12345

6

78

901

567

8

90

Mate

m

a á t i c 234

Tutorial MT-m2

Matemática 2006 Tutorial Nivel Medio Porcentajes y proporción compuesta

Matemática 2006

Tutorial

Porcentajes y Proporción compuesta Marco Teórico 1. Porcentajes: corresponde siempre a una proporción directa. Se representa como: a% =

a 100

Explicaremos un método práctico para resolver problemas de porcentaje. Siempre lo que va a continuación de la palabra “de” corresponde al 100%. Por lo tanto, independiente al tipo de ejercicio, lo aplicamos utilizando proporción directa. Ejemplos: a) Calcular el 20% de 80. En este caso lo que va después de la palabra “de” es 80, por lo tanto, corresponde al 100% y 20% es porcentaje, el espacio libre corresponde a “x”. Aplicando proporción directa, donde nuestras variables son: cantidad y porcentaje. Cantidad 80 x

% 100 20

(Multiplicamos cruzado)

100 ⋅ x = 80 ⋅20 x=

80 · 20 100

x = 16

(Despejando x) (Simplificando)

∴ El 20% de 80 es 16

Observación: a% de b = b% de a

b) ¿Qué porcentaje es 30 de 40? En este caso lo que va después de la palabra “ de” es 40, por lo tanto, corresponde al 100% y 30 es cantidad, el espacio libre corresponde a “x”. Aplicando proporción directa, donde nuestras variables son: cantidad y porcentaje. Cantidad 40 30

% 100 x

2 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

(Multiplicamos cruzado)

x=

(Despejando x)

30 · 100 40

x = 75%

Matemática 2006

40 ⋅ x = 30 ⋅100

(Simplificando)

∴ El 75% de 40 es 30

c) ¿De qué número,12 es el 40%? En este caso lo que va después de la palabra “de” es “qué número”, por lo tanto, x corresponde al 100% , 12 es cantidad y 40 es porcentaje. Aplicando proporción directa, donde nuestras variables son: cantidad y porcentaje. Cantidad x 12

% 100 40

40 ⋅ x = 12 ⋅ 100 x=

12 · 100 40

x = 30

(Multiplicamos cruzado) (Despejando x) (Simplificando)

∴ 30 es el número en que 12 es el 40%

2. Porcentajes sucesivos: corresponden a:

p% del q% de a

Se resuelve transformando los porcentajes a fracción y la palabra “de” por multiplicación. Ejemplo: Calcular el 20% del 60% del 75% de 25 20 60 75 ⋅ ⋅ ⋅ 25 100 100 100 ⇒

(Simplificando y multiplicando fracciones)

1 3 3 9 ⋅ ⋅ ⋅ 25 = 5 5 4 4 ∴ El 20% del 60% del 75% de 25 es

9 4

3. Proporción compuesta: es aquella en que intervienen más de dos variables. Ejemplo: 5 operarios producen en 7 días 400 unidades de un producto. ¿Cuántas unidades del mismo producto pueden producir 14 operarios en 9 días? 3 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Matemática 2006

Tutorial Nuestras variables son: operarios, días y unidades. Explicaremos un método muy útil para resolverlo. Siempre es conveniente dejar la incógnita al medio, que en este caso es unidades. Operarios 5 14

Unidades 400 x

Días 7 9

5 ⋅ x ⋅ 7 = 14 ⋅ 400 ⋅ 9 x=

(Despejando x)

14 · 400 · 9 5·7

x = 1440

(Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable con la incógnita, que en este caso es unidades) (Operarios y unidades son directamente proporcionales, unidades y días son también directamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas)

(Simplificando)

∴1440 unidades pueden producir 14 operarios en 9 días

4. Modelo de ejercicio:

explicaremos cómo enfrentar ejercicios del tipo:

Pedro trabajando solo demora 4 horas en pintar una pieza, Juan trabajando solo demora 6 horas en pintar la misma pieza. ¿Cuánto demorarán si lo hacen juntos? Haremos el análisis en base a 1 hora: 1 del trabajo. 4 1 Juan demora 6 horas, en 1 hora hará del trabajo. 6 1 Si trabajan juntos demoran x horas, en 1 hora harán del trabajo. x 1 1 1 ∴ + = / ⋅ 12x (Multiplicando por el mínimo común múltiplo entre los 4 6 x denominadores, 12x) Pedro demora 4 horas, en 1 hora hará

12x ⋅

1 1 1 + 12x ⋅ = 12x ⋅ 4 6 x 3x + 2x = 12 5x = 12 x=

12 5

x = 2,4

4 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

(Simplificando y multiplicando) (Reduciendo términos semejantes) (Despejando x) (Dividiendo) ∴ Juntos demorarán 2,4 horas

Matemática 2006

Ejercicios 1. Calcular el 33,3 % del 75% de 60 A) B) C) D) E)

9 10 15 45 Ninguno de los valores anteriores

2. En un curso de 35 alumnos, faltaron a clases 14 de ellos. ¿ Qué porcentaje asistió? A) B) C) D) E)

0,40% 0,60% 40% 60% 75%

3. Marcela compró un pantalón con un 20% de descuento y pagó por él $12.000. ¿Cuál era el precio del pantalón antes del descuento? A) B) C) D) E)

$ $ $ $ $

9.600 15.000 18.000 20.000 20.200

4. Un agente de seguros recibe $ 350.000 de sueldo, más un 15% de comisión por las ventas. ¿Cuánto debe vender para ganar $ 800.000? A) B) C) D) E)

$ 120.000 $ 402.500 $ 1.150.000 $ 2.750.000 $ 3.000.000

5. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 10cm y 30cm. ¿En qué porcentaje varía su área si los catetos aumentan en un 20%? A) B) C) D) E)

Aumenta en un 20% Aumenta en un 30% Aumenta en un 44% Aumenta en un 60% Ninguno de ellos

5 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Matemática 2006

Tutorial 6. Si el precio de un artículo con IVA incluido es $ 35.700. ¿Cuál es el precio del artículo sin IVA, considerando que el IVA es el 19%? A) B) C) D) E)

$ 24.917 $ 25.783 $ 28.917 $ 30.000 $ 32.783

7. “x” es 40% más grande que “z” y “z” es 60% más pequeño que “y”. ¿Cuál es la relación entre “x” e “y”? A) B) C) D) E)

x = 7y x = 25y 23x = 14y 24x = 25y 25x = 14y

8. Un artículo cuesta $ 3.000 y se quiere vender con un 25% de ganancia. ¿En cuánto habría que venderlo? A) B) C) D) E)

$ 3.500 $ 3.600 $ 3.750 $ 3.800 $ 4.000

9. Una constructora estima que son necesarios 20 obreros para terminar una obra en 6 meses, trabajando 10 horas diarias. ¿Cuántos obreros necesitarían para terminar la obra en 4 meses, trabajando 6 horas diarias? A) B) C) D) E)

8 obreros 18 obreros 22 obreros 50 obreros 55 obreros

10. Si 5 máquinas logran envasar 70 yoghurts en 24 minutos. ¿En cuánto tiempo serán envasados 140 yoghurts por 6 máquinas? A) B) C) D) E)

40 minutos 48 minutos 50 minutos 58 minutos Ninguno de ellos

6 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Matemática 2006

5 11. 7 personas trabajando 8 horas diarias durante 10 días, repararon del total de una casa. 8 ¿Cuántos días, en las mismas condiciones, faltan para terminar de reparar la casa? A) 5 días B) 6 días C) 7 días D) 8 días E) 16 días 12. Con los datos del ejercicio anterior, si se duplica el número de personas y se disminuye a la mitad las horas diarias, ¿cuánto tiempo demoran en reparar la casa? A) 3 días B) 10 días C) 12 días D) 14 días E) 16 días 13. En una casa hay comida para alimentar 1 adulto durante 8 semanas. Esta misma comida, alcanzaría para alimentar 1 niño durante 24 semanas. Si se quiere alimentar al niño y al adulto al mismo tiempo, ¿para cuántas semanas alcanza esta comida? A) B) C) D) E)

6 semanas 8 semanas 10 semanas 14 semanas 15 semanas

14. Un hombre puede hacer un jardín en A días y otro hombre en B días. Si juntos lo pueden hacer en C días, la ecuación que expresa la cantidad de trabajo realizado por los 2 hombres en 1 día es: A) C =

1 A

B) C =

1 A+B

+

C)

1 A+B = C AB

D)

1 AB = C A+B

E) C =

1 B

1 AB 7 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Matemática 2006

Tutorial 15. Un estanque de agua tiene 3 llaves, la primera lo llena en 6 horas, la segunda lo llena en 4 horas y la tercera lo vacía en 12 horas. ¿Cuántas horas demora en llenarse el estanque si se abren las 3 llaves al mismo tiempo? A) B) C) D) E)

2 horas 3 horas 5 horas 8 horas 10 horas

Respuestas

8 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Preg.

Alternativa

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

C D B E C D E C D A B E A C B

Matemática 2006

Solucionario

Solucionario 1. La alternativa correcta es la letra C) 33,3 % del 75% de 60 Transformando cada porcentaje a fracción y la palabra “de” por multiplicación: 1 3

33,3 % = 1 3 ⋅ 3 4

75% =

3 4

⇒

⋅ 60 =

(Simplificando)

15 ∴ El 33,3 % del 75% de 60 es 15 2. La alternativa correcta es la letra D) El total de alumnos que es 35 corresponde al 100%, si faltaron 14 alumnos, entonces asistieron 21 alumnos. Aplicando proporción directa: Cantidad 35 21

% 100 x

35 ⋅ x = 21 ⋅ 100 x=

21 · 100 35

(Multiplicamos cruzado) (Despejando x) (Simplificando)

x = 60 ∴ El porcentaje de alumnos que asistió es el 60% 3. La alternativa correcta es la letra B) El precio sin descuento corresponde al 100% y el precio con descuento corresponde al 80% ( 100% - 20%). Aplicando proporción directa: Cantidad x 12000

% 100 80

(Multiplicamos cruzado)

9 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Matemática 2006

Solucionario 80 ⋅ x = 12000 ⋅ 100 x=

(Despejando x)

12000 · 100 80

(Simplificando)

x = 15000 ∴ El precio del pantalón sin descuento es $ 15.000 4. La alternativa correcta es la letra E) Sea x: ventas Al sueldo se le suma la comisión que es el 15% de las ventas y se obtiene $ 800.000 15% de x =

15 ∙x 100

⇒ 350000 +

(Transformando 15% a fracción y la palabra “de” cambiándola por multiplicación)

15 ∙ x = 800000 100

(Simplificando)

3 ∙ x = 800000 / ⋅ 20 (Multiplicando por el mínimo común múltiplo, 20) 20 3 20 ⋅ 350000 + 20 ⋅ ∙ x = 20 ⋅ 800000 (Simplificando y multiplicando) 20 350000 +

7000000 + 3x = 16000000

(Despejando x)

3x = 16000000 – 7000000 3x = 9000000 x=

9000000 3

(Dividiendo)

x = 3000000 ∴ Debe vender $ 3.000.000 para ganar $ 800.000 5. La alternativa correcta es la letra C)

10

Área = 30

10 · 30 2

(Simplificando)

Area = 150

Aumentando 10 en un 20% : 10 + 20% de 10

10 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

(Transformando 20% a fracción y cambiando la palabra “de” por multiplicación)

1 ∙ 10 5

Matemática 2006

10 +

(Simplificando)

10 + 2 12 ∴ El cateto 10 aumentado en un 20% es 12 Aumentando 30 en un 20% : 30 + 20% de 30 (Transformando 20% a fracción y cambiando la palabra “de” por multiplicación) 30 +

1 ∙ 30 5

(Simplificando)

30 + 6 36 ∴ El cateto 30 aumentado en un 20% es 36 Entonces obtenemos un nuevo triángulo de catetos 12 y 36

12

Área =

12 · 36 2

(Simplificando)

Área = 216

36

Entonces el área inicial ( 150) es el 100% y el área resultante al aumentar los catetos en un 20% (216) es el x% Aplicando proporción directa: Cantidad 150 216

% 100 x

150 ⋅ x = 216 ⋅ 100 x=

216 · 100 150

(Multiplicamos cruzado) (Despejando x) (Simplificando)

x = 144 ∴ La nueva área es el 144%, como el área inicial es el 100%, aumenta en un 44% (144-100)

11 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Matemática 2006

Solucionario 6. La alternativa correcta es la letra D) El precio sin IVA corresponde al 100%, entonces, el precio con IVA corresponde al 119% (100% + 19% ), ya que: Precio con IVA = Precio sin IVA + IVA 119%

=

100%

+ 19%

Aplicando proporción directa: Cantidad x 35700

% 100 119

119 ⋅ x = 35700 ⋅ 100 x=

35700 · 100 119

(Multiplicamos cruzado) (Despejando x) (Simplificando)

x = 30000 ∴ El precio sin IVA es $ 30.000 7. La alternativa correcta es la letra E) x es 40% más grande que z : x = z + 40% de z 2 ⋅z 5 5·z+2·z x= 5 7z x= 5 x=z+

(Transformando 40% a fracción y cambiando la palabra “de” por multiplicación) (Sumando fracciones) (Reduciendo términos semejantes)

z es 60% más pequeño que y : z = y - 60% de y z=y-

3 ⋅y 5

5·y-3·y 5 2y z= 5 z=

12 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

(Transformando 60% a fracción y cambiando la palabra “de” por multiplicación) (Sumando fracciones) (Reduciendo términos semejantes)

7z y 5 7 2y x= ∙ ⇒ 5 5 1) x =

2) x=

z=

14y 25

2y 5

Matemática 2006

Entonces

(Reemplazando “z” en 1) ) ∴

25x = 14y

8. La alternativa correcta es la letra C) El precio del artículo corresponde al 100% y el precio con un 25% de ganancia al 125% (100% + 25% ) Aplicando proporción directa: Cantidad 3000 x

% 100 125

(Multiplicamos cruzado)

100 ⋅ x = 3000 ⋅ 125 x=

(Despejando x)

3000 · 125 100

(Simplificando)

x = 3750 ∴ El precio con ganancia es $ 3.750 9. La alternativa correcta es la letra D) Nuestras variables son: obreros, meses y horas. La incógnita es obreros, entonces, la ubicamos al centro. Meses 6 4

Obreros 20 x

4 ⋅ x ⋅ 6 = 6 ⋅ 20 ⋅ 10 x=

6 · 20 · 10 4⋅6

Horas (Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable 10 con la incógnita, que en este caso es obreros) 6 (Meses y obreros son inversamente proporcionales, obreros y horas son también inversamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas) (Despejando x) (Simplificando)

x = 50 ∴ Se necesitan 50 obreros para terminar la obra en 4 meses trabajando 6 horas diarias.

13 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Matemática 2006

Solucionario 10. La alternativa correcta es la letra A) Nuestras variables son: máquinas, minutos y yoghurts. La incógnita es minutos, entonces, la ubicamos al centro. Máquinas 5 6

Minutos 24 x

Yoghurts (Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable 70 con la incógnita, que en este caso es minutos) 140 (Máquinas y minutos son inversamente proporcionales, minutos y yoghurts son directamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas)

6 ⋅ x ⋅ 70 = 5⋅ 24 ⋅ 140 5 · 24 · 140 6 ⋅ 70 x = 40

(Despejando x) (Simplificando)

x=

∴ En 40 minutos serán envasados 140 yoghurts por 6 máquinas. 11. La alternativa correcta es la letra B) Nuestras variables son: personas, días, horas y casa. Personas Días Horas Casa 5 7 10 8 8 3 7 x 8 8

5 3 de la casa, entonces falta reparar ) 8 8 (No se consideran las variables: personas y horas, ya que son constantes)

(Como se reparó

Entonces nuestras variables son: días y casa. Días

Casa 5 8 3 8

10 x 5 ⋅ x = 10 ⋅ 8 x = 10 ⋅

3 8

3 8 ⋅ 8 5

(Corresponde a una proporcionalidad directa) (Multiplicamos cruzado)

(Despejando x) (Simplificando)

x=6 ∴ Faltan 6 días para terminar de reparar la casa. 14 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Matemática 2006

12. La alternativa correcta es la letra E) Por el ejercicio anterior sabemos que se demoraron 16 días en reparar la casa, ya que, se habían 5 demorado 10 días en reparar de la casa y faltaban 6 días para terminar de repararla. 8 Nuestras variables son: personas, días y horas. Las personas se duplican, entonces son 14 y las horas se disminuyen a la mitad, por lo tanto son 4. La incógnita es días, entonces, la ubicamos al centro. Personas 7 14

Días 16 x

Horas 8 4

14 ⋅ x ⋅ 4 = 7 ⋅ 16 ⋅ 8 7 · 16 · 8 14 ⋅ 4 x = 16

(Analizamos el tipo de proporcionalidad de cada variable con la incógnita, que en este caso es días) (Personas y días son inversamente proporcionales, días y horas son también inversamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas) (Despejando x) (Simplificando)

x=

∴ Se demoran 16 días en reparar la casa, 14 personas trabajando 4 horas diarias. 13. La alternativa correcta es la letra A) Haremos el análisis en base a 1 semana: 1 8 1 Para un niño hay 24 semanas de comida, en 1 semana se comerá 24

Para un adulto hay 8 semanas de comida, en 1 semana se comerá

Si comen juntos hay x semanas de comida, en 1 semana se comerán 1 1 1 + = 8 24 x

1 x

(Multiplicando por el mínimo común múltiplo entre los denominadores, 24x) 1 1 1 (Simplificando y multiplicando) 24x ⋅ + 24x ⋅ = 24x ⋅ 8 24 x ∴

/ ⋅ 24x

3x + x = 24 4x = 24 x=

24 4

(Reduciendo términos semejantes) (Despejando x) (Dividiendo)

x= 6 ∴ Alcanza para 6 semanas, si se quiere alimentar al niño y al adulto, al mismo tiempo. 15 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Matemática 2006

Solucionario 14. La alternativa correcta es la letra C) Haremos el análisis en base a 1 día: Un hombre hace un jardín en A días, en 1 día hará

1 del jardín. A

1 del jardín. B 1 del jardín. Si trabajan juntos demoran C días, en 1 día harán C 1 1 1 (No aparece así la respuesta) ∴ + = A B C

Otro hombre lo hace en B días, en 1 día hará

(Sumando las fracciones) B+A AB

=

1 C

∴ La ecuación que representa la cantidad de trabajo realizado en 1 día es

1 = C

A+B AB

15. La alternativa correcta es la letra B) Haremos el análisis en base a 1 hora: 1 del estanque. 6 1 del estanque. La segunda llave llena el estanque en 4 horas, en 1 hora llenará 4 1 del estanque. La tercera llave vacía el estanque en 12 horas, en 1 hora vaciará 12 La primera llave llena el estanque en 6 horas, en 1 hora llenará

1 del Si se abren las 3 llaves al mismo tiempo lo llenan en x horas, en 1 hora llenarán x estanque. ∴

1 1 1 1 + = / ⋅ 12x 6 4 12 x

12x ⋅

(Multiplicando por el mínimo común múltiplo entre los denominadores, 12x)

1 1 1 1 + 12x ⋅ - 12x ⋅ = 12x ⋅ 6 4 12 x

2x + 3x - x = 12 4x = 12 x=

12 4

(Simplificando y multiplicando)

(Reduciendo términos semejantes) (Despejando x) (Dividiendo)

x=3 ∴ Se demorarán 3 horas en llenar el estanque, las 3 llaves abiertas al mismo tiempo. 16 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006