Trigonometría Resolución de triángulos. 1. Dada la notación habitual, resuelve los siguientes triángulos:

a)

a=10cm b=(T. Seno) 10 sen(20º)/sen(125º) = 4,18 cm c=(T. Seno) 10 sen(35º)/sen(125º) = 7 cm ̂ A= 180º-(20º+35º)=125º ̂ B = 20º ̂ C= 35º

b)

a= 5 km b= 3 km c=(T. Coseno) √ 5² +3² −2 · 3 ·5 ·cos (140º) = 7,55 km ̂ A= (T. Seno) sen(Â)=5 sen(140º)/7,55; Â = 25,2º (Â=154,8º no es válido) ̂ B = 180º -(140º + 25,2º) = 14,8º ̂ C= 140º

c) a= 3 cm

b= 5 cm

c=4 cm

̂ A= ( T. Coseno) 3²=5²+4²-2·5·4·cos(Â) -> cos(Â)=4/5 -> Â=36,87º ̂ B = ( T. Coseno) 5²=3²+4²-2·3·4·cos(B) -> cos(B)=0 -> B=90º ̂ C= 90º-36,87º=53,13º

( En las medidas de los lados, 3, 4,y 5 cm, deberíamos haber reconocido las dimensiones del célebre Triángulo Egipcio, que es rectángulo) d)

a= 11 m b= (T. seno) 13 sen(23,6º)/sen(100º)=5,28 m c= 13 m ̂ A= (T. seno) sen(Â)=11 sen(100º) / 13= 0,83 ; Â = 56,4º (Â=123,6º no es válido) ̂ B = 180º -(100º + 56,4º) = 23,6º ̂ C= 100º

e)

a= 8 cm b= 7 cm c; (T. coseno) b²=a²+c²-2ac cos(120º); 49=64+c²-16c(-0,5); c²+8c+15=0; −8±√ 64−60 c1 =−3 cm c= (Ninguna de ellas es válida) = 2 c 2 =−5 cm

{

̂ A= (T. seno) sen(Â)=8 sen(120º)/7=0,99; Â=81,9º ó Â= 98,1º, pero ninguna es válida, ya que en cualquier caso Â+B>180º

̂ B = 120º ̂ C= EL TRIÁNULO NO TIENE SOLUCIÓN REAL. (NO PUEDE CONSTRUIRSE) 2. Los balones de fútbol usuales se fabrican con piezas de cuero con forma de hexágonos y pentágonos regulares, que han de tener los lados de 3,5 cm de longitud. Si las piezas se cortan a partir de discos de cuero, ¿cuál ha de ser el diámetro de los discos de los que saldrán los hexágonos?, ¿y el de los discos que se usan para los pentágonos? 1,75/r=sen(30º); r=1,75/sen(30º)= 3,5 cm 1,75/r=sen(36º); r=1,75/sen(36º)= 2,98 cm Disco para hexágono -> diámetro = 7cm Disco para pentágono -> diámetro = 5,96 cm

3. Determina el ángulo que forman entre sí las caras de un tetraedro. Fijándonos en la figura, el ángulo que nos piden es α , y este ángulo forma parte de un triángulo isósceles cuyos lados corresponden dos de ellos a alturas de las cara triangulares, y otro a un lado de una cara. Dado que las caras son triángulos equiláteros, podemos calcular la relación entre L y h observando una de las caras: h/L = cos (60º) h=

√3 2

L

Si ahora consideramos el triángulo marcado dentro del tetraedro, tenemos que: L /2 L /2 1 sen α = = = → α =35,26 º → α =70,52 º 2 h √3 / 2 L √ 3 2

( )

4. Calcula las áreas de un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono, un hexágono y un heptágono inscritos en una circunferencia de 8 cm de radio.

El procedimiento es el mismo en todos los casos: se divide el polígono en triángulos desde el centro de la circunferencia y cada uno de esos triángulos se divide a la mitad por su altura (ver la figura). Se puede hacer el planteamiento por separado para cada figura o hacer uno genérico que luego pueda aplicarse a todas. En este triángulo se tiene: 180º L/ 2 180º sen = →L=16 sen cm n 8 n 180º a 180º cos = →a=8 cos cm n 8 n

(

)

(

(

)

(

)

)

El perímetro se calculará sumando los n lados y el área n triángulos de base L y altura a: 180º Perímetro=n L=16 n sen cm n

(

La Área=n =128 n 2

sen

)

180º cos ( ( 180º n ) n ) 180º 180º 360º =32 n 2 sen ( cos ( =32 n sen ( cm ) ) [ ] 2 n n n )

2

Estas fórmulas se pueden aplicar ahora a los polígonos pedidos: Triángulo n=3

Cuadrado n=4

Pentágono n=5

Hexágono n=6

Heptágono n=7

Perímetro (cm)

48 sen 60º = 41,6 cm

64 sen 45º= 45,3 cm

80 sen 36º= 47 cm

96 sen 30º= 48 cm

112 sen 25,7º= 48,6 cm

Área (cm²)

96 sen 120º=

128 sen 90º=

160 sen 72º=

192 sen 60º=

224 sen 51,4º=

83,1 cm²

128 cm²

152,2 cm²

166,3 cm²

175,1 cm²

5. En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 10 cm y el ángulo entre ellos es de 50º. Calcula su área y su perímetro. Cortando el triángulo por la altura obtenemos triángulos rectángulos en los que aplicar razones trigonométricas: b sen( 25º)= →b=10 sen (25º )=4,23 cm 10 h cos (25º )= →h=10 cos (25º)=9,06 cm 10 Ya podemos calcular área y perímetro: Área = 2bh/2 = 38,3 cm² Perímetro = 2b + 20 = 28,5 cm 6. La escalera de un camión de bomberos mide 30 m extendida. Para usarla con seguridad se puede inclinar hasta 80º, pero nunca más vertical. ¿Hasta qué altura, como máximo, se puede alcanzar con esa escalera?. ¿A qué distancia del edificio al que se quiere subir hay que colocar el camión?. La escalera, junto con el suelo y la pared del edificio forman un triángulo rectángulo. La escalera hace las veces de hipotenusa, y el ángulo de 80º es el que forma la escalera con el suelo. Fácilmente se ve que: d = 30 cos(80º) = 5,2 m h = 30 sen(80º) = 29,5 m 7. Con un cuadrado de 6 cm de lado y cuatro triángulos isósceles de lados iguales 10 cm (y desigual de 6 cm) se construye una pirámide. Para esa pirámide, determina: a) El área total (caras laterales y base). En el triángulo isósceles aplicamos Pitágoras a una de las mitades: h² + 3² = 10² -> h²= 91 -> h=9,54 cm El área total de la pirámide será, por tanto: A = 6² + 4· (6·9,54/2) = 150,5 cm² b) La altura de la pirámide y su volumen. c) El ángulo que forman las caras laterales con la base y el ángulo del vértice. Considerando el triángulo de la figura, podemos determinar los datos necesarios para los apartados b) y c) : Altura: 3²+a²= 9,54² -> a²=82 -> a = 9,06 cm Volumen: V=1/3 A base x altura = 1/3·6²·9,06 = 108,7 cm³ Ángulo base: Ángulo vértice:

a 9,06 tg ( α )= = =3,02 → α =71,7 º 3 3

β + α +90º =180º → β = 36,6 º 2

8. Desde la popa de un barco de 50 m de eslora (largo) se divisa la luz de un faro bajo un ángulo de 30º con respecto a la horizontal. Desde la proa se ve bajo un ángulo de 21º con la horizontal. ¿Cuál es la altura de la luz del faro sobre el nivel del mar?. Razonando sobre los dos triángulos rectángulos que aparecen, tenemos: tg(30º)=a/x -> x=a/tg(30º) tg(21º)=a/(x+50) -> x=a/tg(21º) – 50 Igualando y despejando a: a/tg(30º)=a/tg(21º) -50 a[cotg(21º) – cotg(30º)]=50 a=50 /[cotg(21º) – cotg(30º)]= 57,3 m También puede plantearse aplicando el teorema del seno en el triángulo obtusángulo para obtener la longitud d y, después, deducir el valor de a a partir del seno de 30º: 50 d 50 sen 21º a = →d = =114,6 m ; sen 30º = →a=d sen 30º =57,3 m sen 9º sen 21º sen 9º d 9. Un topógrafo se propone medir la altura de una colina. Primero observa la cima de modo que la visual forma un ángulo de 30º con la horizontal. Se aleja 350 m hasta que la visual forma un ángulo de 21º con la horizontal. ¿Cuál es la altura de la colina?. Se plantea exactamente igual que el anterior (el faro sería la colina y el topógrafo se mueve desde la popa a la proa del barco, que en este caso tendría 350 m de longitud). Como los ángulos son los mismos y la longitud es 7 veces mayor, la altura será también 7 veces mayor, esto es que la altura de la colina es de 401 m. 10. Un centinela avista, desde las almenas de una muralla de 74 codos de altura, una columna de infantería que se acerca con aviesas intenciones. El ángulo de depresión bajo el que observa al enemigo resulta ser de 5º. En el castillo de dispone de una bombarda con un alcance efectivo de 500 codos, ¿sabrías decir si es el momento apropiado para usar la artillería? (Nota: Se denomina ángulo de depresión al que forma la visual de un objeto con la horizontal)

Sencillamente planteamos la tangente de 5º: tg(5º)=74/d -> d=74/tg(5º)= 846 codos Por tanto el enemigo se encuentra todavía fuera del alcance de la artillería. 11. Para zanjar la polémica de si las estrellas fugaces eran fenómenos terrestres o celestes, el Profesor Alexander C. Twining, de Connecticut, planeó el siguiente experimento a principios del siglo XIX. Situó a dos de sus ayudantes en dos localidades distantes entre sí 15 km (una más al norte que la otra), con instrucciones de que anotasen en sus cuadernos de campo la hora, orientación y ángulo visual de las estrellas fugaces que avistasen cierta noche. Aquí tienes un extracto de sus anotaciones.

Localidad

Orientación

Hora

Ángulo de elevación

New Haven

Sur

1:43

63º 21'

Hamden

Sur

1:43

55º 40'

Valiéndote de estos datos, ¿a qué altura se producen las estrellas fugaces?, ¿qué conclusión ha de extraerse con respecto a la citada polémica? Es una situación muy similar a la de problemas anteriores, como el 8 y el 9, de modo que aplicamos la misma resolución y tendremos: a=

15 =131,8 km cotg (55º 40 ' ) – cotg (60º 21 ' )

La conclusión que ha de extraerse es que se trata de un fenómeno terrestre, la incineración de polvo y pequeñas partículas del espacio exterior que sucede en las capas altas de la atmósfera. 12. Un radar de control aéreo detecta un avión comercial a 11 km al sur y un avioneta privada a 9 km al sur-oeste. El controlador ha de avisar a los aviones de riesgo de colisión si la distancia entre ellos es menor de 8 km. ¿Debería en este caso contactar con los pilotos para alertarles? En este caso lo fundamental es conocer los ángulos que forman entre sí los diferentes rumbos. Es fácil ver que las direcciones Sur y Sur-Oeste forman entre sí un ángulo de 45º, de modo que tenemos un triángulo formado por el contro aéreo, el avión y la avioneta. Para conocer la distancia entre estos dos últimos basta con hacer uso del Teorema del Coseno: d²=9²+11²-2·9·11·cos 45º = 62 -> d=7,9 km Por tanto el control aéreo sí deberá avisar a los pilotos de la situación de riesgo de colisión.

13. Se sabe que la distancia de la Tierra a Luna es de unos 360.000 km. Desde la Tierra el diámetro angular de la Luna es de medio grado. Sabiendo esto determina el tamaño de nuestro satélite. El diámetro angular del Sol es aproximadamente el mismo que el de la Luna, pero la distancia hasta nuestra estrella es de 150 millones de kilómetros. Con esto basta para que puedas calcular el tamaño del Sol. La situación en ambos casos es la misma, salvo porque las distancias son distintas. En el caso de la Luna: tg(0,25º)= radio/360.000 radio=360.000 tg(0,25º)= 1.571 km Para el Sol: tg(0,25º)= radio/150.000.000 radio=150.000.000 tg(0,25º)=654.500 km

14. Sabiendo que el radio de la Tierra es de 6.000 km, ¿hasta qué distancia en el mar se puede divisar un barco desde lo alto de un faro de 135 m de altura? La clave del problema está en darse cuenta de que la visual hasta el horizonte es la recta tangente a la superficie de la Tierra . Además, hay que recordar que la tangente forma un ángulo de 90º con el radio de la circunferencia en el punto de tangencia. De este modo se forma un triángulo rectángulo y por simple aplicación del Teorema de Pitágoras se tiene: 6.000²+d² =6.000,135² -> d²=1.620 -> d = 40,2 km Si conociésemos la distancia a la que se encuentra el horizonte, este método serviría para determinar el radio de la Tierra (mediríamos la Tierra sin salir de casa, del faro en este caso) 15. Completa la siguiente tabla sin hacer uso de las funciones trigonométricas de tu calculadora. Ángulo Cuadrante seno coseno tangente 135º

2º

sen 135º = √2 sen45º = 2

cos 135º = −√ 2 - cos 45º = 2

150º

2º

sen 150º = 1 sen 30º = 2

cos 150º = −√ 3 - cos 30º = 2

tg 150º = −√ 3 - tg 30º = 3

240º

3º

sen 240º = −√ 3 - sen 60º = 2

cos 240º = −1 - cos 60º = 2

tg 240º = tg 60º = √ 3

-45º

4º

sen -45º =

cos -45º =

tg 135º = - tg 45º = -1

tg 45º =

- sen 45º = 210º

3º

−√ 2 2

-1/2

cos 45º =

√2

cos 210º = −√ 3 - cos 30º = 2

135º

2º

sen 135º = √2 sen45º = 2

-30º=330º

4º

sen 330º = −1 - sen 30º = 2

- tg 45º =

−1

2

cos 135º = −√ 2 - cos 45º = 2

√3 2

tg 210º = tg 30º =

√3 3

-1

tg 330º = −√ 3 - tg 30º = 3

5º 44' 21''

1º

0,1

c= √ 1−s 2 = √ 0,99

s 0,1 t= = c √ 0,99

160º 31' 44''

2º

1/3

c =−√ 1−s 2 = 8 −2 √ 2 =− = 9 3

s −√ 2 t= = c 4

√

- 63º 26' 6''

4º

66º 25' 19''

1º

s=−2 c → s=

−2 √5

s= √ 1−c 2 = 21 √ 21 = = 25 5

s =−2 →s =−2 c c s² +c²=4c 2 +c 2 =1 1 5 c 2 =1 →c = √5

2/5

√

251º 33' 54''

75º 31' 21''

3º

1º

s=3 c →s=

−3

√ 10

s = √ 1−c 2 = 15 √ 15 = = 16 4

s =3 → s =3 c c s² +c²=9 c2 +c 2 =1 −1 10 c 2 =1 → c= √ 10

4º

153º 26' 6''

2º

s=

−c −1 →s= 2 √5

1 √5

s √ 21 t= = c 2

3

0,25 = 1/4

s t= = √ 15 c

s −1 −c = →s = c 2 2 c2 2 s² +c²= +c =1 4 5 c2 2 =1 → c= 4 √5

- 1/2

c=− √ 1−s 2 = 4 −2 =− = 5 √5

s −1 t= = c 2

√

333º 26' 6''

-2

√