TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

12.1.1 – 12.1.4

Los alumnos comenzaron a estudiar funciones trigonométricas en el Capítulo 7, cuando aprendieron sobre radianes y la transformación de funciones trigonométricas. Aquí aprenderán a resolver ecuaciones con funciones trigonométricas operando sobre la variable. Este trabajo incluirá la revisión de las funciones trigonométricas inversas e introducirá las funciones trigonométricas reciprocas. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemática de la Lección 12.1.4.

Ejemplo 1 ¿Para qué valores son verdaderas las siguientes ecuaciones? a.

cos θ =

3 2

b.

2 sen θ =

2

c.

cos θ = 5

Si bien el primer impulso al resolver la ecuación del punto (a) puede ser usar la función inversa, eso no responderá completamente la pregunta. cos θ =

3 2

cos−1 ( cos θ ) = cos−1

( ) 3 2

θ = π6 radianes Tal vez recuerdes que el gráfico de f (x) = cos x es una función periódica, y el gráfico de y = 23 es una recta horizontal. Al graficar ambas ecuaciones en el mismo grupo de ejes, observamos que se intersecan una cantidad infinita de veces. Resolver usando la función trigonométrica inversa nos da una solución. ¿Cómo hallamos todas las soluciones?

y y=

1

x π

2π

3π

–1

Recuerda el círculo de unidad. ¿Para qué valores de θ es cos θ = 23 ? Hay dos puntos fáciles de hallar: π6 y − π6 . ¿Cómo hallamos el resto? En el círculo de unidad, podemos ver π6 y − π6 en cada rotación de 2π. Por lo tanto, no solo π6 hace verdadera la ecuación, también lo hacen π6 ± 2π, π6 ± 4π, π6 ± 6π , etc. De igual forma, – π6 ± 2π, – π6 ± 4π, – π6 ± 6π, … también harán verdadera la ecuación. Podemos sintetizar esta información como θ = ± π6 ± 2πn, para todos los enteros n. Nota: existen otras formas de escribir la solución equivalente a esta expresión. © 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

1

Core Connections en español, Álgebra 2

Capítulo 12

Si usamos el mismo método en el punto (b), obtenemos:

2 sen θ = 2 sen θ =

En un círculo de unidad, el seno siempre es positivo en el segundo cuadrante, así que la otra solución es θ = 34π ± 2πn.

2 2

θ = sen −1

Algunos alumnos pueden ver rápidamente la solución al punto (c). Ya que el rango de f (x) = cos x es –1 ≤ y ≤ 1, esta ecuación no tiene solución.

( ) 2 2

θ = π4 ± 2π n

Ejemplo 2 Grafica f (x) = cos–1 x y g(x) = tan–1 x en distintos ejes. ¿Cómo puedes restringir el dominio para que los gráficos sean funciones? Ya que los gráficos de y = cos x e y = tan x son periódicos, si usamos nuestro método de papel de calcar para graficar las inversas, estas también serán periódicas. El problema es que no serán funciones, porque no pasarán la prueba de la recta vertical. y

y y = tan x

y = cos x

x

x

–1

y

y = tan x

y –1

y = cos x

x x

Al restringir el dominio de la función y original, creamos una inversa que –1 y = cos x también tiene un domino restringido y por lo tanto es también una función. Hay una cantidad infinita de restricciones posibles; sin embargo, la convención es restringir el dominio de x y = cos x a 0 ≤ x ≤ π, y el dominio de y = tan x a − π2 < x < π2 . Estos ajustes –1 Gráfico de y = cos x con el producen las restricciones necesarias en las inversas para que también sean dominio restringido a –1 ≤ x ≤ 1. funciones. Guía para padres con práctica adicional

y

–1

y = tan x

x

–1

Gráfico de y = tan x con el dominio restringido a – < y < .

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Ejemplo 3 Si f (x) = sen x, g(x) = cos x, y h(x) = tan x, grafica las siguientes ecuaciones en distintos ejes: y=

y=

1 f (x)

y=

1 g(x)

1 h(x)

Compara tus gráficos con los de las siguientes ecuaciones: y = sen–1 x

y = cos–1 x

y = tan–1 x

Las tres primeras funciones son las funciones recíprocas del seno, el coseno y la tangente. Sin 1 embargo, en lugar de ser escritas como recíprocas f (x) , reciben nuevos nombres:

( )

1 sen x 1 cos x 1 tan x

= cosecante x = secante x = cotangente x

La abreviación de la cosecante es csc, la de la secante es sec, y la de la cotangente es cot. Sus gráficos son: y

y

y y = csc x x

y = cot x x

x

y = sec x

Ya que estas son funciones recíprocas, en todos los puntos en los que la primera función es igual a cero, la función recíproca correspondiente será indefinida. Verifica que esto sea cierto. Al comparar estas funciones con las funciones trigonométricas inversas, es importante observar que sen1 x ≠ sen–1 x (y lo mismo sucede con las demás funciones correspondientes). Esto se ve muy claramente al examinar los gráficos. La presencia del exponente “–1” nos dice que la función es la inversa, no la recíproca.

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Capítulo 12

Problemas Halla todas las soluciones a los problemas dados a continuación. Puedes usar tu calculadora, pero recuerda que solo te dará una respuesta. 1.

2 cos x =

4.

4 sen2 x = 3

2

2.

5 tan x – 5 = 0

3.

4 cos2 x – 1 = 0

5.

sen x + 2 = 3 sen x

6.

tan2 x + tan x = 0

Grafica las ecuaciones a continuación en ejes separados. Etiqueta todos los puntos importantes. 7.

y = 3 csc x

8.

y = 4 + sec x

9.

y = cot(x – π)

Respuestas 1.

x = ± π4 ± 2π n para todos los enteros n

2.

x = π4 ± π n para todos los enteros n

3.

x = ± π3 n para todos los enteros n

4.

x = π3 ± π n o x =

5.

x=

6.

x = ±π n para todos los enteros n, x =

7.

π 2

2π 3

± π n para todos los enteros n

± 2π n para todos los enteros n

8.

y

x

9.

3π 4

± π n para todos los enteros n y

x

y

x

Guía para padres con práctica adicional

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

12.2.1 – 12.2.3

Al graficar distintas expresiones trigonométricas, los alumnos descubren que algunas expresiones son equivalentes a otras. Estas expresiones equivalentes son conocidas como identidades trigonométricas. Estas identidades permiten a los alumnos reescribir y resolver muchas más ecuaciones trigonométricas. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemática de la Lección 12.2.3.

Ejemplo 1 Grafica la función f (x) =

1 cos2 x

− tan 2 x . ¿Qué conclusiones puedes extraer sobre esta

expresión en función del gráfico? (Es decir, ¿qué identidad trigonométrica puedes escribir?) ¿Qué substitución puedes realizar en la identidad para eliminar la fracción? Antes de que todo el mundo tuviera una calculadora, los alumnos usaban tablas para buscar los valores trigonométricos de varias medidas de ángulos. Ya que las tablas eran difíciles de usar, los alumnos memorizaban cientos de identidades trigonométricas para poder reescribir rápidamente sus expresiones trigonométricas. Si un alumno sabía que sen 2θ = 2 sen θ cos θ, por ejemplo, la tabla de valores trigonométricos no tenía que extenderse hasta ángulos de 120°. Un alumno podía reescribir sen 120º como 2 sen 60º cos 60º, y usar los valores para 60°. Esto también permitía a los alumnos reescribir expresiones trigonométricas en ecuaciones, haciendo que las ecuaciones fueran más simples y fáciles de resolver. Al graficar la función dada arriba, podemos ver fácilmente que la función es una constante, es decir, una recta horizontal. Este gráfico es equivalente al gráfico de y = 1. Ya que sus gráficos son equivalentes para todos los valores de x, las expresiones también son equivalentes. Por lo tanto, podemos escribir: 1 − tan 2 x = 1 2

y 2 1

x

cos x

Esta es ahora una identidad trigonométrica. ¿Cómo podemos reescribir esto para que no incluya una fracción? Ya que cos1 x = sec x , podemos escribir: sec 2 x − tan 2 x = 1 . Esta identidad trigonométrica es escrita más comúnmente como: 1+ tan 2 x = sec 2 x .

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Capítulo 12

Ejemplo 2 Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: sen x 1−cos x 1−cos x + sen x = 2 csc x

Otra práctica común antes de la invención de las calculadoras era la demostración de identidades trigonométricas. Estas demostraciones suelen usar pasos algebraicos e identidades demostradas previamente para probar que un lado de la ecuación es igual al otro. Para la identidad de arriba, comenzaremos con el lado izquierdo de la ecuación, obteniendo denominadores comunes para poder sumar la fracción y ver a dónde nos lleva. Frecuentemente, en estas demostraciones, debes probar varias cosas para ver a dónde te llevan. También es importante tener en cuenta el lado derecho de la ecuación, que es nuestro objetivo. Recuerda que 2 csc x = sen2 x . ?

x + 1−cos sen x = 2 csc x

sen x 1−cos x

sen x 1−cos x

x + 1−cos sen x =

sen x sen x

⋅

sen x + 1−cos x ⋅ 1−cos x ( 1−cos x ) ( 1−cos x ) ( sen x )

=

sen 2 x (sen x)(1−cos x)

=

sen 2 x+(1−cos x)2 (sen x)(1−cos x)

=

sen 2 x+1−2 cos x+cos2 x (sen x)(1−cos x)

=

sen 2 x+cos2 x+1−2 cos x (sen x)(1−cos x)

=

1+1−2 cos x (sen x)(1−cos x)

=

2−2 cos x (sen x)(1−cos x)

=

2 (1−cos x) (sen x) (1−cos x)

=

2 sen x

2

x) + (sen(1−cos x)(1−cos x)

= 2 csc x Esto demuestra que la identidad es verdadera.

Guía para padres con práctica adicional

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Problemas 1.

Demuestra gráficamente que sen(x + y) no es igual a sen x + sen y.

2.

Determina gráficamente a qué es igual cos(x + 90º).

3.

Determina gráficamente a qué es igual sen(180º – x).

Demuestra las siguientes identidades: 4.

sen 2 x 2 sen 2 x

= cot x

5.

sen2 x – cos2 x =

6.

sen 2 x 1+cos x

7.

cos4 x – sen4 x = 2 cos2 x – 1

8.

1 1−sen x

tan x−cot x tan x+cot x

= 1− sec1 x

1 = 2 sec2 x + 1+sen x

Respuestas 1.

Los gráficos no son iguales.

2.

cos(x + 90º) = –sen x

3.

sen(180º – x) = sen x

4.

sen 2 x ?= cot x 2 sen 2 x sen 2 x = 2 sen x cos x 2 sen x sen x 2 sen 2 x

=

2 sen x cos x 2 sen x sen x

=

cos x sen x

= cot x

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Capítulo 12

5.

? sen 2 x − cos2 x =

= = =

tan x−cot x tan x+cot x sen x − cos x cos x sen x sen x + cos x cos x sen x sen 2 x−cos2 x sen x cos x sen 2 x+cos2 x sen x cos x sen 2 x−cos2 x sen 2 x+cos2 x

= sen 2 x − cos2 x

6.

sen 2 x ? 1 1+cos x = 1− sec x

= (1− cos x ) ⋅ = = = 7.

x ( 1+cos 1+cos x )

(1−cos x)(1+cos x) 1+cos x 1−cos2 x 1+cos x sen 2 x 1+cos x

? cos 4 x − sen 4 x = 2 cos2 x − 1

(

)( = 1⋅ ( cos2 x − sen 2 x )

cos 4 x − sen 4 x = cos2 x + sen 2 x ⋅ cos2 x − sen 2 x

)

= cos2 x − (1− cos2 x) = cos2 x − 1+ cos2 x = 2 cos2 x − 1

8.

1 1−sen x

? 1 2 + 1+sen x = 2 sec x

x 1 1−sen x 1 ( 1+sen 1+sen x ) ⋅ ( 1−sen x ) + ( 1−sen x ) ⋅ ( 1+sen x ) = 1+sen x+1−sen x (1+sen x)(1−sen x)

=

2 1−sen 2 x 2 cos2 x

=

Guía para padres con práctica adicional

= 2 sec 2 x

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PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT 1.

Si 7x < 2y y 2y < 9z, ¿cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a.

2.

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