TEORIA DE CONJUNTOS

Noción de Conjunto Concepto no definido del cual se tiene una idea subjetiva y se le asocian ciertos sinónimos tales como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados “integrantes” u elementos susceptibles de ser comparados. Ejemplos:  Los días de la semana  Los países del continente americano.  Los jugadores de un equipo de fútbol.

Notación Generalmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus integrantes u elementos mediante variables o letras minúsculas separadas por comas y encerrados con llaves. Ejemplo:

A = los días de la semana B = a, e, i, o, u

Relación de Pertenencia () Se establece esta relación sólo de “integrante” a conjunto y expresa si el integrante indicado forma parte o no del conjunto considerado. “....pertenece a .....” :  “... no pertenece a ..”:  Esto quiere decir que dado un “integrante u elemento” y un conjunto Integrante  conjunto u elemento 

Ejemplo:    

I

C = 1,2, 1,2, 5, 16 2C 8C 1,2  C 5  C incorrecto

Determinación de un Conjunto Consiste en precisar correctamente que “elementos” forman parte del conjunto. Puede hacerse de 2 formas: a)

Por Extensión o forma tabular. Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los integrantes Ejemplo:

A = a, e, i, o, u C = 2,4,6,8

Es evidente que el orden en el cual son listados los “elementos” del conjunto no afecta el hecho de que pertenece a él. De este modo en el conjunto A = a,e,i,o,u = a,o,u,i,e No todos los conjuntos pueden ser expresados por extensión, entonces se recurre a otra forma de determinación. b) Por Comprensión o forma constructiva Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.

Esquema

/

Determinar por extensión y comprensión los siguientes conjuntos P = 2, 6, 12, 20,..., 10100 Q = 3x+1/x ZZ  - 3 < x < 3

(se lee “tal que”)

A=

B= C=

.......................... Regla de Correspondencia o forma general del elemento

Restricción y/o característica (propiedad común)

Cardinal de un Conjunto Se llama Número Cardinal de un conjunto A a la clase de los conjuntos coordinables con A (es decir el número cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a señalar que el número cardinal, es el número de elementos del conjunto A y se denota como n (A) ó card (A)

n/n es una vocal n²-1 / n  ZZ,1  n  7

CONJUNTOS NUMERICOS 1.

Conjunto de los números naturales IN = 1,2,3,4.... EJM 17  IN IN O = IN* = 0,1,2,3,.... Observación Cero (0) es natural

2.

Conjunto de los Números Enteros ZZ= ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Ejemplo: A = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n (A) = 5 P = 2,2,3,3,3,5,7 entonces n (P) = 4 Número Ordinal Teniendo en cuenta una disposición de los elementos dentro del conjunto del cual forman parte, cada uno determina su número ordinal como el lugar que ocupa en el orden establecido.

3  ZZ, - 24  ZZ 8 3.

Conjunto de los Números Racionales Q = a/b / a  ZZ  b ZZ b  0 3  Q porque : 3 =

3 1

0,5  Q porque 0,5 =

Notación: Ord (x) : número ordinal de x S = 7, a, , 13  ord (a) = 2, ord () = 3

5 10

1 3 a  = 3,141592...  Q porque   b 0,333...  Q porque 0,333... =

Aplicación I Dado el conjunto B = 1, , , 2 1, 1,2,3 Indicar que proposiciones verdaderas o falsas *   B * 1  B *1B * 3  B * 1,2  B *B Aplicación II

son

Cuantificadores a)

Universal: Se denota por “” y se lee “para todo” o “para cualquier” Si P(x) es una función proposicional, , “ x  A; P(x)” es una proposición que será verdadera cuando para todos los valores de x  a se cumpla P(x) Ejemplo: Si A = 2,4,6,8 P(x) = x es un número par P(y) = 3y – 2 > 4 Luego  x  A: x es un  par (V)  y  A: 3y – 2>4 (F)

b.

Existencial. Se denota por “” y se lee “existe por lo menos un” Si P(x) es una función proposicional, “ x  A/P(x)” es una proposición que será verdadera si existe por lo menos un elemento de A, que cumple P (x)

C IR Q

Q´

IIm Q´

ZZ

ZZ

(xA : P(x))   x A/ P(x) (xA / P(x))   x A:  P(x)

IN P

IN P Diagrama Lineal

Diagramas de Venn – Euler Es la representación geométrica de un conjunto mediante una región de plano limitado por una figura geométrica cerrada en cuyo interior se indican los “elementos” que forman el conjunto

Diagrama Hasse

Relación de Inclusión () Subconjunto Conjunto

 

Conjunto Conjunto

Se dice que un conjunto está incluido en un segundo conjunto, cuando todos los “elementos” del primero forman parte del segundo conjunto.

Ejemplo: A a,b,c,d,e A

Diagrama (Lewis – Carroll) Su verdadero nombre es CharlesDogston autor de “Alicia en el país de las Maravillas” utilizando un lenguaje lógico – matemático utiliza el Diagrama en conjuntos disjuntos haciendo partición del universo.

H

C

Q

Negación de los Cuantificadores

.b .d .e

Ejemplo:

IR IIm

Ejemplo Si: B = 7,5,4,1 P(x) = x es un número impar P(y) = (y-4)² = 4 Luego:  x B/x es impar (V)  y B/(y-4)² = 4 (F)

.a .c

Utiliza segmentos de línea y es utilizado en conjuntos transfinitos e infinitos

 : “incluido o contenido” A  B: “A esta contenido en B” “A es subconjunto en B” “B contiene a A”

ABxA:xAxB

M

Ejemplo: H : Hombres F M : Mujeres S : Solteros C : Casados F : Fuman Diagrama Lineal – Hasse

B S C

A

Observación: El vacío está incluído en cualquier conjunto. Conjuntos comparables Se dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro. A  B  (A  B  A  B) v (B  A  B  A) Ejemplo: Dados los conjuntos: A = 3,5 B = 1,2,3,4,5,6,7 C = 2,4,6,7 D = 4,7 Son conjuntos comparables: A y B B y C; B y D; C y D Conjuntos Iguales Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos “elementos”. A=BABBA Ejemplo: A = 3n + 2/n  ZZ, 1  n  4 B = 5,14,8,11 Se observa A = B

-

Aplicación Dados los conjuntos A y B guales y C y D iguales donde A = a+2, a+1 C = b+1, c+1 B = 7-a, 8-a D = b+2, 4 Hallar: a+b+c Conjuntos Disjuntos o Ajenos Dos conjuntos se denominan disjuntos cuando no poseen ningún elemento en común Ejemplo: C = x / x es un hombre D = x / x es una mujer  C y D son disjuntos Si dos conjuntos son disjuntos ambos serán diferentes. Si dos conjuntos son diferentes entonces no siempre serán disjuntos. Ejemplo:

E = 5,2,a,b , F = 4,3,c,d E y F son disjuntos  E  F G = 1,3,c,d,7, H = 2,8,e,f,c G  H pero G y H no son disjuntos Conjuntos Coordinables o Equipotentes Dos conjuntos serán coordinables cuando se pueda establecer una correspondencia uno a uno entre todos y cada uno de los elementos del primer conjunto con los del segundo conjunto. A dicha correspondencia se le denomina biunívoca y como consecuencia de estos se tiene que las cardinales de estos conjuntos son iguales (si son finitos). Ejemplo A = Lima, Caracas, Bogota, Santiago B = Perú, Venezuela, Colombia, Chile Se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca: “.... es capital de ....” De ahí que A y B son coordinables, luego: n (A) = n (B) Clases de Conjuntos Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen según esto tenemos: Finito: Si posee una cantidad limitada de “elementos” es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento. Ejemplo: N = 3n + 2 / n  ZZ  1  n  4 N es finito pues n (N) =4 P = x/x es un día de la semana P es finito pues n (U) = 7 Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de “elementos”. Ejm: M = x/x  Q  1 < x  2 M es infinito pues n (M) = ...?

Conjuntos Especiales Vacío o Nulo. Es aquel conjunto que carece de “elementos”. Notación ;  . Ejm.: A = x/o < x < 5  x² = 100 =   =  * A :   A *    *     1.

2.

5.

Ejemplo: A = x,y P(A) = , x, y, x,y n (P(A)) = 4 * Los subconjuntos , x, y son denominados propios.

Unitario o Singleton (singular) Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. B = x/x > 0  x² = 9 = 3 Aplicación: Si los siguientes conjuntos son unitarios e iguales, calcule a + b + c. A = (2a + b); c B = (2c - 7); (5b + 2)

3.

Nº subconj. = n (P(A)) = 2n(A) A Ejemplo: B = x/x es primo y x < 10 B = 2,3,5,7  n (B) = 4

Universal: Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto y se le denota generalmente por U.

 Nº subconjuntos  4    2  16 de B   Nº subconj. = 2n(A) - 1 Propios A

 Nº subconjuntos  4    2  1  15  propios de B 

Ejemplo: A = 2,6,10,12 B = x+3/x es impar  0 4 II.  x  (A  B) / 2x + 5 < 8 III.  x  (A  B) / x²  B

3.

B) 92 E) 90

Calcular el número de subconjuntos binaros del conjunto D, si: D = {(x² 1)Z / 0 < x  4} A) 132 D) 124

Indicar si es verdadero o falso, las siguientes proposiciones.

A) VVF D) VFF

Dados los conjuntos unitarios

halle el valor de (x + y + a² + b)

Dados los conjuntos: A  x  N 2x  13

B  x  A

C) 63

B = {xy ; yx ; 16};

Indicar las proposiciones que son verdaderas. I. aA  {a, b}  A II. {}  A  {}  A III. A  A B) solo II D) II y IV

B) 42 E) 45

A = {a + b; a + 2b3; 12} y

Si: A  ;a;a ;a,b ;

A) solo I C) solo III E) II y III

 x  8   x  2

8.

B) 517 E) 520

x

5  3 C) 519

Oscar compra 9 baldes de pinturas de diferentes colores. Los mezcla en igual proporción. ¿Cuántos nuevos matices se pueden obtener? A) 512 D) 503

B) 246 E) 502

C) 247

9.

El conjunto A tiene 200 subconjuntos no ternarios. ¿Cuántos subconjuntos quinarios tendrá? A) 64 D) 21

10.

II) III) IV)

B) 56 E) 35

A) FVVF D) VFVF

13.

; n(B) = 3P + 6 y

AB= n(B) = 2 . n(A) B tiene 128 subconjuntos.

El número de subconjuntos de B excede al número de subconjuntos propios de A en 993. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A  ?

Halle n(AB) B) 16 E) 20

C) 18

A) 281 D) 2121 11.

Sean los conjuntos A  E ; B  E y C  E; E conjunto universal, tal que:

14.

‘

= = = =

{x  E / x  9  x > 2} {3} {x  E / x  7} A B C  

´´ ´

12.

B) 12 E) 11

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I)

A y B son disjuntos

Dados los conjuntos:

‘

Halle: n[(AB) C ] A) 2 D) 5

C) 10

Sean A, B y C tres conjuntos no vacíos que cumplen las condiciones: * ABBA * si x  C  x  B

C) 2111

C  x  N / 2x  25

Determinar n(A) + n(B) + n(C) A) 9 D) 13

B) 2101 E) 2131

3x  5   A  x  N /  N 4   x x  1  B  N /  N 2  2 

E = {x Z+ / x < 10} A = x  E x  7 AB BC BC AC

C) FFFF

Sean A y B dos conjuntos finitos tales que: * * *

n(AB) = 2P  2

A) 14 D) 17

B) FFVV E) FFFV

C) 48

Si el conjunto “C” tiene (P + 1) elementos y (2P + 3) subconjuntos propios; además: n(A) = 4P + 2

(A  B)  C C  (A  B) C  (A  B)

B) 3 E) 6

C) 4

15.

Para los conjuntos afirmamos:

I. II.

Si A  B  C  C  B  A A A 

III.

´  ´´ ´ ´ ´

B

´´´

A B  A B

IV.

Si A  B  B  A

V.

A  BA BA

Son verdaderas:

A,

´

y

C

19. A) todas B) solo II y III C) todas excepto V D) solo II, III, IV y V E) solo I, II y V

16.

17.

A

B) 13 E) 10

I) II) III)

C) 12

D

[A(BC)]  [C  D] (A  B)  (B  C) [(A  D)  C]  [A  (BC)]

A) solo I C) solo I y II E) todos

B) solo II D) solo II y III

Sean A, B y C conjuntos no vacíos diferentes dos a dos, tales que:

´´ ´ ´

B  A ; C B   A C  Al simplificar:

[B(C  A)]  [A  (B  C)] se obtiene: A) A D) A  C

18.

B C

Si A y B son dos conjuntos finitos, tal que, el número de subconjuntos de A y de B suman 320, los conjuntos A y B tienen 2 elementos comunes; determine n(AB) A) 14 D) 11

En el gráfico, las zonas sombreadas están representadas por:

B) B E) 

C) A  B

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, simplificar:  A  B   A  B    A  B A) A  B C) A  B

´

E) 

´ ´ ´ ´´  B) A  B D) A  B

20.

Dado 3 conjuntos A; B y C: Si n(A) = m ; n(B) = m + r n(C) = m + 2r ; además: n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896 Se sabe además que A, B y C son disjuntos. Calcule n(A  B  C) A) 16 D) 32

B) 22 E) 48

C) 24