OBJETIVOS: Adquirir una primera aproximación de la forma en que actúan los sistemas de control realimentados, aprendiendo a identificar tipos de variables. Manejar el álgebra de bloques. Repasar el planteo de los balances de cantidad de movimiento, masa y energía en estado transitorio. Aprender a usar la transformada de Laplace para la resolución de ecuaciones diferenciales, comprendiendo sus limitaciones y la necesidad de linealización. Aprender a asociar la repuesta temporal con los polos de la función transformada.
PROBLEMA 1.1 A un operador se le ha encargado que mantenga el nivel de líquido de un tanque. Para esta tarea puede abrir y cerrar la válvula de salida. (a) Indique cómo el operador lleva adelante el control manual. Precise las operaciones que debe realizar y los elementos que debe usar. (b) Especifique los elementos que necesitaría para establecer control automático de nivel. Desarrolle un diagrama en bloques con todos los elementos y compare con el control manual. (c) Explique cómo se produce el mecanismo de control con realimentación (feedback) en el caso de control manual. (d) Indique las variables de entrada y de salida. Diga cuál es la variable manipulada y cuál la controlada.
PROBLEMA 1.2 En el domo de una caldera se instaló un sistema de control. El diagrama P&I se muestra en la figura. (a) Confeccione un diagrama en bloques del sistema de control. Ponga en evidencia el efecto de las perturbaciones. Página 1/9
(b) ¿Cuál será el objetivo de control? (c) ¿El mecanismo de control es por feedback? Fundamente. Vapor
LIA
LT
LG
LIC
I/P
LV
LY
Agua
Purga
PROBLEMA 1.3 Una solución salina (calor específico de 1.00 kcal/kg/°C, densidad de 1.00 g/cc) es calentada en un tanque agitado continuo por medio de vapor saturado seco (calor latente de vaporización 500 kcal/kg) que condensa en un serpentín aprovechándose el 95% del calor liberado. El líquido ingresa a 20 C y el tanque tiene un volumen efectivo de 2.5 m3 que permanece constante. Suponga que se instala un sistema de control integrado por: Válvula de control en la línea de alimentación de vapor. Elemento de medición y transmisión de temperatura en la corriente de salida de líquido. Controlador que recibe la señal del medidor y envía una señal a la válvula.
Fi Ti
F T
Wv Tv VAPOR
CONDENSADO
(a) Confeccionar el diagrama P&I del sistema de control usando las normas de representación. Página 2/9
(b) Realizar el diagrama en bloques del sistema. (c) Indicar cuáles son las variables de entrada y las de salida. Precisar qué variables son controlada, manipulada y perturbaciones. (d) Empleando Álgebra de Bloques encontrar la relación entre Fi y T y entre Fi y la señal de error (entrada del bloque Controlador).
PROBLEMA 1.4 A partir del Diagrama en Bloques de la figura encuentre la relación entre las siguientes variables: (a) (b) (c) (d)
x4 como función de x1 x4 como función de d x4 como función de x1 y d x3 como función de d
d
G6
G7
(+)
x1
x2
x3
G2
G1
x4
G4
(-) (-)
G3 G5
PROBLEMA 1.5 Encuentre la función equivalente entre entradas y salidas de los siguientes diagramas en bloque: (a) Diagrama en bloques de un sistema de control en cascada. x2
G5 (+)
x1
G1 (-)
G2
G3
(-)
G6 G7
Página 3/9
y
G4
(b) Diagrama en bloques de un sistema de control por avanacción (feedforward).
x2 G6
G5
(+)
x1
G1
(-)
G2
G3
y G4
(-)
G7
PROBLEMA 1.6 Considere el proceso del Problema 1.3. El caudal alimentado al tanque es 1800 l/min. La vávula de vapor está inicialmente cerrcada. (a) ¿Cuál será la temperatura de salida de la solución 5 min. después que abruptamente se abra la válvula y deje de circular de 280 kg/min de vapor? (b) ¿Cuál será la temperatura de régimen a la salida? (c) Escriba una expresión general que permita obtener los resultados obtenidos en los puntos anteriores.
PROBLEMA 1.7 Se desea conocer el tiempo para llegar a un nuevo estado de régimen para un líquido contenido en un tanque de capacidad 2000 litros cuando el caudal de alimentación abruptamente es cambiado del valor inicial de 200 litros/min a 100 litros/min. El nivel inicial (en estado estacionario) es de 1.2 metros por encima de la válvula. La superficie transversal del tanque es de 1 m2. La temperatura y densidad del líquido contenido en el tanque se mantienen constantes.
F1
F2
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(a) Si el régimen de flujo en la vávula es laminar, calcular el tiempo necesario para que el nivel descienda 0.5 metros. (b) Repetir el cálculo suponiendo ahora que el régimen es turbulento.
PROBLEMA 1.8 Una solución salina es calentada en un tanque agitado continuo por medio de vapor saturado seco que condensa en un serpentín aprovechándose el 95% del calor que entrega. El líquido ingresa a 20 C y el tanque descarga a través de una válvula en el fondo con régimen turbulento. (a) Encontrar las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento transitorio del nivel y de la temperatura del líquido en el tanque. (b) Indicar las variables de entrada y las de salida del sistema. (c) Realizar un diagrama en bloques con todas las variables anteriores.
F1 T 1
Wv Tv
F2 T 2
VAPOR
CONDENSADO
PROBLEMA 1.9 Una solución de un componenete químico A es alimentado a un reactor tanque agitado continuo que es calefaccionado por medio de vapor saturado seco que condensa en un serpentín aprovechándose el 95% del calor que entrega. El tanque trabaja por rebosamiento de modo que su volumen puede considerarse constante. La agitación asegura que no existen gradientes de temperatura ni de composición en el líquido. El componente A reacciona químicamente en el interior del reactor siguiendo una cinéntica irreversible de primer orden, pero su calor de reacción es muy bajo, de modo que no influye en el comportamiento térmico del sistema. (a) Encontrar las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento transitorio de la composición del reactivo A y de la temperatura del líquido en el tanque. (b) Indicar las variables de entrada y las de salida del sistema. (c) Realizar un diagrama en bloques con todas las variables anteriores.
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Fi Ci Ti
F C T
Wv Tv VAPOR
CONDENSADO
PROBLEMA 1.10 A partir de la definición de transformada de Laplace obtener la transformada F(s) de las siguientes funciones temporales: (a) f (t )
k
e a t donde a es una constante at (c) f (t ) e donde a es una constante (d) f (t ) cos( t ) donde ω es una constante (b) f (t )
PROBLEMA 1.11 De la tabla de transformadas de Laplace encontrar la función transformada de: (a) f (t ) 4 cos( 3t) (b) f (t ) a sen( t ) 3t (c) f (t ) 2e donde a, , y son constantes y t es el tiempo.
PROBLEMA 1.12 Con el auxilio de las tablas y de las propiedades correspondientes encontrar las Transformadas de Laplace F(s) de las siguientes funciones: (a) f (t ) (b) f (t )
2 4t 2.5t 3 2sen(2.4t ) 1.2e
4t
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(c) f (t )
2sen(2.4(t
2)) 1.2e
(d) f (t )
e t cos(2t ) 4e3t
4( t 2 )
PROBLEMA 1.13 Encuentrar las respuestas temporales descritas por las ecuaciones diferenciales usando la Transformada de Laplace. (a) (b)
dy dt 2 d x dt 2
2
6y
3
t=0
y=1
dx dt
9
t
0
x
t
0
y 5
t
(c)
dy dt
y( )d 0
0
dx dt
0
0
PROBLEMA 1.14 Encuentrar las respuestas temporales descriptas por las ecuaciones diferenciales usando la Transformada de Laplace y la expansión en fracciones parciales. (a) (b)
d 2x x 2e t 2 dt d2y dy 2 2y 2 dt dt
2
t
0 ; x
t
0 ; y
dx 0 dt dy 0 ; 0 dt
0 ;
PROBLEMA 1.15 Encuentrar las respuestas temporales descriptas por las ecuaciones diferenciales usando la Transformada de Laplace. En caso de ser necesario linealice. (a)
dx dt
x
1
(b)
dy dt
xy
0
dy dt
ln( y )
(c)
t=0 : x = 4 x(t ) 1
t
0
t=0 ; x = 0 ; y =1
3
t =0 ; y = 2
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PROBLEMA 1.16 Dado el sistema de ecuaciones diferenciales:
dx dt dy dt
x
y
e
3t
t = 0 ; x =1 ; y = 0 4x
y
0
(a) Encontrar X(s) (b) Determinar el valor de x para t (c) Encontrar y(t)
PROBLEMA 1.17 Usando la tabla de Transformadas de Laplace encuentre la función temporal correspondientes a las siguientes funciones en la variable s de Laplace.
1
(a) y1( s )
s(
1 2 n
s2
2
s 1) n
2.9 s(10 s 1) 5 (c) y3 ( s ) (6 s 1)2 1 (d) y4 ( s ) s( 4 s 1)2 Graficar (a), (b) y (c) usando CC Versión 5.
(b) y2 ( s )
PROBLEMA 1.18 Trabajar con cada una de las funciones, en el campo de Laplace, siguientes:
G1 (s )
G2 ( s ) G3 ( s ) G4 ( s )
G5 ( s )
6 (s 2) 2 (s 6)
6 s 6 5 2 s 8 s
2
s4
4 4s 10 1 3 3s 2s 2
5s 1
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Indicar si las seis funciones están expresadas en forma de ‘polos y ceros’ ó en forma de ‘constante de tiempo’. Empleando el Program CC Versión 5.0: (a) Definir G(s). (b) Presentar las transformadas en las distintas formas canónicas ('constante de tiempo' y 'polos y ceros'). (c) Expandir en fracciones parciales. Analizar los términos de la expansión y relaciónelos con lo encontrado en el punto anterior. (d) Completar la tabla siguiente con: los polos de cada uno de los términos de la expansión, con la respuesta temporal correspondiente a cada uno de los términos de la expansión.
Gi(s)
Raíz del Denominador Termino Temporal
CONCEPTOS INTRODUCIDOS EN EL TEMA 1 Lazo abierto. Control Manual y Control Automático. Realimentación (feedback). Variables de entrada y de salida. Variables medida, controlada, manipulada y perturbaciones. Valor Deseado (Set Point). Elementos de un lazo de control: Proceso, Elemento Final De Control, Medidortransmisor, Controlador. Control Regulatorio. Servomecanismos. Diagrama en Bloques. Álgebra de Bloques. Diagrama de cañería e Instrumentos (P&I). Transformación de Laplace. Polos y ceros.Formas canónicas.