UNIVERSIDAD VERACRUZANA ´ FACULTAD DE MATEMATICAS

Tres etapas de la demostraci´ on en la Historia de las Matem´ aticas TESIS que para aprobar la Experiencia Educativa Experiencia Recepcional

Correspondiente al Plan de Estudios de la Licenciatura en Matem´ aticas P R E S E N T A:

´ Miguel Angel Mora Luna DIRECTORES DE TESIS:

Porfirio Toledo Hern´ andez Francisco Sergio Salem Silva

Abril del a˜no 2014

Xalapa, Ver. M´exico

Dedicado a mi familia

´ Indice general ´ INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1. Primeros intentos de una demostraci´on matem´atica en la antiguedad. 1.1. Babilonios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Ternas pitag´oricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Egipcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. El volumen de una pir´amide truncada . . . . . . . . . . . . 2. PRIMERA ETAPA: El establecimiento formal del concepto de tem´aticas. 2.1. Pit´agoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Euclides y la Geometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Demostraci´on geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Definiciones y resultados previos . . . . . . . . . . . 2.3.2. Puntos de Miquel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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v 1 1 2 3 4

Demostraci´on en Ma. . . . .

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3. SEGUNDA ETAPA: El siglo XX: Las nuevas herramientas utilizadas en la demostraci´on. 3.1. Hilbert y el siglo XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. GD Birkhoff y el desarrollo de las matem´aticas americanas . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. L. E. J. Brouwer y demostraci´on por contradicci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. El axioma de elecci´on y el Teorema de la Categor´ıa de Baire . . . . . . . . . . . . . .

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4. TERCERA ETAPA: La Demostraci´on apoyada por computadora. 4.1. Antecedentes del Teorema de los 4 Colores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Los or´ıgenes de la conjetura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. La llegada de la soluci´on un siglo despu´es mediante el apoyo de una computadora ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CONCLUSION

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A. M´etodos de Demostraci´on en Matem´aticas A.1. M´etodo de Demostraci´on Directa . . . . . . . . . . . . . . A.2. M´etodos de Demostraci´on Indirectos . . . . . . . . . . . . A.2.1. M´etodo de demostraci´on por contrapositiva . . . . A.2.2. M´etodo de demostraci´on por reducci´on al absurdo

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iii

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A.3. M´etodo de Demostraci´on por el principio de Inducci´on Matem´atica A.3.1. Primer principio de inducci´on matem´atica . . . . . . . . . . A.3.2. Segundo principio de inducci´on matem´atica . . . . . . . . . A.4. M´etodo por Contraejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ INTRODUCCION A trav´es de la historia, el ser humano ha tratado de verificar si ciertos resultados matem´aticos obtenidos en base a la observaci´on y la pr´actica, son verdaderos. Esto lo ha llevado a fundamentar dicha verificaci´on mediante una serie de pasos l´ogicos, a la cual hoy en d´ıa le llamamos demostraci´on. Una demostraci´on matem´atica es una serie de pasos que se realiza con una l´ogica v´alida que se construye a partir de ideas que se dan por ciertas, las cuales se llaman hip´otesis, concluyendo as´ı la tesis; obteniendo la veracidad de la afirmaci´on planteada. El concepto de demostraci´on matem´atica ha sufrido a trav´es del tiempo una serie de transformaciones hechas por un gran n´umero de matem´aticos de diversas culturas y e´ pocas. En este trabajo seleccionamos 3 etapas en la historia de las matem´aticas que consideramos fundamentales en el desarrollo del concepto de demostraci´on. En cada una de ellas enunciaremos un teorema y haremos su demostraci´on con las herramientas disponibles en el periodo estudiado. Esto se hace con el objetivo de mostrar que los m´etodos y herramientas usados para hacer una demostraci´on han evolucionado a trav´es de la historia. Adem´as anexamos un ap´endice de algunos m´etodos para hacer demostraciones cuya finalidad es tener un n´umero mayor de lectores de este trabajo. En el cap´ıtulo 1 daremos algunos antecedentes de c´omo algunas culturas antiguas como la babil´onica y egipcia obten´ıan sus conocimientos matem´aticos. Estas culturas no utilizaban argumentos rigurosos para determinar la validez de estos conocimientos, sino que los comprobaban mediante la pr´actica. Aunque hac´ıan c´alculos muy sofisticados, sus procedimientos s´olo eran una serie de instrucciones para resolver problemas, desconocemos si hab´ıa intentos de justificar dichos procedimientos. En el cap´ıtulo 2 abarcaremos la primera etapa, en la cual se establece el concepto de demostraci´on tal y como lo conocemos hoy en d´ıa. En esta hablaremos de algunos de los matem´aticos de la Antigua Grecia (600 a.C.-300 d.C.) que establecieron la necesidad e importancia de hacer una demostraci´on en matem´aticas, entre ellos se encuentra Euclides, quien fue el primero en establecer el m´etodo axiom´atico-deductivo que utiliza en su obra maestra Los Elementos, en donde recopil´o gran parte de los resultados geom´etricos conocidos, utilizando como punto de partida 5 axiomas. Adem´as daremos un ejemplo de una demostraci´on caracter´ıstica de esta etapa. En el cap´ıtulo 3 abarcaremos la segunda etapa que corresponde al siglo XX. Est´e siglo se considera fundamental ya que la invenci´on de nuevas teor´ıas matem´aticas, como el c´alculo y la topolog´ıa, exigi´o la creaci´on de herramientas m´as sofisticadas para hacer demostraciones, un ejemplo de ello es el axioma de elecci´on. En este cap´ıtulo haremos menci´on de algunos de los matem´aticos que contribuyeron a la creaci´on de estas herramientas. Para finalizar el cap´ıtulo daremos un ejemplo de una demostraci´on caracter´ıstica del siglo XX, la cual a diferencia de la demostraci´on del cap´ıtulo anterior, utiliza herramientas m´as complejas como el axioma de elecci´on. v

En el cap´ıtulo 4 hablaremos de la tercera etapa, en la cual describiremos cronol´ogicamente algunos intentos de una de las demostraciones m´as controversiales en matem´aticas, la del Teorema de los 4 Colores. La importancia de este teorema es que para su demostraci´on no fueron suficientes las herramientas sofisticadas ya existentes, sino que requiri´o el apoyo de una computadora para su demostraci´on. Este u´ ltimo problema pone a pensar a muchos matem´aticos acerca de un posible cambio en la manera de hacer demostraciones que tenemos desde la e´ poca de Euclides. Lo cual nos hace pensar que en un futuro cercano se pueda ver a la computadora como una herramienta u´ til para hacer demostraciones.

Cap´ıtulo 1 Primeros intentos de una demostraci´on ¨ matem´atica en la antiguedad. El primer conocimiento que se tiene, del uso de las matem´aticas en la humanidad, proviene de los egipcios y babilonios. Ambas civilizaciones desarrollaron matem´aticas, las cuales eran similares en alcance, pero diferentes en detalles. Sus conocimientos num´ericos y geom´etricos fueron muy importantes para civilizaciones posteriores. La palabra “demostraci´on” no era de relevancia en los tiempos de estas dos grandes civilizaciones, si quer´ıan verificar un resultado lo u´ nico que hac´ıan era comprobarlo mediante la pr´actica. A continuaci´on hablaremos de los aportes matem´aticos que hicieron los babilonios y egipcios.

1.1.

Babilonios

El t´ermino babilonio se refiere a toda una serie de pueblos que ocuparon, simult´aneamente ´ o de manera sucesiva, la regi´on comprendida entre los r´ıos Eufrates, Tigris y sus alrededores, regi´on conocida como Mesopotamia. La civilizaci´on babil´onica tiene sus ra´ıces alrededor del a˜no 4000 a.C. con los sumerios en Mesopotamia. De lo poco que se sabe de sus matem´aticas es que construyeron casas y templos que decoraron con cer´amica art´ıstica y mosaicos con formas geom´etricas. Los documentos matem´aticos que se conservan de los babilonios son tablillas de arcilla blanda en donde se imprim´ıa el texto con una cu˜na (escritura cuneiforme) y despu´es se coc´ıan en hornos para endurecerlas. Estos documentos han sido menos maltratados por el paso del tiempo que los papiros egipcios, por lo que tenemos una mayor informaci´on de las matem´aticas mesopot´amicas que de las egipcias. A continuaci´on mostraremos el contenido de una de las m´as importantes tablillas que muestra lo avanzado de las matem´aticas en la e´ poca babil´onica. El siguiente ejemplo de ternas pitag´oricas fue extra´ıdo de [1]. 1

CAP´ITULO 1

1.1.1.

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Ternas pitag´oricas.

Los babilonios al parecer ten´ıan conocimiento del Teorema de Pit´agoras antes del mismo Pit´agoras. Lo anterior lo muestra una tabla encontrada con ternas pitag´oricas, la cual ha sido llamada Plimpton 322.

Esta tablilla cuenta con 4 columnas (que enumeraremos de C1 a C4) por 15 filas. Muchos de los n´umeros se han perdido, pero se han recuperado mediante algunas operaciones. Otros, estaban calculados err´oneamente, as´ı que se ha puesto el valor correcto. Su transcripci´on a n´umeros decimales es la siguiente:

Consideremos la sexta l´ınea, el primer n´umero representa el cuadrado de la secante del a´ ngulo correspondiente con ocho cifras sexagesimales, lo que corresponde a catorce decimales en nuestra notaci´on. Todos ellos correctos. Tenemos tambi´en que 481 es el valor de la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo y 319 uno de los catetos. El otro cateto, mediante el teorema de Pit´agoras valdr´ıa 360, el cual hemos incluido

CAP´ITULO 1

3

en la quinta columna de la tabla. Si hacemos el cociente entre la hipotenusa y este u´ ltimo cateto 481 da = 1, 33611111, y su cuadrado vale 1,785192901, el cual coincide exactamente con el valor 360 escrito en la tablilla hasta el noveno decimal. Es sorprendente la exactitud de todos estos c´alculos y nos muestra lo avanzado de las matem´aticas en la e´ poca babil´onica. Los constructores de la tabla Plimpton 322 debieron comenzar por dos n´umeros p, q, para hallar la terna pitag´orica p2 −q2 , 2pq, p2 +q2 . Limit´andose a valores de p menores que 60 y a tri´angulos rect´angulos en los que p2 − q2 = b < c = 2pq, los babilonios descubrieron que exist´ıan 38 pares posibles de p y q que satisfacen las condiciones, con lo que construyeron las 38 ternas correspondientes. En la tablilla Plimpton 322 aparecen las 15 primeras, ordenadas con los valores correspondientes a los a´ ngulos desde 45◦ hasta 31◦ . Se cree que las restantes deben estar en otra u otras tablillas que no se han descubierto a´un. Los egipcios al igual que los babilonios, hicieron grandes aportaciones a las matem´aticas como las que enunciaremos a continuaci´on.

1.2.

Egipcios

Hacia el a˜no 4000 a.C. naci´o una gran civilizaci´on a orillas del r´ıo Nilo: la egipcia. Las matem´aticas que desarrollaron fueron utilizadas para resolver problemas pr´acticos, como el c´alculo de a´ reas, la medici´on del tiempo y la realizaci´on del comercio. La cantidad de informaci´on matem´atica que podemos obtener de las tumbas, los templos y calendarios es muy limitada, ya que se encuentran muy deterioradas y la informaci´on que tendr´ıamos ser´ıa incompleta. Pero disponemos de otras fuentes de informaci´on como los papiros egipcios. Por ejemplo el papiro de Rhind cuenta con 87 problemas con sus soluciones, la mayor´ıa de estos problemas pr´acticos tratan acerca de la divisi´on equitativa de panes entre un cierto n´umero de hombres o la determinaci´on de la cantidad de grano necesario para la fabricaci´on de cerveza. Los problemas del papiro de Rhind comienzan por lo general con una suma de fracciones unitarias y buscan otras fracciones unitarias que se sumen para obtener el valor de 1. Esto era bastante peculiar, pues debido a los m´etodos con que operaban s´olo utilizaban este tipo de fracciones, es decir, 4 6 7 1 1 1 1 siempre utilizaban fracciones del tipo , , o , pero no del tipo , o , con excepci´on de las 2 3 5 34 5 8 45 2 3 fracciones y . Por tanto, todas las fracciones con numerador distinto de uno se reduc´ıan a sumas 3 4 de fracciones unitarias, cuyo numerador era la unidad. El siguiente ejemplo de fracciones unitarias fue extra´ıdo de [1]. 2 1 Ejemplo 1.1. El problema 22 del papiro de Rhind pide encontrar una fracci´on para completar + 3 30 tal que sum´andolos se obtenga 1. Lo primero que hacemos es seleccionar un n´umero conveniente N y 1 1 fracciones unitarias , ..., que satisfagan la ecuaci´on n1 nk ! 2 1 1 1 + + +···+ N = N. 3 30 n1 nk

CAP´ITULO 1

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De esto se tenemos que la suma expandida es igual a 1. Tomamos por conveniencia a N como 30, ya que es un com´un m´ultiplo de los denominadores dados, tenemos que: ! 20 1 + 30 = 20 + 1 = 21 = 30 − 9. 30 30

Pero ! 1 1 + 30 = 6 + 3 = 9. 5 10

Sumamos las dos ecuaciones se obtenemos ! 20 1 1 1 + + + 30 = 30. 30 30 5 10

Y as´ı obtenemos el resultado deseado 1 1 1 2 + + + = 1. 3 30 5 10 Muchos consideran que la geometr´ıa naci´o en Egipto, en donde las inundaciones anuales del Nilo exig´ıan que se cobrara un impuesto por el tama˜no de la propiedad de tierra. De hecho, “geometr´ıa” est´a compuesto de dos palabras griegas que significan “tierra” y “medida”, esto parece indicar que la geometr´ıa surgi´o de la necesidad de la agrimensura, rama de la topograf´ıa destinada a la delimitaci´on de superficies, la medici´on de a´ reas y la rectificaci´on de l´ımites.

1.2.1.

El volumen de una pir´amide truncada

El papiro de Mosc´u es uno de los m´as importantes documentos matem´aticos del Antiguo Egipto, mide 5 metros de longitud y tan s´olo 8 cm de anchura y consta de 25 problemas, aunque algunos se encuentran demasiado da˜nados para poder ser interpretados. De los 25 problemas, existe 1 que destaca sobre el resto, el problema 14 relativo al c´alculo del volumen de una pir´amide truncada. En este problema se pide calcular el a´ rea de una figura, que parece ser un trapecio is´osceles, pero realmente se refiere a un tronco de pir´amide cuadrangular. Alrededor de la figura pueden verse los signos que definen las dimensiones. En la parte superior aparece un 2, en la inferior un 4 y dentro de la figura un 56 y un 6. Donde 6 es la altura, 2 y 4 son las bases superior e inferior y el volumen es 56.

CAP´ITULO 1

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Curiosamente no se escribe la f´ormula para calcular el volumen, pero se calcula el volumen exacto. Si empleamos una notaci´on moderna, la f´ormula es la siguiente: V = ( h3 )(a2 + ab + b2 ), siendo h la altura y a y b las aristas horizontales.

(a2 + ab + b2 )h Es evidente que los egipcios conoc´ıan la f´ormula V = , que representa el 3 volumen de un tronco de pir´amide de base cuadrada. No se sabe con certeza como fueron capaces de deducir esta f´ormula.

En general se ha aceptado que los egipcios sab´ıan de un m´etodo para obtener el volumen de una pir´amide de base cuadrada y que probablemente era el correcto, el problema 14 es una fuerte evidencia de que los egipcios conoc´ıan esta f´ormula o alguna equivalente, pero no ha sido f´acil establecer c´omo llegar a esta f´ormula. Podr´ıa haber sido una operaci´on f´acil el construir una pir´amide hueca a partir de una caja rectangular hueca de la misma base y altura, para determinar que la pir´amide ten´ıa una capacidad de exactamente un tercio de la caja, con s´olo llenarla de arena o agua. Los egipcios sab´ıan que el volumen de un s´olido rectangular es largo × ancho × altura, de modo que el volumen de una pir´amide equivalente se expresar´ıa como un tercio del a´ rea de la base por la altura del s´olido rectangular. Otra posible forma de calcular el volumen es por el m´etodo de la disecci´on, en el cual una pir´amide se corta y las partes forman un s´olido rectangular, cuyo volumen se puede calcular f´acilmente. Hay otras posibles maneras en las que pudieron llegar a la f´ormula de la pir´amide, las cuales no son tratadas en este trabajo.

CAP´ITULO 1

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Con lo que hemos visto de los egipcios en esta secci´on podemos observar que su conocimiento matem´atico era esencialmente pr´actico y fue desarroll´andose con el fin de solucionar problemas espec´ıficos. Raramente los problemas se refer´ıan a n´umeros abstractos. No estaban interesados en desarrollar una teor´ıa o una filosof´ıa determinada y mientras un m´etodo cualquiera cubriese sus necesidades estaban satisfechos. Esto hizo que no les interesara mejorarlo o simplificarlo. Como vimos, antes del a˜no 2000 a.C. ya hab´ıan dado forma a un sistema pr´actico de numeraci´on, con el que pod´ıan efectuar complicados c´alculos de expresiones fraccionarias. Los egipcios tambi´en dominaron la geometr´ıa de las principales figuras y lograron un conocimiento de la geometr´ıa del espacio que les permiti´o hacer esas magn´ıficas construcciones que han sobrevivido hasta nuestras fechas. Comentarios finales En este cap´ıtulo pudimos observar que en las matem´aticas egipcias y babil´onicas, no se encuentra ning´un caso de lo que hoy se llama demostraci´on. En lugar de una argumentaci´on general, se encuentra una descripci´on detallada de un procedimiento aplicado a un caso particular. Unos cuantos siglos antes de Cristo, los conocimientos egipcios y babilonios, en especial los matem´aticos, pasaron a poder de los griegos; pero estos, a diferencia de aquellos, pusieron gran empe˜no en concluir los hechos geom´etricos, no s´olo de manera pr´actica, sino con base en razonamientos deductivos.

Cap´ıtulo 2 PRIMERA ETAPA: El establecimiento formal del concepto de Demostraci´on en Matem´aticas. Los babilonios y egipcios fueron muy sofisticados en un gran n´umero de maneras. Aunque ellos no “demostraron” teoremas como hoy en d´ıa lo hacemos, sin duda ten´ıan ideas bien desarrolladas sobre las matem´aticas (no s´olo la aritm´etica). Fue Eudoxo (408 a.C-355 a.C.), quien comenz´o la gran tradici´on de la organizaci´on de las matem´aticas en teoremas. La palabra “teorema” viene de la ra´ız griega theorema, que significa “la especulaci´on”. Eudoxo fue uno de los primeros en utilizar esta palabra en el contexto de las matem´aticas. Lo que Eudoxo adquiri´o de rigor y precisi´on en sus formulaciones matem´aticas, lo perdi´o porque no demostr´o nada. La demostraci´on formal no se hab´ıa implementado en el estudio de las matem´aticas. Como hemos se˜nalado anteriormente, los conocimientos matem´aticos se generaban de manera pr´actica. No se le ocurri´o a nadie que hab´ıa alguna necesidad de demostrar algo. Si se les preguntaba si una determinada mesa cabr´ıa en una habitacion, no demostraban un teorema, s´olo lo comprobaban. Cuando se preguntaban la cantidad de valla requerida para rodear una cierta cantidad de pasto, no buscaban un argumento riguroso, s´olo ten´ıan que desenrollar la valla y determinar qu´e cantidad era necesaria. En sus primeros d´ıas, las matem´aticas estaban ´ıntimamente ligadas a preguntas exactamente como e´ stas. As´ı, el pensamiento matem´atico era casi inseparable de pensamiento pr´actico. Y as´ı es como sus seguidores ve´ıan los hechos matem´aticos. Estos hechos s´olo eran informaci´on pr´actica, su asimilaci´on y verificaci´on era un asunto estrictamente pragm´atico. En este segundo cap´ıtulo abarcaremos la primera etapa en donde hablaremos de Pit´agoras y Euclides que fueron algunos de los matem´aticos que establecieron el concepto que hoy en d´ıa tenemos de demostraci´on en matem´aticas.

2.1.

Pit´agoras

Pit´agoras (569 a.C.-500 a.C.) fue un matem´atico que form´o un grupo llamado “Los Pitag´oricos”, los cuales son recordados por dos contribuciones monumentales a las matem´aticas. La 7

CAP´ITULO 2

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primera de ellas fue el establecimiento de la importancia y la necesidad de la demostraci´on en matem´aticas: que los enunciados matem´aticos, especialmente los geom´etricos, deben ser verificados por medio de una demostraci´on rigurosa. Antes de Pit´agoras, los conceptos y resultados de la geometr´ıa se obtenian a partir de la observaci´on y algunas otras desde la medici´on. Pit´agoras tambi´en introdujo la idea de que las teor´ıas matem´aticas (por ejemplo la geometr´ıa) podr´ıan ser derivadas de un peque˜no n´umero de postulados. La segunda gran aportaci´on fue el descubrimiento de que no todos los n´umeros son proporcionales. Los griegos antes de Pit´agoras cre´ıan que todo se basaba en los n´umeros enteros. Las fracciones surgen de manera concreta, como proporciones de los lados de los tri´angulos de longitud entera y a estas fracciones les llamamos hoy en d´ıa racionales. Pit´agoras demostr´o el resultado que ahora llamamos el Teorema de Pit´agoras, el cual dice que los catetos a, b y la hipotenusa c de un tri´angulo rect´angulo est´an relacionados por la f´ormula a2 + b2 = c2 .

Este teorema tiene m´as demostraciones que ning´un otro teorema (en [5] aparecen 367 demostraciones diferentes). Y de hecho, es uno de los resultados matem´aticos m´as antiguos. Aunque como vimos en el cap´ıtulo anterior, existe evidencia de que los babilonios conoc´ıan este teorema por lo menos 500 a˜nos antes de Pit´agoras. Ahora veremos uno de los argumentos m´as simples y cl´asicos y fue extra´ıdo de [4].

En la figura de arriba observamos que tenemos cuatro tri´angulos rect´angulos y un cuadrado contenido en un cuadrado m´as grande. Cada uno de los tri´angulos tiene catetos a y b e hipotenusa c al

CAP´ITULO 2

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igual que en el teorema de Pit´agoras. Por una parte, el a´ rea del cuadrado grande es c2 . El cual tambi´en es la suma de las a´ reas de las piezas que lo componen. As´ı, se calcula que c2 = (´area del cuadrado grande) = (´area del tri´angulo) + (´area del 1 1 tri´angulo) + (´area del tri´angulo) + (´area del tri´angulo) + (´area del cuadrado peque˜no)= · ab + · 2 2 1 1 2 2 2 2 2 ab + · ab + · ab + (b − a) = 2ab + (a − 2ab + b ) = a + b , con lo cual llegamos al resultado. 2 2 Tambi´en Pit´agoras se dio cuenta de que si a = 1 y b = 1 entonces c2 = 2. Se pregunt´o si hab´ıa un n´umero racional c que satisface esta u´ ltima identidad. Su conclusi´on fue que no exist´ıa un numero racional c tal que c2 = 2. Los pitag´oricos se dieron cuenta de la profundidad y la posible importancia social de este descubrimiento. En la Grecia antigua se pensaba que todos los n´umeros eran racionales. Pretender lo contrario habr´ıa sido pr´acticamente una herej´ıa. Durante un tiempo los pitag´oricos mantuvieron esta nueva realidad como un secreto. Cuenta la leyenda que los pitag´oricos fueron destruidos por hordas ignorantes.

2.2.

Euclides y la Geometr´ıa

Euclides (325 a.C.-265 a.C.) fue el primero en organizar sistem´aticamente las matem´aticas (es decir, una gran parte de las matem´aticas que se hicieron antes de e´ l), formular definiciones, axiomas y demostrar teoremas. Este fue uno de sus m´as grandes y originales logros. Aunque no hay muchos teoremas que llevan el nombre de Euclides, e´ l ha tenido un efecto muy grande en el pensamiento matem´atico. Euclides escribi´o un tratado (que consiste de trece libros) el cual ahora conocemos como “Elementos” que se ha encontrado disponible durante m´as de 2,000 a˜nos y ha pasado por un gran n´umero de ediciones. Todav´ıa lo estudiamos en detalle hoy en d´ıa y sigue teniendo una gran influencia sobre la forma en que hacemos matem´aticas. Lo importante de los Elementos de Euclides es que establece la forma en que las matem´aticas deben ser estudiadas y registradas. Comienza con varias definiciones e ideas de la geometr´ıa y luego enuncia cinco importantes postulados (o axiomas) de la geometr´ıa. Una versi´on de estos postulados es la siguiente: P1 Dados dos puntos es posible trazar un segmento de recta que los une. P2 Cualquier segmento de recta puede prolongarse continuamente para convertirse en una recta con la misma direcci´on. P3 Un c´ırculo est´a determinado por su centro y su radio. P4 Todos los a´ ngulos rectos son iguales. P5 Dada una recta y un punto ajeno a ella, se puede trazar una u´ nica recta paralela a la primera que pase por el punto dado.

CAP´ITULO 2

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Por supuesto, antes de que enunciara sus cinco famosos axiomas, Euclides hab´ıa definido “punto”, “l´ınea”, “c´ırculo” y los otros t´erminos que utiliza. Se cree que el famoso “postulado de las paralelas” (P5) es de la propia creaci´on de Euclides. Cabe destacar que el libro de los Elementos no se trata simplemente de geometr´ıa plana. De hecho los libros VII-IX se ocupan de la teor´ıa de n´umeros. Uno de los resultados concretos que se presenta en este libro ha logrado sobrevivir hasta nuestros tiempos y prueba de ello es que se ense˜na hoy en d´ıa a todos los estudiantes de matem´aticas. Recordemos que un n´umero primo es un n´umero entero positivo que solo es divisible por 1 y por el mismo. Por definici´on no consideramos que 1 sea un n´umero primo. As´ı que los n´umeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... Un n´umero que no es primo se llama compuesto. Por ejemplo, 126 no es un n´umero primo, ya que 126 = 2 · 32 · 7. En general cualquier n´umero compuesto puede ser factorizado de forma u´ nica en factores primos, es decir tenemos el teorema fundamental de la aritm´etica. Euclides se cuestion´o acerca de la posible existencia de un n´umero infinito de primos. La respuesta de Euclides fue “s´ı” (v´ease la demostraci´on en el ap´endice A.2.2). El argumento de Euclides es uno de los primeros casos conocidos de la prueba por contradicci´on. Este importante m´etodo de razonamiento formal ha sido bastante pol´emico en los u´ ltimos a˜nos. El Libro X se ocupa de los n´umeros irracionales y los libros XI-XIII tratan la geometr´ıa tridimensional. En resumen, los Elementos de Euclides son un tratamiento exhaustivo de una buena parte de las matem´aticas que se conoc´ıa en ese momento. Y se presenta de una manera estrictamente rigurosa y axiom´atica que ha establecido la manera en que las matem´aticas se registran y estudian en la actualidad. Los Elementos de Euclides es tal vez m´as notable por la claridad con que los teoremas son formulados y demostrados. El nivel de rigor que Euclides us´o, fue un modelo para los creadores del c´alculo casi 2000 a˜nos m´as tarde. A continuaci´on mostramos un ejemplo de una demostraci´on que utiliza herramientas caracter´ısticas de esta etapa.

2.3.

Demostraci´on geom´etrica

El Teorema de Miquel es muy importante en la geometr´ıa euclidiana, ya que de e´ ste surgen varias consecuencias muy importantes, una de ellas es el Teorema de Simson. Demostraremos el Teorema de Miquel y mencionaremos algunas de sus consecuencias, tomando como punto de partida los 5 postulados de Euclides. Los siguientes resultados matem´aticos de esta secci´on fueron extra´ıdos de [12].

2.3.1.

Definiciones y resultados previos

Definici´on 2.1. Un a´ ngulo es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado v´ertice. Si el v´ertice del a´ ngulo es A y los puntos B y C pertenecen a distintas semirrectas, denotaremos al a´ ngulo formado como ∠BAC.

CAP´ITULO 2

11

Definici´on 2.2. Cuando un a´ ngulo mide 90◦ se llama a´ ngulo recto y las rectas que lo conforman se llaman perpendiculares. Definici´on 2.3. Si dos a´ ngulos suman 90◦ se llaman complementarios y si suman 180◦ se llaman suplementarios. Definici´on 2.4. Decimos que dos a´ ngulos son adyacentes cuando tienen un mismo v´ertice y un lado com´un y son exteriores el uno del otro. Definici´on 2.5. Dos a´ ngulos son opuestos por el v´ertice cuando los lados de uno son las prolongaciones de los del otro. En cualquier sistema de dos rectas distintas que se cortan, tenemos que 1. Los a´ ngulos adyacentes son suplementarios, 2. Los a´ ngulos opuestos por el v´ertice son iguales. Existen relaciones muy particulares entre los a´ ngulos antes mencionados en el caso de que el sistema est´e conformado por rectas paralelas, estas relaciones est´an dadas por el siguiente teorema. Teorema 2.1. En todo sistema de dos rectas paralelas distintas cortadas por una secante, tenemos que: 1. Los a´ ngulos correspondientes son iguales, 2. Los a´ ngulos alternos son iguales, 3. Los a´ ngulos colaterales son suplementarios.

Al decir a´ ngulos iguales nos referimos a que son iguales entre s´ı, y de manera an´aloga para los a´ ngulos suplementarios.

CAP´ITULO 2

12

Demostraci´on. Consideramos el sistema de rectas paralelas AB y CD cortadas por la secante FE en los puntos M y N, respectivamente. Como los a´ ngulos opuestos por el v´ertice son iguales, entonces tenemos que: ∠AMN = ∠BMF, ∠AMF = ∠BMN, ∠CN M = ∠END, ∠CNE = ∠DN M.

(2.1)

Adem´as, al ser a´ ngulos adyacentes, tenemos las siguientes relaciones: ∠AMN + ∠AMF = ∠AMF + ∠BMF = ∠BMF + ∠BMN = ∠BMN + ∠AMN = 180◦ ,

(2.2)

∠CN M + ∠CNE = ∠CN M + ∠DN M = ∠DN M + ∠DNE = ∠DNE + ∠CNE = 180◦ .

(2.3)

Por otro parte, como las rectas AB y CD son paralelas, entonces no podemos encontrar a´ ngulos internos cuya suma sea menor que 180◦ . Por el postulado de las paralelas, concluimos que: ∠AMN + ∠CN M = 180◦ , ∠BMN + ∠DN M = 180◦ .

Ahora combinando (2.1), (2.2) y (2.3) obtenemos las afirmaciones del teorema.



Corolario 2.1. La suma de los tres a´ ngulos interiores de cualquier tri´angulo es igual a 180◦

Demostraci´on. Sea 4ABC un tri´angulo cualquiera. Si trazamos una recta paralela al segmento BC que pase por A. Entonces sabemos que µ + α + ν = 180◦ . Por lo tanto tenemos que µ = β por ser a´ ngulos alternos internos, y por esta misma raz´on ν = γ , ahora sustituimos los valores de µ y ν en la primera igualdad (µ + α + ν = 180◦ ) y obtenemos el resultado. 

CAP´ITULO 2

13

Criterios de Congruencia Dos tri´angulos 4A1 B1C1 y 4A2 B2C2 son iguales o congruentes si sus lados o a´ ngulos correspondientes son iguales, para indicar que son congruentes lo haremos de la siguiente manera:

4A1 B1C1 ' 4A2 B2C2 , Para que 4A1 B1C1 ' 4A2 B2C2 es suficiente que se cumpla una de las siguientes tres condiciones: (LAL) Dos lados iguales e igual el a´ ngulo comprendido A1 B1 = A2 B2 , B1C1 = B2C2 y ∠B1 = ∠B2 .

(ALA) Dos a´ ngulos iguales e igual el lado comprendido ∠A1 = ∠A2 , ∠B1 = ∠B2 y A1 B1 = A2 B2 .

(LLL) Sus tres lados iguales A1 B1 = A2 B2 , B1C1 = B2C2 y A1C1 = A2C2 .

Basta que se cumpla alguna de estas condiciones para que los tri´angulos 4A1 B1C1 y 4A2 B2C2 sean congruentes y de esta manera obtengamos todas las relaciones. Semejanza de Tri´angulos Definici´on 2.6. Dos tri´angulos 4A1 B1C1 y 4A2 B2C2 son semejantes si sus a´ ngulos son iguales y los lados correspondiente son proporcionales, es decir se cumplen las siguientes relaciones: ∠A1 = ∠A2 , ∠B1 = ∠B2 ,

(2.4)

CAP´ITULO 2

14 ∠C1 = ∠C2 ,

A1 B1 B1C1 A1C1 = = . A2 B2 B2C2 A2C2

Para indicar que los tri´angulos 4A1 B1C1 y 4A2 B2C2 son semejantes lo haremos de la siguiente manera:

4A1 B1C1 ∼ 4A2 B2C2 .

De forma semejante a los criterios de congruencia, tenemos los equivalentes para semejanza, tales condiciones nos ayudar´an a decidir cu´ando un par de tri´angulos son semejantes sin necesidad que verifiquemos cada una de las relaciones (2.4). Teorema 2.2 (Criterios de Semejanza). Para qu´e 4A1 B1C1 ∼ 4A2 B2C2 es suficiente que se cumpla una de las tres condiciones siguientes: (AA) Dos a´ ngulos iguales, por ejemplo

∠A1 = ∠A2 y ∠B1 = ∠B2 .

(LAL) Dos lados proporcionales e igual el a´ ngulo comprendido, , por ejemplo A1 B1 B1C1 = A2 B2 B2C2 y ∠B1 = ∠B2 .

CAP´ITULO 2

15

(LLL) Sus tres lados proporcionales, por ejemplo A1 B1 B1C1 A1C1 = = . A2 B2 B2C2 A2C2

Cada una de las condiciones anteriores implica todas las relaciones (2.4). Si la relaci´on de semejanza es igual a 1 entonces los tri´angulos son congruentes. ´ Angulos en la circunferencia ´ ´ Definici´on 2.7 (Angulo central). Angulo formado por dos radios de la circunferencia. c ∠AOB = AB ´ Definici´on 2.8 (Angulo inscrito). Est´a formado por dos cuerdas que se tocan en un punto sobre la circunferencia.

∠AOB =

´ Angulo central

1c AB 2

´ Angulo inscrito

Teorema 2.3. Todo a´ ngulo inscrito mide la mitad del arco que abraza. c Procederemos por casos. Demostraci´on. Demostraremos que ∠APB = 12 AB.

CAP´ITULO 2

16

Caso 1. El centro de la circunferencia est´a en uno de los lados del a´ ngulo. Sea α = ∠APB, trazamos el radio OA y llamaremos M al punto medio del lado AP. De esta forma, por el criterio LLL, los tri´angulos 4OMP y 4OMA son congruentes y por lo tanto ∠OAP = ∠APB = α. Y como β (el a´ ngulo central ∠AOB) es exterior del tri´angulo 4AOP y no adyacente a α y ∠OAP, entonces β = 2α. Por lo tanto 1c 1 ∠APB = α = β = AB. 2 2

Caso 2. El centro de la circunferencia est´a entre los lados del a´ ngulo inscrito. Sea α = ∠APB. Tracemos el di´ametro que tiene como uno de sus extremos a P y llam´emosle C al otro extremo. Sean α1 = ∠APC y α2 = ∠CPB. Por el caso 1, 1 c c 1c α = α1 + α2 = (AC + CB) = AB. 2 2

CAP´ITULO 2

17

Caso 3. El centro de la circunferencia queda fuera del a´ rea que comprende el a´ ngulo inscrito. Sea α = ∠APB. Tracemos el di´ametro que tiene como uno de sus extremos a P y llam´emosle C al otro extremo. Sean α1 = ∠APC y α2 = ∠BPC. Por el caso 1,

1 c c 1c − BC) = AB. α = α1 − α2 = (AC 2 2

CAP´ITULO 2

18

 Corolario 2.2. Dos a´ ngulos inscritos en una misma circunferencia y que abracen una misma cuerda, son iguales si sus v´ertices est´an del mismo lado de la cuerda; y son suplementarios si sus v´ertices est´an en lados opuestos respecto de la cuerda.

CAP´ITULO 2

19

Demostraci´on. Sean A, B, P0 , P y Q como en la figura, es decir P0 y P est´an del mismo lado de la cuerda AB y los puntos P0 y Q est´an en lados distintos. 1[ Por un teorema visto anteriormente tenemos que ∠AP0 B = AQB = ∠APB, de esta manera 2 tenemos que, si los v´ertices del a´ ngulo est´an del mismo lado de la cuerda, estos son iguales. Por otro 1[ 0 B, luego lado tenemos que ∠AQB = AP 2

∠AP0 B + ∠AQB =

1[ 1 [ 1 AQB + AP0 B = 360◦ = 180◦ . 2 2 2

Concluimos que si los v´ertices est´an en lados opuestos respecto de la cuerda, entonces los a´ ngulos son suplementarios. 

Cuadril´ateros c´ıclicos Teorema 2.4. Sean A, B, P, Q cuatros puntos en el plano, cada tres de ellos no colineales. Si los puntos P y Q est´an en un mismo semiplano determinado por la recta AB y desde ellos se ve el segmento AB bajo a´ ngulos iguales. O bien, si los puntos P y Q est´an en distintos semiplanos determinados por la recta AB y desde ellos se ve el segmento AB bajo a´ ngulos suplementarios. Entonces los puntos A, B, P y Q son conc´ıclicos.

Demostraci´on. Caso 1. Sean A, B, P y Q puntos en el plano. Supongamos que P y Q est´an del mismo lado con respecto de la recta que pasa por A y B. Sea Q’ la intersecci´on de AQ con el circunc´ırculo de 4ABP. Supongamos que Q , Q0 . As´ı las rectas BQ y BQ’ son distintas. Por hip´otesis ∠APB = ∠AQB y entonces tenemos ∠AQ0 B = ∠APB. De esta forma tenemos un sistema de dos rectas BQ y BQ’ cortadas por la secante AQ con un par de a´ ngulos correspondientes ∠AQB y ∠AQ0 B iguales. As´ı BQ y BQ’ son paralelas. Lo cual es una contradicci´on pues BQ y BQ’ son distintas y se cortan en el punto B. Por lo tanto Q est´a en el circunc´ırculo de 4ABP.

CAP´ITULO 2

20

Caso 2. Sean A, B, P y Q cuatros puntos en el plano. Supongamos que P y Q est´an en lados opuestos con respecto de la recta que pasa por A y B. Sea Q’ la intersecci´on de AQ con el circunc´ırculo de 4ABP. Supongamos que Q , Q0 . As´ı las rectas BQ y BQ’ son distintas. Por hip´otesis ∠AQB = 180◦ − ∠APB y por el Corolario 2.3.13 tenemos que AQ0 B = 180◦ − ∠APB. As´ı tenemos el sistema de rectas BQ y BQ’ cortadas por la secante AQ, con un par de a´ ngulos correspondientes ∠AQB y ∠AQ0 B iguales. Por lo tanto BQ y BQ’ son paralelas, lo cual es una contradicci´on, pues BQ y BQ’ son distintas y se cortan en el punto B. Podemos concluir que Q est´a en el circunc´ırculo de 4ABP.



CAP´ITULO 2

2.3.2.

21

Puntos de Miquel

Auguste Miquel era un profesor de secundaria en la provincia Nantua en Francia. A partir 1838 la revista Journal de Mathematiques Pures et Appliques, reci´en fundada por Liouville, repentinamente comenz´o a recibir bellos descubrimientos geom´etricos provenientes de dicha provincia. El primero de estos, concernientes al punto Miquel, se convirti´o en el m´as famoso y es el que actualmente se conoce como Teorema de Miquel. Sin embargo, para Miquel esto era s´olo un resultado auxiliar para la prueba de su maravilloso Teorema del Pentagrama. Teorema 2.5 (Teorema de Miquel). Sean el tri´angulo 4ABC y X, Y y Z puntos en los lados BC, CA y AB respectivamente, entonces las circunferencias C A , C B y CC que pasan respectivamente por los puntos A, Y, Z; B, X, Z; y C, Y, X; tienen un punto en com´un. Demostraci´on. Si P es el punto de intersecci´on de las circunferencias C A y C B . Sean α, β, γ, δ, , µ a´ ngulos como en la siguiente figura.

Entonces tenemos que: 1. α + δ =180◦ . (ya que el cuadril´atero ZPYA es c´ıclico) 2.  +β=180◦ . (ya que el cuadril´atero ZBXP es c´ıclico) 3. α + β + γ=180◦ . (ya que la suma de los a´ ngulos interiores de un tri´angulo es de 180◦ ) 4. δ +  + µ=360◦ . Sumando las u´ ltimas dos ecuaciones tenemos que: (α + δ) + ( + β) + (µ + γ) = 540◦ .

CAP´ITULO 2

22

Por lo tanto µ + γ = 180◦ .

Por lo que el cuadril´atero XCYP es c´ıclico ya que sus a´ ngulos opuestos suman 180◦ y por lo tanto P pertenece a CC .  Al punto P le llamaremos punto de Miquel de los puntos X, Y y Z respecto al tri´angulo 4ABC. Teorema 2.6. Si P es el punto de Miquel de los puntos X, Y y Z respecto del tri´angulo 4ABC, entonces los puntos X, Y y Z est´an alineados si y s´olo si P est´a en el circunc´ırculo del tri´angulo 4ABC. Demostraci´on. Sea P un punto de Miquel de los puntos alineados X, Y y Z respecto del tri´angulo 4ABC, por lo tanto P es la intersecci´on de los circunc´ırculos de los tri´angulos 4AYZ y 4CY X. Por lo tanto ∠ZAP = ∠ZY P, ∠PY X + ∠XCP = 180◦ .

Ya que X, Y y Z son colineales, entonces ∠ZY P + ∠PY X = 180◦ . De esto tenemos que: ∠ZAP = ∠ZY P = ∠XCP = ∠BCP.

Y ya que tambi´en B, A y Z son colineales ∠BAP + ∠ZAP = 180◦ . Por lo tanto ∠BAP + ∠BCP = 180◦ , concluimos que ABCP es c´ıclico, esto es, P est´a en el circunc´ırculo de 4ABC. Ahora si P est´a en el circunc´ırculo de 4ABC. Como PYXC y ABCP son c´ıclicos, entonces tenemos que ∠XY P + ∠XCP = 180◦ ,

∠BAP + ∠BCP = 180◦ .

CAP´ITULO 2

23

De donde ∠XY P = ∠BAP. Tambi´en B, A y Z son colineales, entonces ∠BAP + ∠PAZ = 180◦ ,

Adem´as ZAYP tambi´en es c´ıclico ∠PAZ = ∠PYZ. Por lo tanto ∠XY P + ∠PYZ = ∠BAP + ∠PAZ = 180◦ .

Por lo tanto concluimos que X, Y y Z son colineales.



Podemos expresar la primera implicaci´on del teorema de la siguiente manera. Teorema 2.7. Si cuatro rectas se intersectan en seis puntos A, B, C, X, Y y Z, tales que los puntos A, B y Z; A, C y Y; B, C y X; X, Y y Z son colineales, entonces los circunc´ırculos de los tri´angulos 4AYZ, 4BXZ, 4CY X y 4ABC tienen un punto en com´un. El caso particular en el que los tres primeros circunc´ırculos tienen como di´ametros a AP, BP y CP implica el siguiente resultado. Teorema 2.8 (Teorema de Simson). Un punto est´a en el circunc´ırculo de un tri´angulo si y s´olo si sus pies en los lados de e´ ste, son colineales.

CAP´ITULO 2

24

A la l´ınea recta que pasa por los puntos X, Y y Z, que son los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto P del circunc´ırculo a los lados del tri´angulo, se le llama la L´ınea de Simson de P con respecto al tri´angulo 4ABC. A partir de los teoremas anteriores es posible demostrar el Teorema del Pentagrama mencionado al inicio de esta secci´on Teorema 2.9 (Teorema del Pentagrama). Consideremos un pent´agono convexo y extendemos los lados a un pentagrama. Externamente al pent´agono, hay cinco tri´angulos. Construimos las cinco circunferencias circunscritas. Cada par de c´ırculos adyacentes se cortan en un v´ertice del pent´agono y en un segundo punto. Entonces estos cinco segundos puntos son conc´ıclicos.

Comentarios finales El e´ xito perdurable de los Elementos de Euclides asegur´o que los resultados matem´aticos pudieran ser validados. Mientras que algunos de los conocimientos de la antig¨uedad se derrumbaron, la geometr´ıa prosper´o. Hoy en d´ıa estamos seguros de que los resultados geom´etricos de la e´ poca de

CAP´ITULO 2

25

Euclides son verdaderos y como observamos en este cap´ıtulo, a partir de ellos podemos llegar a resultados m´as interesantes como los Teoremas de Miquel y Simpson. Estos resultados fueron formulados por matem´aticos m´as de 1000 a˜nos despu´es de Euclides y se basaron en resultados ya existentes (como los axiomas de Euclides).

CAP´ITULO 2

26

Cap´ıtulo 3 SEGUNDA ETAPA: El siglo XX: Las nuevas herramientas utilizadas en la demostraci´on. Como vimos en el cap´ıtulo anterior, Euclides fue el primero en definir un sistema axiom´atico en matem´aticas y su mayor contribuci´on fue encontrar y organizar una base com´un (axiomas) que permitiera demostrar los resultados conocidos en su e´ poca utilizando un razonamiento deductivo. En este tercer cap´ıtulo describimos otra etapa, e´ sta consta de la creaci´on de m´etodos y herramientas m´as sofisticadas que los axiomas de Euclides para hacer demostraciones, estas herramientas fueron necesarias para el estudio de las nuevas teor´ıas que se desarrollaron, como son el an´alisis y la topolog´ıa. Analizaremos la actividad de algunos matem´aticos que contribuyeron con algunas de estas nuevas herramientas. Tambi´en demostraremos el Teorema de Baire y una de sus aplicaciones, pues este teorema utiliza el axioma de elecci´on, una herramienta caracter´ıstica del siglo XX.

3.1.

Hilbert y el siglo XX

David Hilbert fue un gran matem´atico alem´an, reconocido como uno de los m´as influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableci´o su reputaci´on como gran matem´atico y cient´ıfico desarrollando un gran abanico de ideas, como la teor´ıa de invariantes, la axiomatizaci´on de la geometr´ıa y la noci´on de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del an´alisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matem´atica necesaria para la mec´anica cu´antica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teor´ıa de la demostraci´on (v´ease [6]), la l´ogica matem´atica y la distinci´on entre matem´atica y metamatem´atica. Hilbert dec´ıa que el futuro de las matem´aticas estaba en seguir resolviendo problemas, por lo que en una conferencia para el Congreso Internacional de Matem´aticos de 1900 en Par´ıs, present´o una compilaci´on de problemas sin resolver (algunos llevaban mucho tiempo dando vuelta sin ´ pensaba que estos problemas marcar´ıan el avance de la matem´atica durante el siglo que resolverse). El empezaba. Hilbert presento en su publicaci´on un total de 23 (se dice que es sus borradores hab´ıa un desaf´ıo n´umero 24). La resoluci´on de muchos de estos 23 problemas ha tenido gran repercusi´on en el uso pr´actico de las matem´aticas y en muchas ciencias, de la misma forma que en muchas de las teor´ıas del 27

CAP´ITULO 3

28

propio Hilbert, como los espacios de Hilbert. Uno de los m´as importantes problemas a´un sin resolver es la Hip´otesis de Riemann que est´a ´ıntimamente ligada a la distribuci´on de los n´umeros primos. En el a˜no 2000, el Instituto Clay de Matem´aticas elabor´o una lista con los 7 problemas matem´aticos, ofreciendo $1.000.000 U.S para quien pueda desarrollar una demostraci´on correcta de cualquiera de ellos y la Hip´otesis de Riemann sigue sin ser resuelta. La resoluci´on de algunos de los problemas de Hilbert siempre ha dado repercusiones positivas en los campos de la ciencia que usan las matem´aticas como fundamento.

3.2.

GD Birkhoff y el desarrollo de las matem´aticas americanas

Las matem´aticas en Estados Unidos a principios del siglo XX ten´ıan poco desarrollo y exist´ıa poca investigaci´on matem´atica autentica. Los matem´aticos m´as eminentes de Europa miraron los resultados de Estados Unidos como algo insignificante. Estados Unidos era famoso entonces (como lo es ahora) por ser pr´actico, emp´ırico y con ganas de desarrollarse en lo que sea. Se enorgullece tambi´en de ser una sociedad sin barreras, en la cual existe una gran movilidad social y pocos obst´aculos para su progreso. M´as adelante en el siglo XX, Estados Unidos fue muy productivo en matem´aticas, pues hubo grandes avances y muchos matem´aticos importantes. Uno de ellos fue Georges David Birkhoff quien fue profesor de Harvard y est´a considerado como uno de los mejores matem´aticos americanos de la primera mitad del siglo XX. Birkhoff realiz´o investigaci´on principalmente en el an´alisis aplicado a la din´amica ma´ formul´o el Teorema Erg´odico, que transform´o la Hip´otesis Erg´odica Maxwell-Boltzmann tem´atica. El de la teor´ıa cin´etica de los gases en un principio riguroso. Estudi´o o´ rbitas peri´odicas y problemas de tres cuerpos dentro de la teor´ıa general de los sistemas din´amicos. En topolog´ıa, Birkhoff demostr´o el u´ ltimo teorema geom´etrico de Poincare y tambi´en hizo un importante trabajo sobre el Teorema de 4 ´ estudi´o la mec´anica de fluidos en relaci´on con el tratamiento Colores que veremos m´as adelante. El matem´atico de la viscosidad. En algunos de estos resultados que demostr´o Birkhoff, tuvo que hacer uso de las nuevas herramientas necesarias que fueron creadas en este siglo.

3.3.

L. E. J. Brouwer y demostraci´on por contradicci´on

L.E.J. Brouwer (1881-1966) fue un matem´atico holand´es muy brillante cuyo inter´es principal estaba en la topolog´ıa. La topolog´ıa era un tema bastante nuevo en aquellos d´ıas. Cari˜nosamente la apodaban “geometr´ıa de goma el´astica”, esta materia se ocupa de las propiedades geom´etricas de superficies y espacios que se conservan bajo deformaciones continuas (es decir, torsi´on, flexi´on y estiramiento). En sus estudios sobre esta nueva materia, Brouwer lleg´o a un nuevo resultado y encontr´o una manera de demostrarlo. Este resultado es conocido como el “Teorema de punto fijo de Brouwer” El Teorema del punto fijo de Brouwer es uno de los teoremas m´as importantes y fascinantes de las matem´aticas del siglo XX. Al demostrar este teorema, Brouwer se establece como uno de los m´as grandes top´ologos de su e´ poca. Pero se neg´o a dar una conferencia sobre el tema y luego rechaz´o su propio trabajo. La raz´on de este extra˜no comportamiento es que L.E.J. Brouwer hab´ıa creado junto

CAP´ITULO 3

29

´ rechaz´o la dial´ectica aristot´elica (que dice que un con otros, el constructivismo o intuicionismo. El enunciado es verdadero o falso y que no hay otra alternativa) y por lo tanto rechaz´o el concepto de “prueba por reducci´on al absurdo”. Brouwer hab´ıa llegado a creer que las u´ nicas demostraciones v´alidas son en las que uno al menos est´a demostrando la existencia de un objeto matem´atico (como un punto fijo). El Teorema del punto fijo de Brouwer afirma la existencia de un “punto fijo” para una aplicaci´on continua. Demostramos que el punto fijo existe asumiendo que no existe y derivando de este modo una contradicci´on. Este es el m´etodo original de Brouwer de la demostraci´on, pero la metodolog´ıa va en contra del intuicionismo que m´as tarde adopt´o. Consideraremos el caso en una dimensi´on en los reales. En t´erminos gr´aficos que x sea un punto fijo significa que el punto (x, f (x)) pertenece a la recta y = x o en otras palabras la gr´afica de f tiene un punto en com´un con esa recta. El ejemplo f (x) = x + 1 es un caso donde la gr´afica de f y la recta y = x son rectas paralelas. Puede verse f´acilmente que para la funci´on f (x) = x todos los puntos del dominio son puntos fijos. Consideremos una funci´on f continua del intervalo [0, 1] al [0, 1], la figura 3.8 representa la gr´afica de tal funci´on.

figura 3.8 Notemos aqu´ı que la palabra “continua” se refiere a una funci´on que no tiene cortes en su gr´afica. A algunas personas les gusta decir que la gr´afica de una funci´on continua “se puede dibujar sin levantar el l´apiz del papel”. Aunque hay m´as definiciones matem´aticas rigurosas de continuidad, esto ser´a suficiente para nuestro objetivo. La pregunta es: ¿Existe un punto p ∈ [0, 1] tal que f (p) = p?. Tal punto p se denomina un punto fijo para la funci´on f. A continuaci´on damos un enunciado formal y la demostraci´on de este resultado: Teorema 3.1. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funci´on continua. Entonces hay un punto p ∈ [0, 1] tal que f (p) = p. Demostraci´on. Podemos tambi´en suponer que f (0) , 0 (de otra forma 0 es el punto fijo y terminamos). Por lo tanto f (0) > 0. Tambi´en es posible suponer que f (1) , 1 (de otro modo 1 es el punto fijo y terminamos). Tal que f (1) < 1.

CAP´ITULO 3

30

figura 3.11 Consideremos la funci´on auxiliar g(x) = f (x) − x. Por lo observado en el p´arrafo anterior, g(0) > 0 y g(1) < 0. Observamos la figura 3.11. Vemos que una funci´on continua con estas propiedades debe tener un punto p en entre 0 y 1 tal que g(p) = 0. Pero esto nos dice que f (p) = p.  Este teorema se puede generalizar a dimensi´on superiores pero estos casos no se abordaran en este trabajo.

3.4.

El axioma de elecci´on y el Teorema de la Categor´ıa de Baire

En esta secci´on hablaremos del axioma de elecci´on y su uso en la demostraci´on del Teorema de la Categor´ıa de Baire, uno de los teoremas m´as importantes en an´alisis funcional. El axioma de elecci´on es una de las herramientas m´as importantes creadas en el siglo XX, fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo para formalizar su demostraci´on del teorema del buen orden. Aunque originalmente fue controversial, actualmente es usado sin restricciones por la mayor´ıa de los matem´aticos. Pero existen (especialmente en la teor´ıa de conjuntos) algunas opiniones que rechazan el axioma o que investigan consecuencias de otros axiomas inconsistentes con e´ l (v´ease [10]). Hay muchos enunciados equivalentes de este axioma. Pero el que ocuparemos en esta secci´on ser´a el siguiente: Definici´on 3.1. Para cada colecci´on indexada de conjuntos no vac´ıos existe al menos una func´ıon (llamada funci´on de elecci´on) que a cada ´ındice asigna un elemento del correspondiente miembro de la colecci´on. El axioma de elecci´on es uno de los axiomas m´as interesantes de matem´aticas, tal vez s´olo es superado por el postulado de las paralelas de Euclides. Los axiomas de la teor´ıa de conjuntos proporcionan una base para las matem´aticas modernas de la misma manera que los cinco postulados de Euclides proporcionan una base para la geometr´ıa euclidiana. Para muchos conjuntos, incluyendo cualquier conjunto finito, los primeros 6 axiomas de la teor´ıa de conjuntos (v´ease [2]) son suficientes para garantizar la existencia de una funci´on de elecci´on, pero existen conjuntos para los cuales el axioma de elecci´on es requerido para demostrar la existencia de una funci´on de elecci´on. La existencia de este tipo de conjuntos fue demostrada por Paul Cohen en

CAP´ITULO 3

31

1963. Esto significa que el axioma de elecci´on no se puede derivar de los otros seis axiomas, en otras palabras “el axioma de elecci´on es independiente de los primeros 6 axiomas”. Existen muchos teoremas que utilizan el axioma de elecci´on en su demostraci´on, uno de ellos es el Teorema de la Categor´ıa de Baire que tiene muchas aplicaciones en el an´alisis funcional. Para demostrar este teorema primero definiremos lo que es un espacio de Baire Definici´on 3.2. Un espacio de Baire es un espacio topol´ogico con la siguiente propiedad: para cada T colecci´on numerable Un de conjuntos densos abiertos, su intersecci´on Un es densa. El Teorema de Categor´ıa de Baire es una herramienta importante y fue demostrada por Rene-Louis Baire en su tesis doctoral en 1899 y se ocupa del estudio de espacios completos, como los espacios de Banach y los espacios de Hilbert, que se utilizan en topolog´ıa y en an´alisis funcional. Este teorema tiene dos formas, cada una de las cuales da condiciones suficientes para que un espacio topol´ogico sea un espacio de Baire: Todo espacio m´etrico completo es un espacio de Baire. Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire. Debemos tener en cuenta que ninguno de estos enunciados implica el otro, ya que hay espacios m´etricos completos que no son localmente compactos (los n´umeros irracionales con la pseudom´etrica) y hay espacios de Hausdorff localmente compactos que no son metrizables (por ejemplo, cualquier producto no numerable de espacios compactos de Hausdorff no triviales). Tomaremos la primera forma del Teorema de la Categor´ıa de Baire y daremos su demostraci´on, resaltando el uso del axioma de elecci´on. Los siguientes resultados fueron extra´ıdos de [8] Teorema 3.2. (Categor´ıa de Baire) Sea X un espacio m´etrico completo. Si {An }∞ on de 1 es una sucesi´ T∞ subconjuntos abiertos densos de X, entonces 1 An es denso en X. De esto se sigue que X no es una uni´on numerable de conjuntos densos en ninguna parte (un conjunto se dice que es denso en ninguna parte si su cerradura tiene un interior vac´ıo).

CAP´ITULO 3

32

T Demostraci´on. Demostraremos que ∞ on no vac´ıa 1 An es denso en X, mostrando que tiene intersecci´ con cada subconjunto abierto no vac´ıo de X. Sea W ⊂ X con W , ∅ y abierto. Como A1 es denso en X, T entonces A1 W , ∅ y abierto, por lo que podemos construir una bola contenida en esta intersecci´on con radio 0 tal que 0 < 0 < 1. Entonces ya que A2 es denso en X, la intersecci´on de la bola de radio 0 con A2 es no vac´ıa y abierta, por lo que contiene una bola cuyo radio 1 < 2−1 y cuya cerradura pertenece a la intersecci´on de la bola de radio 0 y el subconjunto A1 . Procederemos de forma recursiva utilizando la densidad de cada An para que obtengamos una sucesi´on de bolas cerradas anidadas, con la n-sima bola de radio menor que 2−n (la raz´on para tomar las bolas cerradas se har´a evidente m´as adelante). Pero por el axioma de elecci´on podemos seleccionar un punto de cada una de estas bolas, en particular seleccionaremos los centros de dichas bolas, llam´emosles x1 , x2 ...xn . As´ı obtenemos una sucesi´on de Cauchy {xn }, que converge a un l´ımite x, ya que X es completo. Entonces dado cualquier N,

x ∈ BN (xN ) ⊂ AN

\

B0 (x0 ) ⊂ AN

\

W,

lo que muestra que la intersecci´on de los An junto con cualquier conjunto abierto no vac´ıo W ⊂ X, es densa. Para ver que X no es una uni´on numerable de conjuntos densos en ninguna parte, consideremos cualquier sucesi´on {En } de tales conjuntos en X. Entonces {(En )c } es una sucesi´on de conjuntos densos S S T abiertos. Ya que (En )c , ∅, tenemos En ⊂ En , X, con lo cual concluimos la demostraci´on.  Las aplicaciones de este teorema son muchas, el siguiente diagrama muestra algunas de las m´as importantes

A continuaci´on demostraremos un resultado haciendo uso del Teorema de Baire. Teorema 3.3. [0, 1] contiene una cantidad no numerable de elementos. Demostraci´on. Observemos que [0, 1] es un espacio m´etrico (un subespacio de R con la distancia eucl´ıdeana [usual). Es completo ya que R es completo y [0, 1] es cerrado. Tambi´en podemos escribir [0, 1] = {x}. x∈[0,1]

CAP´ITULO 3

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Los conjuntos singulares son cerrados y tienen interior vac´ıo, por lo que deducimos que [0,1] debe ser no numerable, de lo contrario el Teorema de la Categor´ıa de Baire no se cumplir´ıa.  Para finalizar esta secci´on demostraremos una de las aplicaciones m´as importantes del Teorema de Baire. Teorema 3.4. Sea X un espacio de Banach y Y cualquier espacio normado. Adem´as supongamos que (T n ) es una sucesi´on de operadores lineales acotados en L(X, Y), la cual est´a acotada en cada punto de X, es decir

∀x ∈ X, ∃c x ∈ R, ∀n ∈ N, (kT n xk ≤ c x ).

(3.1)

Entonces la sucesi´on (T n ) es acotada, es decir, existe una constante c (independiente de x) tal que

kT n k ≤ c, ∀n ∈ N

Demostraci´on. Para todo k ∈ N, sea Ak ⊂ X el conjunto de todos los x ∈ X tal que

kT n xk ≤ k, ∀n ∈ N.

Dado que todos los operadores T n , as´ı como la norma k · k son aplicaciones continuas, todos los Ak son conjuntos cerrados. Por (3.1),

X=

∞ [

Ak .

k=1

Por el teorema de Baire uno de los conjuntos Ak contiene una bola abierta. Digamos Bx0 (ε) ⊂ Ak . Ahora consideramos un arbitrario x ∈ X. Definimos un punto z = x0 +

ε . 2kxk

Entonces z ∈ Bx0 (ε). Un simple reordenamiento muestra que

CAP´ITULO 3

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x=

2kxk (z − x0 ). ε

Entonces, para cualquier n ∈ N,

2kxk kT n (z − x0 )k ε 2kxk (kT n zk + kT n x0 k) ≤ ε 2kxk ≤ (k + k) ε 4kkxk = ε

kT n xk =

Por lo tanto para cualquier n´umero natural n

kT n k = supkxk=1 kT n xk 4k ≤ . ε

Esto demuestra el teorema con c =

4k . ε



Comentarios finales Como observamos en este cap´ıtulo, el siglo XX ha sido muy importante dentro de las matem´aticas porque solo este siglo ha superado (en cuanto a extensi´on y posiblemente en cuanto a calidad) a la producci´on en toda la historia anterior a e´ l. Por ejemplo, en la d´ecada de los 90 se han publicado una media de m´as de 50,000 trabajos anuales de investigaci´on en las revistas especializadas de matem´aticas en todo el mundo. Otro factor es la diversidad de campos que abarca, ya que a lo largo del siglo XX han surgido y se han desarrollado a´ reas completamente nuevas. Tambi´en la manera en que demostramos los resultados matem´aticos han cambiado, debido a las nuevas herramientas desarrolladas en este siglo.

Cap´ıtulo 4 TERCERA ETAPA: La Demostraci´on apoyada por computadora. Como vimos en el cap´ıtulo anterior las herramientas utilizadas durante la e´ poca euclidiana tuvieron que evolucionar debido a las complejas teor´ıas matem´aticas que aparecieron en el siglo XX, pero estas herramientas no han sido suficientes para demostrar algunos teoremas, lo cual ha llevado a muchos matem´aticos a recurrir a la computadora. Por ello describiremos en este cap´ıtulo uno de los problemas matem´aticos m´as famosos que surgi´o en el siglo XIX, el cual ha tardado m´as de 100 a˜nos en resolverse y ha provocado diversas controversias durante largo tiempo en el cual varias personas (no todas con formaci´on matem´atica) intentaron resolverlo sin mucho e´ xito y que requiri´o el uso de una computadora, el problema al que hacemos referencia es el Teorema de los 4 Colores. Teorema 4.1 (Teorema de los 4 Colores). Bastan cuatro colores para colorear un mapa geogr´afico plano sin que dos pa´ıses con frontera com´un tengan el mismo color (si dos regiones se tocan en un u´ nico punto se entiende que no tienen frontera com´un).

4.1.

Antecedentes del Teorema de los 4 Colores

Los mapas y las regiones que lo conforman deben de ser conexas, as´ı que no se admite una distribuci´on como en la figura 3, donde el pa´ıs E se divide en dos trozos disjuntos.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Este teorema es un problema topol´ogico, ya que lo importante no es la forma de las regio35

CAP´ITULO 4

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nes, sino como est´an colocadas las unas respecto a las otras. Aunque no es dif´ıcil que entendamos lo que nos dice el teorema, vamos a ver a lo largo de este cap´ıtulo que su demostraci´on involucra t´ecnicas matem´aticas complejas las cuales llevaron al uso de una computadora para su soluci´on. Adem´as, se trata de un problema sin ninguna utilidad pr´actica aparentemente, es un reto para la raz´on humana y ah´ı radica su inter´es. En este cap´ıtulo describiremos algunas de las etapas por las que ha pasado la demostraci´on del teorema de una manera cronol´ogica.

4.2.

Los or´ıgenes de la conjetura

El primero en proponer el Teorema de los 4 Colores fue Frederick Guthrie (1839-1899), cuando su hermano Francis en 1852 observ´o que cuatro colores bastaban para colorear el mapa complicado de los condados de Inglaterra (figura 4). Adem´as Francis observ´o que 3 colores no son suficientes, mostrando el llamado diagrama cr´ıtico que aparece en la figura 5 y que obviamente necesita de 4 colores para no contradecir las condiciones del teorema.

Figura 4

Figura 5 Frederick Guthrie observa que el problema no se puede generalizar a dimensi´on 3. En efecto, seg´un un ejemplo posterior de Heinrich Tietze, en dimensi´on 3 se puede construir un ejemplo de mapa tridimensional que precise tantos colores como se desee. La propuesta de Tietze consist´ıa en tomar barras numeradas de 1 hasta n ordenadas de manera horizontal y sobre ellas se colocan n barras numeradas de 1 hasta n en sentido vertical. De este modo, tenemos un mapa tridimensional con n pa´ıses que necesita exactamente n colores para no contradecir las reglas de la conjetura. En la figura 6 se representamos el caso de n = 5.

CAP´ITULO 4

37

Figura 6 Frederick le plantea el problema a su profesor Augustus De Morgan, que se lo remiti´o en una carta a su colega William Rowan Hamilton el cual no mostro inter´es en este problema. Tras la muerte de De Morgan el problema perdi´o inter´es. Fue hasta 1878 cuando Arthur Cayley (1821-1895) se interesa por el problema y observa que el Teorema de los 4 Colores se puede demostrar limit´andose a mapas c´ubicos, es decir, aquellos en los que hay exactamente 3 regiones en cada punto de encuentro. Si consideramos un mapa en el que hay m´as de 3 regiones en alguno de los puntos de encuentro; sobre este punto podemos pegar un peque˜no parche que produce un mapa c´ubico. Si podemos colorear este mapa con cuatro colores, podemos obtener un 4-coloreado del mapa original simplemente aplastando el parche en un punto (figura 7).

Figura 7 Alfred Bray Kempe (1849-1922) alumno de Cayley obtiene su soluci´on del Teorema de los 4 Colores en junio de 1879. Kempe usa la f´ormula de Euler para mapas c´ubicos para obtener la llamada counting formula, que permite probar que: todo mapa tiene al menos una regi´on con, a lo m´as, cinco regiones vecinas, es decir, cada mapa contiene al menos un d´ıgono, un tri´angulo, un cuadrado o un pent´agono (ver figura 8).

Figura 8 La demostraci´on la hace por inducci´on sobre el n´umero de regiones. Para esta demostraci´on Kempe introduce un nuevo t´ermino que es fundamental para su demostraci´on y que a˜nos m´as tarde es utilizado para la demostraci´on definitiva.

CAP´ITULO 4

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Cadena de Kempe Si Z e Y son dos regiones, por ejemplo, Y de color rojo y Z de color verde en un mapa 4-coloreado, le llamaremos cadena de Kempe rojo-verde de Y a Z a un camino que va de Y a Z, alternando los colores rojo y verde (figura 9).

Figura 9

Figura 10 Al concluir con su demostraci´on, e´ sta es aceptada r´apidamente y pronto empieza a formar parte del ambiente matem´atico. Todos pensaban que deb´ıa de haber una prueba m´as corta. As´ı que en 1887, el director del Clifton College organiz´o un concurso para encontrar una demostraci´on del Teorema de los 4 Colores que utilizara menos de 30 l´ıneas y una p´agina de diagramas. Dicho concurso no tuvo e´ xito. Percy John Heawood (1861-1955) en 1890 publica Map Colour Theorem donde muestra un caso para el cual la demostraci´on de Kempe no funciona, ilustrado en la figura 10. Kempe admite su error en las p´aginas de Proceedings of the London Mathematical Society. A pesar del error encontrado, Heawood usa el argumento de las cadenas de Kempe para demostrar el Teorema de los 5 Colores.

4.3.

La llegada de la soluci´on un siglo despu´es mediante el apoyo de una computadora

Hasta este momento, la demostraci´on la hemos planteado en t´erminos de mapas, pero existe una manera dual de abordarla: sustituyendo los mapas por grafos. Los grafos son estructuras discretas que forman un conjunto de objetos llamados v´ertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que nos permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.

CAP´ITULO 4

39

Los grafos asociados a un mapa se construyen asignando un v´ertice a la capital de cada regi´on y uniendo dos v´ertices con una arista en caso de que en el mapa las dos regiones correspondientes a dichos v´ertices tengan frontera com´un (figuras 11 y 12).

Figura 12 Figura 11 As´ı el problema queda planteado de la siguiente manera: ¿Es cierto que los v´ertices de todo grafo plano pueden colorearse con, a lo m´as, cuatro colores de forma que dos v´ertices unidos por una arista tengan colores distintos? Los grafos duales de mapas son siempre planares, es decir, podemos dibujarlos en el plano sin que ninguna de sus aristas se corten. Por corte de aristas se entiende la intersecci´on de las l´ıneas que representan a las aristas en un plano distinto a sus extremos. A este dibujo le llamaremos representaci´on plana del grafo. Por ejemplo, el grafo llamado K4 que aparece en la figura 13 es planar, como lo demostramos mediante las transformaciones indicadas:

Figura 13 Existe una aproximaci´on alternativa al Teorema de los 4 Colores: suponemos que la conjetura es falsa, es decir, se conocen mapas (grafos) que no pueden 4-colorearse. Entre estos mapas (grafos) que necesitan 5 colores o m´as, debe de haber alguno con el menor n´umero posible de regiones, llamado minimal criminal. As´ı un minimal criminal no puede 4-colorearse, pero un mapa (grafo) con menos regiones (v´ertices), s´ı. Entonces, para probar el Teorema de los 4 Colores debemos demostrar que no existen minimales criminales y eso se consigue encontrando condiciones restrictivas sobre este tipo de mapas (grafos). De hecho, en este nuevo lenguaje, lo que Kempe demuestra con su prueba es que un minimal criminal no puede contener d´ıgonos, tri´angulos o cuadrados (en esta prueba es en la que usa su

CAP´ITULO 4

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m´etodo de cadenas) y se equivoca al intentar probar que tampoco puede contener pent´agonos. Precisamente, si hubiese conseguido esto u´ ltimo, habr´ıa quedado establecida la conjetura: no podr´ıan existir minimales criminales ya que, como hemos comentado, cualquier mapa debe contener obligatoriamente un d´ıgono, un tri´angulo, un cuadrado o un pent´agono. La demostraci´on correcta del Teorema de los 4 Colores utiliza la de Kempe, pero para la inducci´on, en vez de eliminar un u´ nico v´ertice, se recorta un determinado trozo del grafo (una configuraci´on). Los siguientes conceptos son los fundamentales en la prueba: Una configuraci´on en un grafo es un ciclo con v´ertices internos triangulados (es decir, un grafo planar en el que cada cara tiene exactamente tres aristas). Un conjunto inevitable K es un conjunto finito de configuraciones tal que todo grafo contiene una copia conforme de una k de K: de hecho, Kempe demuestra que para mapas c´ubicos K={d´ıgonos, tri´angulos, cuadrados, pent´agonos} es un conjunto inevitable (y se equivoca). k es una configuraci´on reducible, si podemos deducir el coloreado de cualquier grafo que contenga a k, a partir de un grafo menor. El plan de la prueba consiste entonces en encontrar un conjunto inevitable K y si K estuviese formado s´olo de configuraciones reducibles, la demostraci´on del Teorema de los 4 Colores estar´ıa terminada ya que no podr´ıa existir un minimal criminal. El concepto de reducibilidad fue introducido formalmente en 1913 por George David Birkhoff (1884-1944) en su trabajo The reducibility of maps, donde avanza en el estudio de los conjuntos reducibles. Con esto, varios matem´aticos comienzan a demostrar el teorema para mapas con un n´umero peque˜no de regiones. En 1969, Heinrich Heesch sistematiza la prueba de la reducibilidad, desarrollando un algoritmo que intenta implementar con una computadora. Realiza diversos tests con el programa Algol 60 en un CDC1604A. Afirma que la conjetura puede resolverse considerando 8900 configuraciones. Adem´as, inventa un algoritmo de descarga para la construcci´on de conjuntos inevitables. Una vez que se tiene la lista de configuraciones inevitables, si demostramos que cualquiera de ellas es reducible, obtenemos finalmente una prueba inductiva (figura 14).

Figura 14

CAP´ITULO 4

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En 1970 Ore y Stemple, especialistas en teor´ıa de grafos, demuestran que cualquier mapa con 39 regiones es 4-coloreable. El progreso es lento, hasta que en 1976 Ken Appel y Wolfgang Haken dan una prueba cuyos principales ingredientes son los conceptos de reducibilidad y descarga. La primera prueba de Appel, Haken y Koch usa un algoritmo de descarga muy sofisticado, que produce una lista de 1,936 configuraciones inevitables, cada una de las cuales se demuestra reducible con la ayuda de una computadora. Modificando consecutivamente el algoritmo de descarga, encuentran uno que produce un conjunto de 1,482 configuraciones inevitables, comprobando que son reducibles: llev´o 1,200 horas de c´alculo en una computadora IBM 360. La demostraci´on fue terminada por Appel y Haken en 1976. Para mostrar la enorme cantidad de datos, seg´un Macho (v´ease [5]), la prueba de reducibilidad de la configuraci´on de la figura 15 necesita unos 199,000 coloreados.

Figura 15 En 1989, Appel y Haken reconocen el papel fundamental jugado por Kempe en toda esta historia: Kempes argument was extremely clever, and although his proof turned out not to be complete, it contained most of the basic ideas that eventually led to the correct proof one century later. Muchos matem´aticos aceptan e´ sta como una prueba irrefutable, pero muchos otros argumentan que no se trata de una demostraci´on matem´atica: la computadora hab´ıa verificado que una enorme cantidad de mapas pod´ıan colorearse usando a lo m´as 4 colores, pero ¿y si exist´ıa un mapa, que la computadora no hubiera contemplado, que no pod´ıa colorearse de esa forma?, ¿cu´ales son las principales objeciones hacia la demostraci´on de Appel y Haken?, principalmente las siguientes: 1. Parte de la prueba no puede verificarse a mano. 2. La parte realizada a mano es muy complicada y no hab´ıa sido verificada de forma independiente. En 1996, N. Robertson, D.P. Sanders, P. Seymour y R. Thomas (Georgia Institute of Technology) publican “A new proof of the four-colour theorem”, ¿qu´e aporta esta nueva demostraci´on?, fundamentalmente lo siguiente: 1. Elimina complicaciones, confirmando que la inevitabilidad de un conjunto reducible puede probarse sin explorar tantos ejemplos como en la prueba de Appel y Haken. 2. El conjunto inevitable de su demostraci´on es de tama˜no 633. 3. Dan un conjunto de tan s´olo 32 reglas de descarga.

CAP´ITULO 4

42

4. La comprobaci´on a mano de la inevitabilidad se reemplaza por una prueba formal que puede verificarse con una computadora. 5. La comprobaci´on dura u´ nicamente 3 horas en cualquier computadora dom´estica. En 2004, B. Werner (INRIA) y G. Gonthier (Microsoft Research, Cambridge) verifican la prueba anteriormente citada de Robertson, formulando el problema en t´erminos del programa Coq 7.3.1 (que utiliza ecuaciones de tipo l´ogico). Este programa elimina la necesidad de fiarse de los variados programas de computadora usados para verificar los casos particulares: basta con dar cr´edito al asistente Coq. Con este sistema, confirman la validez de cada una de las etapas de la prueba. Comentarios finales Dos de las aportaciones fundamentales de la demostraci´on del teorema de cuatro colores son: 1. Ha servido de est´ımulo en el desarrollo de teor´ıas matem´aticas como la teor´ıa de grafos y de redes. 2. Es el primer gran teorema demostrado con apoyo de una computadora. Este u´ ltimo punto levanta muchas controversias en el momento de la aparici´on de la demostraci´on, las objeciones se moderaron al aparecer otras pruebas realizadas con ayuda de la computadora, como la clasificaci´on de los grupos simples finitos (que depende de c´alculos imposibles de ejecutar con detalle a mano) o la soluci´on de Hales del problema de Kepler sobre el empaquetamiento o´ ptimo de esferas.

´ CONCLUSION En este trabajo mostramos la manera en que Euclides organiz´o las matem´aticas (definiciones, axiomas y teoremas) utilizando el m´etodo deductivo para demostrar resultados matem´aticos geom´etricos en su e´ poca, el cual ha perdurado hasta nuestros d´ıas y lo usamos cuando hacemos matem´aticas. Tambi´en estudiamos a algunos de los matem´aticos del siglo XIX y XX que ayudaron a la creaci´on de herramientas m´as sofisticadas, las cuales originaron cambios significativos en la manera de demostrar resultados matem´aticos, para mostrar esto dimos algunos ejemplos del uso y alcances de e´ stas. En particular demostramos un corolario del Teorema de Miquel y el Teorema de Baire con las herramientas disponibles en la e´ poca de Euclides y el siglo XX respectivamente. Tambi´en estudiamos el Teorema de los 4 Colores y conforme fuimos analizando los intentos fallidos por demostrarlo pudimos notar que hay resultados cuya demostraci´on es compleja y que algunas veces no son suficientes las herramientas que tenemos disponibles. La mejor aproximaci´on de una demostraci´on a este resultado utiliza medios computacionales, sin embargo muchos autores dudan de la validez de esta demostraci´on. Hoy en d´ıa muchos matem´aticos est´an m´as familiarizados con una demostraci´on que consiste en una secuencia de pasos l´ogicos escritos en un pedazo de papel, y por esto no admiten demostraciones como la del Teorema de los 4 Colores. Todav´ıa tenemos la esperanza de que alg´un d´ıa haya una demostraci´on de e´ ste teorema sin la necesidad de apoyarse en la computadora. Despu´es de todo, una prueba tradicional como la que hoy en d´ıa hacemos, ofrece el entendimiento, la comprensi´on y el sentido de realizaci´on que todos los matem´aticos buscamos. Hoy en d´ıa la sociedad tiene nuevas necesidades, muchas de las ciencias en particular las matem´aticas requieren cierta informaci´on y ciertas t´ecnicas. La necesidad de un dispositivo viable a menudo supera por mucho la necesidad de tener la certeza de que la t´ecnica puede hacer frente a las rigurosas reglas de la l´ogica. El resultado de esto, puede tener como consecuencia que volvamos a evaluar los fundamentos de nuestra forma de demostrar resultados matem´aticos. Por esta raz´on la forma en que practicaremos matem´aticas en el a˜no 2050 posiblemente sea muy diferente a la forma en la que las practicamos hoy en d´ıa. En conclusi´on, aunque la manera en la que demostramos resultados matem´aticos siga evolucionado, al igual que los s´ımbolos y el lenguaje que utilizamos, el objetivo de todo matem´atico debe ser siempre el mismo: comprobar que un resultado matem´atico es verdadero.

43

CAP´ITULO

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Ap´endice A M´etodos de Demostraci´on en Matem´aticas En matem´aticas no se acepta una proposici´on como verdadera hasta que se construye su demostraci´on formal, aunque la proposici´on sea v´alida para un n´umero finito de casos no significa que sea v´alida para todo el universo, por ejemplo la conjetura de Goldbach (todo n´umero par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos n´umeros primos) se ha verificado utilizando computadoras para millones de casos pero a pesar de ello no se acepta como verdadera. Para hacer una demostraci´on, debemos de ser muy cuidadosos en los pasos que realizamos, por ejemplo veamos el siguiente razonamiento: Si x = y entonces: 3x = 3y 2y = 2x, luego: 3x + 2y = 3y + 2x 3x − 3y = 2x − 2y 3(x − y) = 2(x − y) 3 = 2.

A este razonamiento se le llama falacia. Una falacia es un razonamiento aparentemente correcto pero que en su desarrollo contiene errores los cuales nos llevan a una conclusi´on totalmente falsa. Con el razonamiento anterior podemos darnos cuenta que una demostraci´on por lo regular no es f´acil y debemos ser cuidadosos en cada uno de los pasos de esta. Aqu´ı consideraremos algunos de los m´etodos de demostraci´on m´as usados, que son los siguientes: 1. M´etodo directo de demostraci´on 45

´ APENDICE

46

2. M´etodos indirectos de demostraci´on por contrapositiva por reducci´on al absurdo 3. M´etodo de Inducci´on matem´atica 4. M´etodo por contraejemplo

A.1.

M´etodo de Demostraci´on Directa

En una demostraci´on directa de la declaraci´on P implica Q (P ⇒ Q) empleamos la naturaleza transitiva de la implicaci´on. Es decir que si P ⇒ R y R ⇒ Q entonces se sigue que P ⇒ Q. Para comenzar la demostraci´on suponemos que P es una declaraci´on verdadera. De esto deducimos una declaraci´on P1 por medio de un enunciado l´ogico. De igual manera de P1 deducimos directamente una declaraci´on P2 y as´ı sucesivamente hasta que obtenemos las proposiciones verdaderas P1 , P2 , ..., Pn y de la declaraci´on Pn se sigue Q. As´ı que

P ⇒ P1 ⇒ P2 ⇒ · · · ⇒ Pn ⇒ Q.

Por lo que Q tambi´en es un declaraci´on verdadera. El esquema de demostraci´on en el m´etodo directo es de la forma: P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn ⇒ Q.

El m´etodo de demostraci´on directo tiene como fundamento l´ogico la regla de inferencia cl´asica llamada Modus Ponens:

[P ∧ (P ⇒ Q)] ⇒ Q,

que significa: si la hip´otesis P es verdadera y la hip´otesis P implica la conclusi´on Q entonces la conclusi´on Q es verdadera. El siguiente ejemplo fue extra´ıdo de [9]. Ejemplo A.1. Demostrar que si n es un entero impar entonces n2 tambi´en es un entero impar.

´ APENDICE Demostraci´on. Sea n par (P) Ya que n es par entonces n = 2k + 1, para alg´un entero k n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1. (P ⇒ Q) Por lo tanto tenemos que n2 es impar. (Q)

A.2.

M´etodos de Demostraci´on Indirectos

A.2.1.

M´etodo de demostraci´on por contrapositiva

47

(P1 )



Tiene como fundamento la equivalencia l´ogica entre las proposiciones P ⇒ Q y ¬Q ⇒ ¬P. Para realizar una demostraci´on por contrapositiva tomamos como hip´otesis la negaci´on de la conclusi´on escrita como ¬Q y obetenemos como conclusi´on la negaci´on de la hip´otesis escrita como ¬P, podemos generalizar esto para el caso que se tengan varias premisas. El siguiente ejemplo fue extra´ıdo de [9]. Ejemplo A.2. Si 3x − 1 es par, entonces x es impar. Demostraci´on. Primero negamos la hip´otesis Q: “x es impar” y obtenemos ¬Q : “x no es impar” (o x es par). De aqu´ı partiremos para obtener ¬P. Sea x par. (¬Q) Ya que x es par, existe un n´umero entero a tal que x = 2a. (Q1 ) Ahora, 3x − 1 = 3(2a) − 1 = 6a − 1 − 1 + 1 = 6a − 2 + 1 = 2(3a − 1) + 1 = 2k + 1(k = 3a − 1). (¬Q ⇒ ¬P) En consecuencia, 3x − 1 es impar. (¬P) Ya que ¬Q ⇒ ¬P es equivalente a P ⇒ Q demostramos el teorema.

A.2.2.



M´etodo de demostraci´on por reducci´on al absurdo

El m´etodo de reducci´on al absurdo se atribuye al fil´osofo griego Zen´on de Elea, alrededor del siglo V a.C., el cual utilizaba en sus argumentos y en sus famosas paradojas, desde entonces es un m´etodo ampliamente aplicado en matem´aticas. El procedimiento general para demostrar indirectamente por reducci´on al absurdo una proposici´on de la forma (P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn ) ⇒ Q consiste en: 1. Comenzaremos suponiendo que la hip´otesis P es verdadera y la conclusi´on Q es falsa. A partir de estas dos declaraciones, deducimos una sucesi´on de conclusiones l´ogicas (P1 ∧P2 ∧...∧Pn ) hasta llegar a una contradicci´on (recordemos que una contradicci´on es una afirmaci´on que siempre es falsa).

´ APENDICE

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2. Llegando de P y ¬Q a una contradicci´on, demostramos la implicaci´on P ⇒ Q mostrando que P ∧ ¬Q siempre es falsa, y ya que P ∧ ¬Q es l´ogicamente equivalente ¬(P ⇒ Q), deducimos que la negaci´on del teorema tambi´en es falso. Ahora bien, si la negaci´on del teorema es siempre falsa, entonces el teorema es siempre verdadero. Por lo tanto, el m´etodo de la prueba por contradicci´on demuestra P ⇒ Q, demostrando que ¬(P ⇒ Q) nunca puede ser verdad. Arist´oteles fundamento l´ogicamente la demostraci´on por reducci´on al absurdo en dos principios: principio de no contradicci´on ¬(P ∧ ¬P) considerada ley suprema de la l´ogica seg´un Kant y Arist´oteles, que significa que una proposici´on no es verdadera y falsa simult´aneamente y el principio del tercero excluido (P ∧ ¬P) que significa que una proposici´on es verdadera o falsa. Si no son aceptados los principios anteriores, el m´etodo de reducci´on al absurdo carece de fundamento l´ogico. El siguiente ejemplo fue extra´ıdo de [9]. Ejemplo A.3. Hay una cantidad infinita de n´umeros enteros primos. Demostraci´on. Para la demostraci´on, supongamos lo contrario. As´ı que s´olo hay un n´umero finito de n´umeros primos. Llam´emosles p1 , p2 , ..., pN . Consideremos ahora el n´umero P = (p1 p2 · · · pN ) + 1. ¿Qu´e tipo de n´umero es P?. Notemos que si dividimos P por p1 entonces obtenemos un resto de 1 (ya que p1 va uniformemente en p1 p2 · · · pN ). Adem´as, si dividimos p2 en P entonces obtenemos un resto de 1. Y es lo mismo si dividimos cualquiera de p3 a PN en P. Ahora, si P fuera un n´umero compuesto, entonces tendr´ıa que ser divisible por alg´un primo. Pero hemos demostrado que no lo es: Hemos dividido cada n´umero primo conocido en P y obtuvimos un residuo distinto de cero en cada caso. La u´ nica conclusi´on posible es que P es otro primo, obviamente, mayor que cualquiera de los n´umeros primos en la lista original. Eso es una contradicci´on. As´ı que no puede haber un n´umero finito de primos. Por lo tanto debe de haber un n´umero infinito. 

A.3.

M´etodo de Demostraci´on por el principio de Inducci´on Matem´atica Seg´un el libro de Joseph A. Gallian (v´ease [3]) existen dos tipos de inducci´on:

A.3.1.

Primer principio de inducci´on matem´atica

Sea S un conjunto de enteros que contiene a a. Supongamos que S tiene la propiedad de que cada vez que alg´un entero n ≥ a pertenece a S, entonces el n´umero entero n + 1 tambi´en pertenece a S. Entonces, S contiene cada n´umero entero mayor o igual a a. Por lo tanto, utilizar la inducci´on para demostrar que una declaraci´on que implica enteros positivos es cierta para todo entero positivo, lo primero que comprobamos es que la afirmaci´on es cierta para el entero 1. Entonces asumimos la afirmaci´on es cierta para el entero n y usamos esta suposici´on para probar que la afirmaci´on es cierta para el entero n + 1. El siguiente ejemplo fue extra´ıdo de [3].

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Ejemplo A.4 (F´ormula de De Moivre). Probar que

cosθ + isenθ)n = cos(nθ) + isen(nθ).

Demostraci´on. Usamos inducci´on para probar que para todo entero positivo n y todo n´umero real θ, (cosθ + isenθ)n = cos(nθ) + isen(nθ), √ donde i es el n´umero complejo −1. Obviamente, la afirmaci´on es cierta para n = 1. Ahora supongamos que es cierto para n. Tenemos que demostrar que (cosθ + isenθ)n+1 = cos((n + 1)θ) + isen((n + 1)θ). Observemos que

(cosθ + isenθ)n+1 = (cosθ + isenθ)n (cosθ + isenθ) = (cos(nθ) + isen(nθ))(cosθ + isenθ) = cos(nθ)cosθ + isen(nθ)cosθ + senθcos(nθ) − sen(nθ)senθ.

Ahora, usando identidades trigonom´etricas para cos(α+β) y sen(α+β), vemos que este u´ ltimo t´ermino es cos(n + 1)θ + isen(n + 1)θ. As´ı que, por inducci´on, la afirmaci´on es cierta para todos los enteros positivos.  En muchos casos, la suposici´on de que una declaraci´on es cierta para un n´umero entero n no se presta f´acilmente a una prueba de que la afirmaci´on es cierta para el n´umero entero n + 1. En tales casos, la siguiente forma equivalente de inducci´on puede ser m´as conveniente. Algunos autores llaman a esta formulaci´on “la forma fuerte de inducci´on”.

A.3.2.

Segundo principio de inducci´on matem´atica

Sea S un conjunto de enteros que contiene a a. Supongamos que S tiene la propiedad de que n pertenece a S siempre que cada n´umero entero menor que n y mayor o igual a a pertenezca a S. Entonces, S contiene cada n´umero entero mayor o igual que a. Para utilizar esta forma de inducci´on, lo primero que demostramos es que la afirmaci´on es cierta para el entero a. Entonces suponemos que la afirmaci´on es cierta para todos los enteros que son mayores o iguales a a y menores que n, y usamos esta suposici´on para probar que la afirmaci´on es cierta para n. El siguiente ejemplo fue extra´ıdo de [3].

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Ejemplo A.5. Utilizaremos el segundo principio de inducci´on matem´atica con a = 2 para probar la parte de existencia del teorema fundamental de la Aritm´etica. Demostraci´on. Sea S el conjunto de los enteros mayores que 1 que son primos o producto de n´umeros primos. Claramente, 2 ∈ S . Ahora suponemos que para alg´un entero n, S contiene todos los enteros k con 2 ≤ k < n. Debemos demostrar que n ∈ S . Si n es un n´umero primo, entonces n ∈ S por definici´on. Si n no es un n´umero primo, entonces n puede escribirse en la forma ab, donde 1 < a < n y 1 < b < n. Dado que estamos suponiendo que tanto a como b pertenecen a S, sabemos que cada uno de ellos es un primo o un producto de primos. Por lo tanto, n es tambi´en un producto de primos. Esto completa la demostraci´on. 

A.4.

M´etodo por Contraejemplo

Este m´etodo se aplica de manera muy particular para demostrar la falsedad de proposiciones cuya hip´otesis est´a construida mediante un “cuantificador universal”. Esto es, se aplica para demostrar la falsedad de una proposici´on que tenga una conclusi´on referida para “todos los elementos de un cierto conjunto”. El siguiente ejemplo fue extra´ıdo de [9]. Ejemplo A.6. Toda funci´on continua es diferenciable Demostraci´on. La funci´on f (x) = |x| es continua en x = 0, pero no es diferenciable en dicho punto. Es continua en x = 0 porque: l´ım |x| = |0| = 0 = f (0). x→0

No es diferenciable en x = 0 porque no existe la derivada f 0 (0) |h| |0 + h| − |0| = l´ım . x→0 h x→0 h

f 0 (0) = l´ım

Planteamos los l´ımites laterales

l´ım+

x→0

l´ım

x→0+

|h| h = l´ım+ = 1, x→0 h h

|h| h = l´ım+ = −1. x→0 h h

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Los l´ımites laterales son distintos. Entonces el l´ımite planteado no existe ⇒ f 0 (0) no existe ⇒ f no es diferenciable en x = 0. 

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