Algebra 1

Profesor Eduardo Flores

Término algebraico. (Informal) Es la multiplicación o división de factores literales y coeficiente numéricos 7ax³ y² ; 4a²b³c 5 Todo término algebraico se compone de un factor literal (letras) y de un factor numérico (números)

Ejemplo:

3x²y ; -

Ejemplo: 3x²y Factor Literal x²y Factor numérico 3 Expresión algebraica: Es la suma o resta de dos o más términos algebraicos. Ejemplo: 3x²y + 2xy - 3z ; 4xy + 8y Términos Semejantes. mismo factor literal.

Son todos los términos algebraicos que tienen un

Ejemplo: 7x²y con -4x²y 22xy³z con 30y³xz Monomio. Es una expresión algebraica que consta de un solo término Ejemplo : x

;

y

; 2x² ; 7x³y³ ; 8xy²z

Binomio. Es una expresión algebraica que consta sólo de dos términos Ejemplo : 3x + 2y

; 7x² - 1

Trinomio. Es una expresión algebraica que consta de tres términos. Ejemplo : x²+ 2xy + y² ; 3x - y - 1 En general llamaremos polinomio a toda expresión algebraica que conste de dos o más términos.

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Operatoria de Expresiones Algebraicas Suma: Para sumar dos polinomios, juntamos los términos semejantes, conservamos el factor literal y sumamos los factores numéricos. Esto es válido también para la resta. Ejemplo :

4x²y + 6xyz - 3xy² + 4xyz - 2x²y + 1 =(4 - 2)x²y + (6 + 4)xyz - 3xy² + 1 = 2x²y + 10xyz - 3xy² + 1 Multiplicación. La multiplicación de polinomios se realiza término a término, es decir, cada término del primer polinomio con cada término del segundo polinomio, considerando las propiedades de la multiplicación de potencias Ejemplo : (2x - 3 ) (5 + 6x) = 2x·5 + 2x·6x - 3·5 - 3·6x = 2·5x + 2·6 x·x - 3·5 - 3·6x = 10x + 12x² - 15 - 18x = 12x² - 8x - 15

Productos Notables: Existen algunos productos de polinomios que tienen características particulares, ello debido a que no es necesario realizar la multiplicación término a término para obtener el resultado, sino que éste tiene una forma predeterminada. Cuadrado de Binomio (a + b )² = a²+ 2ab + b² (a - b )² = a² - 2ab + b²

Se resuelve como: el cuadrado del primer término, más o menos (según el signo al interior del binomio) el doble del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término) Cubo de binomio

(a + b )³ = a³+ 3a²b+ 3ab²+ b³ (a - b )³ = a³ - 3a²b+ 3ab² - b³ (En este caso se resuelve como: el cubo del primer término, más o menos tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del tercero)

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Suma por su diferencia

(a + b) (a - b) = a² - b² Se resuelve como el cuadrado del primero, menos el cuadrado del segundo, considerando que llamamos segundo a aquel término que cambió de signo. Producto de dos binomios con un término en común

(x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab Se resuelve como: el término común al cuadrado, más la suma de los dos términos distintos por el término común, más el producto de los dos términos distintos. Factorización. Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más polinomios. Es la operación inversa de la multiplicación

x² - y² = (x + y)(x - y)

x² + 2xy + y² = (x + y)(x + y)

Ejemplo :

x² + 4x + 4 Al analizar la expresión veremos que los extremos x² y 4 son cuadrados perfectos, el de x y 2 respectivamente, entonces podríamos factorizarlo como cuadrado de binomio.

(x + 2) (x + 2) = (x + 2)² Ejemplo : x² + 6x + 5

Al analizar los extremos vemos que 5 no es cuadrado perfecto, por tanto deberemos buscar dos números que cumplan con la siguiente condición

(x + b) (x + c) = x² + (b+c)x + bc Es decir, que sumados den el número central (el que acompaña a x) y multiplicados el número del extremo (el término libre de x).En el caso del ejemplo debemos buscar dos números que sumados sean 6 y multiplicados resulten 5.

x²+ 6x + 5 = (x + ?) ( x + ?) = (x + 5) ( x + 1) Ejemplo :

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Profesor Eduardo Flores x² - 36

Aquí vemos que sólo aparecen dos términos que son cuadrados perfecto y además se están restando, en este caso corresponde a una suma por su diferencia :

x² - 36 = (x + 6) (x - 6) División. Para dividir dos polinomios primero factorizaremos tanto el numerador como el denominador de ésta si es posible hacerlo, luego simplificaremos aquellos factores que aparecen tanto en el numerador como en el denominador Ejemplo :

x² - 4x - 21 x²+11x+24

=

(x - 7)(x + 3) x-7 = (x + 8)(x + 3) x+8

En muchas ocasiones nos encontraremos con sumas o restas de fracciones cuyo denominador son polinomios, por tanto aprenderemos a calcular el M.C.M y el M.C.D entre polinomios. Cálculo del M.C.M. 1.- Se factorizan todos los polinomios a los que se les calculará el M.C.M. 2.- Se seleccionan todos los factores o polinomios diferentes que aparecieron. 3.- Se multiplican asignándole a cada uno su mayor exponente. Ejemplo : Calcular el M.C.M. entre x² + 13x + 42 ; x² + 14x + 49 ; x² - 25 en este caso al factorizar cada polinomio tenemos :

x² + 13x + 42 = (x + 7) (x + 6) x² + 14x + 49 = (x + 7)² x² - 25 = (x + 5) ( x - 5) por lo tanto el M.C.M. es (x + 7)² (x + 6) (x + 5) ( x - 5)

Cálculo del M.C.D. 1.- Se factorizan todos los polinomios a los que se les calculará el M.C.D.

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2.- Se seleccionan todos los factores que aparecen repetidos en todas las factorizaciones 3.- Se multiplican todos los factores seleccionados asignándole a cada uno su menor exponente

Ejemplo: Calcular el M.C.D. entre

x³ + 3x² + 3x + 1; x² + 7x - 8 ; x² - 1

Factorizando cada polinomio resulta: x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³ x² - 7x - 8 = (x - 8) (x + 1) x² - 1 = (x + 1) (x - 1)

el factor que es común a todos los polinomios es (x + 1) y su menor exponente es 1, por lo tanto el M.C.D. es (x + 1) Observación: Nótese que cuando no aparece un factor repetido en todas las factorizaciones, el M.C.D. es 1

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