28/09/2011

ALGEBRA SUPERIOR TEORÍA DE CONJUNTOS

CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas; Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría de la probabilidad. Su Origen se debe al matemático George Cantor (1845-1918).

Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos (elementos) diferentes entre si, con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.

ALGEBRA SUPERIOR

Para que exista un conjunto debe basarse en los siguientes puntos:
La colección de elementos debe estar bien definida.
Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez. NOTACIÓN A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C, … y a los elementos con letras minúsculas a, b, c, …, por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números en el lanzamiento de un dado. A ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos finitos e infinitos.

1

28/09/2011

ALGEBRA SUPERIOR

Finitos: Tienen un numero conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad. El conjunto de días de la semana Infinitos: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud. El conjunto de los números reales Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo: Extensión: Cuando se describe cada uno de los elementos. A = {a, e, i, o, u} Comprensión: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos. A = { x|x es una vocal}

ALGEBRA SUPERIOR

Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o es elemento de, con el símbolo , en caso contrario

∈

∉ A = {1, 2, 3, 4, 5} 2

A; 6

∈

A

∉

2

28/09/2011

ALGEBRA SUPERIOR

TIPOS DE CONJUNTOS Conjunto Vacío (nulo) es aquel que no tiene elementos. Ø = { } A

Conjunto Universo o Universal, es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U U

ALGEBRA SUPERIOR

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Igualdad de conjuntos Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. A= B

U

A

B

1 2 3

3

28/09/2011

ALGEBRA SUPERIOR

Subconjuntos Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Representado por el símbolo

⊂

ALGEBRA SUPERIOR

La Cardinalidad de un conjunto A, denotada por card A o #A, es el número de elementos que contiene.

a, e, i, o, u

4

28/09/2011

ALGEBRA SUPERIOR

OPERACIONES CON CONJUNTOS: unión, intersección y diferencia. El conjunto unión de dos conjuntos A y B se constituye por todos los elementos de A y los elementos de B. La unión de dos conjuntos se escribe como:

A ∪ B = {x | x ∈ A

o x ∈ B}

su representación en diagrama de Venn es:

Donde el área sombreada representa la unión de los conjuntos.

ALGEBRA SUPERIOR

El conjunto intersección de dos conjuntos A y B está formado por todos los elementos de A que también son elementos de B. La intersección de dos conjuntos se escribe como:

A ∩ B = {x | x ∈ A

y x ∈ B}

su representación en diagrama de Venn es:

Si la intersección de dos conjuntos es vacía, entonces se dice que los conjuntos son ajenos. Esto es, A y B son ajenos si

A∩ B =

Ø

5

28/09/2011

ALGEBRA SUPERIOR

Ac

El conjunto complemento se denota por

y se define por los

elementos del universo que no están en el conjunto de A. Es decir,

A c = {x ∈U | x ∉ A} En diagrama de Venn, U

A

donde el área sombreada representa el complemento de A.

ALGEBRA SUPERIOR

El conjunto diferencia de A y B se define como los elementos que pertenecen a A y que no están en B:

A − B = {x ∈ U

|

x∈ A

y

x ∉ B}

6

28/09/2011

ALGEBRA SUPERIOR

El conjunto potencia de A, que se denota como P(A), tiene como elementos a todos los subconjuntos que se pueden formar de A. Esto es:

P ( A) = {B | B ⊂ A}

ALGEBRA SUPERIOR

El producto

cartesiano

A× B

de dos conjuntos A y B es el conjunto de parejas ordenadas (a, b), tales que a es un elemento de A y b es un elemento de B, es decir,

A × B = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ B}

7

28/09/2011

ALGEBRA SUPERIOR

Ejercicios

8

28/09/2011

ALGEBRA SUPERIOR

ALGEBRA SUPERIOR

9

28/09/2011

ALGEBRA SUPERIOR

ALGEBRA SUPERIOR

10

28/09/2011

ALGEBRA SUPERIOR

ALGEBRA SUPERIOR

11