PROBLEMAS DE GEOMETR´IA. TRANSFORMACIONES DEL PLANO 1. Un producto de dos simetr´ıas axiales de ejes perpendiculares ¿A qu´ e transformaci´ on corresponde? ¿En qu´ e se transforma un segmento vertical? (⋆⋆)

2. ¿Cu´ al es el producto de una simetr´ıa central por una simetr´ıa axial cuyo eje pasa por el centro de simetr´ıa de la primera? Calcula la figura transformada de un c´ırculo centrado en el centro de la simetr´ıa central. (⋆⋆)

3. Exp´ on la forma en que podemos averiguar el centro de giro conociendo un segmento y su transformado por el giro. (⋆⋆)

4. ¿Qu´ e movimiento cambia un segmento AB en otro paralelo a ´ el de la misma magnitud pero de sentido contrario? ¿Y del mismo sentido? (⋆⋆)

5. Encuentra los ejes y centro de simetr´ıa de un rombo y de un pent´ agono regular. (⋆⋆)

6. Calcula el movimiento que produce un producto de giros de distinto centro y de la misma amplitud pero de sentido contrario. (⋆⋆)

7. Halla la transformaci´ on inversa de una traslaci´ on de vector v. Halla la transformaci´ on inversa de un giro de centro O y amplitud α (⋆⋆)

8. Construye, utilizando los giros, un tri´ angulo equil´ atero con los v´ ertices sobre tres rectas paralelas arbitrarias. (⋆⋆)

9. Si G es un giro de centro O y S una simetr´ıa axial cuyo eje pasa por O, comprueba que S ◦ G ◦ S equivale a la transformaci´ on inversa de G. (⋆⋆)

10. Estudia detenidamente las transformaciones que se han aplicado para cambiar una palabra por otra. (⋆⋆)

11. Estudia los movimientos necesarios para transformar un tri´ angulo en otro. (⋆⋆)

12. Encuentra los centros de las homotecias que transforman una circunferencia en la otra de distinto radio. (⋆⋆)

13. La l´ınea representa un r´ıo y los puntos A y B dos localidades. Un ganadero se dirige desde A hacia B y tiene que abrevar el ganado en un punto del r´ıo. Utiliza la simetr´ıa axial para averiguar a qu´ e punto del r´ıo ha de dirigirse para que el camino entre las dos ciudades le resulte lo m´ as corto posible. (⋆⋆)

14. Calcula los movimientos realizados en el cuadrado ABCD para transformarlo en A”B”C”D”. Indica los elementos de los movimientos. (⋆⋆)

15. Explica en qu´ e consiste la semejanza entre las dos figuras. (⋆⋆)

POL´IGONOS Y C´IRCULOS

16. Un rect´ angulo tiene de ´ area 135u2

a) Si sus lados miden n´ umeros enteros, averigua cu´ ales pueden ser sus dimensiones. b) Comprueba que uno de esos rect´ angulos tiene de dimensiones 15 u de ancho y 9 u de alto. c) Cortamos los v´ ertices como se muestra en la figura. Calcula la medida de los lados de la figura resultante. d ) Halla el ´ area de la figura resultante. e) Calcula las distancias entre los lados opuestos de la figura obtenida. (⋆⋆)

17. Un folio tiene de dimensiones 300 mil´ımetros por 200 mil´ımetros. Como se muestra en la figura desde un v´ ertice trazamos un segmento a un punto del lado opuesto.

a) Halla el ´ area de la figura que resulta, si la distancia desde el v´ ertice opuesto al segmento es de 3 mil´ımetros b) Calcula la longitud del segmento trazado en el caso anterior. c) Calcula las ´ areas mil´ımetros.(⋆⋆)

para

distancias

4

y

5

18. Dada la figura adjunta:

a) Clasifica el tri´ angulo ABC, seg´ un sus lados y seg´ un sus ´ angulos y halla su ´ area. b) Encuentra el ´ area de la figura completa ABEGC (BE es paralelo a CG. (⋆⋆)

19. Un estadio tiene de dimensiones 60m × 90m. Est´ a rodeado por 4 calles para el atletismo cuya anchura es de 1 m cada una, tal como se aprecia en la figura.

Para que las calles se vean mejor, se quieren pintar alternativamente de color azul y blanco. Si el m2 de pintura azul tiene un coste de 4 e y el de pintura blanca 3’20 e, haz el presupuesto de la pintura.(⋆⋆)

20. Una hoja de papel rectangular tiene de dimensiones 180 mil´ımetros por 108 mil´ımetros. Se dobla llevando uno de los v´ ertices a un punto del lado opuesto, como muestra la figura.

a) Halla la distancia AC y BC b) Halla el ´ area de la superficie doblada (sombreada) c) Calcula la distancia AG d ) Calcula el ´ area de la figura que queda por debajo sin doblar, indicando de qu´ e figura se trata. e) Calcula los lados de la figura que forma la parte de la hoja que queda por debajo.(⋆ ⋆ ⋆)

21. Halla el ´ area de un rombo sabiendo que la diagonal mayor es doble que la menor y el lado mide 5 metros. (⋆⋆)

22. Halla el ´ area sombreada (el tri´ angulo es rect´ angulo). (⋆⋆)

23. Sabiendo que el c´ırculo tiene radio 3, halla el ´ area de la superficie sombreada.(⋆⋆)

24. En un trapecio is´ osceles la medida de sus lados paralelos son de 8 y 10 m respectivamente y sus diagonales son perpendiculares. Averigua su ´ area. (⋆ ⋆ ⋆) 25. Un tri´ angulo tiene como lados 6 cm, 8 cm y 10 cm. Clasificarlo seg´ un sus lados y seg´ un sus ´ angulos. Calcula las tres alturas. (⋆⋆)

26. Un trapecio is´ osceles tiene los lados paralelos de 10 y 15 cm respectivamente y la distancia entre ellos es de 8 cm. Unimos el punto medio de cada lado con los puntos medios de los lados adyacentes, resultando un nuevo cuadril´ atero. Indica de qu´ e figura se trata y calcula su ´ area. (⋆ ⋆ ⋆)

27. Halla el ´ area del trapecio adjunto, sabiendo que es is´ osceles. (⋆)

28. Un trapecio is´ osceles tiene los lados paralelos de medidas 8 y 18 cm y los lados no paralelos miden 13 cm, calcula el ´ area. (⋆⋆)

29. Un rombo tiene los lados de medida 10 metros. a) ¿Puede medir alguna de sus diagonales 21 metros? b) Calcula la medida exacta de las diagonales si la diagonal mayor es 4 metros mayor que la menor. Halla el ´ area en este caso. (⋆⋆) 30. Una porci´ on de pizza correspondiente a una pizza de 10 cm de radio y un ´ angulo de 60o sexagesimales cuesta 3 e. Una pizza completa de 5 cm de radio cuesta 5 e. ¿Cu´ al de las dos trae m´ as cuenta comprar? (⋆⋆)

31. Una TV de 52 pulgadas tiene de ancho un metro. Halla con una aproximaci´ on de 3 decimales, la altura de la TV en metros. (una pulgada es igual a 2’54 cm) (⋆⋆)

32. Halla el ´ area de la vasija sabiendo que el radio de cada circunferencia es 2 cm (⋆ ⋆ ⋆)

33. Halla el ´ area de la corona circular (el segmento es tangente a la circunferencia interior) (⋆⋆)

34. Halla el ´ area de las superficies sombreadas, sabiendo que el lado del cuadrado es 2 m. (⋆)

35. Calcular el ´ area de la l´ unula de Hip´ ocrates sabiendo que los catetos del tri´ angulo vale 2cm. (Una l´ unula es un ´ area c´ oncava limitada por dos arcos). (⋆⋆)

36. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un c´ırculo y en este c´ırculo un cuadrado y en este otro c´ırculo. Hallar el ´ area comprendida entre el u ´ ltimo cuadrado y el u ´ ltimo c´ırculo. (⋆⋆)

37. Comprueba si puede existir un cuadril´ atero con las dimensiones como el de la figura: (⋆⋆)

38. Divide un segmento de 51 mm en cinco partes iguales. Div´ıdelo en dos partes proporcionales a 5 y 12 mm (⋆⋆) 39. Halla gr´ aficamente los 4/7 de un segmento dado. (⋆⋆) 40. El per´ımetro de un tri´ angulo es 15cm y los lados de un tri´ angulo semejante 4’5; 6’4 y 7’1 cm. Hallar las longitudes de los lados del primer tri´ angulo. (⋆⋆) 41. En un mapa no aparece la escala pero sabemos que a una distancia de 39 km le corresponde en el mapa 1’5 cm. Determina la escala. (⋆) 42. La raz´ on de semejanza entre dos paralelogramos semejantes es 2/3 y el ´ area del primero mide 60cm2 . Determina el ´ area del segundo. (⋆) 43. Un mapa est´ a hecho a escala 1:200000. En ´ el hay un lago cuya superficie tiene un ´ area de 70 km2 . Calcula el ´ area de la superficie que tendr´ a en el mapa. (⋆) 44. Las ´ areas de dos pol´ıgonos semejantes 144 y 441 m2 . Sabiendo que el per´ımetro del menor de ellos es 48 m ¿Cu´ al el per´ımetro del otro? (⋆)

45. Un campo rectangular tiene de dimensiones 81 × 48 m. Halla el ´ area de otro campo semejante que tiene de largo 54 m. (⋆) 46. Los lados de un pent´ agono miden 2, 3, 5, 6 y 8 cm. Halla los lados de otro pent´ agono semejante que tenga de per´ımetro 12 metros. (⋆) 47. Sabiendo que todos los tri´ angulos equil´ ateros son semejantes, halla el ´ area de un tri´ angulo equil´ atero de lado 2 y averigua cu´ al ser´ a el ´ area de un tri´ angulo equil´ atero de lado L sin tener que calcularla. (⋆) 48. En el siguiente mapa, calcular las distancias reales entre Madrid y Sevilla y entre Madrid y Zaragoza sabiendo que la distancia en el mapa entre Madrid y Sevilla es de 6 cm y entre Madrid y Zaragoza es de 4 cm. (⋆)