
Expresión temporal de la otra magnitud fundamental (constantes: xf, A, B) Condiciones en t=0yt=∞
Cálculo de xf, A, B
71
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72
Ejemplo 1 de respuesta en circuito con dos elementos t=0
a
R
R R
VG
+ iC vC C -
kiL
iL L
VG = 1 V, k = - 1 R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F
+ vL -
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener las expresiones temporales de iL y vC para t > 0.
Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito
v a = Ri C + v C v a = Ri L + v L
Fuente dependiente
Relaciones funcionales
ki L = i C +
va + iL R
(1) (2) (3)
dv iC = C C dt
(4)
di vL = L L dt
(5)
Combinando (1-5) se llega a Ecuaciones diferenciales de las variables fundamentales
dv d 2v C 2LC + (3 - k)RC + L C + (2 - k)v C = 0 R dt dt2 di d 2i L 2LC + (3 - k)RC + L L + (2 - k)i L = 0 R dt dt2
Se elige arbitrariamente una de las ecuaciones diferenciales (por ejemplo, la primera) y se aplica el procedimiento general a partir de ella.
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73
as 2 + bs + c = 0 a = 2LC = 2 s 2 Ecuación característica
b = (3 - k)RC + L = 5 s R c=2-k=3 α = b = 5 s -1, ω0 = 2a 4
Tipo de respuesta
c = a
3 rad/s 2
α2 > ω02 ⇒ respuesta supercrítica Expresión temporal de la variable considerada
v C(t) = v Cf + Ae s1t + Be s2t
(se incluye vCf por generalidad, aunque en este caso tal valor es nulo, porque también lo es el segundo miembro de (6-7))
s1 = - α + s2 = - α -
(6)
α2 - ω02 = - 1 s -1 α2 - ω02 = - 1.5 s -1
Combinando (1-6) se obtiene v Cf iL(t) = 1 + A 2Cs 1 + 1 e s1t + B 2Cs 2 + 1 e s2t = Expresión k-1 R R R temporal s t 1 v de la otra variable = - Cf + Ae + Be s2t 2 2
(7)
Aplicando las condiciones y finales a (6-7) se tiene (sólo se utilizan tres ecuaciones porque hay tres incógnitas) Por el circuito
Por la expresión temporal
1 V = VG 0V
vC(0) vC(∞)
0A
iL(0)
Respuesta (expresiones temporales)
v Cf + A + B v Cf v - Cf + A + B 2 2
⇒
vCf = 0 V A=2V B=-1V
v C(t) = 2e -t - e -1.5t V (t en s) iL(t) = e -t - e -1.5t A (t en s)
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Observaciones Las siguientes observaciones se deducen del ejemplo anterior, pero tienen validez general en el caso de régimen transitorio en circuitos con dos elementos reactivos no agrupables. Los coeficientes de los primeros miembros de las ecuaciones diferenciales no dependen de las características de las fuentes independientes. Éstas sólo influyen en los segundos miembros de aquéllas. Es decir, la respuesta está determinada por los elementos pasivos y las características de las fuentes dependientes.
No es posible determinar el tipo de respuesta si no se conocen los valores numéricos de los elementos del circuito. Obsérvese que el tipo de respuesta depende de la relación entre el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia angular de resonancia, que estos parámetros dependen de los coeficientes de la ecuación característica, y que éstos dependen de las características de los elementos del circuito.
En circuitos con dos elementos reactivos no existe nada exactamente equiparable a la constante de tiempo. Para determinar un parámetro aproximadamente equivalente puede seguirse cualquiera de los siguientes procedimientos: Obtener el mayor valor de t que hace que hace que un término exponencial valga e-5 = 0.0067 (en el ejemplo anterior, t = 5 s). Calcular la mayor de las constantes de tiempo que aparecen en las ecuaciones diferenciales (en el ejemplo anterior, (3 - k)RC = 4 s, L/R = 1 s).
74
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75
Ejemplo 2 de respuesta en circuito con dos elementos t=0 R
a
R
R R
IB
L iC C
+ vC -
IA
iL L
El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. + Una vez producido éste, vL ya no se producen más - cambios.
IA = 2 A, IB = 2 A R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F
Se desea obtener la expresión temporal de la potencia en la fuente IA.
Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales
dv di RC C + v C = v a = Ri L + L L dt dt dv v IA = C C + a + i L dt R
(1) (2)
Combinando (1-2) se obtiene dv d 2v C + 3RC + L C + 2v C = RI A R dt dt 2 di d 2i 2LC L + 3RC + L L + 2i L = I A R dt dt 2
2LC Ecuaciones diferenciales
con lo que puede deducirse Ecuación característica
Tipo de respuesta
a = 2LC = 2 s 2, b = 3RC + L = 4 s, c = 2 R α = b = 1 s -1, ω 0 = 2a
c = 1 rad/s a
α 2 = ω 20 ⇒ respuesta crítica
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Expresión temporal de vC
76
(3)
v C(t) = v Cf + Ate - αt + Be - αt Combinando (1-3) se llega a
Expresión i (t) = I - v Cf + A 2αC - 1 te - αt + - 2CA + B 2αC - 1 e - αt = (4) A temporal L R R R de iL αt αt = 2 - v Cf + Ate + (B - 2A)e Aplicando las condiciones y finales a (3-4) se tiene Por el circuito
2 V = RIB RI 1V= A 2 I 1A= A 2 Respuesta
Por la expresión temporal
vC(0)
v Cf + B
vC(∞)
v Cf
iL(0)
2 - v Cf + B - 2A
vCf = 1 V ⇒ A = 0.5 V/s B=1V
v C(t) = 1 + 0.5te -t + e -t V (t en s) iL(t) = 1 + 0.5te -t A (t en s)
di (t) p A(t) = - v a(t)I a = - Ri L(t) + L L IA = - (2 + e -t) W (t en s) dt
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77
iC IG
+ vC C -
R
t=0
Ejemplo 3 de respuesta en circuito con dos elementos
R
iL L
IG = 2 A R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua + vL ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio - de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener la variación de energía en la capacidad entre t = 0 y t = ∞.
Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales
v C = Ri L + L IG = C
di L dt
dv C v C + iL + dt R
(1) (2)
Combinando (1-2) se obtiene
Ecuaciones diferenciales
dv d 2v C LC + RC + L C + 2v C = RI G R dt dt 2 di d 2i L LC + RC + L L + 2i L = I G R dt dt 2 con lo que puede deducirse
Ecuación característica
a = LC = 1 s 2, b = RC + L = 2 s, c = 2 R α = b = 1 s -1, ω 0 = 2a
Tipo de respuesta
c = 2 rad/s a
α 2 < ω 20 ⇒ respuesta subcrítica ωd = +
ω 20 - α 2 = 1 rad/s
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Expresión temporal de iL
78
iL(t) = i Lf + Ae - αtcos(ω dt) + Be - αtsen(ω dt)
(3)
Combinando (1-3) se llega a v C(t) = Ri Lf + Ae - αt[(R - αL)cos(ω dt) - ω dLsen(ω dt)] + + Be - αt[(R - αL)sen(ω dt) + ω dLcos(ω dt)] =
Expresión temporal de vC
(4)
= i Lf - Ae -tsen(t) + Be -tcos(t)] Aplicando las condiciones y finales a (3-4) se tiene
Por el circuito
Por la expresión temporal
0A
iL(0)
iLf + A
IG 2
iL(∞)
iLf
2 V = RIG
vC(0)
iLf + B
1A=
iLf = 1 A ⇒
A=-1A B=1A
iL(t) = 1 - e -tcos(t) + e -tsen(t) A (t en s) v C(t) = 1 + e -tcos(t) + e -tsen(t) V (t en s)
Respuesta
∞
wC =
∞
p C(t)dt = 0
0
dv (t) v C(t)C C dt = C v 2C(∞) - v 2C(0) = - 1.5 J dt 2
El valor de vC(∞) puede obtenerse del circuito o de la expresión temporal Si se deseara obtener la energía en la resistencia que está en paralelo con la capacidad, el cálculo sería ∞
wR =
∞
p R(t)dt = 0
0
v (t) v C(t) C dt = R
∞
0
[1 + e -tcos(t) + e -tsen(t)] 2 dt R
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79
R
VG
t=0
Ejemplo 4 de respuesta en circuito con dos elementos
R
R
iC
+ vC iL L
+ vL -
C
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener la respuesta para t > 0. Son datos los valores de V G y τ, siendo τ = RC = L . R Para t > 0 se tiene
Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales
dv dv VG = R C C + i L + RC C + v C dt dt dv di VG = R C C + i L + Ri L + L L dt dt dv d 2v C + 3RC + L C + 2v C = V G R dt dt 2 di d 2i V 2LC L + 3RC + L L + 2i L = G R R dt dt 2
2LC Ecuaciones diferenciales
Ecuación característica
Tipo de respuesta
RC = τ = L ⇒ LC = (RC) L = τ 2 R R a = 2LC = 2τ 2, b = 3RC + L = 4τ, c = 2 R α = b = 1τ , ω 0 = 2a
c =1 a τ
α 2 = ω 20 ⇒ respuesta crítica
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Expresiones temporales
80
v C(t) = v Cf + Ate - αt + Be - αt iL(t) =
V G - v Cf + A 2αC - 1 te - αt + - 2CA + B 2αC - 1 e - αt R R R
Por el circuito
Por la expresión temporal
0V
vC(0)
v Cf + B
VG 2
vC(∞)
v Cf
0A
iL(0)
VG - v Cf - 2CA + B 2αC - 1 R R
v Cf = ⇒
A = 0 V/s V B=- G 2
VG (1 - e - τt ) 2 VG (1 - e - τt ) iL(t) = 2R
v C(t) = Respuesta
La expresión temporal de la corriente en la inductancia no está completamente determinada, ya que se desconoce el valor de R. Pese a las apariencias, la respuesta de este circuito no está relacionada con la de un circuito con un solo elemento reactivo. La similitud formal se debe únicamente a la circunstancia de que el coeficiente A tenga un valor nulo.
VG 2
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81
R
t=0
Ejemplo 5 de respuesta en circuito con dos elementos
L1 C1 L2 C2
VG
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener la expresión temporal de la potencia en C2 para t > 0. VG = 0.5 V, R = 0.5 Ω L 1 = 0.6 mH, L2 = 0.4 mH C1 = 2 mF, C2 = 2 mF Pese a tener cuatro elementos reactivos, el circuito puede ser tratado como si sólo tuviera dos, ya que aquéllos son agrupables dos a dos.
R IG
iL L
+ + i vC vL C C -
Para t > 0 el circuito es equivalente al de la figura adjunta, en la que VG =1A R C 1C 2 L = L 1 + L 2 = 1 mH, C = = 1 mF C1 + C 2 IG =
Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales
Ecuaciones diferenciales
vC = L - IG =
di L dt
vC dv + iL + C C R dt
d 2v C L dv C + vC = 0 LC + 2 dt R dt d 2i L L di L + iL = - IG LC + 2 dt R dt
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Ecuación característica
82
a = LC = 10 -6 s 2, b = L = 2×10 -3 s 1, c = 1 R c = 10 3 s -1 a
α = b = 10 3 s -1, ω 0 = 2a
Tipo de respuesta
α 2 = ω 20 ⇒ respuesta crítica iL(t) = i Lf + Ate - αt + Be - αt
Expresiones temporales
v C(t) = L[A(1 - αt)e - αt - αBe - αt] = = 10 -3[A(1 - αt)e - αt - αBe - αt]
Por el circuito
Por la expresión temporal
0A
iL(0)
iLf + B
- 1 A = - IG
iL(∞)
iLf
0V
vC(0)
10 -3(A - αB)
Respuesta
dv C C dt = dt
iLf = - 1 A ⇒ A = 103 A/s B=1A
iL(t) = - 1 + te -t + e -t A (t en ms) v C(t) = - te -t V (t en ms) dv dv C C = C 2 C2 dt dt dv C 2 C2 dt ⇒ C 2v C2 = Cv C + K dt
⇒ v C2(t) = C v C(t) C2
t = 0 ⇒ v C2 = 0 V = v C ⇒ K = 0 As dv p C2(t) = v C2(t)i C(t) = C v C(t) C = 0.5t(1 - t)e -2t mW (t en ms) dt C2
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Ejemplo 6 de respuesta en circuito con dos elementos t=0 iC IG
+ vC C -
R R
iL
+ vL L -
IG = 2 A, R = 1 Ω El régimen transitorio se caracteriza por los siguientes parámetros: α = 1 s -1, ω 0 = 2 rad/s
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener los valores de la inductancia y la capacidad.
Para t > 0 se tiene v C = Ri L + L
Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales
Ecuación diferencial
IG = C LC
dv C v C + iL + dt R
dv d 2v C + RC + L C + 2v C = RI G R dt dt 2 a = LC, b = RC + L , c = 2 R
Ecuación característica
1 s -1 = α = b = R + 1 2a 2L 2RC 2 rad/s = ω 0 =
di L dt
c = a
2 LC
L=1H ⇒ C=1F
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Ejemplo 7 de respuesta en circuito con dos elementos t=0 R
iC
VG
+ vC C -
iL R
L
Para t > 0, vC = (1 - t)e-t V (t en s) iL = 0.5te-t A (t en s)
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, + ha permanecido mucho tiempo vL sin cambios antes del cambio de - posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener los valores de VG, R, L y C.
Para t > 0 se tiene di L dt dv v 0 = C C + C + iL dt R vC = L
Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales
Ecuación diferencial
LC
Ecuación característica
d 2i L L di L + iL = 0 + 2 dt R dt a = LC, b = L , c = 1 R
En régimen transitorio la respuesta es crítica, ya que en las expresiones temporales figuran términos de la forma te-kt. En la respuesta crítica, el coeficiente de amortiguamiento es el coeficiente del exponente en tales términos; luego, α = 1 s -1 En la respuesta crítica, los valores numéricos del coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia angular de resonancia son iguales; luego ω 0 = α = 1 rad/s (por el circuito) V G = v C(0) = 1 V (por la expresión temporal) ⇒ V G = 1 V Por las expresiones Por el circuito Por las expresiones temporales temporales
e -t
-
te -t
1 rad/s = ω 0 =
di L ⇒L=2H L(0.5e -t - 0.5te -t) dt c = 1 ⇒ C = 0.5 F, 1 s -1 = α = b = 1 ⇒ R = 1 Ω a 2a 2RC LC vC = L
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Ejemplo 8 de respuesta en circuito con dos elementos + vL R
t=0
Li L
VG
iC
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios.
+ vC C -
Para t > 0, vC = 10 - 5e-1000t - 5e-9000t V (t en s) iL = e-1000t + 9e-9000t mA (t en s)
Se desea obtener los valores de VG, R, L y C.
Para t > 0 se tiene dv C dt di VG = Ri L + L L + v C dt iL = C
Ecuaciones del circuito y relaciones funcionales
Ecuación diferencial
LC
d 2v C dv + RC C + v C = V G dt dt 2 a = LC, b = RC, c = 1
Ecuación característica
La respuesta en régimen transitorio es supercrítica, ya que en las expresiones temporales figuran términos exponenciales con distintos valores de los coeficientes de los exponentes. En la respuesta supercrítica, esos coeficientes son las raíces de la ecuación característica; luego, s 1 = - 1000 s -1, s 2 = - 9000 s -1 s1 = - α +
α 2 - ω 20
s2 = - α -
α 2 - ω 20
α=-
s1 + s2 = 5000 s -1 2
⇒ ω0 = +
α2 -
s1 - s 2 2
2
= 3000 rad/s
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(por el circuito) V G = v C(∞) = 10 V (por la expresión temporal) ⇒ V G = 10 V Por las expresiones temporales
Por el circuito
Por las expresiones temporales
dv
C 0.001e -1000t + 0.009e-9000t iL = C dt C(5000e -1000t + 45000e -9000t) ⇒ C = 0.2 µF
3000 rad/s = ω 0 =
c = 1 ⇒L=5 H a 9 LC
5000 s -1 = α = b = R ⇒ R = 50 kΩ 9 2a 2L
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Ejercicios de repaso Respuesta en transitorio / 1 t=0 R
R
iC VS
+ vC C -
R
R
iL VG
+ vL L -
VS = 4 V, VG = 4 V R =1 Ω, L = 1 µH, C = 1 µF
El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener la expresión temporal de la potencia en VG para t > 0.
Solución pG(t) = - 8 + 4e-t W (t en µs)
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Respuesta en transitorio / 2 + vL R VG
L
iL
t=0 iC
R
C
+ vC -
R VS
Se desea obtener la expresión temporal de la corriente en la capacidad para t > 0. VS = 3 V, VG = 4 V R =1 kΩ, L = 1 mH, C = 1 nF
El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios.
Solución iC(t) = - e-t[cos(t) + sen(t)] mA (t en µs)
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Circuitos con elementos desacoplados + vL L VG
iL
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo + sin cambios antes del cambio de posición del iC vC interruptor. Una vez producido éste, C - ya no se producen más cambios.
t=0 R
R
Son datos los valores de todos los elementos del circuito.
Se desea obtener las expresiones temporales de la corriente en la inductancia y la tensión en la capacidad para t > 0. Para t > 0 se tiene
Ecuaciones del circuito, relaciones funcionales y ecuaciones diferenciales
VG = L 0=C
di L + Ri L dt
dv C v C + dt R
Son ecuaciones diferenciales de primer orden, cada una en una variable; por tanto, se resuelven como se indicó anteriormente. Expresiones temporales
iL(t) = i Lf + (i Lo - i Lf)e -t/τL 2V V iLo = i L(0) = G , i Lf = i L(∞) = G , τ L = L R R R v C(t) = v Cf + (v Co - v Cf)e -t/τC v Co = v C(0) = V G, v Cf = v C(∞) = 0, τ C = RC
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Observaciones Para t > 0 los dos elementos reactivos y sus respectivas magnitudes eléctricas no se influyen entre sí; las variables son independientes y los elementos están totalmente desacoplados. En circuitos con elementos totalmente desacoplados, a la variable fundamental de cada uno de ellos le corresponde una ecuación diferencial de primer orden. Puede haber influencia de un elemento reactivo en otro sin que el segundo influya en el primero. Se habla entonces de elementos parcialmente acoplados (o desacoplados). A la variable correspondiente al elemento no influido (variable independiente) le corresponde una ecuación diferencial de primer orden. A la variable correspondiente al elemento influido (acoplado) le corresponde una ecuación diferencial de segundo orden. En circuitos parcial o totalmente desacoplados no puede hablarse de respuesta única.
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Ejemplo 1 de circuito con elementos desacoplados t=0
El circuito de la figura, en el que la fuente + + independiente es continua, R R kvC iC iL vC vL ha permanecido mucho C R IG L - tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. IG = 2 A, k = 1 Una vez producido éste, R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F ya no se producen más cambios. Se desea obtener las expresiones temporales de iL y vC para t > 0. Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito, y relaciones funcionales
IG =
vC dv +C C R dt
0 = (R + R)i L + kv C + L
(1) di L dt
(2)
(1) es una ecuación diferencial de primer orden en una sola variable; por tanto, v Co = v C(0) =
RI G = 1 V, v Cf = v C(∞) = RI G = 2 V, τ C = RC = 1 s 3-k
v C(t) = v Cf + (v Co - v Cf)e -t/τC = 2 - e -t V (t en s) Sustituyendo (3) en (2) se obtiene di L + 2i L + 2 = e -t dt La solución de esta ecuación diferencial (así como las de otras similares que surgen en circuitos con elementos parcialmente acoplados) no es sencilla porque el segundo miembro no es una constante. Por consiguiente, es preferible utilizar un procedimiento alternativo. Así, despejando vC de (2) y sustituyendo el resultado en (1), se llega a Ecuación diferencial de la variable acoplada
di d 2i L LC + 2RC + L L + 2i L = - kI G R dt dt 2
(3)
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Ecuación característica
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a = LC = 1 s 2, b = 2RC + L = 3 s, c = 2 R α = b = 1.5 s -1, ω 0 = 2a
Tipo de respuesta
c = 2 rad/s a
α 2 > ω 20 ⇒ respuesta supercrítica Expresión temporal de iL
iL(t) = i Lf + Ae s1t + Be s2t
(4)
s1 = - α +
α 2 - ω 20 = - 1 s -1
s2 = - α -
α 2 - ω 20 = - 2 s -1
Sustituyendo (4) en (2) se obtiene Expresión temporal de vC
v C(t) = -
s2t 2Ri Lf Ae s1t (2R + Ls 1) - Be (2R + Ls 2) = k k k
= - 2i Lf - Ae s1t
(5)
iLf = - 1 A Igualando término a término (3) y (5)
⇒
(por el circuito) 0 A = iL(0) = iLf + A + B (por (4))
⇒
Respuestas
A=1A B=0A
v C(t) = 2 - e -t V (t en s) iL(t) = - 1 + e -t A (t en s)
Tras la apertura del interruptor, la capacidad no está influida por la inductancia (la primera está desacoplada con relación a la segunda), pero la inductancia sigue influida por la capacidad a través de la fuente dependiente (está acoplada). La similitud de las expresiones temporales es puramente circunstancial (se debe a que se anula el coeficiente de un término exponencial de la corriente). El tratamiento general de elementos parcialmente acoplados se basa en determinar la variable acoplada como si no se conociera la expresión temporal de la variable independiente.
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Ejemplo 2 de circuito con elementos desacoplados + vL L
t=0
R
iL
VG
RiL
R
iC R
+ vC C -
VG = 2 V R = 1 Ω, L = 4 H, C = 1 F Se desea obtener las expresiones temporales de iL y vC para t > 0.
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios.
Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito, y relaciones funcionales
0 = RC
Expresión temporal de iL
iLo = i L(0) =
di L dt
(1)
dv C + Ri L + v C dt
(2)
VG = (R + R)i L + L
2V G 4 V = A, i Lf = i L(∞) = G = 1 A, τ L = L = 2 s 3R 3 2R 2R
iL(t) = i Lf + (i Lo - i Lf)e -t/τL = 1 + e
-0.5t
3
A (t en s)
Despejando iL de (2) y sustituyendo en (1) se tiene Ecuación diferencial de la variable acoplada Ecuación característica Tipo de respuesta
LC
dv d 2v C + 2RC + L C + 2v C = - V G R dt dt 2 a = LC = 4 s 2, b = 2RC + L = 6 s, c = 2 R α = b = 3 s -1, ω 0 = 2a 4
c = 1 rad/s a 2
α 2 > ω 20 ⇒ respuesta supercrítica
(3)
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Expresión temporal de vC
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(4)
v C(t) = v Cf + Ae s1t + Be s2t α 2 - ω 20 = - 0.5 s -1
s1 = - α + s2 = - α -
α 2 - ω 20 = - 1 s -1
Sustituyendo (4) en (2) se obtiene Expresión temporal de iL
iL(t) = -
s2t v Cf Ae s1t (1 + RCs 1) - Be (1 + RCs 2) = R R R
= - v Cf - 0.5Ae s1t
(5) vCf = - 1 V
Igualando término a término (3) y (5)
⇒
(por el circuito) - 2 V = v C(0) = v Cf + A + B (por (4)) 3
Respuestas
A=-2V 3
⇒
B=1V
-0.5t
iL(t) = 1 + e
3
-0.5t
v C(t) = - 1 - 2e 3
A (t en s)
+ e -t V (t en s)
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Ejemplo 3 de circuito con elementos desacoplados + vL L
iL
t=0
RG
R VG
iC C
+ vC -
isc R
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no se producen más cambios. Se desea obtener la expresión temporal de la corriente isc para t > 0.
VG = 2 V, RG = 2 Ω R = 1 Ω, L = 1 H, C = 0.5 F Para t > 0 se tiene Ecuaciones del circuito, relaciones funcionales y ecuaciones diferenciales
Expresiones temporales
0 = RC VG = R Gi L + L
dv C + vC dt
di L dv di + RC C + v C = R Gi L + L L dt dt dt
iL(t) = i Lf + (i Lo - i Lf)e -t/τL VG V iLo = iL(0) = = 2 A, iLf = iL(∞) = G = 1 A, τ L = L = 0.5 s RG + R 3 RG RG v C(t) = v Cf + (v Co - v Cf)e -t/τC v Co = v C (0) =
R V = 2 V, v = v (∞) = 0 V, τ = RC = 0.5 s Cf C C RG + R G 3
dv (t) RC C + v C(t) -2t dv C(t) dt iL(t) = C + i sc(t) + ⇒ i sc(t) = 1 + e A (t en s) dt 3 R El cortocircuito, al imponer una tensión fija (nula), separa los dos elementos reactivos.
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Circuitos con cambios sucesivos Los interruptores del circuito cambian de posición en instantes diferentes
Cálculo de la respuesta
En cada intervalo se aplica el procedimiento convencional
Las condiciones iniciales en cada intervalo son las finales del intervalo anterior Las condiciones finales en cada intervalo son las correspondientes a t = ∞ (el circuito no sabe que se producirán cambios posteriores) En los términos exponenciales el tiempo se desplaza al origen de cada intervalo
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Ejemplo 1 de circuito con cambios sucesivos t=0 R1
+ vC -
iC C
VA
t = t1 R2
R3 VB
VA = 4 V, VB = 3 V, C = 1 F R1 = 2 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 2 Ω t1 = 1 s
El circuito de la figura, en el que las fuentes son continuas, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes de t = 0. Después de t = t1 ya no experimenta más cambios. Se desea conocer la variación de la corriente y la tensión en la capacidad para 0 < t < ∞.
Para 0 < t ≤ t1 se tiene Ecuación del circuito y ecuación diferencial v Co = v C(0) =
dv R 2C C + v C = 0 dt
R2 V = 2 V, v Cf = v C(∞) = 0 V, τ = R 2C = 2 s R1 + R 2 A v C(t) = v Cf + (v Co - v Cf)e -t/τ = 2e -0.5t V (t en s) dv (t) iC(t) = C C = - e -0.5t A (t en s) dt
Expresiones temporales
(1) (2)
Para t1 ≤ t < ∞ se tiene Ecuación del circuito y ecuación diferencial
VB - v C dv v CR 2R 3 dv C R2 + vC = =C C + C ⇒ V R3 dt R2 (R 2 + R 3) dt R2 + R 3 B v Co = v C(t 1) = v C(t -1) = 2e -0.5t1 = 1.21 V
A partir de (1) v Cf = v C(∞) =
R2 CR 2R 3 VB = 1.5 V, τ = =1s R2 + R 3 R2 + R 3
v C(t) = v Cf + (v Co - v Cf)e -(t - t1)/τ = 1.5 - 0.29e -(t - 1) V (t en s) (3) Expresiones temporales
dv (t) iC(t) = C C = 0.29e -(t - 1) A (t en s) dt
(4)
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El procedimiento indicado en este ejemplo es aplicable a cualquier otra situación: mayor número de cambios de posición de los interruptores, circuitos con dos o más elementos acoplados, o circuitos con elementos parcial o totalmente desacoplados.
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Ejemplo 2 de circuito con cambios sucesivos t = t1 t=0 R
R VA i C
+ vC C -
kvC
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, ha permanecido mucho tiempo sin R cambios antes de t = 0. Después de t = t1 ya no experimenta + más cambios. iL vL Se desea obtener L - i (0+), v (100 ms) e i (1.1 s). C C L
VA = 200 mV, k = 2 R = 0.5 kΩ, L = 0.5 H, C = 2 µF t1 = 1 s Para 0 < t ≤ t1 se tiene iC(0 +) =
V A - v C(0 +) V A - v C(0 -) V A = = = 0.4 mA R R R dv RC C + v C = V A dt
En principio habría que resolver esta ecuación diferencial, obtener la expresión temporal correspondiente, y sustituir en ésta el valor t = 0.1 s. Sin embargo, puede observarse que la constante de tiempo es τ = RC = 1 ms ω02 ⇒ respuesta supercrítica α2 - ω02 ⇒ s 1 = - 4 s -1, s 2 = - 16 s -1
s 1, 2 = - α ±
v C(t) = v Cf + Ae s1t + Be s2t v Cf = v C(∞) = 0 V Ae s1t1 = Ae -400 ≈ 0 V
⇒ v C(t 1) ≈ 0 V
Be s2t1 = Be -1600 ≈ 0 V
Para t > t1 la malla 126451 es de la misma forma que la 123451 (los elementos pasivos tienen los mismos valores y están dispuestos de la misma forma; las fuentes independientes no influyen en la respuesta). Luego la respuesta buscada también es supercrítica.